高次多项式因式分解的几种方法

高次多项式因式分解的几种方法

广东顺德勒流职业中学 廖列宏

因式分解在中学数学中占有一个比较重

要的位置,但大部分同学对高次多项式的因式分解却比较陌生.这里,我们对一些高次多项式的因式分解的方法作分析介绍. 1 高次多项式因式分解的一般方法

首先,先介绍下面两个定理. 定理1 设111()n n n n f x a x a x a x −−=+++L 0a +是一个整系数多项式,如果有理数/v u 是它的一个根,其中u 与v 互素,则|n u a ,0|v a .特别地,当1n a =时,()f x 的有理根都是整数,且为常数项0a 的因数.

证明 因为/v u 是()f x 的根,故ux v −整除()f x ,设

1110()()()n n f x ux v b x b x b −−=−+++L ,① 则比较两端n 次项系数和常数项,得: 100,()n n a ub a v b −==−. ② 由于()f x 与ux v −都是整系数多项式,而ux v −又是本原的,故可知11n n b x −−++L 1b x +0b 是一个整系数多项式,因此1n b −与0b 都是整数,于是由②知:|n u a ,0|v a .

这个定理说明,欲求整系数多项式()f x 的有理根,可先求其常数项0a 的全部因数(包括负因数),设为12,,,s v v v L ;再求出首项系数n a 的全部因数(也包括负因数),设为12,,,u u L t u ,则如果()f x 有有理根,它的有理根必在所有有理数/(1,2,,;1,i j v u i s j ==L 2,,)t L 之中.但是这些有理数中究竟哪些是()f x 的根,还需要通过综合除法来逐个进行检验.但这样太麻烦,会浪费太多的时间,为了更简便地判断它的根,我们再引出下面一个定理.

定理2 若既约分数/v u 是整系数多项式()f x 的根,则|(1),|(1)u v f u v f −+−.

证明 因为/v u 是()f x 的根,由定理1中的①知有:

110(1)()()n f u v b b b −=−+++L , (1)f −

11110()[(1)(1))]n n u v b b b −−=−+−++−+L . 但由于()f x 是整系数,(1)f 与(1)f −都是整数,又110,,,n b b b −L 也是整数,故:

|(1)u v f −,|(1)u v f +−.

下面,我们用上面两个定理来对一些多项式进行因式分解.

例1 把326552x x x −+−因式分解.

解 我们先把它转化为求32()65f x x x =− 52x +−的有理根.由定理1知:()f x 的常数项2−的全部因数是:1,2±±;其中首项系数6的全部因数是:1,2,3,6±±±±.因此要进行检验的有理数为:1,2,1/2,1/3,2/3,1/6±±±±±±.

但易知(1)4f =,(1)18f −=,故1±都不是()f x 的根,再由定理2,由于:

12|−−(1),f 31|+(1),f −32|+(1),f − 32|−−(1),f 16|+(1),f −61|−−(1),f 故2,1/3,2/3,1/6−±±都不是()f x 的根, 因此剩下只需检验2,1/2,1/3−这三个数了.由综合除法易知,只有1/2是它的根.

∴326552x x x −+− 2(1/2)(624)x x x =−−+

2(21)(32)x x x =−−+.

例2 把432471052x x x x +++−因式分 解.

解 先把它转化成求43()47f x x x =++ 21052x x +−的有理根.

∵()f x 的常数项和首项系数的全部因数分别为:1,2±±与1,2,4±±±.需要检验的有理数为:1,2,1/2,1/4±±±±.

由于(1)0f −=故1−是()f x 的根,且易知, 32()(1)(4372)f x x x x x =+++−

按照同样方法可求43()4372g x x x x =++−的有理根,易知()g x 的有理根为:1/4,由综合整除法:

1

4 4 3 7 2−

1 1 2

4 4 8 0

·15·

∴432471052x x x x +++− 2(1)(1/4)(448)x x x x =+−++

2(1)(41)(2)x x x x =+−++.

下面介绍两种特殊的高次多项式因式分解.

2与首末两项等距离的项的系数相等的高次多项式的因式分解的方法 2.1 最高次数是偶次的多项式

例3 分解多项式432231632x x x x +−++. 解 把多项式的各项除以中间项2x ,经整理,转化为方程得:

222(1/)3(1/)160x x x x +++−=. 用换元法:

令1/x x y +=有,2221/2x x y +=−,

代入得22(2)3160y y −+−=, 即223200y y +−=. 解之得:15/2y =,24y =−. 于是确定x 的两个方程: ∴1/5/2x x +=, 1/4x x +=−. 解之得

122,1/2x x ==

,32x =−+

42x =−−.

∴432231632x x x x +−++

2(2)(1/2)(22x x x x =−−+++

(2)(21)(22x x x x =−−+−++ 2.2 最高次数是奇数的多项式

例4分解多项式

543222x x x x x +−+−1−.

分析 这是与首末两项等距离的项的系数成相反数,必然有系数和等于0,所以1是54322210x x x x x +−+−−=的根,所以多项式可以化为:

432(1)(3231)x x x x x −++++ 而4323231x x x x ++++又是与例3同样的解法.

例5 分解多项式

5432251313x x x x +−−52x ++.

分析 这是与首末两项等距离的项的系

数相等而最高次数为奇数,所以1x =−是5432251313520x x x x x +−−++=的根,从而原多项式可以化为:

432(1)(231632)x x x x x ++−++, 而432231632x x x x +−++又同例3同样的解法.

3 各项系数和等于零的高次多项式

例6 分解多项式:

43225412x x x x +++−. 解 多项式的各项系数和: 1254120+++−=,

因此1x =必为432254120x x x x +++−=的根,因此由综合除法可得:

所以多项式可化为:

32(1)(3812)x x x x −+++， 接着对323812x x x +++进行因式分解,按1中的方法可以求出:

3223812(2)(6)x x x x x x +++=−++,

∴43225412x x x x +++− 2(1)(2)(6)x x x x =−−++.

数列求和中难点突破的策略

江苏省苏州大学附中 房之华

在数列求和的问题中,常常会碰到一些难以解决的问题,困扰着学生不能将问题得以解决.怎样突破这些难点,开拓学生的解题思路,发展学生的能力,是值得深入探讨的课题.本文就此问题谈谈笔者的教学策略. 1 解剖麻雀，以点窥面

对于某些数列的求和,无须从整体出发.可以抓住通项,从通项入手进行解剖,探索规律,然后以点窥面,寻找难点的突破口.

例1 求数列

111,,,1212312(1)

n +++++++L L 1 1 2 5 4 12− 1 3 8 12 1 3 8 12 0 ·16·