(完整版)三角恒等变换知识总结及基础训练

第四讲 三角恒等变形
一、三角恒等变形知识点总结
1．两角和与差的三角函数
βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=±；
βαβαβαsin sin cos cos )cos(μ=±；
tan tan tan()1tan tan αβαβαβ
±±=m 。

2．二倍角公式
αααcos sin 22sin =；
ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=；
22tan tan 21tan ααα
=-。

3．三角函数式的化简
常用方法：①直接应用公式进行降次、消项；②切割化弦，异名化同名，异角化同角；③ 三角公式的逆用等。

（2）化简要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少；③使项数尽量少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数。

（1）降幂公式
ααα2sin 21cos sin =；22cos 1sin 2αα-=；2
2cos 1cos 2αα+=。

（2）辅助角公式
()sin cos sin a x b x x ϕ+=+，
sin cos ϕϕ==其中
4．三角函数的求值类型有三类
（1）给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题；
（2）给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如2(),()()ααββααβαβ=+-=++-等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论；
（3）给值求角：实质上转化为“给值求值”问题，由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角。

5．三角等式的证明
（1）三角恒等式的证题思路是根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右同一等方法，使等式两端化“异”为“同”；
（2）三角条件等式的证题思路是通过观察，发现已知条件和待证等式间的关系，采用代入法、消参法或分析法进行证明。

二、典例解析
【题型1】两角和与差的三角函数
【例1】已知0cos cos 1sin sin =+=+βαβα，，求cos ）的值（βα+。

分析：因为）（βα+既可看成是的和，也可以与βα看作是2
βα+的倍角，因而可得到下面的两种解法。

解：由已知sin α+sin β=1…………①， cos α+cos β=0…………②，
①2＋②2得 2+2cos 1=-）（βα；
∴ cos 2
1-=-）（βα。

①2－②2得 cos2α+cos2β+2cos （βα+）=－1，
即2cos （βα+）〔1cos +-）（βα〕=－1。

∴()1cos -=+βα。

点评：此题是给出单角的三角函数方程，求复角的余弦值，易犯错误是利用方程组解sin α、cos α 、 sin β 、 cos β，但未知数有四个，显然前景并不乐观，其错误的原因在于没有注意到所求式与已知式的关系本题关键在于化和为积促转化，“整体对应”巧应用。

【例2】已知2tan tan 560x x αβ-+=，是方程的两个实根，
求()()()()222sin 3sin cos cos αβαβαβαβ+-++++的值。

解法一：由韦达定理得tan 6tan tan 5tan =⋅=+βαβα，，
所以tan ().16
15tan tan 1tan tan -=-=⋅-+=+βαβαβα ()()()()()()
22222sin 3sin cos cos sin cos αβαβαβαβαβαβ+-++++=+++原式 ()()()()222tan 3tan 1213113tan 111
αβαβαβ+-++⨯-⨯-+===+++ 解法二：由韦达定理得tan 6tan tan 5tan =⋅=+βαβα，
， 所以tan ().1615tan tan 1tan tan -=-=⋅-+=+βαβαβα ()34
k k Z αβππ+=+∈于是有， 223333312sin sin 2cos 13422422k k k ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+++=++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭原式。

点评：（1）本例解法二比解法一要简捷，好的解法来源于熟练地掌握知识的系统结构，从而寻找解答本题的知识“最近发展区”。

（2）运用两角和与差角三角函数公式的关键是熟记公式，我们不仅要记住公式，更重要的是抓住公式的特征，如角的关系，次数关系，三角函数名等抓住公式的结构特征对提高记忆公式的效率起到至关重要的作用，而且抓住了公式的结构特征，有利于在解题时观察分析题设和结论等三角函数式中所具有的相似性的结构特征，联想到相应的公式，从而找到解题的切入点。

（3）对公式的逆用公式，变形式也要熟悉，如
()()()()()()()()
βαβαβαβαβ
αβαβαβαβαβαβαα
ββαββα+=+++--+=++=-+=+++tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan 1tan cos sin sin cos cos 【题型2】二倍角公式
【例3】化简：
⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛∈+-ππαα2232cos 21212121，， 解：因为αααπαπcos cos 2cos 2
121223==+<<，所以， 又因2
sin 2sin cos 2121243αααπαπ==-<<，所以， 所以，原式=2sin α。

点评：（1）在二倍角公式中，两个角的倍数关系，不仅限于2α是α的二倍，要熟悉多种形式的两个角的倍数关系，同时还要注意απ
απα-+4
42，，三个角的内在联系的作用，⎪⎭
⎫ ⎝⎛±⎪⎭⎫ ⎝⎛±=⎪⎭⎫ ⎝⎛±=απαπαπα4cos 4sin 222sin 2cos 是常用的三角变换。

（2）化简题一定要找准解题的突破口或切入点，其中的降次，消元，切化弦，异名化同名，异角化同角是常用的化简技巧。

（3）公式变形，αααsin 22sin cos =22cos 1cos 2αα+=，2
2cos 1sin 2αα-=。

【例4】若的值求，x x x x x tan 1cos 22sin ,471217534cos 2-+<<=⎪⎭
⎫ ⎝⎛+πππ。

解：由πππππ24
35471217<+<<<x x ，得， 34cos sin .4545x x ππ⎛⎫⎛⎫+=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
又因，
cos cos cos cos sin sin 4
4444410x x x x ππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+++=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
sin tan 7.10
x x =-=从而
22222sin cos 2sin 28.1tan 1775
x x x x ⎛⎛⎛⋅+ +⎝
⎭⎝⎭⎝⎭===---原式 点评：此题若将3cos 45
x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭的左边展开成3cos cos sin sin 445x x ππ⋅-=再求sin ,cos x x 的值，就很繁琐，把作为整体x +4π，并注意角的变换2·，x x 224+=⎪⎭
⎫ ⎝⎛+ππ运用二倍角公式，问题就公难为易，化繁为简所以在解答有条件限制的求值问题时，要善于发现所求的三角函数的角与已知条件的角的联系，一般方法是拼角与拆角，
如()++=βαα2()βα-，
()()()=--+=+--+=βαββαβαβαβαβ2222，，()ββα+-2，
()()()()αβαβαβαβββααββαα+--=-+=+-=-+=，，，等。

【题型3】辅助角公式
【例5】已知函数y ＝2
1cos 2x ＋23sin x cos x ＋1，x ∈R . （1）当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合；
（2）该函数的图象可由y ＝sin x （x ∈R ）的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到?
（1）解：y ＝2
1cos 2x ＋23sin x cos x ＋1 ＝41（2cos 2x －1）＋41＋4
3（2sin x cos x ）＋1 ＝41cos2x ＋4
3sin2x ＋45 ＝21（cos2x ·sin 6π＋sin2x ·cos 6π）＋4
5 ＝
21sin （2x ＋6π）＋45 y 取得最大值必须且只需2x ＋6
π＝2π＋2kπ，k ∈Z ，即x ＝6π＋kπ，k ∈Z 。

所以当函数y 取得最大值时，自变量x 的集合为｛x |x ＝6π＋kπ，k ∈Z ｝。

（2）将函数y ＝sin x 依次进行如下变换： ①把函数y ＝sin x 的图象向左平移6π，得到函数y ＝sin （x ＋6π）的图象；
②把得到的图象上各点横坐标缩短到原来的2
1倍（纵坐标不变），得到函数 y ＝sin （2x ＋6π
）的图象；
③把得到的图象上各点纵坐标缩短到原来的2
1倍（横坐标不变），得到函数 y ＝2
1sin （2x ＋6π）的图象； ④把得到的图象向上平移
45个单位长度，得到函数y ＝21sin （2x ＋6π）＋45的图象； 综上得到函数y ＝2
1cos 2x ＋23sin x cos x ＋1的图象。

点评：引入辅助角，技巧性较强，但辅助角公式()ϕααα++=
+sin cos sin 22b a b a ，tan b a ϕ⎛⎫= ⎪⎝
⎭其中，或sin cos a b αα+()22cos tan a a b b αϕϕ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭，其中在历年高考中使用频率是相当高的，应加以关注。

【题型4】三角函数式化简
【例6】已知函数12sin(2)4()cos x f x x
π
--=（α的第四象限的角）且tan α43=-，求()f α的值。

解：因为4tan 3α=-，且α是第四象限的角, 所以43sin ,cos ,55
αα=-= 故12)4()cos f x παα
-= 2212(22)22cos ααα-=1sin 2cos 2cos ααα-+= 22cos 2sin cos cos αααα-=2(cos sin )αα=- 145
=。

【题型5】三角函数的值及周期
【例7】设函数2()sin cos f x x x x a ωωω=++ (其中ω＞0,a ∈R ),且f (x )的图象在y 轴右侧的第一个高点的横坐标为6
π。

（Ⅰ）求ω的值； （Ⅱ）如果()f x 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-
65,3ππ上的最小值为3，求a 的值。

解：（I ）1()2sin 2sin(2)23f x x x a x a πωωω=
+=+ 依题意得 126322
π
π
π
ωω⋅+=⇒=．
（II ）由（I ）知，()sin()3f x x π
α=+。

又当5[,]36x ππ
∈-时，7[0,]36x π
π+∈，故1sin()123x π-≤+≤，从而()f x 在区间π5π36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
，上的
122a =-++，故1.2
a = 【题型6】三角函数综合问题
【例8】已知向量(sin ,1),(1,cos ),.22a b ππθθθ==-<<r r （I ）若,a b ⊥r r 求;θ （II ）求a b +r r 的最大值。

解：（1）,a b ⊥r r ⇒0a b =r v g ⇒sin cos 0θθ+=4πθ⇒=-；
(2).(sin 1,cos 1)a b θθ+=++=r r
===
当sin()4π
θ+=1时a b +r r 有最大值,此时4πθ=，1=。

二、基础训练
一、选择题： 1已知2sin 23α=,则2cos ()4πα+= （ ） A ．16 B ．13 C ．12 D ．23
2. 函数3()sin cos cos 22
f x x x x =+的最小正周期和振幅分别是 （ ） A ．π,1
B ．π,2
C ．2π,1
D ．2π,2 3．设sin 1+=43πθ（），则sin 2θ= （ ） A ．79- B ．19- C ．19 D ．79
4．()3cos (0),.f x x x x R ωωω=
+>∈在曲线()y f x =与直线1y =的交点中，若相邻交点距离的最小值为3
π，则()f x 的最小正周期为 （ ） A.2π B.23
π C.π D.2π 5．sin 47sin17cos30cos17-o o o
o
( ) A. 3 B.12- C.12
3 6. 已知sin cos 2αα-=α∈(0，π)，则sin 2α= ( )
A.-1
B.2-
2 D.1 7. 函数()(13)cos f x x x =+的最小正周期为 ( )
A ．2π
B ．
32π C ．π D ．2
π 8. 已知2()sin ()4f x x π=+若a =f （lg5），1(lg )5b f =则 ( ) A.a+b=0 B. a-b=0 C. a+b =1 D. a-b=1
二、填空题：
9. 已知,2)4tan(=+π
x 则x
x 2tan tan 的值为__________. 10. 已知(
,)2παπ∈ ，5sin α=
,则tan 2α =___________.
11．函数sin cos 26y x x ππ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
的最大值为 . 24+
12. 函数2sin cos y x x =-三、解答题：
13． 已知函数()cos 46x f x A π⎛⎫=+
⎪⎝⎭，x ∈R ，且3f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（1）求A 的值；
（2）设0,2παβ⎡⎤,∈⎢⎥⎣⎦，4304317f απ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，28435f βπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，求cos()αβ+的值.
【答案】（1）cos cos 312642f A A A ππππ⎛⎫⎛⎫=+=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，解得2A =。

（2）43042cos 2cos 2sin 336217f πππαπααα⎛
⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭，即15sin 17α=， 2842cos 2cos 3665f ππβπββ⎛⎫⎛⎫-=-+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即4cos 5β=。

因为0,2παβ⎡⎤,∈⎢⎥⎣⎦
，所以8cos 17α==，3sin 5β==， 所以8415313cos()cos cos sin sin 17517585αβαβαβ+=-=
⨯-⨯=-。

14 已知函数x
x x x x f sin 2sin )cos (sin )(-=。

（1）求)(x f 的定义域及最小正周期；
（2）求)(x f 的单调递减区间。

【答案】(sin cos )sin 2(sin cos )2sin cos ()2(sin cos )cos sin sin x x x x x x x f x x x x x x
--===- {}π
sin 21cos 221|π4x x x x x k k ⎛⎫=-+=--≠∈ ⎪⎝⎭Z ，，。

（1）原函数的定义域为{}|πx x k k ≠∈Z ，，最小正周期为π．
（2）原函数的单调递增区间为πππ8k k ⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭，k ∈Z ，3πππ8k k ⎛⎤+ ⎥⎝⎦
，k ∈Z 。