曲线运动 万有引力

9．(2012全国)一单摆在地面处的摆动周期与在某 矿井底部摆动周期的比值为k.设地球的半径为R.假 定地球的密度均匀．已知质量均匀分布的球壳对 壳内物体的引力为零，求矿井的深度d.
【解析】根据万有引力定律，地面处质量为 m 的物 体的重力为 mM mg＝G 2 ① R 式中 g 是地面处的重力加速度， M 是地球的质量． 设 ρ 是地球的密度，则有 4 M＝ πρR3 ② 3
【解析】设滑块在 B 点的速度大小为 v，开始到 B 1 2 点由动能定理得： mgh＝ mv 在 B 点由牛顿第二定律得： 2 v2 N－mg＝m 因而：选 BC. r
5.(2012 浙江 )由光滑细 管组成的轨道如图所示， 其中 AB 段和 BC 段是半径 为 R 的四分之一圆弧，轨 道固定在竖直平面内．一 质量为 m 的小球，从距离水平地面为 H 的管口 D 处静 止释放，最后能够从 A 端水平抛出落到地面上．下列说 法正确的是( BC ) A．小球落到地面时相对于 A 点的水平位移值为 2 RH－2R2 B ．小球落到地面时相对于 A 点的水平位移值为 2 2RH－4R2 C．小球能从细管 A 端水平抛出的条件是 H>2R 5 D．小球能从细管 A 端水平抛出的最小高度 Hmin＝ R 2
*
【解析】要使小球从 A 点水平抛出，则小球到达 A 点时的速度 v＞0， 根据机械能守恒定律， 有 mgH－mg· 2R 1 2 ＝ mv ，所以 H＞2R，故选项 C 正确，选项 D 错误； 2 小球从 A 点水平抛出时的速度 v＝ 2gH－4gR，小球离 1 2 开 A 点后做平抛运动，则有 2R＝ gt ，水平位移 x＝vt， 2 联立以上各式可得水平位移 x＝2 2RH－4R2，选项 A 错误，选项 B 正确．
曲线运动 万有引力
本章内容包括运动学和动力学两部分．运动学部分 主要是掌握如何用“合成与分解”的方法，将复杂 的运动形式简化为两个简单运动的合成，运用等效 的思想将未知的复杂问题转化为已知的简单问题， 这也是物理学中十分重要的、经常使用的研究方法； 动力学部分主要是根据牛顿第二定律研究物体做曲 线运动时力和运动的关系． 平抛运动是匀变速曲线运动的一种．采用的研究方 法是，将其分解为互相垂直的两个直线运动来处 理．因此，该内容可看作为前面所学的平行四边形 定则与匀变速直线运动规律的综合．
【解析】“天宫一号”运行时所需的向心力由万有 2 v1 Mm mv GM 引力提供， 根据 G 2 ＝ 得线速度 v＝ ， 所以 R R R v2 R2 ＝ ，故选项 B 正确，选项 A、C、D 错误． R1
3．(2012浙江)如图所示，在火星与木星轨道之间 有一小行星带．假设该带中的小行星只受到太阳 的引力，并绕太阳做匀速圆周运动．下列说法正 确的是( C )
6.(2011 天津)质量为 m 的探月航天器在接近月球表 面的轨道上飞行，其运动视为匀速圆周运动．已知月球 质量为 M，月球半径为 R，月球表面重力加速度为 g， 引力常量为 G，不考虑月球自转的影响，则航天器的 ( ACD ) GM A．线速度 v＝ R B．角速度 ω＝ gR C．运行周期 T＝2π GM D．向心加速度 a＝ 2 R
v Mm 【解析】 万有引力提供向心力， 由 G 2 ＝ma＝m r r
2
2 4π2 a甲 r乙 ＝mr 2 ，可得向心加速度之比 ＝ 2 <1，C 正确；周 T a乙 r甲
T甲 期之比 ＝ T乙
r3 甲 >1， A 正确； 甲、 乙均为两颗地球卫星， r3 乙
运行速度都小于第一宇宙速度，B 错误；甲为地球同步 卫星运行在赤道上方，D 错误．
*1.(2012广东)如图所示，飞船从轨道1变轨至轨道 2.若
飞船在两轨道上都做匀速圆周运动，不考虑质量变化， 相对于在轨道1上，飞船在轨道2上的( )CD
A．动能大
B．向心加速度大
C．运行周期长 D．角速度小
【解析】考查天体运行：主要是万有引力提供向心 4π2 v2 GMm 力： 2 ＝m ＝ma＝m 2 r＝mω2r 故选：CD r r T
摆长为 L 的单摆在地面处的摆动周期为 L T＝2π ③ g 若该物体位于矿井底部，则其重力为 mM′ mg′＝G （R－d）2 ④
式中 g′是矿井底部的重力加速度，且 4 M′＝ πρ(R－d)3 ⑤ 3 在矿井底部此单摆的周期为 T′＝2π L g′ ⑥
由题意 T＝kT′ ⑦ 联立以上各式得 d＝R(1－k2) ⑧
圆周运动是自然界普遍存在的一种运动形式，处理其
动力学问题时，关键要注意两点：(1)确定研究对象运
动的轨道平面和圆心的位置，以便确定向心力的方 向．
(2)向心力不是和重力、弹力、摩擦力相并列的性质力，
它是根据力的作用效果命名的．切不可在物体间的相 互作用力以外再添加一个向心力． 研究竖直平面内的圆周运动要抓住各种约束物的区别 以及运动物体在最高点、最低点的受力特征，并结合
A．太阳对各小行星的引力相同
B．各小行星绕太阳运动的周期均小于一年
C．小行星带内侧小行星的向心加速度值大于外侧小 行星的向心加速度值
D．小行星带内各小行星圆周运动的线速度值大于地 球公转的线速度值
Mm 【解析】根据 F＝G 2 ，小行星带中各小行星的轨 r 道半径 r、质量 m 均不确定，因此无法比较太阳对各小 2π 2 Mm 行星引力的大小，选项 A 错误；根据 G 2 ＝m( ) r r T r3 得，T＝2π ，因小行星绕太阳运动的轨道半径大 GM 于地球绕太阳运动的轨道半径，故小行星的运动周期大 于地球的公转周期，即大于一年，选项 B 错误；根据 Mm GM G 2 ＝ma 得 a＝ 2 ， 所以内侧小行星的向心加速度值 r r 大于外侧小行星的向心加速度值，选项 C 正确；根据 2 Mm mv GM G 2 ＝ ，得 v＝ ，所以小行星带内各小行星 r r r 做圆周运动的线速度值小于地球公转的线速度值，选项 D 错误．
牛顿第二定律求解．
牛顿运动定律在卫星与天体运动中的应用，不可 避免地要密切结合万有引力定律．这类问题需把握以 下几个重要方面：①运动模型的建立：A 星绕 B 星做 匀速圆周运动； ②由 A 星与 B 星之间的万有引力提供 A 星运动所需的向心力； ③合理选择向心力的表达式， 列出万有引力等于向心力的方程，推导出线速度、角 速度、周期、半径、向心加速度、中心天体 B 的质量 等等的表达式；④重力加速度 g 这一概念的迁移：星 GMm 球表面有 2 ＝mg， 这一式子又称“黄金代换式”， R 不仅可用于地球表面，也可用于其他星球表面；⑤地 球表面卫星、高空卫星、极地卫星、赤道卫星、同步 卫星、 三个宇宙速度等的含义要深刻领会、 准确掌握， 才能在处理问题时应用自如．
*4.(2012 广东 ) 右图是滑道压力测试的示意图，光滑
圆弧轨道与光滑斜面相切，滑道底部B处安装一个 压力传感器，其示wk.baidu.com N表示该处所受压力的大小， 某滑块从斜面上不同高度 h 处由静止下滑，通过 B 时，下列表述正确的有( BC )
A．N小于滑块重力
B．N大于滑块重力 C．N越大表明h越大 D．N越大表明h越小
8．(2011海南)如图，水 平地面上有一个坑，其 竖直截面为半圆．ab为 沿水平方向的直径．若在a点以初速度v0沿ab方向 抛出一小球， 小球会击中坑壁上的c点．已知c点 与水平地面的距离为圆半径的一半，求圆的半 径．
【解析】设圆半径为 r，质点做平抛运动，则： x＝v0t ① 1 2 y＝0.5r＝ gt ② 2 过 c 点做 cd⊥ab 与 d 点，Rt△acd∽Rt△cbd 可得 r2 2 cd ＝ad· db 即为：( ) ＝x(2r－x) ③ 2 4（7± 4 3） 2 由①②③得：r＝ v0 g
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2．(2012 山东)2011 年 11 月 3 日，“神舟八号”飞 船与“天宫一号”目标飞行器成功实施了首次交会对 接．任务完成后“天宫一号”经变轨升到更高的轨道， 等待与“神舟九号”交会对接．变轨前和变轨完成后 “天宫一号”的运行轨道均可视为圆轨道，对应的轨道 v1 半径分别为 R1、R2，线速度大小分别为 v1、v2.则 等于 v2 ( B ) 3 R1 R2 R2 R2 2 A. B. C. D. 2 R3 R R R1 2 1 1
【解析】万有引力提供卫星做圆周运动的向心力，代 入相关公式即可．
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R g
*7.(2011山东)甲、乙为两颗地球卫星，其中甲为地球
同步卫星，乙的运行高度低于甲的运行高度，两卫 星轨道均可视为圆轨道．以下判断正确的是( AC )
A．甲的周期大于乙的周期
B．乙的速度大于第一宇宙速度 C．甲的加速度小于乙的加速度 D．甲在运行时能经过北极的正上方