高中数学人教版选修2-1追本溯源-用椭圆的定义解题
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追本溯源――用椭圆的定义解题
追本溯源,也就是我们常说的回归定义,定义常常是解决问题的犀利武器. 在学习圆锥曲线内容时,不仅要领悟其概念的实质,而且要强化应用定义解题的意识,在解题中灵活运用. 本文例谈运用椭圆的定义求轨迹方程的几例,抛砖引玉,希望读者能举一反三.
一、联系平面几何考察椭圆定义
例1.已知A 1
(,0)2-,B 是圆F :22
1()42
x y -+=(F 为圆心)上一动点,线段AB 的垂直平分线交BF 于P ,则动点P 的轨迹方程为_____
分析:由题意,题中的A ,F 是定点,B ,P 是动点,要求P 点的轨迹方程,只须研究P 与A ,F 的距离的和与差即可.
解:因为直线l 为AB 的垂直平分线,则PB PA =,又因为PB +PF 为圆F 的半径,故可知PB +PF=2,即PA +PF =2,可知P 点的轨迹为中心在原点,长轴长为2,焦距为1的椭圆,可得椭圆的轨迹方程为2
2
413
x y +
=. 点评:在解决圆锥曲线的轨迹问题时,经常联想的是动点到两个定点的距离,并研究其和与差,如果和与差是定值,则就有可能是椭圆或是双曲线.
二、逆用椭圆的定义求轨迹
例2.过原点的椭圆的一个焦点为1(1,0)F ,长轴长为4,求椭圆中心的轨迹.
解析:设椭圆中心为(,)M x y ,由于椭圆的一个焦点为1(1,0)F ,则椭圆的另一个焦点为
2(21,2)F x y -,再由椭圆定义可知12
4OF OF +=,即22
1(21)44x y -+=,即2219()24
x y -+=(除去点(-1,0)).
点评:本题由于题干短小,看似简单,但实际上由条件不易得出结论,故回归椭圆定义是最好的办法.
三、联系圆的内外切考察椭圆的定义
例3.已知圆C :2
2
6910x y x ++-=及圆内一点(3,0)P ,求过点P 且与已知圆内切的圆的圆心M 的轨迹方程.
解析:设动圆半径为r ,则(10)10MC MP r r +=-+=,故M 点
的轨迹是以C 、P 为焦点的椭圆,其标准方程为
22
12516
x y +=. 点评:有关圆的内切与外切问题,一般来说可以使用圆心距等于两圆半径的和与差来解决.
四、联系正弦定理考察椭圆定义
例4.在中,A ,B ,C 所对的三边为,,a b c ,(1,0),(1,0)B C -,求满足sin sin 2sin C B A +=时,顶点A 的轨迹方程.
1
A
C
A 解:
1
sin sin sin
2
C B A
+=,2224
c b a
∴+==⨯=,即4
AB AC
+=,动点(,)
A x y符合椭圆的定义,且24,2,22,1
a a c c
====,故此可知,动点A的轨迹方程为
22
1
43
x y
+=(0
y≠).
点评:本题最易忽视轨迹方程成立的条件,即在ABC中,如果0
y=,则A,B,C三点共线.
五、联系立体几何考察椭圆定义
例5.在正方体ABCD-
1111
A B C D中,侧面AB
11
B A内的动点P到底面
ABCD的距离等于到直线
11
B C的距离的2倍,则在侧面AB
11
B A内动点P的轨
迹是()
(A) 椭圆的一部分(B)双曲线的一部分(C) 抛物线的一部分(D)线段
解析:点P到底面ABCD的距离即到直线AB的距离,点P到直线
11
B C的
距离即到点
1
B的距离,故将此问题转化到椭圆的第二定义,到定点
1
B的距离与到定直线AB的距离的比为1
2
,故选A.
点评:在立体几何中应用圆锥曲线的定义是创新之举,读者也可以尝试把比值改变,从而得出轨迹是双曲线与抛物线.
作者:唐学宁
图2