运筹学课后习题及答案

x1 2x2 7
x1 x1
x2 x2
1 2
x1 , x2 0
解:大M法:变为标准形式并添加人工变量，则原线性
规划问题化为：
max z= 3x1+ 2x2 –Mx6-Mx7
x1+ 2x2+ x3
s.t.
x1- x2 x1+ x2
- x4 +x6 - x5
x1, x2, x3 , x4 ,x5, x6, x7≥0
0 2/3 -1/3 1 3 -
0 1/3 -2/3 0 3 -
1 1/3 1/3 0 2 6
0 -5/3 4/3 0 13
0 x5
0
1
1
0 15
3 x1
1
2
1
0 07
0 x4
0
3
1
1 06
0
-4
-3
0 0 21
∵σj≤0 ∴ X*=(7,0,0,5,6)T， z*=21
2.5（4）
min z x1 3x2 4x3 3x4
2.12 某糖果厂用原料A、B、C加工成三种不同牌号的糖果甲、 乙、丙。已知各种牌号糖果中A、B、C三种原料的含量要求、 各种原料的单位成本、各种原料每月的限制用量、三种牌号 糖果的单位加工费及售价如表所示。问该厂每月生产这三种 牌号糖果各多少千克，才能使该厂获利最大？
甲
乙
丙
A B C 加工费
x11 60%以上 x12 20%以下 x13 0.50
x21 15%以上 x22 60%以下 x23 0.40
x31 x32 50%以下 x33 0.30
售价
3.40
2.85
2.25
原料成本 2.00 1.50 1.00
限制用量 2000 2500 1200
设该厂每月生产甲品牌糖果(x11 x12 x13)千克，其中用原料A x11千克，用原料B x12千克，用原料C x13千克; 生产乙品牌糖果(x21 x22 x23)千克，其中用原料A x21千克，用原料B x22千克，用原料C x23千克; 生产丙品牌糖果(x31 x32 x33)千克，其中用原料A x31千克，用原料B x32千克，用原料C x33千克。
第二章 线性规划
2.1(1) max z=2x1+x 4x1+ 3x2≤12
s.t. 2x1+ x2≤8
4x1- x2≤8 x1 ≥0, x2≥0
x2 8 4x1+ 3x2=12 4
由图知,有唯一最优解,
x*=(9/4,1)T,z*=11/2 0
4x1- x2=8
2x1+ x2=8
x1
4
x2
2.1(2) max z=3x1+2x
=7 =1 +x7 =2
3
2
0
0
0
-M
-M
CB XB
x1
x2
0 x3
1
2
-M x6
1
-1
-M x7
1
1
3+2M 2
x3
x4
x5 x6
x7
1
0 00
0
0
-1 0 1
0
0
0 -1 0
1
0 -M -M 0
0
0 x3
0
3
1
10
0
3 x1
1
-1
0
-1 0
0
-M x7
0
2
0
1 -1
1
0 5+2M 0 3+M -M
x1
0
2
此线性规划问题无界解
2
x1
0
2
此线性规划问题无可行解
2.4（1） 解：首先化标准形式：max z=10x1+5x2
3x1+ 4x2+x3 =9
5x1+2x2 +x4=8
单纯形表为：
x1, x2, x3, x4≥0
10
5
0
0
CB
XB
x1
x2
0
x3
3
4
0
x4
5
2
10
5
x3
x4 b
1
09
3
0
1 8 8/5
min w x1 x2 x3 x4 x5 x6
x1 x6 ≥ 60
x1
x2
≥
70
x2
x3
≥
60
s.t.x3 x4 ≥ 50
x4
x5
≥
20
x5 x6 ≥ 30
x1
,
x2 ,
x3 ,
x4 ,
x5 ,
x6
0
2.11 某班有男生30人，女生20人，周日去植树。根据经验，一 天男生平均每人挖坑20个，或栽树30棵，或给25棵树浇水；女 生平均每人挖坑10个，或栽树20棵，或给15棵树浇水。问应怎 样安排，才能使植树（包括挖坑、栽树、浇水）最多？
100 200 0
0
0
CB
XB
x1
x2
x3
0
x3
1
1
1
0
x4
1
0
0
0
x5
2
6
0
100 200 0
x4
x5
b
0
0 500 500
1
0 200 -
0
1 1200 200
0
00
0
x3
2/3 0
1
0
-1/6 300 450
0
x4
1
0
0
1
0 200 200
200 x2
1/3 1
0
0
1/6 200 600
100/3
2.1(3) max z=2x1+3x2 x1- x2≤2
s.t. -3x1+ 2x2≤4
x1 ≥0, x2≥0
x2
-3x1+2x2=4
2.1(4) max z=x1+x2
x1- x2≥0 s.t. 3x1- x2≤-3
x1 ≥0, x2≥0
x2 3x1-x2=-3 x1- x2=0
x1- x2=2 2
-x1+ 2x2≤4
7
s.t. 3x1+ 2x2≤14
x1- x2≤3
x1 ≥0, x2≥0
-x1+2x2=4 x1- x2=3
2
3x1+2x2=14 x1
0
14/3
由图知,有无穷多最优解,
x*=α(4,1)+(1- α)(5/2,13/4)=(5/2+3 α /2,13/4-9 α /4), z*=14 α∈[0,1]
-5
2.6 线性规划问题max z＝CX，AX＝b，X≥0，如X*
是该问题的最优解，又λ＞0为某一常数，分别讨 论下列情况时最优解的变化：
1.目标函数变为max z＝λCX； 2.目标函数变为max z＝（C＋λ）X； 3.目标函数变为max z＝ C X, 约束条件变为
AX＝λb
2.10. 解:设第j（j=1,2, …,6）时段上班的人数为xj
x1+ 2x2+ x3
s.t.
x1- x2 x1+ x2
- x4 +x6 - x5
x1, x2, x3 , x4 ,x5, x6, x7≥0
=7 =1 +x7 =2
0
0
0
0
0
1
1
CB XB
x1
0 x3
1
1 x6
1
1 x7
1
-2
x2
x3
x4
x5 x6
x7
2
1
0 00
0
-1
0
-1 0 1
0
1
0
0 -1 0
0
0
0
-100/3 40000
0
x3
100 x1
200 x2
0
0
1
0
0
1
0
0
1 -2/3 -1/6 500/3
0
1
0 200
0 -1/3 1/6 400/3
0 -100/3 -100/3 140000/3
∵σj≤0 ∴ X*=(200，400/3，500/3,0,0)T， z*=140000/3
2.5（1） max z 3x1 2x2
1
0
0
1 10
0
0 x3
0
0 x1
1
1 x7
0
0
3
1
1 0 -1
0
-1
0
-1 0 1
0
2
0
1 -1 -1
1
-2
0
-1 1 1
0
0 x3
0
0
1 -1/2 3/2 1/2 -3/2
0 x1
1
0
0 -1/2 -1/2 1/2 1/2
0 x2
0
1
0
1/2 -1/2 -1/2 1/2
0
0
0
0 01
1
因为基变量中不含人工变量,因此进行第二阶段求解:
b 77 11 22
62 11 1/2
9/2 3 3/2 1/2 -
3
CB XB
x1
0 x3
0
3 x1
1
2 x2
0
0
0 x5
0
3 x1
1
2 x2
0
0
2
0
00
x2
x3
x4 x5 b
0
1 -1/2 3/2 9/2 3
0
0 -1/2 -1/2 3/2 -
1
0
1/2 -1/2 1/2 -
0
0 1/2 5/2
0
9
0
3 -2
1
1
2
1/3 2/3 -1/3
0
0
-1
-11/3 -7/3 -1/3
0
∴ X*=(5,0,0,0,0,18,0,0)T， z*=5
-M -M
x7 x8 b θ 1 0 15 5
0 1 12 2
0
0
1 -1/2 9 2
0 1/6 2 4
0
2/9 -1/9 2 18
-1/9 2/9 1
2 -1 18 1/3 0 5
设一共植了y棵树，男生中有x1人挖坑, x2人栽树, x3人浇水； 女生中有x4人挖坑, x5人栽树, x6人浇水.
max z y
20x1 10x4 y 0 30x2 20x5 y 0
s.t.
25x3
x1
x2
15x6 x3
y 30
0
x4
x5
x6
20
x1, x2 , x3 , x4 , x5 , x6 , y 0
0
00
0
x3
10
x1
0 14/5
1
2/5
1 -3/5 21/5 3/2 0 1/5 8/5 4
0
1
0
-2 16
5
x2
10
x1
∵σj≤0
0
1 5/14 -3/14 3/2
1
0
-1/7
2/7 1
0
0 -5/14 -25/14 35/2
∴ X*=(1,3/2,0,0)T， z*=35/2
2.4（2）单纯形表为:
0
0 x3
0
3 x1
1
2 x2
0
0
0
1 -1/2 3/2
0
0 -1/2 -1/2
1
0
1/2 -1/2
0
0 1/2 5/2
b 77 11 22
62 11 1/2
9/2 3 3/2 1/2 -
续表
3
CB XB
x1
0 x5
0
3 x1
1
2 x2
0
0
0 x5
0
3 x1
1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
0 x4
0
0
2
0
0
0
-M -M
x2
x3
6
1
2 -1
0
6
3
2
10
-1
9M-1 9M-3 3M-4 3M-3 -M
-M
0
9/2
0 3/2 -1 1/2
1
1/2 1/3 1/6 0 -1/6
0
-2/5+9/2M -11/3 -17/6+3/2M -M -1/6+1/2M
0
1
0 1/3 -2/9 1/9
1
0
1/3 0 1/9 -2/9
0
0
-11/3 -2 -5/9 1/9
3x1 6x2 x3 2x4 15 6x1 3x2 2x3 x4 12 x1, x2 , x3 , x4 0
解:变为标准形式并添加人工变量，则原线性规划问 题化为：
max z= -x1- 3x2- 4x3- 3x4-Mx7-Mx8 3x1+ 6x2+ x3 + 2x4 –x5 +x7 =15
s.t. 6x1+ 3x2 + 2x3 + x4 –x6 +x8=12
x1, x2, x3 , x4 ,x5, x6, x7 , x8 ≥0
CB XB -M x7 -M x8
-M x7 -1 x1
-3 x2 -1 x1
0 x6 -1 x1
∵σj≤0
-1
-3
-4 -3 0
0
x1
x2
x3
x4
x5
x6
3
x4
x5
x6
x7
0 2/3 -1/3 1
0 1/3 -2/3 0 1 1/3 1/3 0
0 -5/3 4/3 0
1
1
01
2
1
00
3
1
10
-4 -3
00
∵σj≤0 ∴ X*=(7,0,0,6,5,0,0)T， z*=21
b 3326 13 5 7 6 21
两阶段法: 第一阶段:
min w = x6+x7