复数的形式及其应用提高(学生版)

数学讲义

复数的形式及其应用提高

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知识定位

复数在自招跟竞赛中更多地是作为一种处理问题的工具出现。复数具有代数形式、三角形式、指数形式等多种表述方式，所蕴含的实际意义是以新的视角、新的途径沟通了代数、三角和几何等内容之间的联系，由此，该知识点是高校自主招生考试(也是高考与数学竞赛)的一个重要内容。

本节课将主要介绍单位根的性质以及复数相关的综合应用。

知识梳理

1. 代数基本定理：

任何n 元一次多项式在复数域上必有一个零点。

注：由代数基本定理立知：任何n 元一次多项式在复数域上必有n 个零点。（允许有重零点）

2. 复数的开方:

若有(*)n i z re θ

ω== ，我们考虑复数z 的开方，即求ω.

根据棣莫弗公式，容易知道：

2()i

n

k n

k re

k θπω+∈=Z 满足方程(*)。又根据代数基本定理，

方程(*)将有且只有n 个根。因此，方程(*)的所有根为：

20,1,2,,1i

n

k n

k re

k n θπω+==-，此即复数z 的所有n 次方根。

3. 单位根的定义与性质:

特别地，我们称1的n 次方根为n 次单位根.

根据前述的复数开方公式易知，n 次单位根共有n 个，分别为：

2(0,1,2),1,k i

n

k e

n k πε=-= .

容易知道：1k

k εε= ，因此n 个n 次单位根可以表示为：2

1111,,1,,.n εεε-

关于n 次单位根，我们有以下性质（请同学给出具体证明）：

（1） 1.()k k ε=∈Z （2）.(,)k j k j k j εεε+=∈Z

（3）2

110(2,1)n k k k k n εεεε-=≥++++

≠

（4）设m ∈Z ，那么：

121

,;10,.

m m

m

n n m n m n εεε-⎧++++

=⎨⎩当是的倍数当不是的倍数 例题精讲

复数单位根的性质与应用

例1：

【试题来源】 【题目】已知{

}

18

1A z z

==和{}

481B w w ==均为1的复数根的集合，

{},C zw z A w B =∈∈也为1的复数根的集合，

问：集合C 中有多少个不同的元素？ 【难度系数】3

例2：

【试题来源】 【题目】

设22=cos sin

i n n

εππ

+ ，求证： （1）()()()21111n n εεε----= ；

（2）1(1)sin

2sin

sin

2

n n n

n n

n

π

ππ--= . 【难度系数】3

例3：

【试题来源】 设101

n A A A - 是正n 边形，它的外接圆O 半径为1 ，求证：自圆O 上任意一点P 到各

顶点的距离的平方和为定值。 【难度系数】3

例4：

【试题来源】

【题目】有m 个男孩与n 个女孩围坐在一个圆周上（0,0,3m n m n >>+≥ ），将顺序相邻的三人中恰有一个男孩的组数记作a ，顺序相邻的三人中恰有一个女孩的组数记作b ，求证：3|.a b - 【难度系数】4

复数与多项式 例5：

【试题来源】 【题目】

设(),(),(),()P x R x Q x S x 均为多项式，且：

()()()()()55254321P x xQ x x R x x x x x S x ++=++++ ，

求证：1x - 是(),(),(),()P x R x Q x S x 的公因式。 【难度系数】3

例6： 【试题来源】 【题目】

求证：不存在四个整系数多项式()(1,2,3,4)k f x k = ，使得恒等式

3333123494()()()()x f x f x f x f x +=+++

成立.

【难度系数】4

例7：

【试题来源】 【题目】

试求一切有序正整数对(,)n k ，使得1n x x ++ 被1k x x ++整除. 【难度系数】4

例8：

【试题来源】 【题目】

（1）设(0,1,1,)k z k n =- 是10n z -= 的n 个根，定义：

1110()m m m m f x a x a x a x a --=++++

，

其中0,m n m <<∈N ，求证：1

00

1()n k k f z a n -==∑ .

（2）对于圆周上任意n 个点12,,,n z z z ，求证：

1||1

max 2n z z z z z =--≥ ，

并且等号成立当且仅当12,,,n z z z 构成正n 边形。

（提示：（2）要用到（1）中结论）

【难度系数】5

复数中的方程与不等式问题 例9：

【试题来源】

【题目】对于给定的角12,,

n ααα ，试讨论方程

12121sin sin sin i 0s n n n n n n x x x x αααα---+++++

+= 是否有模大于2的复数根？

【难度系数】4

例10：

【试题来源】

【题目】设复数2,

)(,,1k k k z x y i k n =+=，r 是21

n

k k z =∑ 的平方根的实部的绝对值，求

证：1

n

k

k r x

=≤

∑ .

【难度系数】4

例11

【试题来源】

【题目】求实数a 的范围，使得对任意实数x 和任意[0,]2

θπ

∈，恒有：

()()

2

2

cos co 132sin sin .8

s x x a a θθθθ++++≥+ 【难度系数】4

例11

【试题来源】

【题目】是否存在非零复数,,a b c 以及正整数h ，使得：只要整数,,k l m 满足

2007k l m ++≥ ，就必定有不等式1

ka lb mc h

++>

成立？ 【难度系数】5