高中数学人教版选修2-1追本溯源-用椭圆的定义解题

追本溯源――用椭圆的定义解题
追本溯源，也就是我们常说的回归定义，定义常常是解决问题的犀利武器. 在学习圆锥曲线内容时，不仅要领悟其概念的实质，而且要强化应用定义解题的意识，在解题中灵活运用. 本文例谈运用椭圆的定义求轨迹方程的几例，抛砖引玉，希望读者能举一反三.
一、联系平面几何考察椭圆定义
例1．已知A 1
(,0)2-，B 是圆F ：22
1()42
x y -+=(F 为圆心)上一动点，线段AB 的垂直平分线交BF 于P ，则动点P 的轨迹方程为＿＿＿＿＿
分析：由题意，题中的A ，F 是定点，B ，P 是动点，要求P 点的轨迹方程，只须研究P 与A ，F 的距离的和与差即可.
解：因为直线l 为AB 的垂直平分线，则PB PA =，又因为PB ＋PF 为圆F 的半径，故可知PB ＋PF=2，即PA ＋PF ＝2，可知P 点的轨迹为中心在原点，长轴长为2，焦距为1的椭圆，可得椭圆的轨迹方程为2
2
413
x y +
=. 点评：在解决圆锥曲线的轨迹问题时，经常联想的是动点到两个定点的距离，并研究其和与差，如果和与差是定值，则就有可能是椭圆或是双曲线.
二、逆用椭圆的定义求轨迹
例2．过原点的椭圆的一个焦点为1(1,0)F ，长轴长为4，求椭圆中心的轨迹.
解析：设椭圆中心为(,)M x y ，由于椭圆的一个焦点为1(1,0)F ，则椭圆的另一个焦点为
2(21,2)F x y -，再由椭圆定义可知12
4OF OF +=，即22
1(21)44x y -+=，即2219()24
x y -+=(除去点(-1,0)).
点评：本题由于题干短小，看似简单，但实际上由条件不易得出结论，故回归椭圆定义是最好的办法.
三、联系圆的内外切考察椭圆的定义
例3．已知圆C ：2
2
6910x y x ++-=及圆内一点(3,0)P ，求过点P 且与已知圆内切的圆的圆心M 的轨迹方程.
解析：设动圆半径为r ，则(10)10MC MP r r +=-+=，故M 点
的轨迹是以C 、P 为焦点的椭圆，其标准方程为
22
12516
x y +=. 点评：有关圆的内切与外切问题，一般来说可以使用圆心距等于两圆半径的和与差来解决.
四、联系正弦定理考察椭圆定义
例4．在中，A ，B ，C 所对的三边为,,a b c ,(1,0),(1,0)B C -,求满足sin sin 2sin C B A +=时，顶点A 的轨迹方程.
1
A
C
A 解：
1
sin sin sin
2
C B A
+=，2224
c b a
∴+==⨯=，即4
AB AC
+=，动点(,)
A x y符合椭圆的定义，且24,2,22,1
a a c c
====,故此可知，动点A的轨迹方程为
22
1
43
x y
+=(0
y≠).
点评：本题最易忽视轨迹方程成立的条件，即在ABC中，如果0
y=，则A，B，C三点共线.
五、联系立体几何考察椭圆定义
例5．在正方体ABCD－
1111
A B C D中，侧面AB
11
B A内的动点P到底面
ABCD的距离等于到直线
11
B C的距离的2倍，则在侧面AB
11
B A内动点P的轨
迹是（）
(A) 椭圆的一部分（B）双曲线的一部分(C) 抛物线的一部分（D）线段
解析：点P到底面ABCD的距离即到直线AB的距离，点P到直线
11
B C的
距离即到点
1
B的距离，故将此问题转化到椭圆的第二定义，到定点
1
B的距离与到定直线AB的距离的比为1
2
，故选A.
点评：在立体几何中应用圆锥曲线的定义是创新之举，读者也可以尝试把比值改变，从而得出轨迹是双曲线与抛物线．
作者：唐学宁
图2。