运筹学 排队论(新)

二、负指数分布
在实际的排队系统中服务时间的概率分布可以是 各种形式，但在排队论中，最容易进行数学处理、最 常用的一种重要分布是负指数分布。 设随机变量T服从以为参数的负指数分布，它 的分布函数为： 1 e t , t 0 P (T t ) t 0 0,
方差：E (t ) 1/
运 筹 帷 幄 之 中 Queuing Theory
决 胜 千 里 之 外
排队论
第十二章 排队论
本章内容
基本概念 到达间隔的分布和服务时间的分布
单服务台负指数分布排队系统的分析
多服务台负指数分布排队系统的分析 一般服务时间M/G/1模型
排队论(Queuing Theory)，又称随机服务 系统理论(Random Service System Theory)。 1909 年由丹麦工程师爱尔朗 (A.K ． Erlang) 在 研究电话系统时创立的。具体地说，它是在研 究各种排队系统概率规律性的基础上，解决相 应排队系统的最优设计和最优控制问题。特别 是自二十世纪60年代以来，由于计算机的飞速 发展，使排队论的应用有了更广阔的前景。
X/Y/Z/A/B/C
Z—表示服务台(员)个数： “1”则表示单个服务台，“s”(s＞1) 表 示多个服务台。
A—表示系统中顾客容量限额，或称等待空 间容量： ∞ 时为等待制系统，此时∞一般省略不 写；若为有限整数时，为混合制系统。
X/Y/Z/A/B/C
B—表示顾客源限额。 分有限与无限两种，∞表示顾客源无限， 此时一般∞也可省略不写。 C—表示服务规则，常用下列符号： FCFS：表示先到先服务； LCFS：表示后到先服务； PR：表示优先权服务。
人
人 人 人
理发师
出纳 ATM机 收银员
阻塞的管道 管道工 人 人 售票员 航空公司代理人
经纪人服务
人
股票经纪人
运输服务系统
系统类型 公路收费站 卡车装货地 港口卸货区 顾客 汽车 卡车 轮船 服务台 收费员 装货工人 卸货工人
等待起飞的飞机
航班服务 出租车服务
飞机
人 人
跑道
飞机 出租车
电梯服务
消防部门 停车场
性质2 当单位时间内的顾客到达数服从以为平均数 的泊松分布时，则顾客相继到达的间隔时间T服从负 指数分布。
由性质2可知： 相继到达的间隔时间是独立且为相同 参数的负指数分布，与输入过程为泊松流（参数为 ） 是等价的。 根据负指数分布与泊松流的关系可以推导出，当
服务机构对顾客的服务时间服从参数为的负指数分 布，如果服务机构处于忙期，则该服务机构的输出， 即服务完毕离开服务机构的顾客数将是服从泊松分布
（三）排队系统的主要数量指标
1. 队长和排队长 队长是指系统中的顾客数(排队等待的顾 客数与正在接受服务的顾客数之和)。 排队长是指系统中正在排队等待服务的顾 客数。
2．等待时间和逗留时间 从顾客到达时刻起到他开始接受服务止 这段时间称为等待时间，是随机变量。
从顾客到达时刻起到他接受服务完成止 这段时间称为逗留时间，也是随机变量。
随机服务
优先权服务
排队规则
损失制
队长有限 混合制 等待时间有限
逗留时间有限
3．服务台情况。服务台可以从3方面来描述：
(1) 服务台数量及构成形式
图12-2 单队列-单服务台排队系统
图12-3 单队列——S个服务台并联的排队系统
图12-4 S个队列——S个服务台的并联排队系统
图12-5 单队——多个服务台的串联排队系统
对于等待制的排队系统，有： e ＝
第二节 到达间隔的分布和服务时间的分布
一、Poisson流（Poisson过程）
定义 满足以下三个条件的输入流称为Poisson流
1、无后效性：不相交的时间区间内到达的顾客数互 相独立。 2、平稳性：在时间区间[t, t+t)内到达1个顾客 的概率只与t有关。即 p1(t ,t t ) t o(t ) 表示单位时间内有一个顾客到达的概率。 3、普通性：设在[t, t+t）内到达多于一个顾客 的概率极小，即 pn (t ,t t ) o(t )
当 n = 0 时，Pn即P0 为稳态系统所有服务台全部空闲的概率。
(2)其他常用数量指标
s——系统中并联服务台的数目 —— 平均到达率（单位时间内到达的 平均顾客数） 1/——平均到达间隔
——平均服务率（单位时间内可以服 务完的平均顾客数） 1/ —— 平均服务时间
对于损失制和混合制的排队系统， 顾客在到达服务系统时，若系统容量已 满，则自行消失。这就是说，到达的顾 客不一定全部进入系统，为此引入： e —— 有效平均到达率，即每单位时间 实际进入系统的平均顾客数（期望值）， 不同于 。
方差：E (t ) 1/
t 0
期望：Var (t ) 1/ k 2
K=1时爱尔朗分布化归为负指数分布，当 K→∞时，得到长度为1/的定长服务。
k= 8 m= 1 k= 4 k= 2 k= 1
第三节 单服务台负指数分布排队系统的分析
标准排队模型 [M/M/1]:[//FCFS]
X—表示顾客相继到达间隔时间分布，常用下 列符号：
M—表示到达过程为泊松过程或负指数分布； D—表示定长输入； Ek—表示k阶爱尔朗分布； GI——表示一般相互独立的时间间隔分布； G——表示一般服务时间的分布。
X/Y/Z/A/B/C
Y—表示服务时间分布，常用下列符号： M—表示服务过程为泊松过程或负指数分布； D—表示定长分布； Ek—表示k阶爱尔朗分布； G—表示一般相互独立的随机分布。
Where the Time Goes ?
美国人一生中平均要花费-6个月 停在红灯前 8个月 打开邮寄广告 1年 寻找放置不当的物品 2年 回电话不成功 4年 做家务
5年 排队等待
6年 饮食
商业服务系统
系统类型 顾客 服务台
理发店
银行出纳服务 ATM机服务 商店收银台 管道服务 电影院售票窗口 机场检票处
(3)顾客流的概率分布，或称顾客相继到 达时间间隔的分布。这是求解排队系统 有关运行指标问题时，首先需要确定的 指标。 顾客流的概率分布一般有定长分布、 二项分布、泊松流(最简单流)、爱尔朗分 布等若干种。
2、排队规则 这是指服务台从队列中选取 顾客进行服务的顺序。
先到先服务 后到先服务 等待制
期望：Var (t ) 1/ 2
负指数分布的性质：
性质1 由条件概率公式容易证明
p {T t s |T s } p {T t }
这性质称为无记忆性。若T表示排队系统中顾客到达的 时间间隔，那么这个性质说明一个顾客到来所需要的 时间与过去一个顾客到来所需要的时间s无关，所以说 在这种情形下的顾客到达是纯随机的。
的泊松流。其中为每个顾客的平均服务时间，也是 顾客相继离开的间隔。
wk.baidu.com 三、k阶爱尔朗分布
定理 设v1，v2，…，vk是k个互相独立的随机变量， 服从相同参数k的负指数分布，那么
S=v1+v2+…+vk
服从k阶Erlang分布，S的密度函数为
( t )k 1 t b (t ) e (k 1)!
4. 一些数量指标的常用记号 (1)主要数量指标 N(t)：时刻t系统中的顾客数(又称为系 统的状态)，即队长； Nq(t)：时刻t系统中排队的顾客数，即排 队长； T(t)：时刻t到达系统的顾客在系统中的逗 留时间； Tq(t)：时刻t到达系统的顾客在系统中的等 待时间。
上面数量指标一般都是和系统运行 的时间有关的随机变量，求它们的瞬时 分布一般很困难。注意到相当一部分排 队系统在运行了一定时间后，都会趋于 一个平衡状态(或称平稳状态)。 在平衡状态下，这些量与系统所处 的时刻无关，而且系统的初始状态的影 响也会消失。因此，我们在本章中将主 要讨论与系统所处时刻无关的性质，即 统计平衡性质。
L或Ls—平均队长
稳态系统任一时刻的顾客数的期望值；
Lq—平均等待队长或队列长
稳态系统任一时刻等待服务的顾客数期望值；
W或Ws— 平均逗留时间
进入稳态系统的顾客逗留时间期望值；
Wq—平均等待时间
进入稳态系统的顾客等待时间期望值。
Pn —系统的状态
Pn=P{N=n}：稳态系统任一时刻状态为n的概率。
n 2
Poisson流与Poisson分布
定理1 对于一个参数为的Poisson流，在[0，t] 内到达n个顾客的概率为 (t )n t Pn (t ) e n 0,1,2 0 n! 即服从以为参数的Poisson分布。 定理1说明 如果顾客的到达为Poisson流的话，则 到达顾客数的分布恰好为Poisson分布。
例如：某排队问题为 M／M／S／∞／∞／FCFS 则表示顾客到达间隔时间为负指数分 布(泊松流)； 服务时间为负指数分布； 有s(s＞1)个服务台； 系统等待空间容量无限(等待制)； 顾客源无限，采用先到先服务规则。 可简记为： M/M/s
某些情况下，排队问题仅用 上述表达形式中的前3个、4个、5 个符号。如不特别说明均理解为 系统等待空间容量无限；顾客源 无限，先到先服务，单个服务的 等待制系统。
（二）排队模型的分类
为了区别各种排队系统，根据输入过程、 排队规则和服务机制的不同，对排队模型进 行分类。D．G．Kendall在1953年提出了模 型分类方法，1971年在排队论符号标准化会 议上，将Kendall符号扩充为如下固定格式： X/Y/Z/A/B/C 各符号的意义为：
X/Y/Z/A/B/C
顾客到达的时间间隔是负指数分布，
即输入流是参数为的Poisson流
服从参数为μ的负指数分布
一个服务台
排队系统的容量无限
顾客源的容量无限 实行先到先服务的一个服务系统
一、系统稳态概率pn的计算
假设在t+t时刻系统中顾客数为n的概率Pn(t+t)
Pn(t) Pn-1(t) Pn+1(t) Pn(t)
(1) 顾客总体数组成(又称顾客源)是有限的， 也可以是无限的。例如，到售票处购票的顾 客总数可以认为是无限的，而某个工厂因故 障待修的机床则是有限的。
(2)顾客到达方式。描述顾客是怎样来到系统 的，他们是单个到达，还是成批到达。病人 到医院看病是顾客单个到达的例子。在库存 问题中如将生产器材进货或产品入库看作是 顾客，那么这种顾客则是成批到达的。
3．忙期和闲期
忙期是指从顾客到达空闲着的服务机 构起，到服务机构再次成为空闲止的这段 时间，即服务机构连续忙的时间。这是个 随机变量，它关系到服务员的服务强度。
与忙期相对的是闲期，即服务机构连 续保持空闲的时间。在排队系统中，忙期 和闲期总是交替出现的。
除了上述几个基本数量指标外，还 会用到其他一些重要的指标： 损失制或系统容量有限的情况下， 由于顾客被拒绝，而使服务系统受到 损失的顾客损失率及服务强度等，也 都是十分重要的数量指标。
图12-6 多队——多服务台混联、网络系统
(2) 服务方式。这是指在某一时刻 接受服务的顾客数，它有单个服务和 成批服务两种。 (3) 服务时间的分布。在多数情况 下，对每一个顾客的服务时间是一随 机变量，其概率分布有定长分布、负 指数分布、K级爱尔朗分布、一般分 布(所有顾客的服务时间都是独立同分 布的)等等。
人
火灾 汽车
电梯
消防车 停车空间
急救车服务
人
急救车
面对拥挤现象，如何做到既保证一定 的服务质量指标，又使服务设施费用经济 合理，恰当地解决顾客排队时间与服务设 施费用大小这对矛盾，这就是排队论所要 研究解决的问题之一。
第一节 基本概念
（一）排队系统的特征及组成
排队系统的共同特征: ① 有要求得到某种服务的人或物。排 队论里把要求服务的对象统称为“顾客” ② 有提供服务的人或机构。把提供服 务的人或机构称为“服务台”或“服务 员” ③ 顾客的到达、服务的时间至少有一 个是随机的，服从某种分布。
一般的排队系统，都可由图12-1加以描述。
顾客源
顾客到来
排队结构 排队规则
服 务 服务规则 机 构
离去
排队系统
图12-1
排队系统的组成 排队系统都有输入过程、排队规则和 服务台等3个组成部分： 1、输入过程 这是指要求服务的顾客是按怎 样的规律到达排队系统的过程，有时也把 它称为顾客流．一般可以从3个方面来描述 输入过程。