1.3集合间的基本运算

3 集合的基本运算

一、学习目标

1.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集.

2.能使用Venn 图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用.

3.能够利用交集、并集的性质解决有关问题．

4.了解全集的意义和它的记法．理解补集的概念，能正确运用补集的符号和表示形式，会用图形表示一个集合及其子集的补集.

5.会求一个给定集合在全集中的补集，并能解答简单的应用题．

二、知识梳理

1．并集和交集的概念及其表示

2.

3．全集

(1)定义：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集．

(2)记法：全集通常记作U.

4．补集

5.

∁U U＝∅，∁U∅＝U，∁U(∁U A)＝A.

三、典型例题

知识点一集合并集的简单运算

例1 (1)设集合M＝{4,5,6,8}，集合N＝{3,5,7,8}，那么M∪N等于( )

A．{3,4,5,6,7,8} B．{5,8}

C．{3,5,7,8} D．{4,5,6,8}

(2)已知集合P＝{x|x＜3}，Q＝{x|－1≤x≤4}，那么P∪Q等于( )

A．{x|－1≤x＜3} B．{x|－1≤x≤4}

C．{x|x≤4} D．{x|x≥－1}

答案(1)A (2)C

解析(1)由定义知M∪N＝{3,4,5,6,7,8}．

(2)在数轴上表示两个集合，如图．

规律方法解决此类问题首先应看清集合中元素的范围，简化集合，若是用列举法表示的数集，可以根据并集的定义直接观察或用Venn图表示出集合运算的结果；若是用描述法表示的数集，可借助数轴分析写出结果，此时要注意当端点不在集合中时，应用“空心点”表示．跟踪演练1 (1)已知集合A＝{x|(x－1)(x＋2)＝0}；B＝{x|(x＋2)(x－3)＝0}，则集合A∪B 是( )

A．{－1,2,3} B．{－1，－2,3}

C．{1，－2,3} D．{1，－2，－3}

(2)若集合M＝{x|－3＜x≤5}，N＝{x|x＜－5，或x＞5}，则M∪N＝________.

答案(1)C (2){x|x＜－5，或x＞－3}

解析(1)∵A＝{1，－2}，B＝{－2,3}，

∴A∪B＝{1，－2,3}．

(2)将－3＜x≤5，x＜－5或x＞5在数轴上表示出来．

则M∪N＝{x|x＜－5，或x＞－3}．

知识点二集合交集的简单运算

例2 (1)已知集合A＝{0,2,4,6}，B＝{2,4,8,16}，则A∩B等于( )

A．{2} B．{4}

C．{0,2,4,6,8,16} D．{2,4}

(2)设集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，则A∩B等于( )

A．{x|0≤x≤2} B．{x|1≤x≤2}

C．{x|0≤x≤4} D．{x|1≤x≤4}

答案(1)D (2)A

解析(1)观察集合A，B，可得集合A，B的全部公共元素是2,4，所以A∩B＝{2,4}．(2)在数轴上表示出集合A与B，如下图．

则由交集的定义可得A ∩B ＝{x |0≤x ≤2}．

规律方法 求交集就是求两集合的所有公共元素组成的集合，和求并集的解决方法类似． 跟踪演练2 已知集合A ＝{x |－1＜x ≤3}，B ＝{x |x ≤0，或x ≥5

2}，求A ∩B ，A ∪B .

解 ∵A ＝{x |－1＜x ≤3}，B ＝{x |x ≤0，或x ≥5

2}，

把集合A 与B 表示在数轴上，如图．

∴A ∩B ＝{x |－1＜x ≤3}∩{x |x ≤0，或x ≥5

2

}

＝{x |－1＜x ≤0，或5

2

≤x ≤3}；

A ∪

B ＝{x |－1＜x ≤3}∪{x |x ≤0或x ≥5

2}＝R .

知识点三 已知集合交集、并集求参数

例3 已知A ＝{x |2a ≤x ≤a ＋3}，B ＝{x |x ＜－1，或x ＞5}，若A ∩B ＝∅，求实数a 的取值范围．

解 由A ∩B ＝∅，

(1)若A ＝∅，有2a ＞a ＋3，∴a ＞3. (2)若A ≠∅，如下图：

∴⎩⎪⎨⎪

⎧

2a ≥－1，a ＋3≤5，2a ≤a ＋3，

解得－1

2

≤a ≤2.

综上所述，a 的取值范围是{a |－1

2

≤a ≤2，或a ＞3}．

规律方法 1.与不等式有关的集合的运算，利用数轴分析法直观清晰，易于理解．若出现参数应注意分类讨论，最后要归纳总结．

2．建立不等式时，要特别注意端点值是否能取到，分类的标准取决于已知集合，最好是把端点值代入题目验证．

跟踪演练3 设集合A＝{x|－1＜x＜a}，B＝{x|1＜x＜3}且A∪B＝{x|－1＜x＜3}，求a的取值范围．

解如下图所示，

由A∪B＝{x|－1＜x＜3}知，1＜a≤3.

知识点四简单的补集运算

例4 (1)设全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{1,2}，则∁U A等于( )

A．{1,2} B．{3,4,5}

C．{1,2,3,4,5} D．∅

(2)若全集U＝R，集合A＝{x|x≥1}，则∁U A＝________.

答案(1)B (2){x|x＜1}

解析(1)∵U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,2}，

∴∁U A＝{3,4,5}．

(2)由补集的定义，结合数轴可得∁U A＝{x|x＜1}．

规律方法 1.根据补集定义，当集合中元素离散时，可借助Venn图；当集合中元素连续时，可借助数轴，利用数轴分析法求解．