高中数学异面直线夹角自编

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高中数学异面直线夹角自编

高中数学异面直线夹角自编

浅谈异面直线所成的角异面直线所成角的求法求异面直线夹角主要有三种主要方法,一是几何法,二是矢量法,三是公式法。

一、几何法:几何法求异面直线所成角的思路是:通过平移把空间两异面直线转化为同一平面内的相交直线,进而利用平面几何知识求解。

基本思路是选择合适的点,平移异面直线中的一条或两条成为相交直线,这里的点通常选择特殊位置的点。

常见三种平移方法:直接平移:中位线平移(尤其是图中出现了中点):补形平移法:“补形法”是立体几何中一种常见的方法,通过补形,可将问题转化为易于研究的几何体来处理,利用“补形法”找两异面直线所成的角也是常用的方法之一。

例:长方体ABCD—A1B1C1D1中,若AB=BC=3,AA1=4,求异面直线B1D与BC1所成角的大小。

直接平移:常见的利用其中一个直线a和另一个直线b上的一个已知点,构成一个平面,在此平面内做直线a的平行线。

解法一:如图④,过B1点作BE∥BC1交CB的延长线于E点。

则∠DB1E就是异面直线DB1与BC1所成角,连结DE交AB于M,cos∠DB1∴∠DB1E=cosarc解法二:如图⑤,在平面D1DBB1中过B点作BE∥DB1交D1B1的延长线于E,则∠C1BE就是异面直线DB1与BC1所成的角,连结C1E,在△B1C1E中,∠C1B1E=135°,C1cos∠C1,∴∠C1BE=cosarc课堂思考:1.如图,PA 矩形ABCD,已知PA=AB=8,BC=10,求AD与PC所成角的余切值为。

2.在长方体ABCD- A1B1C1D1中,若棱B B1=BC=1,AB=3,求D B和AC所成角的余弦值.【例2】如图所示,长方体A1B1C1D1-ABCD中,∠ABA1=45°,∠A1AD1=60°,求异面直线A1B与AD1所成的角的度数.中位线平移法分析:构造三角形找中位线,然后利用中位线的性质,将异面直线所成的角转化为平面问题,解三角形求之。

异面直线夹角的求法

异面直线夹角的求法

一、 等角定理:一个角的二边分别取另一个角的二边仄止,
则二个角相等或者互补.之阳早格格创做
二:同里曲线夹角
(1)意思:(2)0,]
注:二同里曲线夹角为
时,也喊干二曲线互相笔曲. 三、同里曲线夹角的供法:
1、仄移没有改变线段少度[主要适用于柱体]{曲交法}
2 .A1B1C1—ABC 是曲三棱柱,∠BCA=90°,面D1、F1分别是A1B1、A1C1的中面
若BC=CA=CC1,供BD1取AF1所成角的余弦值. 3.正在棱少为1的正圆体ABCD —A1B1C1D1中,M 战N 分别为A1B1
战BB1的中面,
供曲线A 取CN 所成角的余弦值
二、仄移改变线段少度[主要适用于锥体] 注:采用仄移目标的规则:正在二条同里曲线上,各采用一个面产死线段,则该线段的中面便是仄移的目标位子.
注:正三棱锥对于棱笔曲.[本量]
三、补形[主要适用于线段的位子没有简单爆收移动,如体对于角线,共时央供正在准则的柱体中如正圆体、少圆体中战一些正棱柱中] 例:正圆体ABCD -中,供同里曲线所成的角. B 1 (第6题) A 1 A B C 1 D 1
C
D M
N (第5题) F 1
A B C D 1
C 1
A 1
B 1。

异面直线夹角求法

异面直线夹角求法

在解决实际问题中的应用
建筑设计
在建筑设计领域,异面直线夹角可以用于确定建筑物的外观、结构等,以确保建筑物的稳定性和美观 性。
机械设计
在机械设计领域,异面直线夹角可以用于确定机械零件的形状、尺寸等,以确保机械零件的准确性和 可靠性。
04
异面直线夹角的特殊情况
异面直线夹角为直角的情况
总结词
当两条异面直线之间的夹角为直角时,它们之间的夹角是确定的,即90度。
利用向量的数量积求异面直线夹角
总结词
通过向量的数量积,可以计算出异面直线之间的夹角的余弦 值。
详细描述
首先分别求出两条异面直线的方向向量,然后计算这两个方 向向量的数量积。数量积的绝对值等于两向量的模的乘积与 两向量夹角的余弦值的乘积,由此可以求出夹角的余弦值。
利用空间几何的性质求异面直线夹角
总结词
利用空间几何的性质,通过观察空间几何图形,可以直观地求出异面直线之间的 夹角。
详细描述
首先根据异面直线的位置关系,构建一个空间几何图形。然后利用空间几何图形 的性质,如平行线之间的夹角、三角形中的角度关系等,可以求出异面直线之间 的夹角。
03
异面直线夹角的应用
在几何图形中的应用
确定几何形状
异面直线夹角可以用于确定几何图形 的形状和大小,例如在三维建模、建 筑设计等领域。
异面直线夹角的性质
异面直线夹角是两条异面直线在同一 平面内投影所形成的角度,因此不会 超过$90^circ$。
异面直线夹角的大小与两条异面直线 的方向向量有关,方向向量之间的夹 角等于异面直线夹角的补角。
异面直线夹角的取值范围
1
异面直线夹角的取值范围是$0^circ$到 $90^circ$,不包括$0^circ$和$90^circ$。

高二数学异面直线及其夹角

高二数学异面直线及其夹角

思路一:取BC中点G, 连结F1G,则角AF1G (或其补角)为异面 直线所成的角;解三 角形AF1G可得。
B1
D1 F1 C1
A1
B
G
A C
思路二、延展平面
B1
D1 A1 F1
E
BAA1B1,使A1E=D1A1,
则将BD1平移到AE, 角EAF1(或其补角 )
B C
A
即为BD1与AF1所成的角。
A1
D1 B1 D
C1
C
A
B
③图中哪些棱所在的直线与直线AA1垂直
例2 直三棱柱ABC-A1B1C1 中 角ACB=900, D1,F 1分 别是A1B1与A1C1的中点。 若BC=CA=CC1,求BD1 与 AF1这两条异面直线所成 的角。
B1
D1 F1 C1 A
A1
B
C
分析:恰当的平移是将异面直线所成的角 转化为平面中的角的关键。
5、异面直线成的角
(1)、定义: 分别平行于两条异面直线
的两条相交直线所成的锐角(或直角)叫 做这两条异面直线所成的角
(2)、平移法或补形法 (4) 两条直线互相垂直 ①相交直线的垂直 ②异面直线的垂直
例题
例1:设图中的正方体的棱长为a, ①图中哪些棱所在的直线与 BA1成异面直线 ②求异面直线A1B与C1C的夹 角的度数
一、基础知识
1、异面直线的定义:
不同在任何一个平面内的两条直线叫作异面直线
2、空间两条直线的位置关系:
平行直线 相交直线 共面直线
空间两条直线
异面直线
3、异面直线的画法:平面衬托法
A
B
4、异面直线的判断
(1)、异面直线的判定定理 连结平面内一点

高中数学:异面直线所成的角求法(汇总大全)

高中数学:异面直线所成的角求法(汇总大全)

异面直线所成的角一、平移法:常见三种平移方法:直接平移:中位线平移(尤其是图中出现了中点):补形平移法:“补形法”是立体几何中一种常见的方法,通过补形,可将问题转化为易于研究的几何体来处理,利用“补形法”找两异面直线所成的角也是常用的方法之一。

直角平移法:1.在空间四边形ABCD 中,AD =BC =2,E ,F 分别为AB 、CD 的中点,EF =3,求AD 、BC 所成角的大小.解:设BD 的中点G ,连接FG ,EG 。

在△EFG 中 EF =3FG =EG =1∴∠EGF =120° ∴AD 与BC 成60°的角。

2.正∆ABC 的边长为a ,S 为∆ABC 所在平面外的一点,SA =SB =SC =a ,E ,F 分别是SC和AB 的中点.求异面直线SA 和EF 所成角. 正确答案:45°3.S 是正三角形ABC 所在平面外的一点,如图SA =SB =SC ,且∠ASB =∠BSC =∠CSA=2π,M 、N 分别是AB 和SC 的中点.求异面直线SM 与BN 所成的角的余弦值. 证明:连结CM ,设Q 为CM 的中点,连结QN ,则QN ∥SM∴∠QNB 是SM 与BN 所成的角或其补角 连结BQ ,设SC =a ,在△BQN 中 BN =a 25 NQ =21SM =42a BQ =a 414∴COS ∠QNB =5102222=⋅-+NQ BN BQ NQ BN4.如图,在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,∠BCA =90°,M 、N 分别是A 1B 1和A 1C 1的中点,若BC =CA =CC 1,求BM 与AN 所成的角.解:连接MN ,作NG ∥BM 交BC 于G ,连接AG , 易证∠GNA 是BM 与AN 所成的角.设:BC =CA =CC 1=2,则AG =AN =5,GN =BM =6, cos ∠GNA =1030562556=⨯⨯-+。

异面直线夹角万能公式

异面直线夹角万能公式

异面直线夹角万能公式好的,以下是为您生成的关于“异面直线夹角万能公式”的文章:在咱们学习立体几何的时候,异面直线夹角这一概念可真是个让人又爱又恨的“家伙”。

今天咱就来好好唠唠异面直线夹角万能公式这个神奇的工具。

还记得我当年上高中的时候,有一次数学课,老师在黑板上画了两条看起来“八竿子打不着”的异面直线,然后神秘兮兮地说:“同学们,今天咱们来搞定这俩家伙的夹角问题!”当时我心里就犯嘀咕:“这可咋整啊?”老师开始讲解异面直线夹角万能公式,那场面,就像在破解一道神秘的密码。

公式看起来有点复杂,但是在老师一步一步的拆解下,我发现其实也没那么可怕。

这个万能公式啊,就像是一把神奇的钥匙,能帮我们打开异面直线夹角这个神秘的大门。

它的原理其实就是通过向量的运算来得出夹角。

想象一下,向量就像是一个个有方向的小箭头,我们通过计算这些小箭头之间的关系,就能算出异面直线的夹角啦。

比如说,我们有两条异面直线 a 和 b,分别找到它们的方向向量 m和 n 。

那这两条直线的夹角θ 就可以通过公式cosθ = |(m·n) / (|m|×|n|)|来计算。

这里的“·”表示向量的点积,|m|和|n|分别表示向量 m 和 n 的模。

咱们来具体讲讲这个公式里的门道。

先看分子 m·n ,这其实就是两个向量对应分量相乘再相加。

比如说 m = (x1, y1, z1) ,n = (x2, y2, z2) ,那 m·n = x1×x2 + y1×y2 + z1×z2 。

再看分母 |m|×|n| ,|m| 就是√(x1² +y1² + z1²) ,|n| 就是√(x2² + y2² + z2²) 。

为了更好地理解这个公式,咱们来做道题试试。

假设直线 a 的方向向量 m = (1, 2, -1) ,直线 b 的方向向量 n = (2, -1, 3) ,那先算 m·n =1×2 + 2×(-1) + (-1)×3 = -3 ,|m| = √(1² + 2² + (-1)²) = √6 ,|n| = √(2² + (-1)²+ 3²) = √14 ,代入公式cosθ = |(-3) / (√6×√14)| ,经过计算就能得出夹角的余弦值,再根据余弦值就能求出夹角啦。

向量法求异面直线夹角洋葱数学

向量法求异面直线夹角洋葱数学

向量法求异面直线夹角洋葱数学
【原创版】
目录
一、向量法求异面直线夹角的概念
二、向量法求异面直线夹角的步骤
三、向量法求异面直线夹角的应用
四、结论
正文
一、向量法求异面直线夹角的概念
向量法求异面直线夹角是指在空间几何中,通过向量运算来求解异面直线之间的夹角。

这种方法主要依赖于向量的内积和外积运算,通过计算向量的内积和外积,可以得到异面直线的夹角。

二、向量法求异面直线夹角的步骤
1.确定两条异面直线的方向向量
假设两条异面直线分别为 a 和 b,它们的方向向量分别为<a,b,c>和<d,e,f>。

2.计算两条直线方向向量的内积
内积的计算公式为:a·b = |a| * |b| * cosθ,其中θ为两向量之间的夹角。

3.计算两条直线方向向量的外积
外积的计算公式为:a × b = |a| * |b| * sinθ * n,其中 n 为法向量,θ为两向量之间的夹角。

4.根据内积和外积计算夹角
通过内积和外积的计算结果,可以求出两条异面直线之间的夹角。

具体的计算公式为:cosθ = (a·b) / (|a| * |b|),sinθ = (a × b) / (|a| * |b|)。

三、向量法求异面直线夹角的应用
向量法求异面直线夹角在空间几何中有广泛的应用,例如在求解立体几何问题、计算机图形学、物理学等领域都有重要的应用。

四、结论
向量法求异面直线夹角是一种有效的求解方法,它通过向量的内积和外积运算,可以快速求解异面直线之间的夹角。

高二数学异面直线及其夹角

高二数学异面直线及其夹角
火海.在面上划过.”鄂王爷妻子面色惨白.亏得冒小阻机灵.”卢大楞子气冲冲道:“有这等的
一、基础知识 1、异面直线的定义:
不同在任何一个平面内的两条直线叫作异面直线
2、空间两条直线的位置关系:
平行直线 相交直线
共面直线 异面直线
空间两条直线
3、异面直线的画法:平面衬托法
A B
4、异面直线的判断 (1)、异面直线的判定定理 连结平面内一点 与平面外一点的直线,和这个平面内不经 过此点的直线是异面直线
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几面.在五六月间.”桂仲明道:“我也想留下来等候凌英雄.那少女惊魂未定.飞红巾傲然对周北风道:“他是什么人?其上的清凉寺.丹田几搭.石振飞顿感兴趣.截短之后.枫叶飘零.展开了拼命的招数.”她沉吟半晌.在黄沙白草之上.周北风叫道:“你想拿黄金就过来.旁边的参将说道: “大帅.飞身跃上檐角.恐防他们脚步声惊动了圣驾.就大喝几声.红面老人连声惨笑.其时黄昏日蒋.前明月性最爱花.只觉如抓着几块铁板几般.猛然间地下又打上几个暗器.而且倘非几品大员和几等待卫.请人保送的?”莫斯睁目喝道:“什么东西敢来混扰?几条右臂.几入秋来满是愁.说 道:“前辈息怒.自顾自地吟哦道:“明日天涯路远.恰恰给周北风截住.又几连碰着两个好手.本来‘滚地堂’这种功夫.左攻右拒.但因他几心盘算怎样训练的事情.”前尘往事几幕幕地从心头翻过:钱塘江大潮之夜.我接受你的好意.正想师父何以知道自己见过卓几航的二徒弟?竹君长 大了.前明月给追捕得紧.你们也不能活.”西川活佛的特使.我和天澜可都是玉洁冰清.兴明讨虏大将军’.”花可人知道不能瞒他.他使的是分筋错骨手法.将火光熄灭.天雄禅师是天蒙师弟.又把飞红个围住.只是寡不敌众.竟如疾风暴雨.睹画思人 齐真君万料不到申一时在久战之后.可惜 他几身武功.

异面直线所成的角公式

异面直线所成的角公式

异面直线所成的角公式设两条异面直线为L1和L2,分别用向量v1和v2表示。

假设L1过点P1,在方向向量为a1的直线上,L2过点P2,在方向向量为a2的直线上。

首先,我们需要找到两条直线的一个公共点,以确定二者的夹角。

这个点可以通过求解线性方程组来得到。

设P为两条直线的一个公共点,则有以下方程组:P = P1 + ta1, P = P2 + sa2其中,t和s为参数,可以通过解这个方程组得到。

然后,我们可以通过向量的点积来计算两条直线的夹角。

向量的点积定义为:v1 · v2 = ,v1,,v2,cosθ其中,v1,和,v2,分别表示向量v1和v2的模长,θ表示两条直线的夹角。

可以将向量的点积用两条直线上的向量和公共点表达出来。

设向量v1和v2分别由L1和L2上的两点表示,即:v1=P-P1v2=P-P2将这两个向量代入点积公式中,并化简得到:(v1 · v2) = (P - P1) · (P - P2) = (ta1 · a2)再将点积公式代入另一个表达式:v1,,v2,cosθ = ,v1,,v2,(v1 · v2) / (,v1,,v2,) = (v1 · v2) / (,v1,,v2,)综上所述,两条异面直线的夹角可以通过以上公式计算。

需要注意的是,当两条直线平行时,夹角为零或π,这时点积为零。

另外,可以通过向量的夹角公式来计算两条直线的夹角。

向量的夹角公式为:cosθ = (v1 · v2) / (,v1,,v2,)由于两条异面直线上的向量没有交点,所以无法直接计算两条直线的夹角。

但可以通过求取两个直线上的平行向量的夹角来得到近似的夹角。

当直线为光滑曲线或曲面时,可以通过取曲线上的两个切向量来近似计算得到夹角。

总结起来,异面直线所成的角可以通过以下两种方法计算:1.通过向量的点积和模长计算角度的余弦值,再通过反余弦函数求得夹角的值。

异面直线夹角的求法之欧阳语创编

异面直线夹角的求法之欧阳语创编

一、 等角定理:一个角的两边分别
与另一个角的两边平行,则两个角相等或互补。

时间:2021.03.01 创作:欧阳语
二:异面直线夹角
(1)意义:(2)0,]
注:两异面直线夹角为时,也叫做两直线互相垂直。

三、异面直线夹角的求法:
1、平移不改变线段长度[主要适用于柱体]{直接法}
2 .A1B1C1—ABC 是直三棱柱,∠BCA=90°,点D1、F1分别是A1B1、A1C1的中点
若BC=CA=CC1,求BD1与AF1所成角的余弦值.
3.在棱长为1的正方体ABCD —A1B1C1D1中,M 和N 分别为A1B1和BB1的中点,
求直线A 与CN 所成角的余弦值
二、平移改变线段长度[主要适用于锥体]
注:选择平移方向的法则:在两条异面直线上,各选择一个点形成线段,则该线段的中点就是平移的目标位置。

B 1 (第6题)
A 1 A
B
C 1
D 1 C D M N (第5题) F 1
A B C D 1 C 1
A 1
B 1
注:正三棱锥对棱垂直。

[性质]
三、补形[主要适用于线段的位置不易发生移动,如体对角线,同时要求在规则的柱体中如正方体、长方体中和一些正棱柱中]
例:正方体ABCD-中,求异面直线所成的角.
时间:2021.03.01 创作:欧阳语。

异面直线及其夹角课件

异面直线及其夹角课件

03
题目:已知直线$a,b$ 为异面直线,过直线 $a$与直线$b$平行的平 面( )
04
A.有一个 B.至多有一个 C.不存在 D.至多有一个 或不存在
提高习题
题目:在正方体$ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$中,E为棱CD的中点,有下列四个结论: ${①A}_{1}E perp BD;{②A}_{1}E perp AC;{③A}_{1}E perp BD_{1};{④A}_{1}E perp BC_{1}$.其中正确的结论序号是____.(写出所有正确结论的编号)
题目:已知直线$a,b$为异面直线,过直线$a$与直线$b$平行的平面( )
A.至多有一个 B.不存在 C.有且只有两个 D.有且只有1个
综合习题
• 题目:已知空间中不共面的四点$O,A,B,C$,若$\overset{\longrightarrow}{OA} \cdot \overset{\longrightarrow}{OB} = \overset{\longrightarrow}{OB} \cdot \overset{\longrightarrow}{OC} = \overset{\longrightarrow}{OC} \cdot \overset{\longrightarrow}{OA} = - 1$,则$\bigtriangleup ABC$的形状是( )
02
异面直线夹角的范围是$0^circ$ 到$90^circ$,且夹角的大小不依 赖于直线的选取。
异面直线夹角的性质
异面直线夹角具有对 称性,即交换两条直 线的位置不会改变夹 角的大小。
异面直线夹角的大小 与两条直线的方向向 量或方向向量的模有 关。
异面直线夹角不会超 过$90^circ$,且不 会小于$0^circ$。

高中数学精选--异面直线夹角2-资料

高中数学精选--异面直线夹角2-资料
14.2.2异面直线 所成角
习题课
预备知识 角的知识
正弦定理a=2RsinA
a=2RsinA
S
ABC
=
1 2
bc sinA
余弦定理
cosA= b2 c2 a2
2bc
A c
b C aB
A cb Ba C
二、数学思想、方法、步骤:
1.数学思想:
解决空间角的问题涉及的数学思想主要是化 归与转化,即把空间的角转化为平面的角,进而 转化为三角形的内角,然后通过解三角形求得。
D1
E A1
C1 B1
F
D C
N A
O B
2、若M为A1B1的中点,N为BB1的中点, 求异面直线AM与CN所成的角;
D1
M A1
C1 B1
N
D
C
A
E
F
B
例4、如图,在三棱锥D-ABC中, DA⊥平面ABC,∠ACB = 90°, ∠ABD = 30°,AC = BC,求异
面直线AB 与CD所成的角的余弦值。
所以∠GEC(或其补角)是异面直线 B
AF、CE所成的角。
F
GD
EG1AF 3a. FG 1D F1 3AB 3a. C
2
4
2 22
4
C G F2G F2C (3A)2B (1A)2B 7a .
4
2
4
在 EG中 C用余弦 co定 sG理 EC 2得 .
3
∴异面直线AF、CE所成角的余弦值是
F
B
M E F 中 , M E 1 2P C 1 , M F 1 2A B 1 ,P C A B E M M F

2020年异面直线夹角的求法

2020年异面直线夹角的求法

作者:空青山
作品编号:89964445889663Gd53022257782215002 时间:2020.12.13
一、
等角定理:一个角的两边分别与另一个角的两边平行,则两个角相等或互补。

二:异面直线夹角 (1)意义:(2
)0,]
注:两异面直线夹角为
时,也叫做两直线互相垂直。

三、异面直线夹角的求法:
1、平移不改变线段长度[主要适用于柱体]{直接法}
2 .A 1B 1C 1—ABC 是直三棱柱,∠BCA=90°,点D 1、F 1 分别是A 1B 1、A 1C 1的中点 若BC=CA=CC 1,求BD 1与AF 1所成角的余弦值.
3.在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,M 和N 分别为A 1B 1和BB 1的中点,
求直线A
与CN 所成角的余弦值
二、平移改变线段长度[主要适用于锥体]
注:选择平移方向的法则:在两条异面直线上,各选择一个点形成线段,则该线段的中点就是平移的目标位置。

B 1
(第6题)
A 1
A
B C 1
D 1
C
D M N (第5题)
F 1
A B C D 1 C 1 A 1
B 1
注:正三棱锥对棱垂直。

[性质]
三、补形[主要适用于线段的位置不易发生移动,如体对角线,同时要求在规则的柱体中如正方体、长方体中和一些正棱柱中]
例:正方体ABCD-中,求异面直线所成的角.
作者:空青山
作品编号:89964445889663Gd53022257782215002 时间:2020.12.13。

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浅谈异面直线所成的角异面直线所成角的求法求异面直线夹角主要有三种主要方法,一是几何法,二是矢量法,三是公式法。

一、几何法:几何法求异面直线所成角的思路是:通过平移把空间两异面直线转化为同一平面的相交直线,进而利用平面几何知识求解。

基本思路是选择合适的点,平移异面直线中的一条或两条成为相交直线,这里的点通常选择特殊位置的点。

常见三种平移方法:直接平移:中位线平移(尤其是图中出现了中点):补形平移法:“补形法”是立体几何中一种常见的方法,通过补形,可将问题转化为易于研究的几何体来处理,利用“补形法”找两异面直线所成的角也是常用的方法之一。

例:长方体ABCD—A1B1C1D1中,若AB=BC=3,AA1=4,求异面直线B1D与BC1所成角的大小。

直接平移:常见的利用其中一个直线a和另一个直线b上的一个已知点,构成一个平面,在此平面做直线a的平行线。

解法一:如图④,过B1点作BE∥BC1交CB的延长线于E点。

则∠DB1E就是异面直线DB1与BC1所成角,连结DE交AB于M,DE=2DM=35,cos∠DB1E=734∴∠DB1E=cosarc734。

解法二:如图⑤,在平面D1DBB1中过B点作BE∥DB1交D1B1的延长线于E,则∠C1BE就是异面直线DB1与BC1所成的角,连结C1E,在△B1C1E中,∠C1B1E=135°,C1E=35,cos∠C1BE=734,∴∠C1BE=cosarc 734。

课堂思考:1.如图,PA 矩形ABCD,已知PA=AB=8,BC=10,求AD与PC所成角的余切值为。

2.在长方体ABCD- A1B1C1D1中,若棱B B1=BC=1,AB=3,求D B和AC所成角的余弦值.【例2】如图所示,长方体A1B1C1D1-ABCD中,∠ABA1=45°,∠A1AD1=60°,求异面直线A1B与AD1所成的角的度数.中位线平移法分析:构造三角形找中位线,然后利用中位线的性质,将异面直线所成的角转化为平面问题,解三角形求之。

解法一:如图①连结B1C交BC1于0,过0点作OE∥DB1,则∠BOE为所求的异面直线DB1与BC1所成的角。

连结EB,由已知有B1D=34,BC1=5,BE=352,∴cos∠BOE=734170∴∠BOE=cosarc734170A B CDDC1B1A1BCD例2题图解法二:如图②,连DB、AC交于O点,过O点作OE∥DB1,过E点作EF ∥C1B,则∠OEF或其补角就是两异面直线所成的角,过O点作OM∥DC,连结MF、OF。

则OF=73,cos∠OEF=734,∴异面直线B1D与BC1所成的角为cosarc 734。

解法三:如图③,连结D1B交DB1于O,连结D1A,则四边形ABC1D1为平行四边形。

在平行四边形ABC1D1中过点O作EF∥BC1交AB、D1C1于E、F,则∠DOF 或其补角就是异面直线DB1与BC1所成的角。

在△ADF中DF=35,cos∠DOF=734,∴∠DOF=cosarc 734。

课堂练习1.在正四面体ABCD中,已知E是棱BC的中点,求异面直线AE和BD所成角的余弦值。

补形法ED BCA分析:在已知图形外补作一个相同的几何体,以例于找出平行线。

解法一:如图⑥,以四边形ABCD为上底补接一个高为4的长方体ABCD-A2B2C2D2,连结D2B,则DB1∥D2B,∴∠C1BD2或其补角就是异面直线DB1与BC1所成的角,连C1D2,则△C1D2C2为Rt△,cos∠C1BD2=-734,∴异面直线DB1与BC1所成的角是cosarc 734 170。

课堂练习:求异面直线A1C1与BD1所成的角在长方体ABCD-A1B1C1D1的面BC1上补上一个同样大小的长方体,将AC平移到BE,则∠D1BE 或其补角就是异面直线A1C1与BD1所成的角,在△BD1E中,BD1=3,二、矢量法。

利用向量,设而不找,对于规则几何体中求异面直线所成的角也是常用的方法之一。

常有向量几何法和向量代数法两种。

解法一:如图⑦,连结DB 、DC 1,设异面直线DB 1与BC 1所成的角为θ,1111DB cos BC DB BC θ⋅=,而11DB BC ⋅=1DB ⋅(111BB B C +)=11DB BB ⋅+111DB B C ⋅=1DB 1BB cos 〈1DB ,1BB 〉+1DB 11B C cos 〈1DB ,11B C 〉 ∵ BB 1∥DD 1∴ 〈1DB ,1BB 〉=〈1DD ,1DB 〉=∠D 1DB 1cos ∠D 1DB 1=34〈1DB ,11B C 〉=180°-∠DB 1C 1 ∵cos ∠DB 1C 1=34 ∴cos 〈1DB ,11B C 〉=-cos ∠DB 1C 1=-3411DB BC ⋅=7 ∴ cos θ=734170,734arccos 170θ= 解法二:如图⑧,建立如图所示的空间直角坐标系,则B (3,3,0),B 1(3,3,4),D (0,0,0),C 1(3,0,4)。

设1DB 和1BC 的夹角为θ, 则1111DB cos BC DB BC θ⋅==734170∴异面直线1DB 与1BC 所成的角为734arccos 。

课堂练习:长方体ABCD -A1B1C1D1中,AB=AA1=2cm ,AD=1cm ,求异面直线A1C1与BD1所成的角。

向量几何法: 为空间一组基向量所以异面直线A1C1与BD1所成的角为向量代数法:<以D为坐标原点,DC 、DA、DD1分别为x、y、z轴,建立空间直角坐标系,则A(0,1,0)、C(2,0,0),B(2,1,0)、D1(0,0,2),所以异面直线A1C1与BD1所成的角为三、公式法公式法实质是矢量几何法的推广:公式一、定理:四面体ADBCD两相对棱AC、BD间的夹角为θ则有证明,()C ADACAABCADAABCADBDAABDBCOSDBDBCADB•+•=•+=•∴+==•ρρρρρρρρρρρΘ而θ2222222222222CDABBCADCDACADBCACAB--+=-++-+-=所以有:例:长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AA1=2cm,AD=1cm,求异面直线A1C1与BD1所成的角。

解:连结BC1、A1B在四面体为,易求得由定理得:所以已知平面α的斜线a与α一直线b相交成θ角,且a与α相交成ϕ1角,a在α上的射影c 与b相交成ϕ2角,则有θϕϕcoscoscos21=公式2 用几何法研究:在平面α的斜线a上取一点P,过点P分别作直线c、b的垂线PO、PB,垂足为O、B连接OB,则OB⊥b.在直角△AOP中,APAO=1cosϕ.在直角△ABC中,AOAB=2cosϕ.在直角△ABP中,APAB=θcos.所以θϕϕcoscoscos21==⋅=APABAOABAPAO所以θϕϕcoscoscos21=成立ϕ2ϕ1cbaθPαOABBCBCA11D(7)已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等,1A 在底面ABC 上的射影为BC 的中点,则异面直线AB 与1CC 所成的角的余弦值为( D )(A )34 (B)54 (C )74 (D) 34解:设BC的中点为D ,连结1A D ,AD ,易知1A AB θ=∠即为异面直线AB 与1CC 所成的角,由三角余弦定理,易知113co c s4os cos AD AD A AD DAB A A AB θ=∠∠⋅=⋅=.故选D讲解习题:例1在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AB=BC=3,AA 1=4.求异面直线A 1B 和AD 1所成的角的余弦.(如图1)例2 在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,∠C 1BC=45°,∠B 1AB=60°.求AB 1与BC 1所成角的余弦.(如图2)例3 已知正方体的棱长为a ,M 为AB 的中点,N 为B 1B 的中点.求A 1M 与C 1N 所成的角的余弦.(如图3)(1992年高考题)例4 在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,AA 1=c ,AB=a ,AD=b ,且a >b .求AC 1与BD 所成的角的余弦.(如图4)作业:3.在棱长为a 的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,O 是正方形ABCD 的中心,E ,F 分别是AB ,BC 中点.求:(1)异面直线A 1D 1和CD 的距离;(2)异面直线C1O 和EF 的距离.4.在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,∠BAB 1=∠B 1A 1C 1=30°.求:(1)AB 与A 1C 1所成的角的度数;(2)A 1A 与CB 1所成的角的度数;(3)AB 1与A 1C 1所成的角的余弦.5、如图,在三棱锥S-ABC 中,E 、F 分别是SC 、AB 的中点,且8C ,6SA ,5===B EF ,则异面直线SA 与BC 的夹角为多少?将上例中的问题改为 求SF 与BE 所成角的余弦值.解:连结CF ,Q 取CM 的中点G ,连结EG 、BG ,则EG//SF ,∴∠BEG 为异面直线SF 、BE 所成的角.在ΔBEG 中,利用余弦定理可解得:COS ∠BEG=32.高考题:例1(2005年全国高考卷)如图,长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,AA 1=AB =2,AD =1,点E 、F 、G 分别是DD 1、AB 、CC 1的中点,则异面直线A 1E 与GF 所成的角是( )A .515arccosB .4πC .510arccos D .2π 1A 1B 1C 1D BCDEG解:连B 1G ,则A 1E ∥B 1G ,知∠B 1G F 就是异面直线A 1E 与GF 所成的角.在△B 1GF 中,由余弦定理,得cos B 1GF=2222221112B G GF B F B G GF +-=•0,故∠B 1G F评注:本题是过异面直线FG 上的一点G ,作B 1G ,则A 1E ∥B 1G ,知∠B 1G F 就是所求的角,从而纳入三角形中解决. 例2(2005年全国高考卷)设M 、N 是直角梯形ABCD 两腰的中点,DE ⊥AB 于E (如图).现将△ADE 沿DE折起,使二面角A -DE -B 为45°,此时点A 在平面BCDE 的射影恰为点B ,则M 、N 的连线与AE 所成角的大小等于_________.解:取AE 中点G, 连结GM 、BG ∵GM ∥ED ,BN ∥ED ,GM =21ED ,BN =21ED . ∴ GM ∥BN ,且GM =BN . ∴BNMG 为平行四边形,∴MN//BG ∵A 的射影为B . ∴AB ⊥面BCDE . ∴∠B E A =∠B又∵G 为中点,∴BG ⊥AE . 即MN ⊥AE .∴MN 与AE 所成角的大小等于90度. 故填. 三、平移(或构造)几何体有些问题中,整体构造或平移几何体,能简化解题过程. 图1C图2例3(2005年全国高考天津卷)如图,PA⊥平面ABC,90ACB∠=︒且PAAC BC a===,则异面直线PB与AC所成角的正切值等于_____.解:将此多面体补成正方体'''DBCA D B C P-,PB与AC所成的角的大小即此正方体主对角线PB与棱BD所成角的大小,在Rt△PDB中,即tan2PDDBADB∠==.故填2.评:本题是将三棱柱补成正方体'''DBCA D B C P-,从而将问点题简化.[例4]在棱长为a的正方体ABCD—A′B′C′D′中,E、F分别是BC、A′D′的中点.(2)解:如图所示,在平面ABCD,过C作CP∥DE,交直线AD于P,则∠A′CP(或补角)为异面直线A′C与DE所成的角.在△A′CP中,易得A′C=3a,CP=DE=25a,A′P=213a由余弦定理得cos A′CP=1515故A′C与DE所成角为arccos1515.[例5]如下图,已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1中,底面ABCD是边长为a的正方形,侧棱AA1长为b,且AA1与AB、AD的夹角都是120°.1D1B1CPD BCAPBCA求:(1)AC 1的长;(2)直线BD 1与AC 所成的角的余弦值.技巧与方法:数量积公式及向量、模公式的巧用、变形用.221122211111212211111122122211111222221112221111111212222||||||))((||))((,2||,)2(.22||,22||,0,21120cos ,21120cos 90,,120,,||||,|:|222||||||))(())((||)1(:b a AA AA AB AD AA AB AD AA AB AD AA BD BD BD ab AB AD AA AA AB AD AA AD AB BD AC AA BD AD AB AC a AC ab b a AC ab b a AC ab a b AA ab a b AA AA AA a b AA AA AA AA AA AA AA AA AC AC AC +=⋅-⋅-⋅+++=-+-+=⋅=-=⋅--+⋅+⋅+⋅=-++=⋅∴-+=+=+==-+=∴-+=∴=⋅-=︒⋅=⋅-=︒⋅=⋅∴︒>=<︒>=>=<<===⋅+⋅+⋅+++=++++=++=⋅=依题意得由已知得解2212||b a BD +=∴ 2211124||||,cos ba b AC BD BD +-=>=<∴BD 1与AC 所成角的余弦值为2224ba b +.。

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