(完整版)三角恒等变换知识总结及基础训练

第四讲 三角恒等变形

一、三角恒等变形知识点总结

1．两角和与差的三角函数

βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=±；

βαβαβαsin sin cos cos )cos(μ=±；

tan tan tan()1tan tan αβαβαβ

±±=m 。 2．二倍角公式

αααcos sin 22sin =；

ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=；

22tan tan 21tan ααα

=-。 3．三角函数式的化简

常用方法：①直接应用公式进行降次、消项；②切割化弦，异名化同名，异角化同角；③ 三角公式的逆用等。（2）化简要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少；③使项数尽量少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数。

（1）降幂公式

ααα2sin 21cos sin =；22cos 1sin 2αα-=；2

2cos 1cos 2αα+=。 （2）辅助角公式

()sin cos sin a x b x x ϕ+=+，

sin cos ϕϕ==其中

4．三角函数的求值类型有三类

（1）给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题；

（2）给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如2(),()()ααββααβαβ=+-=++-等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论；

（3）给值求角：实质上转化为“给值求值”问题，由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角。

5．三角等式的证明

（1）三角恒等式的证题思路是根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右同一等方法，使等式两端化“异”为“同”；

（2）三角条件等式的证题思路是通过观察，发现已知条件和待证等式间的关系，采用代入法、消参法或分析法进行证明。

二、典例解析

【题型1】两角和与差的三角函数

【例1】已知0cos cos 1sin sin =+=+βαβα，，求cos ）的值（βα+。

分析：因为）（βα+既可看成是的和，也可以与βα看作是2

βα+的倍角，因而可得到下面的两种解法。 解：由已知sin α+sin β=1…………①， cos α+cos β=0…………②，

①2＋②2得 2+2cos 1=-）（βα；

∴ cos 2

1-=-）（βα。 ①2－②2得 cos2α+cos2β+2cos （βα+）=－1，

即2cos （βα+）〔1cos +-）（βα〕=－1。

∴()1cos -=+βα。

点评：此题是给出单角的三角函数方程，求复角的余弦值，易犯错误是利用方程组解sin α、cos α 、 sin β 、 cos β，但未知数有四个，显然前景并不乐观，其错误的原因在于没有注意到所求式与已知式的关系本题关键在于化和为积促转化，“整体对应”巧应用。

【例2】已知2tan tan 560x x αβ-+=，是方程的两个实根，

求()()()()222sin 3sin cos cos αβαβαβαβ+-++++的值。

解法一：由韦达定理得tan 6tan tan 5tan =⋅=+βαβα，，

所以tan ().16

15tan tan 1tan tan -=-=⋅-+=+βαβαβα ()()()()()()

22222sin 3sin cos cos sin cos αβαβαβαβαβαβ+-++++=+++原式 ()()()()222tan 3tan 1213113tan 111

αβαβαβ+-++⨯-⨯-+===+++ 解法二：由韦达定理得tan 6tan tan 5tan =⋅=+βαβα，

， 所以tan ().1615tan tan 1tan tan -=-=⋅-+=+βαβαβα ()34

k k Z αβππ+=+∈于是有， 223333312sin sin 2cos 13422422k k k ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+++=++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝

⎭原式。

点评：（1）本例解法二比解法一要简捷，好的解法来源于熟练地掌握知识的系统结构，从而寻找解答本题的知识“最近发展区”。（2）运用两角和与差角三角函数公式的关键是熟记公式，我们不仅要记住公式，更重要的是抓住公式的特征，如角的关系，次数关系，三角函数名等抓住公式的结构特征对提高记忆公式的效率起到至关重要的作用，而且抓住了公式的结构特征，有利于在解题时观察分析题设和结论等三角函数式中所具有的相似性的结构特征，联想到相应的公式，从而找到解题的切入点。（3）对公式的逆用公式，变形式也要熟悉，如

()()()()()()()()

βαβαβαβαβ

αβαβαβαβαβαβαα

ββαββα+=+++--+=++=-+=+++tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan 1tan cos sin sin cos cos 【题型2】二倍角公式

【例3】化简：

⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛∈+-ππαα2232cos 21212121，， 解：因为αααπαπcos cos 2cos 2

121223==+<<，所以， 又因2

sin 2sin cos 2121243αααπαπ==-<<，所以， 所以，原式=2sin α

。

点评：（1）在二倍角公式中，两个角的倍数关系，不仅限于2α是α的二倍，要熟悉多种形式的两个角的倍数关系，同时还要注意απ

απα-+4

42，，三个角的内在联系的作用，⎪⎭

⎫ ⎝⎛±⎪⎭⎫ ⎝⎛±=⎪⎭⎫ ⎝⎛±=απαπαπα4cos 4sin 222sin 2cos 是常用的三角变换。（2）化简题一定要找准解题的突破口或切入点，其中的降次，消元，切化弦，异名化同名，异角化同角是常用的化简技巧。（3）公式变形，αααsin 22sin cos =22cos 1cos 2αα+=，2

2cos 1sin 2αα-=。 【例4】若的值求，x x x x x tan 1cos 22sin ,471217534cos 2-+<<=⎪⎭

⎫ ⎝⎛+πππ。 解：由πππππ24

35471217<+<<

又因，

cos cos cos cos sin sin 4

4444410x x x x ππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+++=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦