2018年初中数学突破中考压轴题几何模型之旋转模型
中考数学解答题压轴题突破 重难点突破八 几何综合题 类型六：旋转在几何综合题中的应用
(2)证明：BE＝AH＋DF.
(2)证明：将△ABH绕着点B顺时针旋转90° 得到△BCM，∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝BC，∠ADC＝∠C＝90°，∴∠ADF＝∠C， ∵AF∥BE，∴∠F＝∠BEC，∴△ADF≌△BCE(AAS)， ∴DF＝CE.又由旋转可知AH＝CM，∠AHB＝∠M，∠BAH＝∠BCM＝90°， ∵∠BCD＝90°，∴∠BCD＋∠BCM＝180°， ∴点E，C，M在同一直线．∴AH＋DF＝EC＋CM＝EM.
类型六：旋转在几何综合 题中的应用
模型一：旋转构造基本图形 【解题方法模型构建】 若题干中出现“共顶点、等线段(相邻等线段)”这一特征．常考虑构造 旋转，通过旋转可以将线段转移，将已知条件集中，从而解决问题．
1．遇60°旋转60°，构造等边三角形(等边三角形旋转模型)．
通过旋转可将线段AP，BP，CP转移在同一个三角形中(△CPP′)． 注：根据“旋转的相互性”也可绕A点旋转△APC，或绕B，C点旋转相应 三角形(还有5种构造方法)．
模型二：旋转构造模型 【解题方法模型构建】 1．如图，在△OAB中，OA＝OB，在△OCD中，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝
α，将△OCD绕点O旋转一定角度后，连接AC，BD，相交于点E.简记 为：双等腰，共顶点，顶角相等，旋转得全等．
【结论】(1)△AOC≌△BOD(SAS)； (2)AC＝BD； (3)两条拉手线AC，BD所在直线的夹角与∠AOB相等或互补．
【结论】△ABD≌△AEC；△ABE∽△ADC.
2．请阅读下列材料： 问题：如图①，在等边三角形ABC内有一点P，且PA＝2，PB＝ 3 ，PC＝ 1，求∠BPC度数的大小和等边三角形ABC的边长． 李明同学的思路：将△BPC绕点B逆时针旋转60°，画出旋转后的图形 (如图②)，连接PP′，可得△P′PB是等边三角形，而△PP′A又是直角 三角形(由勾股定理的逆定理可证)，∴∠AP′B＝150°，而∠BPC＝∠ AP′B＝150°，进而求出等边角形ABC的边长为 7，问题得到解决．
中考数学常见的几种旋转模型
旋转常见模型一、遇60°旋转60°, 构造等边三角形1.点P是等边△ABC内一点, 且PC=3, PB=4, PA=5。
求∠BPC的度数。
2.如图6-2, 是等边外一点, 若, 求的度数。
图6-23.（2018年广州市节选）如图, 在四边形ABCD 中,∠B ( 60( ,∠D ( 30( ,AB ( BC.（1）∠A ∠C= °（2）连接BD , 探究AD , BD , CD 三者之间的数量关系, 并说明理由.二、遇90°旋转90°, 构造等腰直角三角形1.如图, 在正方形ABCD内部有一点P, PA= , PB= , PC=1, 求∠BPC的度数。
2.在△ABC中,∠BAC＝90°,AB＝AC,P是△ABC内一点,PA＝2,PB＝1,PC＝3,求∠APB的度数.三、遇等腰旋转顶角, 构造旋转全等FED CBA GABCDEABCDEF1.在 中, , （ ）, 将线段 绕点 逆时针旋转60°得到线段 . （1）如图1, 直接写出 的大小（用含 的式子表示）； （2）如图2, , 判断 的形状并加以证明； （3）在（2）的条件下, 连结 , 若 , 求 的值．四、半角模型说明: 旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角, 通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起, 成对称全等。
秘籍: 角含半角要旋转: 构造两次全等FED CBAG FED CBA1.如图, 在正方形ABCD 中, E 、F 分别在BC.CD 上, 且∠EAF=45°连接EF. 求证：EF=BE+DF.如图, 在正方形ABCD中, E、F分别在BC.CD上, 且∠EAF=45°连接AD, 与AE、AF分别交于M、N,求证: MN2=BM2+DM23.如图, 在正方形ABCD 的边长为2, 点E, 点F分别在边AD,CD上, 若∠EBF=45°,则△EDF的周长等于。
2018年初中数学突破中考压轴题几何模型之正方形的半角模型教案(共14张PPT)
间的数量关系是否仍然成立,请证明。
A
D
F
画板
顺 变式２
B
E
C
A
E′
D
结论：
F
EF= BE+DF
B
E
C
画板 变式２
A
D
结论：
F
E′
EF =BE+DF
B
E
C
画板 逆 变式２
Байду номын сангаас
（2）如图，在四边形ABCD中， AB＝AD， ———————— ∠B+∠D＝ 180°，E、F分别是BC、CD上的点， —————————— ——————————————— 1 且 EAF BAD ， BE、DF、EF三条线段之间 2 —————————— 的数量关系是否仍然成立？
A
D B E C F
画板
变式3
A
E′
D
结论：
B
F
EF= BE+DF
E C
画板 变式3
(3)如图，在四边形ABCD中， AB＝AD， ———————— ∠B＋∠D＝180°，E、F分别是BC、CD延长线上 —————————— ———————————————————— 1 的点，且 EAF 2 BAD BE、DF、EF三条线段 —————————— 之间的数量关系是否仍然成立，若不成立，请 写出它们之间的数量关系，并证明.
A
E
B C F
D
画板
一、知识与技能：
1、“半角模型” 特征：
①共端点的等线段； ②共顶点的倍半角； ③等线段的相邻对角互补； 2、强化关于利用旋转变换解决问题： ①旋转的目的： 将分散的条件集中，隐蔽的关系显现； ②旋转的条件：具有公共端点的等线段； ③旋转的方法：以公共端点为旋转中心，相等的两条线段的夹
中考数学几何模型重点突破讲练：专题32 几何变换之旋转模型(教师版)
6.自旋转模型：有一组相邻的线段相等，可以通过构造旋转全等. (1)60º自旋转模型
(2)90º自旋转模型
(3)等腰旋转模型
(4)中点旋转模型(倍长中线模型)
7.共旋转模型 (1)等边三角形共顶点旋转模型
(2)正方形共顶点旋转模型
8.旋转相似
【例 1】如图，在 Rt△ABC 中，AB＝AC，D，E 是斜边 BC 上两点，且∠DAE＝45°，将△ADC 绕点 A 顺时 针旋转 90°后，得到△AFB，连接 EF．下列结论：①△AED≌△AEF；②∠FAD＝90°，③BE+DC＝DE； ④∠ADC+∠AFE＝180°．其中结论正确的序号为（ ）
HPF =
DEP ，
EP PF
DH HF
，
∵ DPF = ADE+ DEP=45°+ DEP ，
DPF = ACE+ DAC=45°+ DAC ，
DEP= DAC ，
又∵ CDF = DAC ，
DEP= CDF ，
HPF = CDF ，
又∵ FD=FP ， F = F ，
ΔHPF≌ΔCDF （ASA），
A．①②③
B．②③④
C．①②④
D．①③④
【答案】C
【分析】根据旋转的性质可得，∠FAD＝90°，AF＝AD，BF＝DC，∠ABF＝∠C，从而证明△FAE≌△DAE，
∠FBE＝90°，进而可得 EF＝DE，然后在 Rt△BFE 中，利用勾股定理，进行计算即可判断①②④正确．
【解析】解：由旋转得：
∠FAD＝90°，AF＝AD，BF＝DC，∠ABF＝∠C，
的度数；
（2）①由旋转的性质得出 AC=AE ， CAE=90° ，证得 Fቤተ መጻሕፍቲ ባይዱD= FDP ，由三角形外角的性质可得出结论；
2018广东省中考专题——旋转变换(2)
旋转变换一、类型突破1．类型一：互余型旋转。
如图，四边形ABCD 是正方形，E、F 分别是AB 和AD 延长线上的点，BE=DF。
在此图中是否存在两个全等的三角形，它们能够由其中一个通过旋转而得到另外一个？分析：正方形产生边动和角动CD=CB，∠FDC=∠B=900，再加上已知的BE=DF，就能得到△CDF≌△CBE，并且很容易得到旋转。
2．类型二：三角板旋转。
两个全等的三角尺重叠摆放在△ACB 的位置，将其中一个三角尺绕着点B 按逆时针方向旋转到△DBE 的位置，使点A 恰好落在边DE 上，AC 与BE 相交于点F ．已知∠ABC ＝∠DBE ＝90°，∠C ＝30°，AB ＝8cm，则CF ＝______cm．分析：要快速发现△AFB∽△BFC，并且这两个三角形都是特殊的直角三角形，由AB 得到FB，再由FB 得到FC。
3．类型三：半角型旋转。
如图，在正方形ABCD 中，E、F 分别是AB 和BC 上的动点，∠EDF=450，DE、DF 与对角线AC 分别交于M、N。
求证：（1）EF=AE+FC ；（2）请判断AM 、MN 、CN 间的数量关系，并说明理由。
分析：第一小问看到一条线段等于两条线段和的条件反射就是截长或者补短。
方法一：（对折法）截长法的条件是不够的，但我们可以按截长法的方向来走，可以将△DCF 沿DF 翻折至△DGF ，连接EG ，易证△DAE 与△DGE 全等，既得到了边动AE=EG ，GF=FC ；又得到了E 、G 、F 在同一直线上，从而命题得证。
方法二：（旋转法）按照补短法的思路，既可以延长FC 或EA ，还可以将△ADE 绕点D 旋转至DCG 的位置，此时半角就发挥作用了，∠1=∠2；得到对称全等△DEF ≌△DGF ，从而命题得证。
第二小问观察AM 、MN 、CN 这三条线段，虽然在同一直线上，但是却没有实质的数量关系，于是我们要通过边动，让这三条边运动至新的结构中。
中考数学图形旋转难？用5个模型就能搞定
中考数学图形旋转难？用5个模型就能搞定旋转的定义在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一定的角度，这样的图形变换称为旋转，这个定点叫旋转中心，转动的角度叫旋转角。
旋转变换不改变图形的形状和大小通过旋转，图形上的每一点都绕旋转中心沿相同的方向转动同样大小的角度旋转变换前后的图形有下列性质:(1)对应点到旋转中心的距离相等，(2)对应点与旋转中心的连线所成的角等于旋转角;(3)对应线段相等，对应线段的夹角等于旋转角，对应线段的垂直平分线都经过旋转中心。
常见的几种模型旋转类型题目举例1、正三角形类型在正ΔABC中，P为ΔABC内一点，将ΔABP绕A点按逆时针方向旋转60°，使得AB与AC重合。
经过这样旋转变化，将图（1-1-a）中的PA、PB、PC三条线段集中于图（1-1-b）中的一个ΔP'CP 中，此时ΔP'AP也为正三角形。
例1如图（1-1），设P是等边ΔABC内的一点，PA=3，PB=4，PC=5，∠APB的度数是________.2、正方形类型在正方形ABCD中，P为正方形ABCD内一点，将ΔABP绕B点按顺时针方向旋转90°，使得BA与BC重合。
经过旋转变化，将图（2-1-a）中的PA、PB、PC三条线段集中于图（2-1-b）中的ΔCPP'中，此时ΔBPP'为等腰直角三角形。
例2如图（2-1），P是正方形ABCD内一点，点P到正方形的三个顶点A、B、C的距离分别为PA=1，PB=2，PC=3。
求正方形ABCD面积。
3、等腰直角三角形类型在等腰直角三角形ΔABC中，∠C=90°,P为ΔABC内一点，将ΔAPC绕C点按逆时针方向旋转90°，使得AC与BC重合。
经过这样旋转变化，在图（3-1-b）中的一个ΔP'CP为等腰直角三角形。
例3如图，在ΔABC中，∠ACB=90°，BC=AC，P为ΔABC内一点，且PA=3，PB=1，PC=2。
初中数学旋转的六大模型,初中几何旋转经典例题
初中数学旋转的六大模型,初中几何旋转经典例题标题：初中数学旋转的六创作者，初中几何旋转经典例题在初中的数学学习中，旋转是一个重要的概念，它不仅在几何学中占据着核心地位，还在代数学、统计学等其他领域有着广泛的应用。
本文将详细介绍初中数学旋转的六创作者，并通过经典例题来深化理解。
旋转是指一个图形绕着某一点转动一定的角度。
在这个过程中，图形上任意一点所经过的路径形成一个圆，这个圆叫做旋转圆，点叫做旋转中心。
旋转的角度一般用角度或者弧度来表示。
中心对称旋转：图形以旋转中心为对称中心，旋转角度为偶数倍的180度。
绕固定点旋转：图形围绕一个固定点旋转，这个固定点称为旋转中心。
旋转对称图形：图形可以通过旋转得到，这种图形称为旋转对称图形。
旋转角相等：如果两个图形可以通过旋转互相得到，那么它们的旋转角必然相等。
旋转角互补：如果两个图形的一条边和另一条边的延长线组成一个平角，那么这两个图形的旋转角互补。
旋转改变形状：旋转可以改变图形的形状，但不会改变图形的面积。
例1：在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是AC上一点，且CF=2AF。
求证：EF平分∠AEB。
证明：我们可以通过旋转证明。
把△ABE绕B点按逆时针方向旋转60°，得到△CBG，则BG//AE，所以∠FGB=∠FEA。
因为CF=2AF，所以FG=2FE。
所以可以得出∠FEB=∠FGB+∠GBF=∠FEA+∠AEB+∠ABE=∠FEA+∠AEB+∠EAB=180°即∠FEA+∠AEB=180°-∠EAB=∠BEF所以∠BEF = ∠FEA即 EF平分∠AEB。
例2：在Rt△ABC中，∠C=90°，D是AB的中点，E、F分别在AC和BC上，且DE⊥DF。
求证：EF^2=AE^2+BF^2。
证明：把Rt△ABC绕D点按顺时针方向旋转90°得到Rt△AB’C’，则可知：△ABC≌△AB’C’，所以可知DE=DF，因为DE⊥DF，所以可知四边形DECF’是正方形。
中考数学旋转五大模型专题
中考数学旋转五大模型专题
目录
一、旋转的性质与手拉手模型
相比平移、对称，旋转无疑是三大变换中最难的一个，一方面在于图形构造较为复杂，另一方面旋转本身的故事就很多，本节从性质开始，介绍旋转经典模型之一：手拉手模型。
二、三垂直模型
同样作为模型，但“三垂直模型”的定位和“手拉手模型”完全不同，“手拉手模型”是在讲旋转本身，而“三垂直”模型本身并不复杂，更多地是作为一种方法来解决其他问题，了解模型需了解其定位与应用，会帮助我们更准确地把握模型。
三、半角模型
如果说手拉手侧重在旋转本身，三垂直侧重在模型构造，半角模型则更多地体现在题型变化，半角模型一般条件如下：
(1)角含半角：
(2)邻边相等；
(3)对角互补，
其中邻边相等与对角互补，以正方形为背景即可，至于角含半角，是明面上的半角模型，可替换为其他条件，模型条件的等价条件，亦是模型的重点。
四、手连心模型与对补四边形
旋转本身或许并不难，难的是构造旋转，确定旋转的一个必要前提：邻边相等，再加入其它的料，会有不同的结果。
五、共顶点旋转模型
所谓共点旋转，是旋转构造的一种，即图形绕着自身某个顶点作旋转，常见为等边三角形共点旋转和正方形共点旋转，有着一般性的条件、结论及推广应用，即可视为模型。
2018年初中数学突破中考压轴题几何模型之旋转模型
以上给出了各种图形连续变化图形，图中出现的两个阴影部分的三角形是全等三角形，此模型需要注意的是利用“全等三角形”的性质进行边与角的转化二利用旋转思想构造辅助线（1）根据相等的边先找出被旋转的三角形（2）根据对应边找出旋转角度（3）根据旋转角度画出对应的旋转的三角形三旋转变换前后具有以下性质：（1）对应线段相等，对应角相等（2）对应点位置的排列次序相同（3）任意两条对应线段所在直线的夹角都等于旋转角θ．【例题精讲】例1.在四边形ABCD中，∠ADC=∠ABC=90°，AD=CD，DP⊥AB于P，若S ABCD=25，求DP的长。
例2.如图，四边形ABCD是正方形，ABE∆是等边三角形，M为对角线BD上任意一点，将BM 绕点B逆时针旋转60︒得到BN，连接AM、CM、EN．⑴求证：AMB ENB∆∆≌⑵①当M点在何处时，AM CM+的值最小；②当M点在何处时，AM BM CM++的值最小，并说明理由；⑶当AM BM CM++的最小值为31+时，求正方形的边长．ENMDCBADCBA2.如图，正方形ABCD边长为3，点E、F分别在边BC、CD上且 EAF=45°,求△CEF的周长。
FE CB DA知识点三（知识点名称）【例题精讲】1.例2.1.2.3.旋转的性质，利用旋转构造全等，利用全等构造特殊三角形。
额外拓展：如图，已知抛物线322--=x x y 与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，该抛物线顶点为D ，对称轴交x 轴于点H 。
（1）求A,B 两点的坐标；（2）设点P 在x 轴下方的抛物线上，当∠ABP=∠CDB 时，求出点P 的坐标；（3）以OB 为边在第四象限内作等边△OBM ，设点E 为x 轴的正半轴上一动点（OE>OH ），连接ME ，把线段ME 绕点M 顺时针旋转60°得MF ，求线段DF 的长的最小值。
旋转模型总结_图文
七、常见模型
（五）其他模型（1）
简称“等边三角形对30°模型”.
七、常见模型
（五）其他模型（2）
这个模型是前面等腰直角三角形中“半角（45度）模型”的一个变式， 如果前面的模型成为“等腰直角三角形内嵌45度模型”，那这个模型可形象 称为“等腰直角三角形外嵌45度模型”。其实两个模型结论一模一样。
七、常见模型
（五）其他模型（3）
这个变式可简称为“等腰直角三角形内 含于135度模型”。
七、常见模型
（五）其他模型（4）
将上面的△D’CE单独抽离出来，如下图所示：
七、常见模型
（五）其他模型（5）
下面还有一个“外嵌60度模型”。
将左面的△D’CE单独抽离出来，如下图所示：
八、相关习题
八、相关习题
EF=AE+CF
七、常见模型
（二）四边形中更一般的“半角模型”
EF=AE+CF
七、常见模型
（三）等腰直角三角形中“半角（45度）模型”
已知等腰直角△ABC中，∠DAE＝45°，则DE2=BD2+CE2.
DE2=BD2+CE2
七、常见模型
（四）对角互补模型（1）
简称“共斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型（异侧型）.
如左图，若连接BB’、CC’， 易证明△ABB’≌△ACC’（SAS）。
这就是传说中的“旋转一拖二”，即等腰三角形旋转之后 会有两个全等三角形，尤其是第二个全等往往是解题的关键。 另外，结合“8字形”，易证∠BDC=∠BAC。
上述模型有个形象的名字，可以称为“手拉手模型”。
四、“旋转一拖二”的特例（1）
上述规律可简记为“等线段、共顶点；造旋转、一拖二”。
人教版初三数学压轴题解题模型之旋转模型(含解析)
面.
（三）等腰直角三角形类型
在等腰直角三角形 中， ， 为 内一点，将 绕 点按逆时针方向旋转 ，使得 与 重合。经过这样旋转变化，在图（3-1-b）中的一个 为等腰直角三角形。
（1）求∠1的度数；
（2）判断△GMH的形状。
【分析】：等边三角形是旋转对称图形，且每个角都是60°，∠1是△BCH的外角，可知∠1＝∠2＋∠3。
而∠2＝∠4
∴∠1＝∠4＋∠3＝60°，从而得证。
【解析】：（1）∵等边△ABC是旋转对称图形，且AE＝BF＝CD
所以，△ABC绕旋转中心旋转120°后，△AEC、△BFA、△CDB能够重合
（1）如图（1），两三角尺的重叠部分为 ，则重叠部分的面积为，周长为．
（2）将图（1）中的 绕顶点 逆时针旋转 ，得到图（2），此时重叠部分的面积为，周长为．
（3）如果将 绕 旋转到不同于图（1）和图（2）的图形，如图（3），请你猜想此时重叠部分的面积为．
3、如图，P是等边△ABC内一点，PA=2， ，PC=4，求BC的长。
【例题】如图，在 中，∠ACB =900，BC=AC，P为 内一点，且PA=3，PB=1，PC=2。求 的度数。
典型例题
利用旋转的特征，可巧妙解决很多数学问题，如
一.求线段长.
例1.如图，已知长方形ABCD的周长为20，AB=4，点E在BC上，且AE⊥EF，AE=EF，求CF的长。
【解析】：将△ABE以点E为旋转中心，顺时针旋转90°，此时点B旋转到点B'处，AE与EF重合，由旋转特征知：B'E⊥BC，
人教版数学2018年中考专题复习 旋转及其应用难点突破 (共24张PPT)
证法一：如图②(一)，连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF的延长 线交于N点．在△DAG与△DCG中， ∵ AD=CD，∠ADG=∠CDG，DG=DG， ∴ △DAG≌△DCG． ∴ AG=CG． 在△DMG与△FNG中， ∵ ∠DGM=∠FGN，FG=DG，∠MDG=∠NFG， ∴ △DMG≌△FNG． ∴ MG=NG 在矩形AENM中，AM=EN． 在Rt△AMG 与Rt△ENG中， ∵ AM=EN，∠AMG=∠ENG, MG=NG，∴ △AMG≌△ENG． ∴ AG=EG．∴ EG=CG．
证法二：如图②(二)，延长CG至M，使MG=CG， 连接MF，ME，EC， 在△DCG 与△FMG中， ∵ FG=DG，∠MGF=∠CGD，MG=CG， ∴ △DCG ≌△FMG． ∴ MF=CD，∠FMG＝∠DCG ∴ MF∥CD∥AB． ∴ EF⊥MF． 在Rt△MFE 与Rt△CBE中， ∵ MF=CB，EF=BE， ∴ △MFE ≌△CBE． ∴∠MEF=∠CEB． ∴ ∠MEC＝∠MEF＋∠FEC＝∠CEB＋∠CEF＝90°． ∴ △MEC为直角三角形． 1 ∵ MG = CG，∴ EG= MC．∴ EF=CG． 2
37 时，求旋转角α的大小． 2
已知：如图①，正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，
过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG． （1）可以得出，线段EG和CG的数量关系是：EG CG；
（2）将图①中△BEF绕B点逆时针旋转450，如图②所示，取DF中点G，
连接EG，CG．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证
（2）如图，点P在BE上，作EF⊥DP于点F，连结AF. 求证： DF EF 2 AF
(完整)圆和旋转压轴题解题技巧与近几年中考试题汇总,推荐文档
如何短时间突破数学压轴题还有不到一个月的时间就要进行期中考试了，期中考试的重要性不必多说。
各区期中考试的范围相信学生们都已经非常清楚。
个人觉得现在大部分学生的困难在于旋转、圆，由于时间比较紧张，给大家一些复习资料和学习方法，希望能够帮到大家。
一、旋转：纵观几年的数学试卷，最难的几何题几乎都是旋转，在此给出旋转中最常见的几何模型和一些解题技巧。
旋转模型： 1、三垂直全等模型三垂直全等构造方法：从等腰直角三角形的两个锐角顶点出发向过直角顶点的直线作垂线。
EDCABE D CAB2、手拉手全等模型 手拉手全等基本构图：CCCABDEABDEEDBAEDCBAEDCBAABCDEEDCBAEDCBA3、等线段、共端点 (1) 中点旋转(旋转180°)(2) 等腰直角三角形(旋转90°)A'DCBAF'D'FEDCA(3) 等边三角形旋转(旋转60°)(4) 正方形旋转(旋转90°)②①FEDCBAPFEDCBAGFEDCBA4、半角模型半角模型所有结论：在正方形ABCD 中，已知E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，且满足∠EAF =45°，AE 、AF 分别与对角线BD 交于点M 、N .求证：NM FEDC BAGO AHN MFEDCB(1) BE +DF =EF ；(2) S △ABE +S △ADF =S △AEF ； (3) AH =AB ； (4) C △ECF =2AB ； (5) BM 2+DN 2=MN 2；(6) △DNF ∽△ANM ∽△AEF ∽△BEM ；相似比为1：2(由△AMN 与△AEF 的高之比AO ： AH =AO ：AB =1：2而得到)；M E DC BA(7) S △AMN =S 四边形MNFE ；(8) △AOM ∽△ADF ，△AON ∽△ABE ；(9) ∠AEN 为等腰直角三角形，∠AEN =45°.(1. ∠EAF =45°；2.AE ：AN =1：2)解题技巧：1.遇中点，旋180°，构造中心对称例：如图，在等腰ABC △中，AB AC =，ABC α∠=，在四边形BDEC 中，DB DE =，2BDE α∠=，M 为CE 的中点，连接AM ，DM ．⑴ 在图中画出DEM △关于点M 成中心对称的图形； ⑵ 求证：AM DM ⊥；⑶ 当α=___________时，AM DM =．[解析]⑴ 如图所示；⑵ 在⑴的基础上，连接AD AF ，由⑴中的中心对称可知，DEM FCM △≌△，∴DE FC BD ==，DM FM =，DEM FCM ∠=∠， ∵360ABD ABC CBD BDE DEM BCE α∠=∠+∠=+︒-∠-∠-∠360DEM BCE α=︒--∠-∠，360360ACF ACE FCM BCE FCM α∠=︒-∠-∠=︒--∠-∠， ∴ABD ACF ∠=∠，∴ABD ACF △≌△，∴AD AF =， ∵DM FM =，∴AM DM ⊥．⑶ 45α=︒．2.遇90°。
中考数学压轴题重难点突破十 几何图形综合题 类型一：与全等三角形有关的问题
∠CRD＝12∠ARB＝45°.∴∠MON＝135°.
此时，P，O，B 在一条直线上，△PAB 为直角三角 PQ＝ 2PQ，则PQ＝ 2.
1．如图，在△ABC 和△ADE 中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，F 为 BD，CE 的交点． (1)求证：BD＝CE； (2)连接 AF，求证：AF 平分∠BFE.
Ⅲ)∵∠EMD＝45°，∠DGM＝90°， ∴∠DMG＝∠GDM，∴DG＝GM， 又∵DM＝6 2， ∴DG＝GM＝6， ∵DE＝12， ∴EG＝ ED2－DG2＝6 3， ∴EM＝GM＋EG＝6＋6 3.
模型二：半角模型
如图，在正方形 ABCD 中，点 E，F 分别在边 BC，CD 上，分别连接 EF， AE，AF，∠EAF＝45°.求证： (1)EF＝BE＋DF； (2)AF 平分∠EFD.
证明：(1)将△ADF 绕点 A 顺时针旋转 90°， 得到△ABG， ∵四边形 ABCD 为正方形， ∴∠BAD＝∠D＝∠ABC＝90°，
出现等顶角，共顶点，等线段就能构造全等型手拉手．
1．(2016·安徽第 23 题 14 分)如图①，A，B 分别在射线 OM，ON 上，且 ∠MON 为钝角．现以线段 OA，OB 为斜边向∠MON 的外侧作等腰直角三角 形，分别是△OAP，△OBQ，点 C，D，E 分别是 OA，OB，AB 的中点． (1)求证：△PCE≌△EDQ； (2)延长 PC，QD 交于点 R. Ⅰ)如图②，若∠MON＝150°，求证：△ABR 为等边三角形； Ⅱ)如图③，若△ARB∽△PEQ，求∠MON 的大小和APBQ的值．
(2)Ⅰ)证明：如图②，连接 OR. ∵PR 与 QR 分别为线段 OA 与 OB 的中垂线， ∴AR＝OR＝BR，∠ARC＝∠ORC，∠ORD＝∠BRD. 在四边形 OCRD 中， ∠OCR＝∠ODR＝90°，∠MON＝150°， ∴∠CRD＝30°. ∴∠ARB＝∠ARO＋∠BRO ＝2∠CRO＋2∠ORD ＝2∠CRD＝60°. ∴△ABR 为等边三角形．
(简略版)中考数学旋转模型及例题
(简略版)中考数学旋转模型及例题本文档旨在介绍中考数学中的旋转模型及相关例题。
以下是一些常见的旋转模型及其解题方法。
1. 点绕原点旋转当一个点绕原点进行旋转时，可以利用坐标系中点的坐标变化来解题。
假设有点P(x, y)绕原点逆时针旋转α角后得到的点为P'(x', y')，则有以下结论：- P'的横坐标x' = x * cosα - y * sinα- P'的纵坐标y' = x * sinα + y * cosα下面是一个例子：例题：点A(2, 3)绕原点逆时针旋转90°，求旋转后点的坐标。
解题思路：根据上述结论，带入坐标值可得：- A'的横坐标x' = 2 * cos90° - 3 * sin90° = -3- A'的纵坐标y' = 2 * sin90° + 3 * cos90° = 2因此，点A旋转90°后得到的点为A'(-3, 2)。
2. 图形绕原点旋转当一个图形绕原点进行旋转时，可以先找出图形中的点坐标，然后通过点的旋转来确定旋转后整个图形的形状和位置。
下面是一个例子：例题：如图所示的三角形ABC绕原点逆时针旋转60°，连接旋转后的点A', B', C'，求旋转后的三角形ABC'的面积。
解题思路：- 首先，可以求出点A(2, 3)、B(4, 5)、C(6, 1)绕原点逆时针旋转60°后的点坐标。
- 然后，连接旋转后的点A', B', C'得到旋转后的三角形。
- 最后，计算旋转后的三角形ABC'的面积。
通过上述步骤可以得到旋转后的三角形ABC'的面积。
以上是中考数学旋转模型的一些例题和解题思路。
旋转模型在中考数学中经常出现，掌握了旋转模型的解题方法，可以更好地应对考试中的相关问题。
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需要注意的是利用“全等三角形”的性质进行边与角的转化
二利用旋转思想构造辅助线
（1）根据相等的边先找出被旋转的三角形
（2）根据对应边找出旋转角度
（3）根据旋转角度画出对应的旋转的三角形
三旋转变换前后具有以下性质：
（1）对应线段相等，对应角相等
（2）对应点位置的排列次序相同
（3）任意两条对应线段所在直线的夹角都等于旋转角θ．
【例题精讲】
例1.在四边形ABCD中，∠ADC=∠ABC=90°，AD=CD，DP⊥AB于P，若S ABCD=25，求DP的长。
例2.如图，四边形ABCD是正方形，ABE
∆是等边三角形，M为对角线BD上任意一点，将BM 绕点B逆时针旋转60︒得到BN，连接AM、CM、EN．
⑴求证：AMB ENB
∆∆
≌
⑵①当M点在何处时，AM CM
+的值最小；
②当M点在何处时，AM BM CM
++的值最小，并说明理由；
⑶当AM BM CM
++的最小值为31
+时，求正方形的边长．
方法总结:
1、共顶点的等线段中，最常用旋转思路，但也不可以思维定势，辅助线叙述中用一般语言
2、旋转变换还用于处理：
①几何最值问题：几何最值两个重要公理依据是：两点之间线段最短和垂线段最短；
E
N
M
D
C
B
A
F
E
C
B
D
A
知识点三（知识点名称）【例题精讲】
1.
例2.
1.
2.
3.
旋转的性质，利用旋转构造全等，利用全等构造特殊三角形。
额外拓展：
如图，已知抛物线322
--=x x y 与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，该抛物线
顶点为D，对称轴交x轴于点H。
（1）求A,B两点的坐标；
（2）设点P在x轴下方的抛物线上，当∠ABP=∠CDB时，求出点P的坐标；
（3）以OB为边在第四象限内作等边△OBM，设点E为x轴的正半轴上一动点（OE>OH），连接ME，把线段ME绕点M顺时针旋转60°得MF，求线段DF的长的最小值。
1、如图，四边形OABC和ODEF都是正方形，CF交OA于点P,交DA于点Q.
(1) 求证：AD=CF
(2)AD与CF垂直吗？说说你的理由；
(3)当正方形ODEF绕O点在平面内旋转时，(1)、(2)的结论是否有变化？为什么？。