多元函数求极值(拉格朗日乘数法)

第八节多元函数的极值及其求法

教学目的：了解多元函数极值的定义，熟练掌握多元函数无条件极值存在的判定方法、求极值方法，并能够解决实际问题。熟练使用拉格朗日乘数法求条件极

值。

教学重点：多元函数极值的求法。

教学难点：利用拉格朗日乘数法求条件极值。

教学内容：

一、多元函数的极值及最大值、最小值

定义设函数z f（x, y）在点（X。, y。）的某个邻域内有定义，对于该邻域内异

于（X。，yo）的点，如果都适合不等式

f （X, y） f（X o,y。）

则称函数f（X，y）在点（X0，y。）有极大值f（X0，y。）。如果都适合不等式

f （X, y） f（X。,y。），

则称函数f（X，y）在点（X0,y。）有极小值f（X0,y。）.极大值、极小值统称为极值。

使函数取得极值的点称为极值点。

22

例1 函数z 3X 4y在点（。，。）处有极小值。因为对于点（。，。）的任一邻域内异于（。，。）的点，函数值都为正，而在点（。，。）处的函数值为零。从22 几何上看这是显然的，因为点（。，。，。）是开口朝上的椭圆抛物面z 3X2 4y2 的顶点。

例2函数z x y在点（0, 0）处有极大值。因为在点（0, 0）处函数值为零，而对于点（0, 0）的任一邻域内异于（0, 0）的点，函数值都为负，

点（0, 0, 0）是位于xOy平面下方的锥面z: x2 y2的顶点。

例3 函数z xy在点（0, 0）处既不取得极大值也不取得极小值。因为在

点（0, 0）处的函数值为零，而在点（0, 0）的任一邻域内，总有使函数值为正的点，也有使函数值为负的点。

定理1 （必要条件）设函数z f（x，y）在点（X0，y。）具有偏导数，且在点（X o, y o）处有极值，则它在该点的偏导数必然为零：

f x（X o,y°）0, f y（x o,y°）0

证不妨设z f（x，y）在点（x0，y0）处有极大值。依极大值的定义，在点

（X。，y。）的某邻域内异于（X。，y。）的点都适合不等式

f （x, y） f（x°,y o）

特殊地，在该邻域内取y y0，而x X0的点，也应适合不等式

f（x, y°） f（X o,y°）

这表明一元函数f（x，y o）在X X o处取得极大值，因此必有

f x（X o,y o）0

类似地可证

f y(X o,y o) 0

从几何上看，这时如果曲面z f(x，y)在点(x o,y0,z o)处有切平面，则切平面

z z0 f x(x0,y0)(x x0) f y(x0,y0)(y y0)

成为平行于xOy 坐标面的平面z z0 0。

仿照一元函数，凡是能使fx(x，y) O,f y(x,y) 0同时成立的点(X0,y。)称为函数z f (x, y)的驻点，从定理1可知，具有偏导数的函数的极值点必定是驻点。但是函数的驻点不一定是极值点，例如，点(0，0)是函数z xy的驻点，但是函数在该点并无极值。

怎样判定一个驻点是否是极值点呢？下面的定理回答了这个问题。

定理2 (充分条件) 设函数z f(x，y)在点(x o，y o)的某邻域内连续且有一

阶及二阶连续偏导数，又f x(x0,y0) 0,f y(x0,y0) 0，令

f xx(x0,y0) A,f xy(x0,y0) B,f yy(x0,y0) C

则f(x,y)在(x o,y o)处是否取得极值的条件如下：

2

(1)AC B 0时具有极值，且当A 0时有极大值，当A 0时有极小值;

2

(2)AC B20时没有极值;

2

(3)AC B20时可能有极值，也可能没有极值，还需另作讨论。

这个定理现在不证。利用定理1、2，我们把具有二阶连续偏导数的函数

z f (x, y)的极值的求法叙述如下：

第一步解方程组

f x （x,y ） 0, f y （x,y ） 0

求得一切实数解，即可以得到一切驻点。

第二步 对于每一个驻点（X 0，y 0），求出二阶偏导数的值A , B 和C 。

第三步 定出AC B 2的符号，按定理2的结论判定f （x 0，y 0）是否是极值、 是极大值还是极小值。

3 3 2 2

例1求函数f （x,y ） x y 3x 3y

9x 的极值。

解 先解方程组

2

f x (x, y) 3x 6x 9 0, f y (x,y) 3y 2 6y 0,

求得驻点为（ 1,0 ）、

（ 1,2 ）、

（ -3,0 ）、

（ -3,2 ）。

再求出二阶偏导数

f xx (x,y) 6x 6, f xy (x,y) 0, f yy (x,y) 6y 6

在点(1,0)

处， AC

B 2

12 6 0又 A

0，所以函数在 （1,0）处有极小值

f(1,0) 5 ；

在点(1,2) 处， AC B 2

12 ( 6) 0 ，

所以 f （1,2） 不是极值；

在点(-3,0)

处， AC

B 2

12 6 0 ， 所以 f （-3,0） 不是极值；

2

在点(-3,2)处，AC B 12 ( 6) 0又A 0所以函数在(-3,2)处有极大

值 f (-3,2)=31。

例2某厂要用铁板作成一个体积为2m i的有盖长方体水箱。问当长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省。

2 m

解设水箱的长为xm，宽为ym，则其高应为xy ，此水箱所用材料的面积

22

A 2(xy y—x)

xy xy，

A 2(xy 2

-)

即x y(x 0，y0)

可见材料面积A是x和y的二元函数，这就是目标函数，下面求使这函数取得最小值的点(X，y)

A x2(y

x

A y2(x 2

2)

y0

解这方程组，得：

x V2，y V2

从这个例子还可看出，在体积一定的长方体中，以立方体的表面积为最小。

、条件极值拉格朗日乘数法

拉格朗日乘数法要找函数z f (x,y)在附加条件(x, y) 0下的可能极值

点，可以先构成辅助函数