椭圆中焦点三角形性质探究公开课优质课比赛获奖教案
椭圆的简单几何性质公开课一等奖优质课大赛微课获奖课件
(e越靠近于1越扁)
a、b、c关系
c2 a2 b2
x2 b2
y2 a2
1(a
b
0)
|x|≤ b,|y|≤ a
同前
(b,0)、(-b,0)、 (0,a)、(0,-a) (0 , c)、(0, -c)
同前
同前
同前
第12页
例1已知椭圆方程为
它长轴长是9：x2+2105。y短2轴=长2是2：5, 6 。
第14页
练习：已知椭圆 x2 (m 3) y2 m(m 0) 离心率
e 3 ,求m值及椭圆长轴和短轴长、焦点坐
2
标、顶点坐标。
第15页
例2 求适合下列条件椭圆原则方程
⑴通过点P(－3,0)、Q(0,－2)； ⑵长轴长等于20，离心率3/5。
⑶一焦点将长轴分成２：１两部分，且通过点
P 3 2, 4
第1页
知识储备案 ：
1.椭圆定义:
到两定点F1、F2距离之和为常数（不小于|F1F2 |）动
点轨迹叫做椭圆。
2.椭圆原则方程是：
当焦点在X轴上时
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
当焦点在Y轴上时
y2 a2
x2 b2
1(a
b
0)
3.椭圆中a,b,c关系是:
c2 a2 b2
第2页
y
B2
A1
ba
B2
A1
F1
b
oc
a
A2
F2
B1
第6页
3、椭圆顶点
x 2 y 2 1(a b 0) a2 b2
令 x=0，得 y=？，阐明椭圆与 y轴交点？
令 y=0，得 x=？阐明椭圆与 x轴交点？
焦点三角形的性质——微课教学设计
椭圆的几何性质——焦点三角形的性质微课教学设计
一、设计思想：本节微课是为课堂进一步应用椭圆的焦点三角形面积结论而设计的课前自学型微课，是椭圆的简单几何性质后对椭圆常见几何性质的进一步拓展。
微课视频的主要内容是讲解性质的结论。
对微课视频的制作主要考虑了以下几个方面：
1. 注重“知识的碎片化”。
不能在一个视频上讲解太多内容，这样违背了微课的实质，变成给学生课后增加了“一堂课”；
2. 直接进入主题，体现知识和方法的“干货”。
从性质的给出，到验证、证明与推论，知识衔接紧密，通知符合获得知识（技能）的一般学习规律；
3. 选题恰当，充分体现信息技术的优势。
椭圆焦点三角形的面积公式无论从结论本身的证明方法还是对结论的应用都在解决椭圆的问题上有着普遍的作用。
这一结论在教学上适合直接给出并证明，这样的环节适合讲授式的教学方式，从而考虑制作成微课在课前让学生自主学习，将更多的课堂时间用在对性质应用的探讨上。
在性质的验证和推论的给出两个过程中，充分利用几何画板的动态展示，将抽象的思维过程形象化，帮助学生更好的理解性质和推理的结论。
二、微课教学目标：
1. 能识记椭圆焦点三角形面积公式的结论；
2. 会证明焦点三角形面积的结论，并体会椭圆定义及余弦定理在解决该问题时的作用；
3. 能识记椭圆上点M在移动的过程中，M
大小的变化；
三、微课教学重难点：
重点：椭圆焦点三角形的性质
难点：椭圆焦点三角形性质的证明
动态演示几何图形的变化，验证结论
提示学生按暂停键先独立思考，有思路点拨，在证明的过程中对每一个环节的分析和代数变形的思考做一定说明
对12F MF 大小变化的规律可以直接通过性质结论得到。
椭圆的简单几何性质市公开课一等奖课件名师大赛获奖课件
25 16
因此: a = 5 ,b = 4
c = 25 16 3
因此，长轴长2a=10,短轴长2b=8 ；
离心率为0.6 ；
焦点坐标为(-3,0),(3,0)
Y
顶点坐标为
(-5,0)，(5,0)， (0,4)，(0,-4)
O
X
例2、求符合下列条件的椭圆的原则方程:
(1)通过点(-3,0)、(0,-2); 解：易知a=3,b=2
A
x2 a2
y2 b2
1
B F1 O F2 x
在Rt△AF1F2中，
C
| AF2 | | F1A |2 | F1F2 |2 2.82 4.52
由椭圆的性质知，| F1A | | F2 A | 2a
所以
a
1 2
(|
F1 A
|
|
F2
A
|)
1 (2.8 2.82 4.52 ) 2
4.1
b a2 c2
离心率
椭圆的焦距与长轴长的比值 e c，叫做椭圆的离心率
a
1 当e靠近1时，c越靠近a,从而 b a2 c2 越小，因此椭圆越扁。
2 当e靠近0时，c越靠近0,从而b越靠近a,图形越靠近于圆。
3 当e=0时，c=0,a=b两焦点重叠,椭圆的原则方程为
x y a
2
2
2 图形就是圆。
椭圆的几何性质
ABC是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一 种焦点F1上，片门位于另一种焦点F2上， 由椭圆一种焦点F1发出的光线，通过旋转 椭圆面反射后集中到另一种焦点F2。已知 AC F1F2，|F1A|=2.8cm，|F1F2|=4.5cm, 求截口ABC所在椭圆的方程。
高中数学椭圆中的三角形问题教学设计
椭圆中的三角形问题教学设计一.指导思想和理论依据在新课标中明确指出,数学探究是高中数学课程中引入的一种新的学习方式,它强调“做中学”,力图通过学生“做”的主动探究过程来培养他们的创新精神，动手能力，提出问题和解决问题的能力.而立足于课堂,深入钻研教材,是数学课堂教学中实施探究性学习的基础.下面我就“椭圆中的三角形问题”来谈谈我是如何引领学生进行探究性学习的.二. 教学背景分析这节课是我到北京立新学校参加基本功大赛所做的课. 相对于平时教学而言，我要面对的是一群陌生的学生(在正式上课的前一天,老师和学生有10分钟的见面时间),因此对学生的了解无从谈起:首先学生的总体情况不清楚,其次他们学校教师的教学方法和学生的接受能力不清楚,另外,就连具体的教学进度都不清楚,做课的难度可想而知. 也正是如此,我才下定决心按照下面的方式设计这节课,向自我挑战.我想知道,在这样的情况下,我是否能够驾驭课堂,是否能够调动学生的积极性,让学生和我一起完成我的设想.三.本课教学目标1. 在知识上 , 使学生进一步理解所学的知识，认识到知识间的内在联系 .2. 在能力上 , 培养学生提出问题的意识 , 并培养学生综合运用知识解决问题的能力.3. 在情感态度上,让学生体验创造的激情,培养学生勇于提出问题的习惯,建立严谨的科学态度和不怕困难的科学精神.四.教学过程与教学资源设计(一.)设计这节课的初衷.1.从学生习中存在的问题角度出发:在学生学习数学的过程中,普遍存在两个问题:一是不知如何提出具有研究价值的问题;二是不能把解决过的问题联系在一起,从本质上加以认识,进而去解决新的问题.之所以会产生这两个问题,主要有两方面原因:一方面是学生在学习的过程中比较被动,没有发挥自身的主动性,课上只是听老师讲,而不是自己思考如何解决数学问题;另一方面,是教师在传授知识的过程中,更多的是传授解题方法或者是对知识本身的讲授,而缺少这方面的训练,没有充分挖掘、发挥学生自身的潜能.如果我们在教学中能够有意识在这方面做些工作,不仅会使学生对所学的知识有较深层次的认识,更会提高学生应用数学知识解决问题的能力,从而为以后的学习打下良好的基础.2.从学生对知识的内在关系认识的角度出发:学生在学习解析几何这部分知识时,对知识内在关系的理解有两个不好的地方: (1)把三种圆锥曲线分离开来,同样的问题,当所给曲线发生变化时,就认为是不同的问题,不能从整体上,本质上把握这些问题; (2)教师在开始介绍解析几何这门课时,会说这门课是从代数的角度来研究几何问题,而学生却不这样认为,他们往往是把代数和几何分离开来,不能把二者有机的结合在一起.本节课正是想在如何解决上述问题方面做一些尝试.3.题目的确定:我之所以选定椭圆中的三角形问题,是基于以下的考虑:三角形是平面几何中最基本、最常用的图形，三角形的许多性质是研究数学内容的一个重要思想方法和工具,平面几何中的很多问题都要归结为三角形的问题,可以说三角形是平面几何图形的一个典型代表;而椭圆是三种圆锥曲线的代表,相对于双曲线和抛物线而言,它是一个封闭图形,因此研究起来,比较容易操作.而作为一种几何图形，椭圆既与平面几何有关,又与代数知识有关. 把三角形和椭圆结合在一起,即具有代表性,又能够更好的从代数和几何两方面研究问题.(二.)教学过程1.研究课题的提出:首先我想借助椭圆第一定义中出现的图形,提出研究课题.因此我先让学生复习椭圆的基础知识,给出了问题1:点M 在椭圆12222=+by a x (其中0>>b a )上,请说出此时点M 满足的条件. 课上学生很快答出:点M 的坐标应该满足椭圆方程.这时我引导学生说出这是从代数的角度,而从几何的角度,应该怎样叙述呢?学生又答出:点M 到两个焦点的距离之和为2a .这样做的目的是让学生在最开始就认识到我们可以从代数和几何两方面看问题,为下面的研究打下伏笔.为了突出所研究问题的必要性,我提出了问题2:点M,N 是椭圆12222=+by a x (其中0>>b a )上不同的两个点,求弦MN 长度的取值范围. 同第一个问题,很快就有几个学生得出了结论:MN 的长度在0和2a 之间.我继续提问,他们是如何得出结论的?学生回答说,是从图上看出来的.首先我对他们的答案作了肯定,其次对他们得到答案的方法给与了高度评价:他们是从几何直观可以得出的结论,而这是考虑这类问题重要的方法之一.在此基础之上,我让学生进一步思考,如何证明他们得出的结论?这个问题提出后,学生们有了不同的反应,有的学生说,我都直接看出来了,还证明什么呀?而另一部分说,正因为是看出来的,才需要给出严格证明呢?我对后者作了肯定,并继续引导:要求的是MN 的长度,表面上看是一个数量问题,即代数问题,而我们从代数的角度下手比较难,那我们能否从其他方面考虑问题呢?“从几何的角度出发”,马上有学生回应.“从几何角度,我们该如何考虑呢?”过了一段时间,没有人回答.我继续提示:我们以前,在考虑与线段长度有关的问题时,可以借助于三角形,利用三角形的性质解决问题,现在,我们这样做行吗.在上面的提示之下,过了一会儿,有学生说出:把线段MN 放到和焦点21F ,F 有关的两个三角形N MF ,N MF 21ΔΔ中去,利用不等关系| ≥+11MN ||NF ||MF |,| ≥+22MN ||NF ||MF |和等量关系a |MF ||MF |2=+21,a |NF ||NF |2=+21, 就可以证明了.在此,我让学生把刚才的解决过程回忆了一下:答案是从几何直观得到的,而问题的严格证明是利用三角形的性质.一个看起来很难的问题,我们利用三角形的性质,很容易解决了.那椭圆中还有和三角形有关的量吗?“c ,b ,a 满足勾股定理”.这时,我指出椭圆的第一定义是与三角形有关的,而三个不变量也和三角形有关,这些都表明,椭圆与三角形有着密切关系,今天我们就一起来研究: “椭圆中的三角形问题”.指出课题之后,我又引领学生思考:课题中给出的研究范围太广了,我们很难下手研究,因此我们首先需要作的是把研究范围缩小,那我们从哪开始研究呢?有学生说: “我们就先研究和两个焦点有关的三角形呗”.这样,就让学生提出了第一步研究课题:与焦点三角形有关的问题.这个问题是想让学体会在研究数学问题的过程中,往往是从较特殊的情形入手,然后逐步深入.研究课题一: 与焦点三角形有关的问题.这里,我们为了研究方便,把研究对象设为具体的椭圆1=20+4522y x .下面,我先给出了 问题3:点P 为椭圆1=20+4522y x 上一个点,请同学说出图中三角形中的已知量. 在学生答出10=2c =|F F | ,56=2=+2121a |PF ||PF |后,我提出了第一个具体的研究任务: 请同学根据图形,自己给21ΔF PF 添加一个条件,然后编写一道计算题.设计这个问题的目的是把学生推到前台,让他们自己成为课堂的主人,自己提问题,自己解决.任务提出后,同学们先是面面相觑,不知所措,稍后,便开始埋头演算起来.经过一段时间,有的同学写出了自己的问题,而还有一部分同学不知道如何提问,这时我才给出提示:我们是在考虑与三角形有关的问题,那么我们都关心三角形中的哪些量呢?又如何求能够得出得这些量呢?有了这个提示,大部分学生就知道如何添加一个具体的条件并提出问题了.我又让学生总结如何从整体上把握添加条件的思路:从平面几何的角度可以添加的条件有:边长,角的大小,面积;从解析几何的角度可以添加的条件有:点的坐标,直线方程,斜率等.在每个学生都提出问题后,为了鼓励学生,我让一名看起来动作慢一些的学生说出他所提的问题:然后让全班同学都来解答这个问题.他给出的问题是: 90=∠21PF F 又,求21F PF ∆的面积.同学给出了几种解法(这里只是给出思路,具体解答略):1.利用方程思想,求出21PF ,PF 的长度,进而求21F PF ∆面积;2.利用方程思想,不求出21PF ,PF 的长度,而是采用整体求值的方法求出|PF ||PF |21,从而求出21F PF ∆的面积;3.求出点P 的坐标,再求其面积.在解决这个问题的基础之上,我问:如果我们把21F PF ∆的面积作为已知值,又可以求出哪些量呢?“21PF ,PF 的长度,点P 坐标,21∠PF F 的大小……”. “和三角形有关的量都可以求出”,一个学生回答.听到这个声音,我非常高兴,马上让学生思考问题4:为什么我们给21ΔF PF 添加一个条件后,就可以求出其它的量?设计这个问题的目的是对以上提出的各个问题从本质上加以认识.“现在在21F PF ∆有三个量,我们就可以求出其它量”,一个学生说. “对,非常好,这就是这些问题的本质”,我说, “此时21F PF ∆中有三个条件(两个与边有关的条件+添加条件),从而21F PF ∆为一个可解三角形,因此我们可以求出其它量.下面,我又领着学生对刚才提出的问题和研究方法进行了小结, 并且对方法进行小结小结:1.如何提出新的问题;2.在解决问题的过程中,我们既可以利用平面几何的知识,也可以利用解析几何的知识解决问题,这之中可以将数量关系与几何关系相互转化.以上是我们研究的是给定一个固定点P,也就是说我们刚才所作的是对静态的焦点三角形作了研究,如果让点P 在椭圆上运动起来,又有哪些问题可以研究呢?提出我们的第二个研究任务:对动态焦点三角形的研究有了上面的经验,同学们很快从运动的角度提出了自己的问题:1.最值问题: 21F PF ∆面积的最大值是多少?21∠PF F 的最大值是多少?2.与点P 有关的点的轨迹问题:线段21PF ,PF 的中点轨迹, 21F PF ∆的重心轨迹的等.课上我引领着同学求出21∠PF F 的最大值,其余问题让学生自己课下解决.做完这些之后,我让学生思考,我们还可以作哪些研究?有了第一,第二步的研究经验,马上有学生指出: “焦点三角形的相关问题我们提了很多,我们为什么不将研究对象改变一下呢?如研究顶点三角形,或一个顶点在焦点处,另外两个顶点在椭圆上等等”.此时的我,已经开始为学生的变化感到惊喜,也为他们的进步感到自豪.这之后,我没有让学生再提出具体的问题,而是让学生继续思考,从大的方面,我们还可以对哪些方面的问题作研究?学生中很快就有人提出, “椭圆中有很多问题与三角形有关,那双曲线中也应该有同样的问题呀”.还有的学生提出, “我们还可以把我们研究的对象范围扩大,如研究直线和椭圆的位置关系方面的问题”.至此,我想我的初衷已经达到了.下面我让学生对本节课进行了总结:1. 从知识层面:椭圆可以由研究一个动点和两个定点之间距离的关系得到,当然也可以理解为从研究动态的三角形中得到.在解决椭圆中有关三角形时,可以从代数的角度,也可以从平面几何的角度思考.在这之中,还可以将二者进行有机的转化.此外,注意对问题的本质的认识.2.从研究方法:如何根据已有知识,在已有条件基础之上提出新问题,自己加以研究,从中体会如何提出问题,解决问题,以及从多个角度认识数学知识间的内在联系.五.学习效果评价设计为了了解学生本节课的学习情况,我布置了如下作业:1.仿照上课的研究过程,自己提出双曲线中与三角形有关的两个问题,并写出你是如何思考并提出这两个问题的以及问题的解答过程.2.仿照上课的研究过程，试着提出椭圆，双曲线与直线的位置关系方面的一些问题,一周后同学交流这些问题和研究体会.。
椭圆中焦点三角形性质探究公开课教案
椭圆中焦点三角形性质探究教材分析：本节是人教版选修2-1第二章2.2椭圆之后专题课，是椭圆知识的延续。
焦点三角形蕴含着椭圆很多耳目一新的几何性质，这些性质浑然一体，相得益彰。
在全国各地的高考模拟试题及高考试题中以焦点三角形为载体的问题，更是层出不穷，精彩纷呈。
故值得我们去探究与总结。
学情分析：学生已初步具备解析几何思想。
也已经掌握椭圆的定义和相关性质，但是对于常考题型，还没有全面了解。
焦点三角形是圆锥曲线中一种特殊的三角形，受到其几何图形的影响与三角形面积相关的考点，学生往往自顾不暇，计算繁琐。
教学目标：1、知识上，能一起探究焦点三角形的常用结论。
如三角形形状判断，顶角问题，面积问题，离心率问题等，体现了知识的整合性2、思想上，能理解、会应用，体会到一些有用的结论将会为解析几何的解题带来帮助；3、行动上，笔不离手，认识到有效的计算是解答解析几何问题的必备手段。
教学思想：数学在其自身的发展过程中充满了合情推理和逻辑推理的过程，充满了数学实验的过程，如何使学生在数学学习中受到数学文化的熏陶，体验到数学思想方法的美妙，进而使思维品质得到有效的锻炼，逐步形成用数学看世界的思维方式呢？那么，本节课就是一个很好的载体。
圆锥曲线是中学数学的难点和重点，以椭圆双为背景的问题往往是学生学习结合的难点，在学习解析几何初步的过程中，结合新课标要求，学生必须掌握一个经典的知识点及焦点三角形的相关问题，在焦点三角形知识点的探求中，学生会逐步的发现问题，经历搜索解决问题，这正是学习数学的妙处。
课程资源：导学案：网络上关于“焦点三角形”资源。
教学重点：发现焦点三角形的题型与解决思路教学难点：解析几何与平面几何思想方法的融合教学方法与工具：导学案“以学定教”式，小组合作讨论教学内容：圆锥曲线在高考中常以大题和小题各出一题的形式来考察，而小题一般是性质的灵活运用。
在椭圆之中有一个三角形就是高考常客。
学生活动1：观察图中三角形，尝试发现三角形的顶点与椭圆的关系。
《焦点三角形》教学设计
《椭圆中焦点三角形》教学设计一、教学背景（一）课标要求2020年修订版《普通高中数学课程标准》明确指出：椭圆中焦点三角形内容属于（二）考情分析本节是二轮复习的专题课，是椭圆知识的延续。
焦点三角形蕴含着椭圆很多耳目一新的几何性质，这些性质浑然一体，相得益彰。
在全国各地的高考模拟试题及高考试题中以焦点三角形为载体的问题，更是层出不穷，精彩纷呈。
椭圆中的焦点三角形问题，以焦点三角形作为载体来研究椭圆的性质是高考的常考考点，涉及平面几何、三角函数、解三角形、解析几何、平面向量等多领域的知识与方法，它是研究高中生数学认知状况的一个重要观测点.故值得我们去探究与总结。
（三）学情分析学生已经复习了直线与圆，椭圆的定义，标准方程和简单性质，以及解三角形的有关知识，所以学生对椭圆的焦点三角形有了一定的认识，这是复习“椭圆的焦点三角形问题”的重要基础与能力起点，因此本节课希望学生在已有认知基础上，系统的对椭圆的焦点三角形问题有一个更高、更深刻的认识，关注其本质特征和内在联系，从而在认知能力和解题能力上有一个新的提升.二、教学分析（一）教学目标1.理解椭圆焦点三角形的概念，会根据图形去探索、归纳并且推导焦点三角形的性质。
2.通过焦点三角形的顶角问题、面积问题、离心率问题，从直观想象、定性描述到定量刻画的自然跨越，培养学生识图能力和数形转化能力。
3.能在具体的问题情境中，识别焦点三角形模型，并运用有关知识解决相应的问题。
（二）教学重难点重点：理解焦点三角形与顶角问题、面积问题、离心率有关的性质。
难点：对椭圆的性质与解三角形知识间的关联的理解和应用，领悟其中蕴含的数学思想方法。
（三）学法分析问题研究，小组讨论合作学习等途径解决问题。
（四）教法分析问题引导，实例研究，归纳提炼，变式训练等形式，培养学生的兴趣，调动学生学习的积极性。
三、德育目标在知识形成和解题教学中，引导学生多角度挖掘知识，充分发挥典型题的探索价值，培养学生的自主学习能力、创新精神和实践能力.三、教学过程分析（一）教学流程1.高考所需，引入新课；2.师生互动，探究问题；3.总结提炼，变式训练；4.讲练结合，巩固新知；5.小结归纳，融会贯通；6.布置作业，提高升华.（二）教学过程环节1：高考所需，引入新课.1.(2021全国甲卷理科)已知21F F ，为椭圆1416:22=+y x C 的两个焦点，Q P ，为C 上关于坐标原点对称的两点，且||||21F F PQ =，则四边形21QF PF 的面积为________．2.(2019全国Ⅲ卷理科)设21F F ，是椭圆12036:22=+y x C 的两个焦点，M 为C 上一点，且在第一象限.若21F MF △为等腰三角形，则M 的坐标为__________.【设计意图】学生感悟高考，凸显本专题在高考中的意义。
高中数学椭圆公开课全省一等奖PPT课件
03
提高数学思维能力
通过学习和练习，提高数学思 维能力，包括逻辑推理、归纳 分类、化归等思想方法的应用 能力。
04
关注数学文化
了解数学史、数学名著和数学 家的故事等数学文化内容，丰 富自己的数学素养和视野。
2024/1/25
30
感谢您的观看
THANKS
2024/1/25
31
PF_2$，若$Delta PF_1F_2$的面积为9，求椭圆的方程。
7
02
椭圆与直线关系
2024/1/25
圆方程的解的情况，可以确定直线与椭圆的位置关系， 如相切、相交或相离。
判别式法
将直线方程代入椭圆方程，消去一个未知数，得到一个关于另一个未知数的二 次方程，通过判别式Δ的值来判断位置关系。当Δ>0时，直线与椭圆相交；当 Δ=0时，直线与椭圆相切；当Δ<0时，直线与椭圆相离。
例题4
结合实际问题，利用参数方程求 解最值问题。
01
02
例题1
已知椭圆的参数方程，求其普通 方程和焦点坐标。
03
04
例题3
利用参数方程研究椭圆上点的运 动轨迹和性质。
2024/1/25
22
05
高考真题回顾与拓展延伸
2024/1/25
23
历年高考真题回顾
（2019年全国卷II）椭圆的焦点 三角形面积问题
解题思路
首先根据题目条件列出方程或不等式，然后结合图形分析，运用相关知识点进行 求解。在解题过程中，需要注意数形结合思想和转化与化归思想的应用。
2024/1/25
12
03
椭圆在几何图形中应用
2024/1/25
13
利用椭圆性质求最值问题
高中数学椭圆中的焦点三角形(公开课)
考纲要求 1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和
解决实际问题中的作用. 2.掌握椭圆定义、几何图形、标准方程及简单几何性质. 3.能解决直线与椭圆的位置关系等问题. 4.理解数形结合的思想. 5.了解椭圆的简单应用.
2
定义：椭圆上一点和两个焦点构成的三角形,称之为椭圆焦点三角形。 其中，我们把椭圆的两个焦点和其短轴的一个端点构成的等腰 三角形称为椭圆的一个特征焦点三角形
1. 双曲线中的焦点三角形问题
如:
S F1 PF2
b2ctg
2
2. 椭圆的焦点改为其它的定点 (如长轴两端点)
3. 焦点弦四边形(如面积的最值)
17
归纳小结:
焦点三角形
基本概念 性质及应用
思想方法
18
19
1
2mn
2mn
2mn mn
2b2 1 2b2 1
(m n)2
a2
2
(当且仅当m n,即P点与短轴端点重合时" "成立)
7
变式:
(2004湖南卷)
F1, F2是椭圆C :
x2 8
y2 4
1的焦点,
在C上满足PF1 PF2的点P的个数为______
8
考点3 有关离心率的问题：
例3
已知椭圆 x2 a2
椭圆特征焦点三角形的顶角是椭圆上所有的点 对椭圆两焦点所成张角中最大的角
“性质一”是为什么呢？你能证明吗？ 解三角形中我们常用的理论依据是什么？
6
cos
PF1 2
PF2 2 F1F2 2
m2 n2 4c2
2 PF1 PF2
2mn
(m n)2 2mn 4c2 4a2 2mn 4c2 4b2 2mn 2b2
吉林省东北师大附中高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2
课题：椭圆中焦点三角形的性质及应用（实验班）课时：05 课型：新授课教学目标：理解并掌握焦点三角形在椭圆中的作用，并能利用数形结合 的思想解决解析问题 教学重点：焦点三角形的结论与推广 新课教学： 1.焦点三角形定义：椭圆上任意一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形。
性质一：已知椭圆方程为),0(12222>>=+b a by a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形21F PF 中,21θ=∠PF F 则2tan221θb S PF F =∆。
θcos 2)2(2122212212PF PF PF PF F F c -+== )cos 1(2)(21221θ+-+=PF PF PF PF θθθcos 12)cos 1(244)cos 1(24)(222222121+=+-=+-+=∴b c a c PF PF PF PF 1222121sin sin tan 21cos 2F PF b S PF PF b θθθθ∆∴===+ 性质二：已知椭圆方程为),0(12222>>=+b a by a x 左右两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形21F PF ，若21PF F ∠最大，则点P 为椭圆短轴的端点。
证明：设),(o o y x P ,由焦半径公式可知：o ex a PF +=1，o ex a PF -=1 在21PF F ∆中，2122121212cos PF PF F F PF PF -+=θ21221221242)(PF PF c PF PF PF PF --+=1))((24124422122--+=--=o o ex a ex a b PF PF c a =122222--ox e a b a x a ≤≤-0 22a x o ≤∴性质三：已知椭圆方程为),0(12222>>=+b a by a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形21F PF 中,21θ=∠PF F 则.21cos 2e -≥θ证明：设,,2211r PF r PF ==则在21PF F ∆中，由余弦定理得：1222242)(2cos 212221221221212212221--=--+=-+=r r c a r r c r r r r r r F F r r θ.2112221)2(222222222122e a c a r r c a -=--=-+-≥ 命题得证。
椭圆的焦点三角形问题教学设计
椭圆的焦点三角形问题教学设计一、内容和内容解析（一）内容分析本节课复习的内容是椭圆焦点三角形问题，以焦点三角形作为载体来研究椭圆的性质是高考的常考考点。
其涵盖及关联的信息涉及平面几何、三角函数、解三角形、解析几何等多领域的知识与方法,它是研究高中生数学认知状况的一个重要观测点.这一节是在复习完椭圆标准方程及椭圆性质的基础上复习的.（二）高考分析（1）高考对圆锥曲线的考查突出基础性，注重通性通法，将基础知识与能力有机结合.客观题考查圆锥曲线的定义、标准方程等基础知识和基本性质的灵活应用，突出“小而巧”的特点，对基本的运算能力，数形结合的数学思想方法要求比较高。
主观题多是圆锥曲线的综合运用，突出“大而全”的特点，着重考查函数与方程、等价转化、数形结合的数学思想。
从近几年的高考题看，圆锥曲线的考查更加突出其定义和几何特征，更多的关注方程意识与数形结合的思想.（2）解析几何知识的考查不仅考查了代数方法解决几何问题的转化思想，同时也考察了学生的逻辑推理能力、运算求解能力、数形结合能力，题型以选择题、填空题和解答题为主，难度中偏难.题量通常为1-2道小题（选择、填空题），1道大题（解答题），分值为12分.二、教学问题诊断分析学生已经复习了直线与圆，椭圆的定义，标准方程和简单性质。
解三角形的有关知识前面也复习完，所以学生对椭圆的焦点三角形有了一定的认识，这是复习“椭圆的焦点三角形问题”的重要基础与能力起点，因此本节课希望学生在已有认知基础上，系统的对椭圆的焦点三角形问题有一个更高、更深刻的认识，关注其本质特征和内在联系，从而在认知能力和解题能力上有一个提升.三、教学重、难点分析重点：椭圆的焦点三角形的面积和顶角之间的关系，椭圆焦点三角形与离心率的关系，焦点三角形有关性质的内在联系；难点：对椭圆的性质与解三角形知识间的关联的理解和应用，领悟其中蕴含的数学思想方法。
四、教学目标分析1.通过自主学习巩固椭圆的定义，通过具体的题组研究椭圆焦点三角形周长、面积、椭圆上的点对两个焦点的张角变化以及它们的内在联系.2.运用椭圆焦点三角形的一些性质结论特征解决有关问题，进一步渗透数形结合的思想，提高学生研究问题、分析问题与解决问题的能力.五．教学过程设计环节一：知识回顾（6分钟）通过几何画板帮助学生观察椭圆焦点三角形的特征，点名本节课的研究对象。
习题课椭圆的简单几何性质公开课一等奖课件省赛课获奖课件
焦点的 位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
轴长
短轴长＝ 2b ，长轴长＝ 2a .
焦点 焦距 对称性 离心率
(±c,0)
(0，±c)
|F1F2|＝ 2 a2－b2 .
对称轴： 坐标轴 ，对称中心： 坐标原点 .
c e＝ a .
工具
第二章 圆锥曲线与方程
1．椭圆 x2＋4y2＝1 的离心率为( )
3
3
A. 2
第二章 圆锥曲线与方程
3．椭圆的短轴长等于 2，长轴端点与短轴端点间的距离 等于 5，则此椭圆的标准方程是______________．
解析： 设此椭圆的长半轴长为 a，短半轴长为 b，焦 距为 2c，则 b＝1，a2＋b2＝( 5)2，
即 a2＝4. 所以椭圆的标准方程是x42＋y2＝1 或y42＋x2＝1.
解析： 不妨设椭圆的焦点在x轴上，画出草图如图所示．
工具
第二章 圆锥曲线与方程
由 AF1⊥AF2 知，△AF1F2 为直角三角形，且∠AF2F1＝ 60°.
由椭圆定义，知|AF1|＋|AF2|＝2a，|F1F2|＝2c. 则在 Rt△AF1F2 中，由∠AF2F1＝60°得|AF2|＝c，|AF1| ＝ 3c， 所以|AF1|＋|AF2|＝2a＝( 3＋1)c， 所以离心率 e＝ac＝ 3－1.
是(4,0)，(0,2)，则此椭圆的方程是( )
A.x42＋1y62 ＝1 或1x62 ＋y42＝1
B.x42＋1y62 ＝1
C.1x62 ＋y42＝1
D.1x62 ＋2y02 ＝1
解析： 由已知 a＝4，b＝2，椭圆的焦点在 x 轴上， 所以椭圆方程是1x62 ＋y42＝1.故选 C.
答案： C
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椭圆中焦点三角形性质探究
教材分析：本节是人教版选修2-1第二章2.2椭圆之后专题课，是椭圆知识的延续。
焦点三角形蕴含着椭圆很多耳目一新的几何性质，这些性质浑然一体，相得益彰。
在全国各地的高考模拟试题及高考试题中以焦点三角形为载体的问题，更是层出不穷，精彩纷呈。
故值得我们去探究与总结。
学情分析：
学生已初步具备解析几何思想。
也已经掌握椭圆的定义和相关性质，但是对于常考题型，还没有全面了解。
焦点三角形是圆锥曲线中一种特殊的三角形，受到其几何图形的影响与三角形面积相关的考点，学生往往自顾不暇，计算繁琐。
教学目标：
1、知识上，能一起探究焦点三角形的常用结论。
如三角形形状判断，顶角
问题，面积问题，离心率问题等，体现了知识的整合性
2、思想上，能理解、会应用，体会到一些有用的结论将会为解析几何的解题带来帮助；
3、行动上，笔不离手，认识到有效的计算是解答解析几何问题的必备手段。
教学思想：
数学在其自身的发展过程中充满了合情推理和逻辑推理的过程，充满了数学实验的过程，如何使学生在数学学习中受到数学文化的熏陶，体验到数学思想方法的美妙，进而使思维品质得到有效的锻炼，逐步形成用数学看世界的思维方式呢？那么，本节课就是一个很好的载体。
圆锥曲线是中学数学的难点和重点，以椭圆双为背景的问题往往是学生学习结合的难点，在学习解析几何初步的过程中，结合新课标要求，学生必须掌握一个经典的知识点及焦点三角形的相关问题，在焦点三角形知识点的探求中，学生会逐步的发现问题，经历搜索解决问题，这正是学习数学的妙处。
课程资源：
导学案：网络上关于“焦点三角形”资源。
教学重点：
发现焦点三角形的题型与解决思路
教学难点：
解析几何与平面几何思想方法的融合
教学方法与工具：
导学案“以学定教”式，小组合作讨论
教学内容：
圆锥曲线在高考中常以大题和小题各出一题的形式来考察，而小题一般是性质的灵活运用。
在椭圆之中有一个三角形就是高考常客。
学生活动1：观察图中三角形，尝试发现三角形的顶点与椭圆的关系。
定义： 椭圆上一点和两焦点组成的三角形叫焦点三角形；
学生活动2：观察焦点三角形，结合椭圆特征，发现三角形中一些常见结论。
（提示：因为焦点是定点，只有一个顶点为动点，因此与其相关的最值问题层出不穷。
因此可以从边、角、周长、面积等角度探究）
总结：关于椭圆焦点三角形的常见问题：
一、焦点三角形的形状与周长问题
二、焦点三角形的顶角问题
三、焦点三角形的面积问题
四、焦点三角形相关的离心率问题
一、焦点三角形的形状与周长问题
问题1：椭圆 22
11612x y +=上一点P 到两焦点1,2F F 的距离之差为2，试判断12PF F 的形状
.
2
21(4x M y y k x A B +==练习1：已知点椭圆与直线交于点、，则ABM 的周长为（ ）
A.4
B.8
C.12
D.16。