高考三角函数题型归类

高考三角函数题型归类

三角函数除了具有一般函数的各种性质外，它的周期性和独特的对称性，再加上系

统的丰富的三角公式，使其产生的的各种问题丰富多彩，层次分明，变化多端，围绕三角函数的考题总是以新颖的形式出现，在高考试题中占据重要的位置，成为高考命题的热点。

2006年高考从三角函数的图象、周期性、奇偶然性、单调性、最值、求值及综合

应用等各个方面全面考查三角知识。 一。2005年高考三角函数题型归类

1。直接考查三角函数的基本公式与基本运算。

例1、（1）（2006年湖北卷）若△ABC 的内角A 满足3

2

2sin =A ，则sin cos A A +=（A ） A.

315 B. 315- C. 35 D. 3

5

-

17．解A 。 ∵sin 22sin cos 0A A A =>，∴cos 0A >。

（

∴sin cos 0A A +>，sin cos A A +

==

==。

（2）（2006年安徽卷）已知

310

,tan cot 43

παπαα<<+=- （Ⅰ）求tan α的值；

（Ⅱ）求

2

2

5sin 8sin

cos

11cos 8

2

2

2

2

2α

α

α

α

πα++-⎛

⎫

- ⎪

⎝⎭的值。

解：(Ⅰ)由10tan cot 3

αα+=-得2

3tan 10tan 30αα++=，即

1tan 3tan 3αα=-=-或，又34παπ<<，所以1

tan 3α=-为所求。

（Ⅱ）225sin 8sin cos 11cos 822222ααααπα++-⎛⎫- ⎪⎝

⎭

1-cos 1+cos 54sin 118

ααα++-@

=

=6-。

2。考查三角函数的图象与性质。

例2（2006

年福建卷）已知函数22

()sin cos 2cos ,.f x x x x x x R =++∈

（I ）求函数()f x 的最小正周期和单调增区间；

（II ）函数()f x 的图象可以由函数sin 2()y x x R =∈的图象经过怎样的变换得到

分析：本小题主要考查三角函数的基本公式、三角恒等变换、三角函数的图象和性质等基本知识，以及推理和运算能力。满分12分。

解：（I ）1cos 23

()sin 2(1cos 2)22x f x x x -=

+++

313sin 2cos 22223

sin(2).

62

x x x π=++=++ ~

()f x ∴的最小正周期2.2

T π

π=

= 由题意得222,,2

6

2

k x k k Z π

π

π

ππ-≤+

≤+

∈

即 ,.3

6

k x k k Z π

π

ππ-

≤≤+

∈ ()f x ∴的单调增区间为,,.36k k k Z ππππ⎡

⎤-+∈⎢⎥⎣

⎦

（II ）方法一：

先把sin 2y x =图象上所有点向左平移

12π个单位长度，得到sin(2)6

y x π

=+的图象，再把所得图象上所有的点向上平移3

2个单位长度，就得到3

sin(2)62

y x π=++的图象。 方法二：

把sin 2y x =图象上所有的点按向量3

(,)122a π=-

平移，就得到3

sin(2)62y x π=++的图象。

!

（2006年辽宁卷）已知函数11

()(sin cos )sin cos 22

f x x x x x =

+--,则()f x 的值域是 (A)[]1,1- (B) 2,12⎡⎤

-

⎢⎥⎣⎦

(C) 21,2⎡⎤

-⎢⎥⎣

⎦ (D)

21,2⎡⎤

--⎢⎥⎣

⎦

【解析】cos (sin cos )11

()(sin cos )sin cos sin (sin cos )22x x x f x x x x x x x x ≥⎧=+--=⎨<⎩

即等价于min {sin ,cos }x x ，故选择答案C 。

【点评】本题考查绝对值的定义、分段函数、三角函数等知识，同时考查了简单的转化和估

算能力。 ：

3。考查三角恒等变形与解三角形的知识。 例3。（2006年湖南卷）如图3,D 是直角△ABC 斜边BC 上一点,AB=AD,记∠CAD=α,∠ABC=β. (1) 证明 ：sin cos 20αβ+=; (2) 若AC=3DC,求β的值.

解析： （1）

(2)2,sin 2)cos 2sin cos 20;2

2

22

BAD π

π

π

π

απββαββαβ-∠=

--=-

∴-=-+=如图,=

=sin(即 (2),

(),)30333.23223

DC

βααπβαβαββββββππ

βββββ∆=-===--==

=-<==22DC AC DC 3在ADC 中,由正弦定理得:=,即=.所以sin 3sin sin sin sin sin 由(1),sin -cos2所以sin -3cos2-3(1-2sin 即23sin sin 解得sin 或sin .因为0<,所以sin ,从而 (

评注：本题考查运用三角变换及三角形正余弦定理求解三角形中的有关问题。其中第一问的证明突破口是如何找到,αβ的角的大小关系；第二问题求解关键是如何利用题设条件建立关于β的三角方程，注意角的大小范围讨论，以免产生错解。

例4。（2006年四川卷）已知,,A B C 是三角形ABC ∆三内角，向量

()

()1,3,cos ,sin m n A A =-=，且1m n ⋅=

（Ⅰ）求角A ； （Ⅱ）若22

1sin 23cos sin B

B B

+=--，求tan B 本小题主要考察三角函数概念、同角三角函数的关系、两角和与差的三角函数的公式以及倍角公式，考察应用、分析和计算能力。满分12分。

【

解：（Ⅰ）∵1m n ⋅= ∴()

()1,3cos ,sin 1A A -⋅= 即3sin cos 1A A -=

312sin cos 122A A ⎛⎫⋅-⋅= ⎪ ⎪⎝⎭

, 1sin 62A π⎛

⎫-= ⎪⎝⎭ ∵50,666A A π

π

ππ<<-

<-

<

∴66A ππ-= ∴3

A π

= （Ⅱ）由题知22

12sin cos 3cos sin B B B B

+=--，整理得22

sin sin cos 2cos 0B B B B --= ∴cos 0B ≠ ∴2

tan tan 20B B --= ∴tan 2B =或tan 1B =-

而tan 1B =-使22

cos sin 0B B -=，舍去 ∴tan 2

B = ∴()tan tan

C A B π=-+⎡⎤⎣⎦()tan A B =-+tan tan 1tan tan A B A B +=--23123

+=--853

11+= .

例5（2006年江西卷）如图，已知△ABC 是边长为1的正三角形，M 、N 分别是

边AB 、AC 上的点，线段MN 经过△ABC 的中心G ， 设MGA ＝（

23

3

π

πα≤≤

） （1） 试将△AGM 、△AGN 的面积（分别记为S 1与S 2） 表示为的函数

α

A

M

N