二重积分对称性定理的证明与应用
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将 代入，化简得：
．
因此， 面内点 关于直线 的对称点为
，
雅可比行列式为
，
于是
．
由定理2知
即
例5计算 二重积分 ，
其中 是抛物线 ， 及直线 所围成的区域
图4
解由于积分区域 关于直线 对称，被积函数中 在区域 上关于 为奇函数， 在区域 上关于 为偶函数，见 图4 ,由定理4，
得：
．
当积分域 关于直线 轴对称时，有下面推论：
解 是关于 的偶函数，且区域 关于 轴对称，
所以
．
2.2积分区域D关于坐标区域内任意直线对称
将积分区域 关于坐标轴对称的情况推广到积分区域 关于坐标区域内任意直线对称，则有下面定理：
定理4如果积分域 关于直线 对称，则二重积分
其中 为 在以直线 为轴的右半平面部分
图3
证明若区域 对称于直线 ，不妨设 ，即倾斜角 为锐角．
结束语…………………………………………………………………………………….12
参考文献……………………………………………………………………………...….13
二重积分对称性定理的证明及应用
摘要：本文归纳利用对称性来计算二重积分的方法，给出了二重积分对称性定理的证明并举出了相应例题．
关键词：对称性；积分区城；被积函数
2.2积分区域 关于坐标区域内任意直线对称…………………………………….….5
2.3积分区域 关于坐标原点对称………………………………………………….……9
2.4积分区域 关于坐标区域内任意一点对称…………………………………...……11
2.5积分区域 同时关于坐标轴和坐标原点对称………………………………..…….12
前言………………………………………………………………………………………...1
1．预备知识……………………………………………………………………………….1
2．二重积分对称性定理在不同条件下的证明及其应用…………………….…2
2.1积分区域 关于坐标轴对称………………………………………………………….2
摘要…………………………………………………………………………………...…1
关键词…………………………………………………………………………………..……..1
Abstract………………………………………………………………………………..…1
Keywords………………………………………………………………………………….1
2二重积分对称性定理在不同条件下的证明及其应用
定理1 若二重积分 满足
(1)区域 可分为对称的两部分 和 ，对称点 ， ；
(2)被积函数在对称点的值 与 相同或互为 ；
则
．
其中 的坐标根据 的对称性的类型而确定．
2.1积分区域 关于坐标轴对称
2.1.1积分域 关于ｘ轴对称， 为 上的连续函数
定理2如果积分域 关于 轴对称， 为 的奇偶函数，则二重积分
1预备知识
对于二重积分 的计算，我们总是将其化为二次定积分来完成的，而在定积分的计算中，若遇到对称区间，则有下面非常简洁的结论：
当 在区间上为连续的奇函数时， ．
当 在区间上为连续的偶函数时， ．
这个结论，常可简化计算奇、偶函数在对称于原点的区间上的定积分．
在计算二重积分时，若积分区域具有某种对称性，是否也有相应的结论呢？回答是肯定的．下面，我们将此结论类似地推广到二重积分．
The
Abstract：It is introduced in the thesis some ways of how to calculate double integral with the application of symmetry. It is also put forward in it how to simplify the calculating methods with symmetry.
2.3积分区域 关于坐标原点对称
定理5如果积分域 关于原点对称， 同时为 ， 的奇偶函数，则二重积分
，
其中 为 的上半平面部分．
图5
证明若区域 对称于原点 图5 ，对任意 ，对称点 ，
, ,令
，
则区域 变换为 坐标平面内区域 ，雅可比行列式
，
所以
，
代入
，
得
．
例7计算
其中 是由 ， ， 以及 所围成的闭区域
推论1 如果积分域 关于直线 轴对称，则二重积分
．
例6设 为恒正的连续函数，计算积分
解由于积分区域 关于 对称，所以由推论2，可得：
，
于是
．
故
．
当积分区域关于 对称时，被积分函数的两个变量可以互换位置的特殊性质可以使二重积分计算化简．
类似的，若积分区域关于直线 对称且满足 ，则
，
或满足 ，则有
．
（其中 为 的一半）
Keywords：Symmetry;Integral region;Integrated function
前言
利用对称性计算二重积分，不但可以使计算简化，有时还可以避免错误．在一般情况下，必须是积分区域 具有对称性，而且被积函数对于区域 也具有对称性，才能利用对称性来计算．在特殊情况下，虽然积分区域 没有对称性，或者关于对称区域 被积函数没有对称性，但经过技巧性的处理，化为能用对称性来简化计算的积分．这些都是很值得我们探讨的问题．
即
．
2.5积分区域 同时关于坐标轴和坐标原点对称
推论2若区域 关于坐标轴、原点全对称，则二重积分 ，
其中 为 位于第一象限部分．
例8计算二重积分 ，其中区域 ：
解由于积分区域 关于坐标轴、原点全对称，由上述定理得
．
结束语
本文给出了二重积分对称性定理在不同条件下的证明以及应用，利用二重积分积分域 的对称性及被积函数 的奇偶性，一方面可减少计算量，另一方面可避免出差错，仅当积分域 的对称性与被积函数 的奇偶性两者兼得时才能用对称性定理．
，
其中 为 在 轴的上半平面部分．
证明来自百度文库
(1)
若区域 对称于 轴 图 ，对任意 ，其对称点
， ，令
，
则 变换为 坐标面上的 ，且雅可比行列式
．
故
，
于是，代入（1）式得：
．
例1计算 ，其中区域 ：
解 是关于 的奇函数且 关于 轴对称，
所以
．
例2计算 ，其中区域 ：
解因为 是关于 的偶函数，且 关于 轴对称，
所以
2.1.2积分域 关于 轴对称， 为 上的连续函数
定理3如果积分域 关于 轴对称， 为 的奇偶函数，则二重积分 ，
其中 为 在 轴的右半平面部分．
证明若区域 对称于 轴 图2 ，对任意 ，对称点 ，类似定理2的证明可得
．
例3计算 ，其中 ：
解 ，
，
且区域D关于 轴对称，所以
．
例4计算 ，其中区域 ：
当对称区域位于平面上任意位置时，对称点的坐标往往比较复杂，导致定理中某些条件难以检验．但如果 ，那么无论对称区域位于何处，总有 ，定理恒成立．这就是为什么在求面积、体积时，总可以用对称性化简的原因．
参考文献
[1]隋梅真．对称区域上二重积分可以简化的条件和方法[J]．山东：山东建筑工程学院学报，1995.
首先，平移坐标轴，得坐标系 ,如 图3
，
即
．（2）
其次，将坐标系 沿逆时针方向旋转，旋转角为 ，使 轴与直线 重合．得新坐标系 ：
（3）
由 得
，
即
．
坐标面内对称于直线 的区域 ，在新坐标系 内对应的区域 关于 轴对称． 面内任意点 ，在 面内对应点 ．
， ，
点 关于 轴对称点 ， 在 面内对应点为 ，
[2]王玮，张素玲．对称区域上二重积分的计算[J]．河南：焦作大学学报，1999.
[3]方耀．二重积分对称性的应用[J]．河北：河北自学考试，2001.
[4]张振强．对称性在二重积分计算中的应用[J]．广西：南宁师范高等专科学校学报，2002.
[5]汪秀羌．二重积分的对称性问题[J]．安徽：工科数学，1996.
其中 为 以 为对称点的右半平面部分．
图7
证明若区域 对称于点 图7 ，平移坐标轴
，
即
．
坐标面内区域 在 坐标面内对应的区域 关于其坐标原点 对称．
面内任意点 ，对应 面内点 ，它关于 对称点为 ． 面内点 对应 面内点 ．由此， 面内点 关于点 的对称点为 ．雅可比行列式为
，
于是
．
由定理5的证明知
图6
解如 图6 ， ， 、 关于原点对称，但被积函数不满足 ,也不满足 ,故不能直接用定理来计算，
但若记
，
对 和 分别应用定理5，则
，
，
故
．
2.4积分区域 关于坐标区域内任意一点对称
将积分区域 关于原点对称的情况推广到积分区域 关于坐标区域内任意一点对称，则有下面定理：
定理6如果积分域 关于点 对称，则二重积分 ，
．
因此， 面内点 关于直线 的对称点为
，
雅可比行列式为
，
于是
．
由定理2知
即
例5计算 二重积分 ，
其中 是抛物线 ， 及直线 所围成的区域
图4
解由于积分区域 关于直线 对称，被积函数中 在区域 上关于 为奇函数， 在区域 上关于 为偶函数，见 图4 ,由定理4，
得：
．
当积分域 关于直线 轴对称时，有下面推论：
解 是关于 的偶函数，且区域 关于 轴对称，
所以
．
2.2积分区域D关于坐标区域内任意直线对称
将积分区域 关于坐标轴对称的情况推广到积分区域 关于坐标区域内任意直线对称，则有下面定理：
定理4如果积分域 关于直线 对称，则二重积分
其中 为 在以直线 为轴的右半平面部分
图3
证明若区域 对称于直线 ，不妨设 ，即倾斜角 为锐角．
结束语…………………………………………………………………………………….12
参考文献……………………………………………………………………………...….13
二重积分对称性定理的证明及应用
摘要：本文归纳利用对称性来计算二重积分的方法，给出了二重积分对称性定理的证明并举出了相应例题．
关键词：对称性；积分区城；被积函数
2.2积分区域 关于坐标区域内任意直线对称…………………………………….….5
2.3积分区域 关于坐标原点对称………………………………………………….……9
2.4积分区域 关于坐标区域内任意一点对称…………………………………...……11
2.5积分区域 同时关于坐标轴和坐标原点对称………………………………..…….12
前言………………………………………………………………………………………...1
1．预备知识……………………………………………………………………………….1
2．二重积分对称性定理在不同条件下的证明及其应用…………………….…2
2.1积分区域 关于坐标轴对称………………………………………………………….2
摘要…………………………………………………………………………………...…1
关键词…………………………………………………………………………………..……..1
Abstract………………………………………………………………………………..…1
Keywords………………………………………………………………………………….1
2二重积分对称性定理在不同条件下的证明及其应用
定理1 若二重积分 满足
(1)区域 可分为对称的两部分 和 ，对称点 ， ；
(2)被积函数在对称点的值 与 相同或互为 ；
则
．
其中 的坐标根据 的对称性的类型而确定．
2.1积分区域 关于坐标轴对称
2.1.1积分域 关于ｘ轴对称， 为 上的连续函数
定理2如果积分域 关于 轴对称， 为 的奇偶函数，则二重积分
1预备知识
对于二重积分 的计算，我们总是将其化为二次定积分来完成的，而在定积分的计算中，若遇到对称区间，则有下面非常简洁的结论：
当 在区间上为连续的奇函数时， ．
当 在区间上为连续的偶函数时， ．
这个结论，常可简化计算奇、偶函数在对称于原点的区间上的定积分．
在计算二重积分时，若积分区域具有某种对称性，是否也有相应的结论呢？回答是肯定的．下面，我们将此结论类似地推广到二重积分．
The
Abstract：It is introduced in the thesis some ways of how to calculate double integral with the application of symmetry. It is also put forward in it how to simplify the calculating methods with symmetry.
2.3积分区域 关于坐标原点对称
定理5如果积分域 关于原点对称， 同时为 ， 的奇偶函数，则二重积分
，
其中 为 的上半平面部分．
图5
证明若区域 对称于原点 图5 ，对任意 ，对称点 ，
, ,令
，
则区域 变换为 坐标平面内区域 ，雅可比行列式
，
所以
，
代入
，
得
．
例7计算
其中 是由 ， ， 以及 所围成的闭区域
推论1 如果积分域 关于直线 轴对称，则二重积分
．
例6设 为恒正的连续函数，计算积分
解由于积分区域 关于 对称，所以由推论2，可得：
，
于是
．
故
．
当积分区域关于 对称时，被积分函数的两个变量可以互换位置的特殊性质可以使二重积分计算化简．
类似的，若积分区域关于直线 对称且满足 ，则
，
或满足 ，则有
．
（其中 为 的一半）
Keywords：Symmetry;Integral region;Integrated function
前言
利用对称性计算二重积分，不但可以使计算简化，有时还可以避免错误．在一般情况下，必须是积分区域 具有对称性，而且被积函数对于区域 也具有对称性，才能利用对称性来计算．在特殊情况下，虽然积分区域 没有对称性，或者关于对称区域 被积函数没有对称性，但经过技巧性的处理，化为能用对称性来简化计算的积分．这些都是很值得我们探讨的问题．
即
．
2.5积分区域 同时关于坐标轴和坐标原点对称
推论2若区域 关于坐标轴、原点全对称，则二重积分 ，
其中 为 位于第一象限部分．
例8计算二重积分 ，其中区域 ：
解由于积分区域 关于坐标轴、原点全对称，由上述定理得
．
结束语
本文给出了二重积分对称性定理在不同条件下的证明以及应用，利用二重积分积分域 的对称性及被积函数 的奇偶性，一方面可减少计算量，另一方面可避免出差错，仅当积分域 的对称性与被积函数 的奇偶性两者兼得时才能用对称性定理．
，
其中 为 在 轴的上半平面部分．
证明来自百度文库
(1)
若区域 对称于 轴 图 ，对任意 ，其对称点
， ，令
，
则 变换为 坐标面上的 ，且雅可比行列式
．
故
，
于是，代入（1）式得：
．
例1计算 ，其中区域 ：
解 是关于 的奇函数且 关于 轴对称，
所以
．
例2计算 ，其中区域 ：
解因为 是关于 的偶函数，且 关于 轴对称，
所以
2.1.2积分域 关于 轴对称， 为 上的连续函数
定理3如果积分域 关于 轴对称， 为 的奇偶函数，则二重积分 ，
其中 为 在 轴的右半平面部分．
证明若区域 对称于 轴 图2 ，对任意 ，对称点 ，类似定理2的证明可得
．
例3计算 ，其中 ：
解 ，
，
且区域D关于 轴对称，所以
．
例4计算 ，其中区域 ：
当对称区域位于平面上任意位置时，对称点的坐标往往比较复杂，导致定理中某些条件难以检验．但如果 ，那么无论对称区域位于何处，总有 ，定理恒成立．这就是为什么在求面积、体积时，总可以用对称性化简的原因．
参考文献
[1]隋梅真．对称区域上二重积分可以简化的条件和方法[J]．山东：山东建筑工程学院学报，1995.
首先，平移坐标轴，得坐标系 ,如 图3
，
即
．（2）
其次，将坐标系 沿逆时针方向旋转，旋转角为 ，使 轴与直线 重合．得新坐标系 ：
（3）
由 得
，
即
．
坐标面内对称于直线 的区域 ，在新坐标系 内对应的区域 关于 轴对称． 面内任意点 ，在 面内对应点 ．
， ，
点 关于 轴对称点 ， 在 面内对应点为 ，
[2]王玮，张素玲．对称区域上二重积分的计算[J]．河南：焦作大学学报，1999.
[3]方耀．二重积分对称性的应用[J]．河北：河北自学考试，2001.
[4]张振强．对称性在二重积分计算中的应用[J]．广西：南宁师范高等专科学校学报，2002.
[5]汪秀羌．二重积分的对称性问题[J]．安徽：工科数学，1996.
其中 为 以 为对称点的右半平面部分．
图7
证明若区域 对称于点 图7 ，平移坐标轴
，
即
．
坐标面内区域 在 坐标面内对应的区域 关于其坐标原点 对称．
面内任意点 ，对应 面内点 ，它关于 对称点为 ． 面内点 对应 面内点 ．由此， 面内点 关于点 的对称点为 ．雅可比行列式为
，
于是
．
由定理5的证明知
图6
解如 图6 ， ， 、 关于原点对称，但被积函数不满足 ,也不满足 ,故不能直接用定理来计算，
但若记
，
对 和 分别应用定理5，则
，
，
故
．
2.4积分区域 关于坐标区域内任意一点对称
将积分区域 关于原点对称的情况推广到积分区域 关于坐标区域内任意一点对称，则有下面定理：
定理6如果积分域 关于点 对称，则二重积分 ，