第六节曲线曲面投影方法
曲线与曲面投影
X
例1 试在平行四边形ABCD 内，以点O 为圆心作出半径为15 圆的V、H 投影。 作图步骤： b‘ 1.过O 作平面内的正平线， g’ e‘ 并在正面投影上截取e’ f ’ c‘ f‘ =30 ； a‘ h’ 2.过O 作平面内对V 面的最 大斜度线； d‘ O b e a
h g
二、圆的投影椭圆的作图
– 母线作规则运动时所形成的曲面——规则曲面。 – 控制母线运动的点、线、面——定点、导线、导面。 – 母线在曲面上的任一位置——素线。
3.曲面形成举例：柱面
直导线 母 线
一、曲面的形成
素 线
曲导线
规则曲面的形成
一、曲面的形成
4.曲面形成的多种方法
如圆柱面
圆柱面的几种形成方法
一、曲面的形成
4.曲面形成的多种方法
c f
3.利用直角三角形法在最 大斜度线上求直径为30 的GH 的投影 ；
d
二、圆的投影椭圆的作图
例1 试在平行四边形ABCD 内，以点O 为圆心作出半径为15 圆的V、H 投影。 作图步骤： b‘ 1.过O 作平面内的正平线， g’ e‘ 并在正面投影上截取e’ f ’ c‘ f‘ =30 ； a‘ 2.过O 作平面内对V 面的最 h’ 大斜度线； d ‘ O X 3.利用直角三角形法在最 b c g 大斜度线上求直径30 的 f e 投影GH ； 4.由长短轴画V 面投影椭圆； 由共扼直径画H 面投影椭圆。 h a d
如圆锥面
L
圆锥面的2种形成方法
二、曲面的分类
根据母线的性质、形成方法等，曲面可分为： 可展 圆柱、圆锥。 回转面 不可展 单叶双曲回转面 直纹面 可展 椭圆锥、椭圆柱、盘旋面。 非回转面 不可展 柱状面、锥状面、 正螺旋面等。
113-教学课件-曲面体投影
④ 判别曲面 V 投影的可见 性，即判别各素线 V 投影的 可见性。
双曲抛物面的应用
双曲抛物面
屋面
岸坡过渡
6 圆柱正螺旋面（简称：正螺旋面）
•圆 柱 正 螺 旋 面 ( 锥状）的 形成
当一直母线沿
一条圆柱螺旋线
及该螺旋线的轴
线滑动，并始终
9 8 7
形，即相应踏面在 H 面上的实形投影。至此，完 成螺旋楼梯的 H 投影。
6
在 V 面轴线上定导程 S ，且将 S 作 16 等分，
5
并将所得分点编号 0~16 。
4
2 、画各踢面的 V 投影。每一踢面均是垂直于 H
3
面的矩形，矩形下边线的序号与 V 面上中轴线上
2
的等分序号相同，根据其 H 投影可画出 V 投影。
1
1 0
9 轴线左侧的踢面可见 , 右侧踢面不可见，画成虚 线。轴线右侧的底面可见。
16
10
这里，每一矩形踢面的上边线位置即是同级踏 面的 V 投影积聚位置，踏面积聚投影长度由相应
15 14 13
11 12
踏面的 H 投影确定。 3 、在 V 投影中画可见的螺旋线。 4 、改正图线，完成全图。
可见性参考
直母线 SA 绕相交的轴线 S O 旋转形成圆锥
面S
AO
直母线 AB 绕交 叉的轴线 OO 旋 转形成单叶双曲 面O
A
O B
O
B
A
O
2 、单叶双曲回转面的投影作图
由于母线上每一点的
a′
回转的轨迹是纬圆，
母线的任一位置都称
为素线，所以回转面
e′
第六章 曲线曲面投影方法
母线由导元素控制按照一定规律运动所形成 的曲面称为规则曲面
母线作不规则运动所形成的曲面称为不规则曲面
同一曲面可以由多种方法形成，一般应采 用最简单的母线来描述曲面的形成
6.5 曲面的投影
只要作出能够确定曲面的几何要素的必要投影， 就可确定一个曲面，因为母线和导元素给定后，形成 的曲面将唯一确定。
1） 柱面
一、直线面
1 可展直线面
一直母线沿曲导线运动且始终平行于另一直导 线而形成的曲面称为柱面。
柱面的相邻两素线为平行直线，位于同一平面 内，所以是可展曲面。
作图时，一般应画出导线和曲面的轮廓线， 必要时还要画出若干素线及其曲面的H面迹线
直圆柱面
a
a
a
直圆柱面
斜圆柱面
直椭圆柱面
若一个直角三角形面围绕其中一条直角边回 转则形成圆锥体。
圆锥面上求点有两种方法：素线法（§４介绍） 纬线圆法
s● (n)
n● s
纬线圆法
●s ●(n)
单叶双曲回转面
一直母线围 绕与之相错的轴 线作回转运动即 形成一单叶双曲 回转面
单叶双曲回转 面的相邻两素线为 相错直线，所以是 不可展曲面
s
条素线。
k
正圆锥面
正圆锥面 斜圆锥面
正椭圆锥面
斜椭圆锥面
4.1.3 切线面
一直母线在运动过程中始终与一空间曲导线 相切而形成的曲面称为切线曲面
切线曲面是可展直线面
渐开线螺旋面
在作投影图时，首 先应画出其导线——圆 柱螺旋线的投影（画法 详见§７），然后沿导 线取若干点，在各点处 作出导线的一系列切线， 即可求出H投影面迹线， 在V面投影上应保留轮廓 线的投影。
《曲线曲面投影方法》课件
曲面投影
将物体投影到一个曲面上，适合于展示汽车、船舶和飞 机等曲面物体。
投影方法
1
正交投影法
正交投影法是将物体沿着坐标轴作平移变换，将物体的每一个点投影到视平面上， 是应用最广泛的投影方法之一。
2
透视投影法
透视投影法是将物体的每个顶点连接到观察者位置，形成透视中心，然后将物体 投影到视平面上。这种方法能够产生逼真的效果。
机器人与工业
投影类型
平行投影
平行投影是将物体在平行于某个方向的平面上投影，它可以保持物体的形状和大小不变，适 合制作工程图和制图。
透视投影
透视投影是将物体按照透视原理在平面上投影，它能够更好地描述物体的空间关系和深度感， 适合动画、游戏和电影制作。
投影面
平面投影
将物体投影到一个平面上，适合于展示建筑、城市和地 图等场景。
曲线曲面投影方法
在计算机图形学中，曲线曲面投影是一种常用的技术。本PPT将介绍曲线曲面 投影方法的基本概念和应用，以及各种类型的投影方法和投影面。
曲线曲面投影方法简介
建模与展示
曲线曲面投影是3D建模和展示的重要技术，它可以将 三维图形投影影是电影和游戏制作的重要技术，它可以 把复杂的3D场景转化为2D画面，以便在电影或游戏中 显示。
3
球面投影法
球面投影法是将物体投影到一个球面上，以获得更自然和真实的效果。这种方法 适用于需要表现地球或其他球面物体的场景。
结论
投影方法选择
不同的投影方法适用于不同的场景和需求。选择恰当的投影方法，可以提高建模和展示的效 果，展现更加美观和逼真的效果。
投影方法创新
在曲线曲面投影领域，不断创新和改进投影方法，可以使计算机图形学向更深远的方向发展， 为人类带来更大的贡献。
曲面投影半径计算公式
曲面投影半径计算公式在几何学中，曲面投影是指将一个三维曲面投影到一个平面上，得到一个二维图形的过程。
曲面投影半径是指在这个过程中，曲面上的点到投影中心的距离。
计算曲面投影半径的公式可以帮助我们更好地理解曲面的形状和特性，同时也在工程和建筑设计中有着重要的应用。
曲面投影半径的计算公式取决于曲面的形状和投影方式。
在本文中，我们将讨论几种常见的曲面形状和它们的投影方式，并给出相应的计算公式。
1. 球体的曲面投影半径计算公式。
球体是一种常见的几何曲面，它的曲面投影半径可以通过以下公式计算得到：r' = r cos(θ)。
其中，r是球体的半径，θ是球心到投影平面的夹角，r'是球体在投影平面上的投影半径。
这个公式告诉我们，球体的投影半径随着投影角度的增大而减小，这也是我们在日常生活中观察到的现象。
2. 圆柱体的曲面投影半径计算公式。
圆柱体是另一种常见的几何曲面，它的曲面投影半径可以通过以下公式计算得到：r' = r。
其中，r是圆柱体的半径，r'是圆柱体在投影平面上的投影半径。
这个公式告诉我们，圆柱体的投影半径与投影角度无关，始终保持不变。
3. 锥体的曲面投影半径计算公式。
锥体是另一种常见的几何曲面，它的曲面投影半径可以通过以下公式计算得到：r' = r tan(θ)。
其中，r是锥体的半径，θ是锥顶到投影平面的夹角，r'是锥体在投影平面上的投影半径。
这个公式告诉我们，锥体的投影半径随着投影角度的增大而增大，这与球体的情况是相反的。
除了以上讨论的几种常见曲面形状外，还有许多其他曲面形状，它们的曲面投影半径的计算公式也各不相同。
在实际应用中，我们需要根据具体的曲面形状和投影方式来选择合适的计算公式。
曲面投影半径的计算公式不仅在理论研究中有着重要的意义，也在工程和建筑设计中有着广泛的应用。
例如，在建筑设计中，我们需要计算建筑物在不同角度下的投影半径，以便更好地评估建筑物的外观和空间利用效率。
重要曲面与曲线的投影
曲面及其方程
定
(1)
义
设S是空间曲面，F ( x, y, z ) 0是一个三元代数方程， 如果它满足：M ( x, y, z ) S F ( x, y, z ) 0 则称(1)是曲面S的方程，而S叫做方程(1)的图形。
常见的空间曲面有：球面、旋转曲面和柱面，下面我们一 一对它们进行介绍。
| y 1 | MP
.
S
2
z
z1
C
x y
2
o
y1
y
.
S：f ( x 2 y 2 , z ) 0 .
x
10. 旋转面的方程
f ( y, z ) 0 曲线 C x 0
旋转一周得旋转曲面 S
绕 z轴
P
z
N (0, y1 , z1 )
M
.
M(x,y,z) S
f f (y11,, z11)=0 z )=0
xoy 面上的投影曲线所围之域 . 二者交线
z
在 xoy 面上的投影曲线 所围圆域: x y 1, z 0 .
2 2
机动
C
o x
1
y
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结束
空间曲线在坐标平面上的投影举例
同理可得如下两种投影方程：
2. 在YOZ平面上：
H ( y, z ) 0 — 消去x YZ： x0
2 2
S 2：z 25 x 2 y 2 — 半径为5，球心在O点的上半球面。
x 2 y 2 16 XY ： z0 P rj XY {( x, y ) | x 2 y 2 16}
H ( x, z ) 0 — 消去y ZX ： y0
空间曲线在一般平面上的投影[1]
![空间曲线在一般平面上的投影[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/935c444edcccda38376baf1ffc4ffe473368fdff.png)
空间曲线在一般平面上的投影[1]空间曲线在一般平面上的投影是指将空间曲线沿垂直于该平面的直线投影到该平面上所得到的图形。
在工程学和机械设计中，对空间曲线进行投影是十分重要的。
本文将介绍空间曲线在一般平面上的投影方法及应用。
1. 投影点法投影点法是一种常用的空间曲线投影方法。
该方法基于一个简单的原理，即直线上的所有点在同一平面上的投影相互平行。
如果我们为空间曲线上的每个点找到垂直于投影面的投影点，然后将这些投影点连接起来，就可以得到曲线在该平面上的投影了。
当然，这一过程需要进行详细的计算和绘图，但这种方法可以得到高精度的投影结果。
投影变换法是一种数学上较为高级的空间曲线投影方法。
该方法基于投影变换的概念，将空间曲线通过一个数学函数映射到投影面上。
这种方法具有优秀的精确度和计算效率，但需要一定的数学基础。
投影变换法在三维模型制作、计算机图形学等领域广泛应用。
除了以上三种方法，还有很多其他的空间曲线投影方法，如投影矩阵法、投影角度法等。
这些方法各有优缺点，应根据具体情况选择合适的投影方法。
空间曲线在一般平面上的投影在工程设计中的应用广泛。
例如，在机械设计中，需要对各种机械部件进行投影分析，以确定其尺寸和形状是否符合要求。
在建筑设计中，也需要对建筑物各个部分进行投影分析，以便准确计算建筑物的体积、面积等参数。
总之，空间曲线在一般平面上的投影是一项重要的技术，可以方便地将三维问题转化为二维问题进行分析和计算。
通过各种方法的比较和选择，我们可以得到准确的投影结果，提高工作效率和质量。
《曲线和曲面的投影》课件
3
斜投影
通过斜光线在投影平面上的投影，将曲线的形状展示在二维平面上。
曲面的投影
平面投影
将曲面投射到平面上，展示其在 不同角度下的形状。
柱体和圆锥的投影
掌握将柱体和圆锥在平面上的投 影技巧，准确表达其形态。
球体的投影
熟悉球体投影的方法，理解球体 在投影平面上的变化。
曲线和曲面投影的例题
练习题一
通过给定的曲线或曲面，求其在不同投影方法下的投影图。
深入探讨曲线和曲面投影在工程、建筑等领域的实际应用情况，拓宽视野。
参考文献
课本
论文
其他相关资料
练习题二
考察对投影方法的理解，通过给定的投影图恢复出原曲线或曲面的形状。
练习题三
应用所学的投影知识解决实际问题，探索曲线和曲面投影在现实中的应用价值。
总结
1
投影的概念
了解投影的基本概念，掌握投影的定义和作用。
2
曲线和曲面的投影方法
细致总结曲线和曲面的各种投影方法，理解它们之间的区别和特点。
3
实际应用场景
《曲线和曲面的投影》 PPT课件
在这个PPT课件中，我们将深入探讨曲线和曲面的投影。学习曲线的投影方法 以及不同曲面的投影技巧，并通过实例掌握这些概念。
曲线的投影
1
等轴测投影
通过等轴测图来表达曲线的投影，包括正等轴测投影和斜等轴测投影。
2投射到平面上，得到曲线的正射投影图。
第六章曲线与曲面的投影
2、投影画法
例：圆柱螺旋线投影的画法和螺旋线的展开。
按螺线的形 成原理作图
二、螺
旋
面
螺旋面是直母线 作螺旋运动时的轨迹。 螺旋面有正螺旋面、 斜螺旋面和可展螺旋 面等。
（一）、正螺旋面 以圆柱螺旋线及其 轴线为导线，直母线沿 此两条导线滑动时始终 垂直于轴线所得的轨迹， 即为正螺旋面。
按照正螺旋面的形成规律，可以得到如下两个结论： 1、以垂直于轴线的平 面截正螺旋面，截交线 是直线。
和导面。
素线：母线在某
一时刻的位置。 N
导线
A B
母线
C
A1 M
素线
B1
C1
a n m b
c
a1 b1
c1
曲面的形成可以是多种多样的
例1、圆柱面的几种形成方法。
动画演示
动画演示
例2、圆锥面的形成，如图6-9。
圆锥面可看作由 直母线绕和它相交 的轴线回转而成。
圆锥面可看 作由变径圆母 线沿过圆心的 轴线平移而成。
OK2=ok
•
C K2 D1
•
M
M为D1B中点 MK=ML=MB 短轴平行BL 长轴平行KB
•L
§6-3
一、曲面的形成
曲 面 概 述
曲面可认为是动线运动时的轨迹，动线也叫
母线。母线为直线时所形成的曲面叫做直纹面，
为曲线时所形成的曲面叫做曲纹面。
母线作规则运动时所形成的曲面叫做规则曲
面。控制母线运动的点、线、面叫做定点、导线
二、投影画法
回转面必须用点划线画出轴线 的投影，然后画出投影的轮廓线或某 些极限位置素线的投影和纬圆的投影。 对单个的回转面一般使轴线为投
影面垂直线，这样在平行于轴线的投
投影曲线求法
投影曲线求法是一种数学运算方法，它可以帮助我们更好地理解和解决一些实际问题。
下面将从定义、原理、应用等方面介绍投影曲线求法。
一、定义投影曲线是指一个物体在某个方向上的投影形成的曲线。
投影曲线求法是指通过给定的物体和方向，计算出物体在该方向上的投影曲线的方法。
二、原理投影曲线求法的基本原理是利用向量的投影运算。
向量投影是指将一个向量在另一个向量上的投影，其大小为原向量在该方向上的投影长度，方向与投影方向相同。
具体来说，对于一个物体，我们可以将其视为由众多点组成的图形，然后对于每个点，我们可以计算出其在给定方向上的投影长度，从而得到整个图形在该方向上的投影曲线。
三、应用投影曲线求法在实际中有广泛的应用，例如：1.建筑设计中，通过计算建筑物在不同方向上的投影曲线，可以确定建筑物的外观形状和尺寸。
2.机械制造中，通过计算零件在加工过程中的投影曲线，可以确定加工工艺和加工精度。
3.地形测量中，通过计算地形在不同方向上的投影曲线，可以确定地形的高度和坡度等信息。
4.电影制作中，通过计算角色在不同方向上的投影曲线，可以确定摄影机的拍摄角度和镜头设置。
5.数学研究中，投影曲线求法也被广泛应用于曲线和曲面的研究中。
四、优缺点投影曲线求法的优点在于可以帮助我们更好地理解和解决一些实际问题，同时也具有较高的精度和可靠性。
但是，其缺点在于计算过程较为复杂，需要较强的数学基础和计算能力。
五、总结投影曲线求法是一种基于向量投影运算的数学运算方法，它可以帮助我们更好地理解和解决一些实际问题。
在实际中，投影曲线求法具有广泛的应用，但同时也存在一些缺点。
因此，在使用投影曲线求法时，需要充分考虑其优缺点，并根据实际情况进行选择和应用。
曲线投影方程
曲线投影方程曲线投影方程是在三维空间中，将曲线投影到一个平面上的数学表达式。
它是在几何学、工程学和计算机图形学等领域中广泛应用的一个重要工具。
通过曲线投影方程，我们可以描述曲线在不同投影平面上的形状和位置关系，从而实现对曲线的可视化表示和分析。
在三维空间中，一条曲线可以由参数方程或者笛卡尔方程表示。
参数方程形式下，曲线的坐标是由一个或多个参数决定的。
例如，对于二维平面中的曲线，其参数方程通常可以表示为：x = f(t)y = g(t)其中，x和y是平面上的点的坐标，t是一个参数，f(t)和g(t)是关于t的函数。
通过改变参数t的取值范围，我们可以描述整个曲线。
在进行曲线投影时，我们需要选择一个投影平面，将曲线上的点映射到该平面上。
选择合适的投影方式，可以满足不同的需求。
常见的投影方式包括正交投影和透视投影。
对于正交投影，在投影平面上的点的坐标不受曲线点与观察点之间的距离和角度的影响。
投影方程可以表示为：x' = xy' = y其中，x'和y'是在投影平面上的点的坐标。
对于透视投影，投影平面上的点的坐标受曲线点与观察点之间的距离和角度的影响。
透视投影方程可以表示为：x' = x / (1 - z / d)y' = y / (1 - z / d)其中，x'和y'是在投影平面上的点的坐标，z是曲线点到观察点的距离，d是观察点到投影平面的距离。
通过使用曲线的参数方程和选定的投影方式，可以得到曲线在投影平面上的坐标。
这样，我们就可以用投影方程来描述曲线在不同投影平面上的形状和位置关系。
需要注意的是，曲线投影方程的具体形式与曲线的形状和投影方式有关。
不同的曲线和投影方式可能需要不同的方程。
因此，在具体应用中，我们需要根据具体的情况选择合适的曲线投影方程。
总之，曲线投影方程是一种重要的数学工具，可以用来描述曲线在不同投影平面上的形状和位置关系。
通过使用曲线的参数方程和选定的投影方式，我们可以计算曲线在投影平面上的坐标，实现对曲线的可视化显示和分析。
建筑形体的投影-曲线与曲面
以具体的建筑形体为例，分析其曲 面组合方式及相应的投影特性，如 建筑外立面的复杂曲面造型、室内 装饰中的曲面元素等。
Part
04
建筑形体中曲线与曲面应用实 例
建筑设计中曲线元素运用
流动感与动态美
曲线元素在建筑设计中能够带来流动感和动态美，打破直线的呆板与单调。例如，扎哈·哈迪德设计的 广州歌剧院，其外形采用了流线型的曲线设计，使整个建筑显得灵动而富有张力。
质感表现
通过表现建筑形体的质感，可以让人 更加直观地感受到建筑的材质和细节 ，提高真实感。
结合其他视觉元素丰富效果
配景设计
通过添加适当的配景元素，如人物、 植物、车辆等，可以让建筑形体更加 生动和具有情境感。
特效处理
运用一些特效处理技巧，如模糊、透 视、渐变等，可以增强建筑形体的动 感和空间感，提高视觉冲击力。
Part
02
曲线投影特性分析
平面曲线投影特性
投影形状
平面曲线在投影面上的形状取决于其与投影面的相对位置关系。当平面曲线平 行于投影面时，其投影形状与原图一致；当平面曲线倾斜于投影面时，其投影 形状会发生变化。
投影大小
平面曲线在投影面上的大小与原图大小成比例关系。当平面曲线平行于投影面 时，其投影大小与原图大小相等；当平面曲线倾斜于投影面时，其投影大小会 发生变化。
Part
03
曲面投影特性分析
平面曲面投影特性
投影形状
平面曲线在投影面上的形 状取决于其与投影面的相 对位置。
投影大小
平面曲线在投影面上的大 小会随其与投影面的距离 变化而变化。
投影方向
平面曲线的投影方向与其 所在平面的法线方向有关。
空间曲面投影特性
STEP 01
工程制图 第六章 曲线曲面体的投影
一、圆柱ห้องสมุดไป่ตู้
作图步骤： 画轴线 画底面和顶面的投影
画轮廓线 正面轮廓线 侧面轮廓线
圆柱投影图分析
底面——水平面 顶面——水平面 圆柱面
前半个圆柱面 后半个圆柱面 左半个圆柱面 右半个圆柱面 轮廓线 正面轮廓线 侧面轮廓线
右 后
前 左
例1 已知属于圆柱面上的点A、B、C 的一个投影
转
中途返回请按“ESC”键
线位置
中途返回请按“ESC”键
转
中途返回请按“ESC”键
线位置
中途返回请按“ESC”键
面位置
中途返回请按“ESC”键
面位置
中途返回请按“ESC”键
习题：P24，3
a1 a
b
b
c
c1
c
c1
a
a1
试将点D 绕所设OO 轴旋转到已知平面ABC 上
中途返回请按“ESC”键
——侧平圆为辅助线
第二节 平面与回转体截交
一 平面与圆柱截交 二 平面与圆锥截交 三 平面与球截交
一、平面与圆柱截交
表6.1 圆柱体截交线
截平面垂直轴线 截平面倾斜轴线 截平面平行轴线
截交线为圆
截交线为椭圆 截交线为矩形
例5 圆柱与正垂面相交，求截交线的投影
空间分析：
截交线为椭圆
作图步骤：
截交线的正面投影 截交线的侧面投影 截交线的水平投影
截平面 平行圆 锥上的 两素线
截平面 通过圆 锥锥顶
截交线 为抛物
线
截交线 为双曲
线
截交 线为 三角
形
例7 求圆锥与正垂面的截交线
m(n)
n
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第6-4节(曲面、空间曲线及其方程)
江西理工大学理学院第 4 节曲面、空间曲线及其方程江西理工大学理学院一、曲面方程的概念曲面的实例： 水桶的表面、台灯的罩子面等． 曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹． 曲面方程的定义：如果曲面 S 与三元方程 F ( x , y , z ) = 0 有下述关系：（1）曲面 S 上任一点的坐标都满足方程； （2）不在曲面 S 上的点的坐标都不满足方程；那么，方程 F ( x , y , z ) = 0 就叫做曲面 S 的方程， 而曲面 S 就叫做方程的图形．江西理工大学理学院以下给出几例常见的曲面.例 1 建立球心在点 M 0 ( x 0 , y0 , z 0 ) 、半径为 R 的球面方程.解设 M ( x , y , z ) 是球面上任一点，根据题意有| MM 0 |= R2 22 2 2( x − x0 )2+ ( y − y0 ) + ( z − z 0 ) = R2所求方程为 ( x − x0 ) + ( y − y0 ) + ( z − z0 ) = R 特殊地：球心在原点时方程为 x + y + z = R2 2 22江西理工大学理学院例 2 求与原点O 及 M 0 ( 2,3,4)的距离之比为1 : 2 的 点的全体所组成的曲面方程.解设 M ( x , y , z ) 是曲面上任一点，| MO | 1 = , 根据题意有 | MM 0 | 2 x2 + y2 + z2( x − 2) + ( y − 3) + (z − 4)2 221 = , 222⎞ 4 ⎞ 116 2 ⎛ ⎛ . 所求方程为 ⎜ x + ⎟ + ( y + 1) + ⎜ z + ⎟ = 3⎠ 3⎠ 9 ⎝ ⎝2江西理工大学理学院例 3 已知 A(1,2,3) ， B( 2,−1,4)，求线段 AB 的 垂直平分面的方程.解设 M ( x , y , z ) 是所求平面上任一点，根据题意有 | MA |=| MB |,( x − 1) + ( y − 2 ) + ( z − 3 )2 22( x − 2)2 + ( y + 1)2 + ( z − 4)2 , =化简得所求方程 2 x − 6 y + 2 z − 7 = 0.江西理工大学理学院2 2 例4 方程 z = ( x − 1) + ( y − 2) − 1的图形是怎样的？解根据题意有 z ≥ −1用平面 z = c 去截图形得圆：z( x − 1)2 + ( y − 2) 2 = 1 + c (c ≥ −1)当平面 z = c 上下移动时， 得到一系列圆coxy圆心在(1,2, c )，半径为 1 + c半径随c 的增大而增大. 图形上不封顶，下封底．江西理工大学理学院以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题： （1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程． （讨论旋转曲面） （2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状． （讨论柱面、二次曲面）江西理工大学理学院二、旋转曲面定义 以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线叫旋转 曲面的轴．播放 播放江西理工大学理学院旋转过程中的特征： 如图设 M ( x , y , z ),z⋅ M ( 0, y , z ) ⋅ Md1 1 1(1) z = z1（2）点 M 到 z 轴的距离o x2 2f ( y, z ) = 0yd=x + y =| y1 |2 2将 z = z1 , y1 = ± x + y 代入f ( y1 , z1 ) = 0江西理工大学理学院z = z1 , y1 = ± x 2 + y 2 代入 f ( y1 , z1 ) = 0 将得方程f (± x + y , z = 0,2 2)yoz 坐标面上的已知曲线 f ( y , z ) = 0 绕 z 轴旋转一周的旋转曲面方程.同理： yoz 坐标面上的已知曲线 f ( y , z ) = 0 绕 y 轴旋转一周的旋转曲面方程为f y, ±(x 2 + z 2 = 0.)江西理工大学理学院例 5 直线 L绕另一条与 L相交的直线旋转一周， 所得旋转曲面叫圆锥面．两直线的交点叫圆锥面 ⎛ 0 < α < π ⎞ 叫圆锥面的 的顶点，两直线的夹角 α ⎜ ⎟ 2⎠ ⎝ 半顶角．试建立顶点在坐标原点，旋转轴为 z 轴， 半顶角为α 的圆锥面方程． z解yoz 面上直线方程为 z = y cot α2 2⋅ αoM 1 (0, y1 , z1 )y圆锥面方程z = ± x + y cot αxM ( x , y, z )江西理工大学理学院例6 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求 生成的旋转曲面的方程．⎧ x2 z2 ⎪ 2 − 2 =1 （1）双曲线 ⎨ a 分别绕 x 轴和 z 轴； c ⎪ y=0 ⎩x2 y2 + z2 绕 x 轴旋转 − =1 2 2 a c x +y z − 2 =1 绕 z 轴旋转 2 a c2 2 2旋 转 双 曲 面⎧ y2 z2 ⎪ 2 + 2 =1 （2）椭圆 ⎨ a 绕 y 轴和 z 轴； c ⎪x = 0 ⎩ y2 x2 + z2 旋 绕 y 轴旋转 + =1 2 2a c x +y z + 2 =1 绕 z 轴旋转 2 a c2 2 2江西理工大学理学院转 椭 球 面⎧ y 2 = 2 pz （3）抛物线 ⎨ 绕 z 轴； ⎩x = 0x 2 + y 2 = 2 pz旋转抛物面江西理工大学理学院三、柱面定义 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面. 这条定曲线 C 叫柱面的准线 ，动直线 L 叫 柱面的母线. 观察柱面的形 成过程:播放 播放江西理工大学理学院柱面举例zzy = 2x2平面o xo xyyy= x抛物柱面江西理工大学理学院从柱面方程看柱面的特征：只含 x, y 而缺 z 的方程 F ( x , y ) = 0 ，在 空间直角坐标系中表示母线平行于 z 轴的柱 面，其准线为 xoy 面上曲线C . （其他类推）实 例y z + 2 = 1 椭圆柱面 // x 轴 2 b c x2 y2 − 2 = 1 双曲柱面 // z 轴 2 a b 2 抛物柱面 // y 轴 x = 2 pz22江西理工大学理学院四、空间曲线的一般方程空间曲线C可看作空间两曲面的交线.⎧F ( x, y, z ) = 0 ⎨ ⎩G ( x , y , z ) = 0空间曲线的一般方程 特点：曲线上的点都满足 方程，满足方程的点都在 曲线上，不在曲线上的点 不能同时满足两个方程.zS1 S2oxCy江西理工大学理学院⎧ x2 + y2 = 1 例7 方程组 ⎨ 表示怎样的曲线？ ⎩2 x + 3 y + 3z = 6解x 2 + y 2 = 1 表示圆柱面，2 x + 3 y + 3 z = 6 表示平面，⎧ x2 + y2 = 1 ⎨ ⎩2 x + 3 y + 3z = 6交线为椭圆.江西理工大学理学院⎧z = a2 − x2 − y2 ⎪ 2 表示怎样的曲线？ 例8 方程组 ⎨ a 2 a 2 ⎪( x − ) + y = ⎩ 2 4解z = a2 − x2 − y2上半球面,a 2 a2 2 圆柱面, (x − ) + y = 2 4交线如图.江西理工大学理学院五、空间曲线的参数方程⎧ x = x(t ) ⎪ ⎨ y = y( t ) 空间曲线的参数方程 ⎪ z = z( t ) ⎩当给定 t = t1 时，就 得到曲线上的一个点( x1 , y1 , z1 )，随着参数的变化可得到曲线上的全部点.,0αb +空间曲线投影柱面。
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椭圆的长轴应为平行于该投影面的直径的投影 短轴应为对该投影面成为最大斜度线的直径的投影
圆的投影-处于一般位置时圆的投影与作图方法-最大斜度线法 当圆处于一般位置时，则在各投影面上的投影均为椭圆。
可以采用最大斜度线法或变换投影面法来作图。
曲面的轮廓线就是在正投影条件下，包络已知 曲面的投射柱面与曲面的切线
当曲面轮廓线与曲面的某些位置的素线重合 时，这些母线称为界限素线
曲面的轮廓线对不
同投影面各不相同。
如图所示，投射柱 面与曲面的切线T称为 曲面对H面的轮廓线， ｔ′为曲面轮廓线的H 投影。
6.5.1 曲面的分类
根据不同的分类标准，曲面可以有许多不同的分 类方法。如：
6.2.1 曲线的投影 特性
1）曲线的投影一般仍为曲线，只有当平面曲线所在平面平行于投射 线时，投影为直线。在正投影条件下，该平面垂直于投影面时，曲线投 影为直线
2）属于曲线的点，其投影属于曲线的投影，即点与曲线的从属关系 为曲线投影的不变性
3）代数曲线的投影，其次数不变。如二次曲线的投影仍为二次曲 线
最大斜度线法
圆的投影-处于一般位置时圆的投影与作图方法-变换投影面法
特别注意：水平投影的 短轴gh和正投影的短轴
g h 并不一一对应。
变换投影面法
方法二：利用投影变换法求椭圆长、短轴
6.4 螺旋线
6.4.1 圆柱螺旋线 一点沿圆柱面直母线
作等速直线运动，同时该 母线又绕圆柱面轴线作等 速回转运动，则该点在空 间的运动轨迹即为圆柱螺 旋线
圆柱螺旋线的三要素 1：圆柱的直径ｄ
2：导程Ph：当动点所在直母线旋转一周时，点 沿该母线移动的距离称为螺旋线的导程
旋向：分为右旋、左旋两种
右螺旋线的动点运动 遵循右手定则，图上（a) 可见部分右边高；
左螺旋线的动点运动 遵循左手定则，图上(b) 可见部分左边高
作图步骤
6.1.2 圆锥螺旋线
一点沿圆锥面 直母线作等速直线 运动，同时该母线 又绕圆锥面轴线作 等速回转运动，则 该点在空间的运动 轨迹即为圆锥螺旋 线
当圆所在平面为投 影面平行面时，圆在所 平行的投影面上的投影 反映该圆的实形。在另 一投影面上的投影为直 线，线段的长度等于圆 的直径
6.3.2 圆所在平面为投影面垂直面
当圆所在的平面为投影面垂直面时，圆在所垂 直的投影面上的投影为直线，线段的长度等于其直 径。在另一投影面上的投影则为椭圆。
6.3.3 圆所在平面为一般位置平面
控制母线运动的点、线 和面称为定点、导线和 导面它们统称为导元素
母线由导元素控制按照一定规律运动所形成 的曲面称为规则曲面
母线作不规则运动所形成的曲面称为不规则曲面
同一曲面可以由多种方法形成，一般应采 用最简单的母线来描述曲面的形成
6.5 曲面的投影
只要作出能够确定曲面的几何要素的必要投影， 就可确定一个曲面，因为母线和导元素给定后，形成 的曲面将唯一确定。
1） 柱面
一、直线面
1 可展直线面
一直母线沿曲导线运动且始终平行于另一直导 线而形成的曲面称为柱面。
柱面的相邻两素线为平行直线，位于同一平面 内，所以是可展曲面。
作图时，一般应画出导线和曲面的轮廓线， 必要时还要画出若干素线及其曲面的H面迹线
直圆柱面
a
a
a
直圆柱面
斜圆柱面
直椭圆柱面
几种柱面
曲面可以看作是一条线（直线或曲线）在空 间作有规律或无规律的连续运动所形成的轨迹， 或者说曲面是运动线所有位置的集合
如图所示曲面， 是 由AA１沿着曲线 ABC运动且在运动 中始终平行于直线 MN所形成的
AA１称为母线
母线形状可以是不变的， 也可以是不断变化的
母线在曲面上的任一位 置称为素线，无限接近 的相邻两素线称为连续 两素线
按母线的形状分类，曲面可分为直线面和曲线面； 按母线的运动方式分类，曲面可分为移动面和回 转面； 按母线在运动中是否变化分类，曲面可分为定母 线面和变母线面； 按母线运动是否有规律来分类，曲面可分为规则 曲面和不规则曲面； 按曲面是否能无皱折地摊平在一个平面上来分类， 则可分为可展曲面和不可展曲面。
Ａ、Ｃ、D、G均为特殊点 B和F为对H面重影点 E为一般点
6.3 圆的投影
圆是最简单的平面曲线 根据圆所在平面相对于投影面的位置不同，其 正投影有如下三种情况（这里仅讨论其Ｖ和Ｈ两面 投影）： 2.1 圆所在平面为投影面平行面 2.2 圆所在平面为投影面垂直面
2.3 圆所在平面为一般位置平面
6.3.1 圆所在平面为投影面平行面
6.1.2 曲线的分类
1、按点的运动有无规律，曲线可分为规则曲线 （如圆锥曲线、螺旋线等）和不规则曲线。
2、按曲线上点的分布可分为两类： 1）平面曲线 曲线上所有点都在同一平面上， 如二次曲线、渐伸线等； 2）空间曲线 曲线上任一连续四个点不在同 一平面上，如螺旋线等。
6.2 曲线的投影 特性及其画法
斜椭圆柱面
4.1.2 锥面
一直母线沿曲导线 运动且始终通过一定点 （锥顶同一平面内，所以是可展 曲面。
作图时，一般只画出锥顶、导线和曲面的轮廓 线，必要时还要画出若干素线及曲面的H面迹线
4）曲线切线（割线）的投影仍为其投影的切线（割线）
6.2.2 曲线的投影画法
一般情况下，曲线至少需要两个投影才能确 定出它在空间的形状和位置。
按照曲线形成的方法，依次求出曲线上一 系列点的各面投影，然后把各点的同面投影顺 次光滑连接即得该曲线的投影。
为了提高作图准确性，应尽可能作出曲线上 特殊点（如极限位置点、分界点等）的投影，最 好把这些特殊点以及重影点用字母标注出来
第六章 曲线与曲面
6.1 曲线概述
6.1.1 曲线的形成 曲线的形成一般有下列三种方式： 1）点在空间作连续变换方向的 运动轨迹
2）一条线（直线或曲线）运动过程中的包络线
3）平面与曲面或两曲面相交的交线
必须指出：同一曲线可以由几种不同的方法形成。 如二次平面曲线（椭圆、双曲线、抛物线）既可看 成是点运动的轨迹，又可看成是平面和圆锥面的交 线。