对称性及守恒定律

第五章： 对称性及守恒定律

［１］证明力学量A

ˆ（不显含t ）的平均值对时间的二次微商为： ]ˆ],ˆ,ˆ[[2

2

2

H H A A dt

d -=η （H ˆ是哈密顿量） （解）根据力学量平均值的时间导数公式，若力学量A

ˆ 不显含t ，有

]ˆ

,ˆ[1H A i dt A d η

= （１） 将前式对时间求导，将等号右方看成为另一力学量

]ˆ

,ˆ[1H A i η

的平均值，则有： ]ˆ

],ˆ,ˆ[[1]ˆ],ˆ,ˆ[1[12

22H H A H H A i i dt A d ηηη-== （２） 此式遍乘2η即得待证式。

［２］证明，在不连续谱的能量本征态（束缚定态）下，不显含t 的物理量对时间t 的导

数的平均值等于零。

（证明）设A

ˆ是个不含t 的物理量，ψ是能量H ˆ的公立的本征态之一，求A ˆ在ψ态中的平均值，有：

⎰⎰⎰=τ

τψψd A

A ˆ*

将此平均值求时间导数，可得以下式（推导见课本§5.1）

⎰⎰⎰-≡=τ

τψψd A H H A i H A i dt A d )ˆˆˆˆ(*1]ˆ,ˆ[1ηη （１） 今ψ代表H

ˆ的本征态，故ψ满足本征方程式 ψψE H

=ˆ （E 为本征值） （２） 又因为H

ˆ是厄密算符，按定义有下式（ψ需要是束缚态，这样下述积公存在） τψψτψψτ

d A

H

d A H ⎰⎰⎰⎰⎰⎰=)ˆ(*)ˆ()~

(ˆ* （３）

（题中说力学量导数的平均值，与平均值的导数指同一量）

（２）（３）代入（１）得：

τψψτψψd A H i

d H A i dt A d )ˆ(*)ˆ(1)ˆ(ˆ*1⎰⎰⎰⎰⎰⎰-=ηη ⎰⎰⎰⎰⎰⎰-=

τψψτψψd A i

E d A i E ˆ**ˆ*ηη 因*E E =，而0=dt

A

d

［３］设粒子的哈密顿量为 )(2ˆˆ2r V p H

+=μ

。 （１） 证明

V r p p r dt

d ∀⋅-=⋅ϖ

ϖϖμ/)(2。 （２） 证明：对于定态 V r T ∀⋅=2

（证明）（１）z y x p z p y p x

p r ˆˆˆˆˆˆ++=⋅ϖ

ϖ，运用力学量平均值导数公式，以及对易算符的公配律： ]ˆ,ˆˆ[1)ˆˆ(H p r i p r

dt d ϖϖη

ϖϖ⋅=⋅

)],,(ˆ21,ˆˆˆˆˆˆ[]ˆ,ˆˆ[2z y x V p

p z p y p x H p r z y x +++=⋅μ

ϖϖ )],,()ˆˆˆ(21

,ˆˆˆˆˆˆ[222z y x V p p p p z p y p x

z y x z y x +++++=μ

)],,(,[21

],ˆˆˆˆˆˆ[2

2

2

z y x V zp yp xp p p p p z p y p x

z y x z y x z y x +++++++=μ

（２） 分动量算符仅与一个座标有关，例如x

i p x ∂∂

=η，而不同座标的算符相对易，因此（２）式可简化成：

]ˆ,ˆˆ[21]ˆ,ˆˆ[21]ˆ,ˆˆ[21]ˆ,ˆˆ[222z z y y x x p p z p p y p p x H p r

μ

μ

μ

++=⋅ϖϖ )],,(,ˆˆˆˆˆˆ[z y x V p z p y p x

z y x +++ ],ˆˆ[],ˆˆ[],ˆˆ[]ˆ,ˆˆ[21]ˆ,ˆˆ[21]ˆ,ˆˆ[2122

2V p z V p y V p x

p p z p p y p p x z y x z z y y x x +++++=

μμμ （３）

前式是轮换对称式，其中对易算符可展开如下：

x x x x p x p p x p p x

ˆˆˆˆˆ]ˆ,ˆˆ[23

2-= x x x x x x p x p p x p p x p p x

ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ22

23-+-= x x x x x p p x p p p x

ˆ]ˆ,ˆ[ˆˆ]ˆ,ˆ[2+= 222ˆ2ˆˆx x x p i p i p i ηηη=+= （４）

],ˆ[ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ],ˆˆ[V p x p V x V p x p x V V p x V p x

x x x x x x =-=-= x

V x i ∂∂=ˆˆη （５） 将（４）（５）代入（３），得：

}{)ˆˆˆ(]ˆ,ˆˆ[222z

V z y V y x V x i p p p i H p r

z y x ∂∂+∂∂+∂∂+++=⋅ηηϖϖμ }ˆ{2V r p

i ∀⋅+=ϖ

ημ

代入（１），证得题给公式：

V r p

p r dt d ∀⋅-=⋅ϖϖϖμ

2ˆ)( （６） （２）在定态ψ之下求不显含时间t 的力学量A ˆ的平均值，按前述习题２的结论，其 结果是零，令p r A

ˆˆˆϖϖ⋅= 则0)ˆˆ(*2

=∀⋅-=⋅=⋅⎰⎰⎰V r p d p r p r dt d ϖϖϖϖϖτ

μτψψ （７） 但动能平均值 μτψμψτ

22ˆ*22p d p T =≡⎰⎰⎰

由前式 V r T ∀⋅⋅=ϖ

2

1

［４］设粒子的势场),,(z y x V 是z y x ,,的n 次齐次式证明维里定理（Ｖirial theorem ） T V n 2= 式中Ｖ是势能，Ｔ是动能，并应用于特例：

（１）谐振子 T V = （２）库仑场 T V 2-=