第十讲 均值比较与T检验

均值比较的概念
• 在研究中常常采取抽样研究的方法，即从总体中随机抽取一 定数量的样本进行研究来推断总体的特性。由于总体中的每 个个体间均存在差异，即使严格遵守随机抽样原则也会由于 多抽到一些数值较大或较小的个体致使样本统计量与总体参 数之间有所不同。又由于实验者测量技术的差别或测量仪器 精确程度的差别等也会造成一定的偏差，使样本统计量与总 体参数之间存在差异。由此可以得到这样的认识：均值不相 等的两组样本不一定来自均值不同的总体。
SD

2 x1
n1


2 x2
n2
例：某校高一学生英语测验成绩如 下表所示，问男女生英语测验成绩 是否有显著性差异？
高一男女生英语测验成绩结果统计表
性别
人数
样本平均 数 76.5
样本标准 差 11.50
男
180
女
174
78.2
10.50
检验步骤
• 提出假设 H : 1 2 ; H1 : 1 2 • 选择检验统计量并计算其值
2 2
2.053
Z
X1 X 2

2 X1

2 X2
2 r X 1 X 2
2.053
n 1
• 选择检验的形式：单尾检验
• 统计决断
Z0.05 1.65 2.057 2.33 Z0.01
所以在0.05显著性水平上，拒绝原假设， 接受备择假设，即三天射击训练有显著 效果。
第十讲
均值比较与T检验
• 对某班学生进行智力测试，问该班学生的IQ平均 分与100分的差异。 • 某地区12岁男孩的平均身高为142.5cm,现有某 市测量120名12岁男孩身高资料，检验该市12岁 男孩平均身高与该地区12岁男孩平均身高是否有 显著性差异。 • 对12名来自城市的学生与14名来自农村的学生 进行心理素质测验，试分析城市学生与农村学生 心理素质有无显著差异。 • 对12名学生进行培训之后，其培训前后某项心理 测试得分如表5.1所示，试分析该培训是否引起 学生心理变化。
序号
训练后x1
训练前x2
差数值D= x1- x2
差数值平方D2
1
42
40
2
4
2
38
35
-3
9
3
53
56
-3
9
4
49
41
8
64
5
24
21
3
9
6
54
60
-6
36
7
43
34
9
81
8
51
40
11
121
9
60
64
-4
16
10
47
39
8
64
11
12
15
-3
9
序号
训练后x1
训练前x2
差数值D= x1- x2
差数值平方D2
.01 3.090 t0
.01 t 5.981 3.090 t0
所以在0.01显著性水平上拒绝原假设，接受备择假设， 即走读生与住宿生自学能力，从总体上来说有极其显 著性差异。
平均数差异的显著性检验
相关样本平均数差异的显著性检验
独立样本平均数差异的显著性检验
配对组
同一组对Fra Baidu bibliotek象的情况
Z D 0 D D n nn 1
2 2

78 32 1584 78 32 32 31
2
2.057
Z
X1 X 2 S S 2rS1 S 2 n
2 1 2 2

46.594 44.156 14.016 13.868 2 0.884 14.016 13.868 32
Z X1 X 2
2 X
1
n1

2 X

2
76.5 78.2 11.502 10.502 180 174
1.45
n2
• 选择检验的形式（双尾检验） • 统计决断
1.45 1.96
• 所以接受原假设，拒绝备择假设，即高一 男女生英语测验成绩无显著性差异。
独立小样本平均数差异的显著性检验 （应在方差齐性检验之后进行）
[总结t检验统计决断的规则;并与Z检验作比较]
总体标准差未知条件下总体平均数的 显著性检验（大样本）
某年高考某市数学平均分为60分,现从参 加此次考试的文科学生中,随机抽取94份 试卷,算得平均分为58,标准差为9.2,问文 科数学成绩与全市考生是否相同?
同理可计算得：0.01显著性水平
t 的临界值
样本平均数 X 69.8, 样本标准差 X 9.234, 总体标准差的无偏估计 S 9.474
因为总体标准差未知,总体分布为正态分布,所以用t统
计量进行假设检验.
(2)计算统计量的值
X 69.8 65 t 2.266 S 9.474 n 20
(3)确定检验采用的形式(采用双尾检验) (4)统计决断 df=20-1=19 t=2.266*> t 19 0.05
总体标准差未知条件下总 体平均数的显著性检验
小样本的情况
大样本的情况
总体标准差已知条件下总体平均数的显 著性检验
• 某小学历届毕业生汉语拼音测验水平为 66分，标准差为11.7。现以同样的试题 测验应届毕业生（假定应届与历届毕业 生条件基本相同），并从其中随机抽取 18份试卷，计算得平均分为69分，问该 校应届与历届毕业生汉语拼音测验水平 是否一样？
• 某区初三英语统一测验平均分为65，该区 某校20份试卷的分数分别为：72、76、68、 78、62、59、64、85、70、75、61、74、 87、83、54、76、56、66、68、62。问该 校初三英语平均分与全区是否一样？
检验的步骤
(1)提出假设H 经计算

: 65, H1 : 65
独立大样本平均数差 异的显著性检验
独立小样本平均数差 异的显著性检验
方差齐性独立小 样本平均数差异 的显著性检验
方差不齐性独立小 样本平均数差异的 显著性检验
样本
同一个测验对 同一组被试在实验前后进行两 次测验, 1. 是相关样本。 所获得的两组测量结果 的原则，把被试一一匹 配配对 2.根据某些条件基本相同 相关样本 ，然后将每对被试随机 地分入实验组和对照组 ，对两 样本 组被试施行不同的实验 处理之后，用同一个测 验所获 关样本。 得的测验结果，也是相 的个体是随机抽取的， 他们之间不存在 独立样本：两个样本内 系，这样的两个样本称 为独立样本。 一一对应关
对别
实验组x1
对照组x2
差数值D= x1- x2
差数值平方D2
1
93
76
17
289
2
72
74
-2
4
3
91
80
11
121
4
65
52
13
169
5
81
63
18
324
6
77
62
15
225
7
89
82
7
49
8
84
85
-1
1
9
73
64
9
81
10
70
72
-2
4
总和
795
710
85
1267
分析：
每对学生的分数都有一个差数（ D x1 x2 ），假如 两种识字教学法没有本质区别，则它们差数的总体平 均数应当等于0，也就是说两个总体平均数之差为0， 而两组测验分数的差数平均数不等于0，仅仅是由于抽 样误差所致。
检验的步骤
（1）提出假设 H : 1 2 , H1 : 1 2 （2）选择统计量并计算其值
X1 X 2 t 3.459 SD （3）采用双尾检验方式 （4）统计决断 t90.05 2.262, t90.01 3.25
t 3.459** t90.01 3.25
检验的步骤
• 提出假设 H : 66, H : 66 X 69 66 • 计算统计量的值 Z 1.09
1

n
11.7 18
• 确定检验的形式（双尾） • 统计决断 所以保留 H， 1.09 1.96 Z0.05 拒绝 ，即该校应届与历届毕业生汉语拼 H1 音测验一样。
12
32
30
2
4
13
65
61
4
16
14
48
58
-10
100
15
54
52 58
44 26
2
4 6
4
16
62
16
17
50
36
18
25
-1
1
19
63
59
4
16
20
45
37
-8
64
49 25
21
39
32
7
22
48
53
--5
序号
训练后x1
训练前x2
差数值D= x1- x2
差数值平方D2
23
42
40
2
4
24
38
某市高中入学考试数学平均分数为68分， 标准差为8.6分。其中某所中学参加此次考 试的46名学生的平均分为63分。过去的资 料表明，该校数学成绩低于全市平均水平， 问此次考试该校数学平均分数是否仍显著 低于全市的平均分数？
检验的步骤
• 提出假设 • 计算统计量
H : 68, H1 : 68 X 63 68 Z 3.94 8.6
n
46
• 确定检验的形式（采用左尾检验） ** 3.94 2.33 Z 0.01 • 统计决断 所以在0.01水平 H1 H 上拒绝 ，接受 ，即该校入学考试数学的平 均分极其显著地低于全市的平均分数。 [自己总结单侧Z检验的统计决断规则。]
Z0.05 1.65
总体标准差未知条件下总体平均数的显 著性检验（小样本）
35
-3
9
25
53
56
-3
9
26
49
41
8
64
27
24
21
3
9
28
54
60
-6
36
29
43
34
9
81
30
51
40
11
121
31
60
64
-4
16
32
总和
47
39
8
64
1491
1413
78
1584
检验的步骤
• 提出假设 H : 1 2 ; H1 : 1 2 • 选择统计量并计算其值
• 能否用样本均值估计总体均值？两个变量均值接近的样本是 否来自均值相同的总体？换句话说，两组样本某变量均值不 同，其差异是否具有统计意义？能否说明总体差异？这是各 种研究工作中经常提出的问题。这就要进行均值比较。
总体平均数的显著性检验
总体平均数的显著性检验
总体标准差已知条件下总 体平均数的显著性检验
相关样本平均数差异的显著性检验（配对组的情况）
例：为了揭示小学二年级的两种识字教学 法是否有显著性差异，根据学生的智力水 平、努力程度、识字量多少、家庭辅导力 量等条件基本相同的原则，将学生配成10 对，然后把每对学生随机地分入实验组、 对照组，实验组施以分散识字教学法，而 对照组施以集中识字教学法，后期统一测 验结果如下表所示，问两种识字法是否有 显著性差异？
检验的步骤: (1)提出假设 H : 38, H1 : 38
t X 42 38 3.365 5.7 24 1
(2)计算统计量的值
X
n 1
(3)确定检验的形式(右尾检验)
(4)统计决断 t 3.365** t 230.01 2.500 所以在0.01显著性水平上,拒绝初始假设,接 受备择假设.即:这一届初一学生的自学能力极 其显著地高于上一届.
独立样本检验
• 独立大样本：两个样本容量都大于30的样 本。 • 独立小样本：两个样本容量都小于30或其 中一个小于30的样本。
独立大样本平均数差异的显著性 检验
• 两个独立大样本平均数之差的标准误为： （1）当两个样本相应总体标准差已知时
D 12
n1
2 2
n2
（2）当两个样本相应总体标准差未知时
双侧Z检验统计决断规则
与临界 P值 值的比较
Z
检验结果 保留 H 拒绝 H1
保留 H 1 拒绝 H 在0.05水平上 保留 拒绝 在0.01水平上
显著性 不显著
Z <1.96
1.96 Z <2.58
P>0.05 0.01<P 0.05 P 0.01
显著
*
Z 2.58
显著
**
总体标准差已知条件下总体平均数的显 著性检验
2.093
所以在0.05水平上拒绝初始假设,接受备择假设,即该校 初三英语平均分数与全区平均分数有本质区别,或者说,
它不属于平均数为65的总体.
某校上一届初一学生自学能力平均分数 为38,这一届初一24个学生自学能力平均 分数为42,标准差为5.7,假定这一届初一 学生的学习条件与上一届相同,试问这一 届初一学生的自学能力是否高于上一届?
所以，在0.01水平上拒绝原假设，接受备择假设，即小 学分散识字与集中识字教学法差异显著。
相关样本平均数差异的显著性检验 （同一组对象的情况）
例：32人的射击小组经过三天集中训练， 训练前与训练后测验分数如下表所示， 问三天集中训练有无显著效果？（根据 过去的资料得知，三天集中射击训练有 显著效果）
2 • 方差齐性 12 2 2 • 独立小样本平均数之差的标准误（方差齐 性时的情况）
1 1 SD n n 2 1
2
• 若
未知，可用 2
2
X 1 X 1 X 2 X 2 S n1 1 n2 1