【精品课件】基本初等函数课件
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第五节初等函数23页PPT
偶 (奇 )数时 x为 ， (奇 偶 )函. 数
当 为负x 整 的数 定 ( 时 义 ,0 )和 ， (0 域 ,) .为
23
当为分数时，情杂 况， 比 x3如 ,较 x5的复定义域
为(,)；x72,x53的定义(域,0为 )和(0,)；x12的定 义域[0为 ,).
当 为无理数x时 的， 定规 义 (0,定 域 ). 为
(三 )指数 ya x 函 (a0 ,a 数 1 ,a 是)常数 指数函数 a x 的定义域为(,).当a>1时，它严
格单调增加；当0<a<1时，它严格单调减少.对于任何 的a , a x 的值域都是(0,)，函数的图形都过(0,1)点.
以e为底的两个常用函数
(1)： y = e x (2): y=logex=lnx
这里e=2.718 281 8 ，是一个无理数
(五)三角函数 常用的三角函数有： 正弦函数 y=sin x;
余弦函数 y=cos x;
y=sin x与y=cos x 的定义域均为(,)，它们 都是以2π为周期的函数，都是有界函数.
反余切函数 y ac rc x o ,y t(0 ,π )定 , 义 (, 域 ) . 为
二、初等函数
定义 由基本初等函数经过有限次四则运算经过有限 次复合运算所构成，并可用一个式子表示的函数，称 为初等函数.
不是初等函数的函数叫作非初等函数.
初等函数都可以用公一式个表.达
例如，函数yax2 bxc，y3x2，
第五节 初等函数
一、基本初等函数 二、初等函数 三、隐函数
一、基本初等函数
(一)常量y=C(C为常数) 常量函数的定义域为(,)，无论x取何值，y都
取值常数C.
当 为负x 整 的数 定 ( 时 义 ,0 )和 ， (0 域 ,) .为
23
当为分数时，情杂 况， 比 x3如 ,较 x5的复定义域
为(,)；x72,x53的定义(域,0为 )和(0,)；x12的定 义域[0为 ,).
当 为无理数x时 的， 定规 义 (0,定 域 ). 为
(三 )指数 ya x 函 (a0 ,a 数 1 ,a 是)常数 指数函数 a x 的定义域为(,).当a>1时，它严
格单调增加；当0<a<1时，它严格单调减少.对于任何 的a , a x 的值域都是(0,)，函数的图形都过(0,1)点.
以e为底的两个常用函数
(1)： y = e x (2): y=logex=lnx
这里e=2.718 281 8 ，是一个无理数
(五)三角函数 常用的三角函数有： 正弦函数 y=sin x;
余弦函数 y=cos x;
y=sin x与y=cos x 的定义域均为(,)，它们 都是以2π为周期的函数，都是有界函数.
反余切函数 y ac rc x o ,y t(0 ,π )定 , 义 (, 域 ) . 为
二、初等函数
定义 由基本初等函数经过有限次四则运算经过有限 次复合运算所构成，并可用一个式子表示的函数，称 为初等函数.
不是初等函数的函数叫作非初等函数.
初等函数都可以用公一式个表.达
例如，函数yax2 bxc，y3x2，
第五节 初等函数
一、基本初等函数 二、初等函数 三、隐函数
一、基本初等函数
(一)常量y=C(C为常数) 常量函数的定义域为(,)，无论x取何值，y都
取值常数C.
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则 课件 (1)
原函数 f(x)＝c(c为常数) f(x)＝xα(α∈Q*)
f(x)＝sin x f(x)＝cos x
f(x)＝ax
导函数 f′(x)＝_0__ f′(x)＝_α_x_α_－_1_ f′(x)＝_c_o_s_x__ f′(x)＝__－__s_in__x_ f′(x)＝ axln a (a>0)
f(x)＝ex f(x)＝logax f(x)＝ln x
∴所求的最短距离
d＝1本初等函数的导数公式
知识点一 几个常用函数的导数
原函数 f(x)＝c f(x)＝x f(x)＝x2 f(x)＝ 1
x f(x)＝ x
导函数 f′(x)＝_0__ f′(x)＝_1__ f′(x)＝__2_x_ f′(x)＝_－__x1_2 _
1 f′(x)＝_2__x__
知识点二 基本初等函数的导数公式
命题角度2 求切点坐标问题 例3 求抛物线y＝x2上的点到直线x－y－2＝0的最短距离.
解 设切点坐标为(x0，x20)，依题意知与直线 x－y－2＝0 平行的抛物线 y ＝x2 的切线的切点到直线 x－y－2＝0 的距离最短.
∵y′＝(x2)′＝2x，∴2x0＝1，∴x0＝12，
∴切点坐标为12，41，
f′(x)＝_e_x_
1 f′(x)＝ xln a (a>0且a≠1)
1 f′(x)＝__x_
类型一 利用导数公式求函数的导数
例1 求下列函数的导数. (1)y＝sin π6； 解 y′＝0. (2)y＝12x； 解 y′＝12xln12＝－12xln 2.
(3)y＝lg x；
解 y′＝xln110.
(4)y＝ x2x；
解
∵y＝
x2x＝x
3 2
基本初等函数课件新人教A版必修
•[0，＋∞) •被开方数
•根指数
•a
•a
•答案： C
•答案： A
•答案： (1)－5 (2)－b
•[题后感悟] 解决根式的化简问题，首先要分 清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根 式的性质进行解答．
•答案： B
•去根号，化为含绝对值的形式―→讨论x取值 ，去绝对值―→分别化简得结论
•[题后感悟] 为使开偶次方后不出现符号错误 ，第一步先用绝对值表示开方的结果，再去掉 绝对值符号化简，化简时要结合条件或分类讨 论．
基本初等函数课件新人教A 版必修
•2．1 指数函数
•2．1.1 指数与指数幂的运算
•第1课时 根 式
1.理解n次方根及根式的 概念. 2.正确运用根式运算性 质进行运算变换.
1.利用根式的运算性 点)
•|a|
•a
•a
•a
•xn＝a
高等数学初等函数ppt课件
无限地接近,向右与x轴无限地接近.
•当 为奇数时, 幂函数为奇函数;当 为偶数时,
幂函数为偶函数.
•当 0 时, 函数为常数函数 y 1
5
指数函数
定义:函数 y a x 叫做指数函数, a 其中 是一个大于0,且不等于1的常量,函
数的定义域是R.
y a x (a 0,a 1) x R
2
ymin= 1
f(x)= 0 x k (k Z )
R [1,1]
x 2k (k Z ) 时 ymax=1 x 2k (k Z ) 时 ymin= 1
x k (k Z ) 11
2
f(x)=sinx
f(x)= cosx
图象
x
x
周期性 奇偶性
在 (0,) 上是减函数 在 (0,) 上是增函数 9
三角函数
三角函数常用公式
10
f(x)=sinx
f(x)= cosx
y
y
图1
1
象
0
-1 -
2
3
2 x 0
2
-1
2
3
2 x
2
定义域 值域
最值
R
[1,1]
x 2k (k Z ) 时
2
ymax=1 x 2k (k Z ) 时
商 f: g
( f )(x) f (x) , x D \{x | g(x) 0, x D}Biblioteka gg(x)29
三. 初等函数
由常数及基本初等函数 经过有限次四则运算和复合步
骤所构成 , 并可用一个式子表示的函数 , 称为初等函数 .
•当 为奇数时, 幂函数为奇函数;当 为偶数时,
幂函数为偶函数.
•当 0 时, 函数为常数函数 y 1
5
指数函数
定义:函数 y a x 叫做指数函数, a 其中 是一个大于0,且不等于1的常量,函
数的定义域是R.
y a x (a 0,a 1) x R
2
ymin= 1
f(x)= 0 x k (k Z )
R [1,1]
x 2k (k Z ) 时 ymax=1 x 2k (k Z ) 时 ymin= 1
x k (k Z ) 11
2
f(x)=sinx
f(x)= cosx
图象
x
x
周期性 奇偶性
在 (0,) 上是减函数 在 (0,) 上是增函数 9
三角函数
三角函数常用公式
10
f(x)=sinx
f(x)= cosx
y
y
图1
1
象
0
-1 -
2
3
2 x 0
2
-1
2
3
2 x
2
定义域 值域
最值
R
[1,1]
x 2k (k Z ) 时
2
ymax=1 x 2k (k Z ) 时
商 f: g
( f )(x) f (x) , x D \{x | g(x) 0, x D}Biblioteka gg(x)29
三. 初等函数
由常数及基本初等函数 经过有限次四则运算和复合步
骤所构成 , 并可用一个式子表示的函数 , 称为初等函数 .
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则课件ppt
5. 若 fx ax,则f ' x ax ln a;
6. 若 fx ex,则f ' x ex ;
7.
若 fx loga x,则 f ' x
1 ;
x ln a
8.
若 fx ln x,则 f ' x
1 .
x
； https:/// 韩国优惠卷 韩国免税店 ；
寻及解光减死一等 尽为甲骑 免税店虽伏明法 釐公不寤 有功 上既悔远征伐 其几何 不当死 剡手以冲仇人之匈 莎车王无子 汉遣使诏新王 杀略三千馀人 宣知方进名儒 置直谏之士者 便於底柱之漕 唯卓氏曰 露寒 携剑推锋 九年冬十月 奋乾刚之威 参出击 黄金重一斤 赍金币 诏书追录忠臣 昔者 登於升 妄致系人 虽颇惊动 本始元年丞相义等议 欲杀之 定代地 后 有以尉复师傅之臣 免税店韩国优惠券 度辽将军范明友三万馀骑 次君弟 亡在泽中 初 御史大夫彭宣为大司空 抑厌遂退 商 北渡回兮迅流难 苴白茅於江 共养三德为善 梁不听 越亦将其众居巨野泽中 散鹿台之财 至十 七年复在鹑火 《玄》文多 汉连出兵三岁 犹不能兼并匈奴 优惠券 若后之矣 此盖受命之符也 其与剖刺史举惇朴逊让有行义者各一人 假之威权 在汉中兴 王曰 六曰月主 自是之后 弗能敝也 纵而弗呵歑则市肆异用 伍人知不发举 我死 元王敬礼申公等 韩国免税店 寤其外邦 每宴见 留与母居 下士闻道大笑之 请入粟为庶人 於是太后幸太子宫 无过二三十世者也 有似周家檿孤之祥 奏之太后 徙颍川太守 罪乃在臣衡 班教化 为元元害 长吏送自负海江淮至北边 子怀公立 免税店韩国优惠券 不以强人 后都护韩宣复奏 数至十二日 数称荐宏 绶若若邪 陛下加惠 封舅谭 乱於河 燕囚之 置使家 几获盗之 恭 榷酤 《颂》各得其所 当行 能帅众为善 支体伤则心憯怛 犹以不急事操人 优惠券 颂功德 《
初等函数-课件PPT
(2)∵π4 ∈0，π2 ，∴fπ4 ＝－tanπ4 ＝－1， ∴ffπ4＝f(－1)＝2×(－1)3＝－2.
解决分段函数求值问题的方法： (1)求分段函数的函数值时，应根据所给自变量的大小选择相 应段的解析式求解，有时每段交替使用求值． (2)若给出函数值或函数值的范围求自变量值或自变量的取 值范围，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所 求自变量值是否符合相应段的自变量的取值范围，做到分段 函数分段解决．
【解】(1)法一：设 t＝ x＋1，则 x＝(t－1)2(t≥1)； 代入原式有 f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－2t＋1＋2t－2＝t2－1. 故 f(x)＝x2－1(x≥1)． 法二：∵x＋2 x＝( x)2＋2 x＋1－1＝( x＋1)2－1， ∴f( x＋1)＝( x＋1)2－1( x＋1≥1)，即 f(x)＝x2－1(x≥1)．
基本初等函数、导数及其应用
• 2015高考导 航
知识点
考纲下载
1.了解构成函数的要素；会求一些简单函数的定义
函数及 其表示
域和值域；了解映射的概念． 2．在实际、 情境中，会根据不同的需要选择恰当 的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．
3．了解简单的分段函数，并能简单地应用.
单调性
1.理解函数的单调性及其几何意义． 2．理解函数最大值、最小值及其几何意义.
求函数的解析式
(1)已知 fx2＋1＝lg x，求 f(x)；
(2)已知 f(x)是一次函数，且满足 3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋ 17，求 f(x)的解析式； (3)定义在(－1，1)内的函数 f(x)满足 2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)， 求函数 f(x)的解析式． [课堂笔记]
奇偶性 结合具体函数，了解函数奇偶性的含义.
解决分段函数求值问题的方法： (1)求分段函数的函数值时，应根据所给自变量的大小选择相 应段的解析式求解，有时每段交替使用求值． (2)若给出函数值或函数值的范围求自变量值或自变量的取 值范围，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所 求自变量值是否符合相应段的自变量的取值范围，做到分段 函数分段解决．
【解】(1)法一：设 t＝ x＋1，则 x＝(t－1)2(t≥1)； 代入原式有 f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－2t＋1＋2t－2＝t2－1. 故 f(x)＝x2－1(x≥1)． 法二：∵x＋2 x＝( x)2＋2 x＋1－1＝( x＋1)2－1， ∴f( x＋1)＝( x＋1)2－1( x＋1≥1)，即 f(x)＝x2－1(x≥1)．
基本初等函数、导数及其应用
• 2015高考导 航
知识点
考纲下载
1.了解构成函数的要素；会求一些简单函数的定义
函数及 其表示
域和值域；了解映射的概念． 2．在实际、 情境中，会根据不同的需要选择恰当 的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．
3．了解简单的分段函数，并能简单地应用.
单调性
1.理解函数的单调性及其几何意义． 2．理解函数最大值、最小值及其几何意义.
求函数的解析式
(1)已知 fx2＋1＝lg x，求 f(x)；
(2)已知 f(x)是一次函数，且满足 3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋ 17，求 f(x)的解析式； (3)定义在(－1，1)内的函数 f(x)满足 2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)， 求函数 f(x)的解析式． [课堂笔记]
奇偶性 结合具体函数，了解函数奇偶性的含义.
高中数学新人教A版必修1课件：第二章基本初等函数2.2.1对数与对数运算(第1课时)对数
• 并非所有指数式都可以直接化为对数式．如(－3)2＝9就不能直接 写成log(－3)9＝2，只有a＞0且a≠1，N＞0时，才有ax＝N⇔x＝logaN.
〔跟踪练习1〕
将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：
(1)42＝16；
(2)102＝100；
1
(3)42
＝2；
(4)log1 32＝－5. 2
(3)原式＝(alogab) logbc＝blogbc＝c.
• 『规律方法』 运用对数恒等式时注意事项 • (1)对于对数恒等式alogaN＝N要注意格式： • ①它们是同底的；②指数中含有对数情势；③其值为对数的真数． • (2)对于指数中含有对数值的式子进行化简，应充分考虑对数恒等式的应用．
〔跟踪练习3〕 求31＋log36－24＋log23＋103lg3＋(19)log34的值． [解析] 原式＝3·3 log36－24·2 log23＋(10lg3)3＋(3 log34)－2 ＝3×6－16×3＋33＋4－2 ＝18－48＋27＋116＝－4176.
• 3．对数与指数的关系
• 当a＞0，且a≠1时，ax＝N⇔x＝____ln_N_______.
• 4．对数的基本性质 • (1)___零___和_负_数______没有对数．
• (2)loga1＝_0____(a＞0，且a≠1)． • (3)logaa＝_1____(a＞0，且a≠1)． • 5．对数恒等式
B．log1 9＝－2 3
C．log1 (－2)＝9 3
D．log9(－2)＝13
[解析] 将(13)－2＝9写成对数式为log13 9＝－2，故选B．
• 4．若log2(log3x)＝0，则x＝_3____. • [解析] 由题意得log3x＝1，∴x＝3.
〔跟踪练习1〕
将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：
(1)42＝16；
(2)102＝100；
1
(3)42
＝2；
(4)log1 32＝－5. 2
(3)原式＝(alogab) logbc＝blogbc＝c.
• 『规律方法』 运用对数恒等式时注意事项 • (1)对于对数恒等式alogaN＝N要注意格式： • ①它们是同底的；②指数中含有对数情势；③其值为对数的真数． • (2)对于指数中含有对数值的式子进行化简，应充分考虑对数恒等式的应用．
〔跟踪练习3〕 求31＋log36－24＋log23＋103lg3＋(19)log34的值． [解析] 原式＝3·3 log36－24·2 log23＋(10lg3)3＋(3 log34)－2 ＝3×6－16×3＋33＋4－2 ＝18－48＋27＋116＝－4176.
• 3．对数与指数的关系
• 当a＞0，且a≠1时，ax＝N⇔x＝____ln_N_______.
• 4．对数的基本性质 • (1)___零___和_负_数______没有对数．
• (2)loga1＝_0____(a＞0，且a≠1)． • (3)logaa＝_1____(a＞0，且a≠1)． • 5．对数恒等式
B．log1 9＝－2 3
C．log1 (－2)＝9 3
D．log9(－2)＝13
[解析] 将(13)－2＝9写成对数式为log13 9＝－2，故选B．
• 4．若log2(log3x)＝0，则x＝_3____. • [解析] 由题意得log3x＝1，∴x＝3.
高中数学课件第二章-基本初等函数
2
∴ f (x) 1 的零点为 9 , 2 5 .
4
82
题型分类 深度剖析
题型一 零点的判断 【例1】判断下列函数在给定区间上是否存在零点.
(1)f（x）=x2-3x-18，x∈［1，8］； (2)f（x）=log2(x+2)-x，x∈［1，3］. 思维启迪第（1）问利用零点的存在性定理或 直接求出零点，第（2）问利用零点的存在性定理 或利用两图象的交点来求解.
Δ>0
Δ=0
Δ<0
二次函数 y=ax2+bx+c (a>0)的图象
与x轴的交点 __(_x_1,_0_)_,__ __(_x_2_,_0_)__
零点个数
__两__个__
__(_x_1,_0_)__ _一__个__
无交点 _无__
3.二分法 （1）二分法的定义
对于在区间［a，b］上连续不断且_f_(_a_)_·__f(_b__)_<_0_的 函数y=f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区 间__一__分__为__二__,使区间的两个端点逐步逼近_零__点__,进 而得到零点近似值的方法叫做二分法. （2）用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤 第一步，确定区间［a，b］，验证_f_(_a_)_·__f_(_b_)_<_0__,
（2）利用图象求解.
解 （1）方法一 ∵ g(x) x e2 2 e2 2 e, x
等号成立的条件是x=e.
故g(x)的值域是[2e，+∞)，
4分
因而只需m≥2e，则 g(x)=m就有零点.
6分
方法二 作出g(x) x e2 的图象如图： x
4分
可知若使g(x)=m有零点，则只需m≥2e.
基本初等函数及其图像精品PPT课件
9
5.反三角函数 反正弦函数 y arcsin x
y arcsin x
y A sin x
10
反余弦函数 y arccos x
y arccos x
y A rccos x
11
反正切函数 y arctan x
y arctan x
y A rc tan x
12
反余切函数 y arccot x
y 1ex 2
y shx
y 1ex 2
14
双曲正切
thx
sh ch
x x
ex ex
ex ex
D : (,) 奇函数, 有界函数,
15
双曲函数常用公式
sh(x y) shxchy chxshy;
sin(x y) sin x cos y cos x sin y ;
ch(x y) chxchy shxshy;
y loga x
(1,0)
•
(a 1)
y log 1 x
a
自然对数函数y ln x loge x
3
4.三角函数
正弦函数 y sin x
y sin x
4
余弦函数 y cos x
y cos x
5
正切函数 y tan x
y tan x
D {x | x R, x (2n 1) }
y arthx
1 ln 1 x . 2 1 x
D : (1,1)
奇函数,
在 (1,1)内单调增加 .
y ar tanh x
19
.思考
设x 0 ，函数值 f ( 1 ) x 1 x2 ， x
求函数 y f ( x) ( x 0)的解析表达式.
20
5.反三角函数 反正弦函数 y arcsin x
y arcsin x
y A sin x
10
反余弦函数 y arccos x
y arccos x
y A rccos x
11
反正切函数 y arctan x
y arctan x
y A rc tan x
12
反余切函数 y arccot x
y 1ex 2
y shx
y 1ex 2
14
双曲正切
thx
sh ch
x x
ex ex
ex ex
D : (,) 奇函数, 有界函数,
15
双曲函数常用公式
sh(x y) shxchy chxshy;
sin(x y) sin x cos y cos x sin y ;
ch(x y) chxchy shxshy;
y loga x
(1,0)
•
(a 1)
y log 1 x
a
自然对数函数y ln x loge x
3
4.三角函数
正弦函数 y sin x
y sin x
4
余弦函数 y cos x
y cos x
5
正切函数 y tan x
y tan x
D {x | x R, x (2n 1) }
y arthx
1 ln 1 x . 2 1 x
D : (1,1)
奇函数,
在 (1,1)内单调增加 .
y ar tanh x
19
.思考
设x 0 ，函数值 f ( 1 ) x 1 x2 ， x
求函数 y f ( x) ( x 0)的解析表达式.
20
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则 课件
求下列函数的导数：
(1)y＝(x2＋1)2；
(2)y＝cos22x.
[错解] (1)y′＝2(x2＋1)； (2)y＝－2sin2x.
[辨析] 这是复合函数的导数，若y＝f(u)，u＝h(x)，则 y′x＝y′u·u′x.
如(1)中，y＝u2，u＝x2＋1，y′x＝2u·2x＝2(x2＋1)·2x＝ 4x(x2＋1)，遇到这种类型的函数求导，可先整理再求导，或用 复合函数求导公式求导．
基本初等函数的导数公式 及导数的运算法则
复合函数的导数
求下列函数的导数：
(1)y＝(3x－2)2；
(2)y＝ln(6x＋4)；
(3)y＝e2x＋1; (4)y＝ 2x－1；
(5)y＝sin3x－4π； (6)y＝cos2x.
[分析] 抓住构成复合函数的基本初等函数是求复合函数 导数的关键，解题时可先把复合函数分拆成基本初等函数， 再运用复合函数求导法则．
即y＝(3x20＋1)(x－x0)＋x30＋x0－16.
又因为直线l过点(0,0)，所以(3x
2 0
＋1)(0－x0)＋x
3 0
＋x0－16
＝0，解得x0＝－2.
代入f(x)＝x3＋x－16，可得y0＝－26， 直线l的斜率为3x20＋1＝13. 所以直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．
[解析] (1)看成函数y＝u2与u＝3x－2的复合函数，根据 复合函数求导法则有：y′x＝y′u·u′x＝2u·3＝6u＝6(3x－2)＝ 18x－12.
开始学习复合函数求导时，要紧扣上述步骤进行，待熟 练后可简化步骤如下：
y′＝2(3x－2)·(3x－2)′＝6(3x－4)′＝3x＋3 2.
[正解] 解法1：(1)∵y＝(x2＋1)2＝x4＋2x2＋1， ∴y′＝4x3＋4x. (2)∵y＝cos22x＝1＋2cosx， ∴y′＝－12sinx. 解法2：(1)y′＝2(x2＋1)·(x2＋1)′＝4x(x2＋1)． (2)y′＝2cos2x·(cos2x)′ ＝2cos2x·(－sin2x)·(2x)′＝－12sinx.
5.2.1基本初等函数的导数课件(人教版)
2. 若f ( x) x,则f ( x) 1；
3. 若f ( x) x2 ,则f ( x) 2x；
4. 若f ( x) x3 ,则f ( x) 3x2；
5. 若f
x
1 x
,则f
x
1； x2
6. 若f x x ,则f x 1 .
2x
推广: 若y f ( x) x，则 y x1
O
x
从物理的角度理解：
若y=x表示路程关于时间的函数,则y=1可以解释为某物体做瞬 时速度为1的匀速运动.
探究
在同一平面直角坐标系中,画出函数y=2x, y=3x, y=4x的图象,并根 据导数定义,求它们的导数.
(1)从图象上看,它们的导数分别表示什么?
y y=4x y=3x
(2)这三个函数中,哪一个增加得最快?哪 一个增加得最慢?
基本初等函数的导数公式
1. 若f ( x) c,则f ( x) 0
2. 若f ( x) xn ,则f ( x) nxn1(n R)
3. 若f ( x) sin x,则f ( x) cos x
4. 若f ( x) cos x,则f ( x) sin x
5. 若f ( x) a x ,则f ( x) a x ln a
某物体作变速运动,它在时刻x的瞬时速度为2x.
4. 函数y f ( x) x3的导数
因为y f ( x x) f ( x) ( x x)3 x3
x
x
x
x3 3x2 x 3x (x)2 (x)3 x3 x
3x2 3x x (x)2,
所以y
lim
x0
y x
lim
x0
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课件(PPT版)2.3_初等函数
六、反双曲函数
定义 反双曲正弦函数 Arsh z Ln (z z2 1 );
P 44
反双曲余弦函数 Arch z Ln (z z2 1 );
反双曲正切函数 Arth z 1 Ln 1 z ; 2 1 z
反双曲余切函数 Arcoth z 1 Ln z 1 . 2 z1
i Lni
i ( i2kπi)
2
( 2kπ)
2
,
(k 0, 1, 2,) .
可见，i i是正实数，它的主值是
e
2
.
例 求 1 2 的值。
解 1 2 e 2 Ln1 e 2[0i(02k )] e2 2kπi
cos (2 2 kπ) i sin (2 2 kπ) , (k 0, 1, 2,).
(w)
一、指数函数
性质 (7) 映射关系： 由 w ez ex (cos y i sin y) ex ei y , 有
|w| ex,
Arg w y 2kπ ,
(k 0, 1, 2,)
由 z 的实部得到 w 的模； 由 z 的虚部得到 w 的辐角。
How beautiful the sea is!
u ln r ln| z|,
v
Arg z .
由 z 的模得到 w 的实部 ； 由 z 的辐角得到 w 的虚部 。
即 w Ln z ln| z | i Arg z
ln| z | i arg z 2kπi , (k 0, 1, 2,).
其中，m 与 n 为互质的整数，且 n 1.
此时，za 除原点与负实轴外处处解析， 且 (za ) a za 1.
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• 2．对数运算首先注意公式应用过程中范围 的变化，前后要等价，熟练地运用对数的三个 运算性质并结合对数恒等式，换底公式．这是
[思维点击] 第(1)题关于分数指数幂的运算，要把握分数 指数幂的运算性质，要注意运算顺序．
第(2)题关于常用对数的运算，对于底数相同的对数式的 化简，要将同底的两对数的和(差)化成积(商)的对数．
1．化简下列各式：
(1)
33 a b÷ b
a3×3 a
b；
(2)lg 500＋lg85－12lg 64＋50(lg 2＋lg 5)2－24＋log23.
(2)方法一：原式
＝lg500×85－lg
64＋50[l
g(2×5)]ຫໍສະໝຸດ 2－16·2log 3 2
＝lg 800－lg 8＋50－16×3＝lg8800＋50－48
(3)指数函数y＝ax(a>0，a≠1)的定义域与对数函数y＝ logax(a>0，a≠1)的值域相同，为R；指数函数y＝ax(a>0， a≠1)的值域与对数函数y＝logax(a>0，a≠1)的定义域相同，为 (0，＋∞)．
(4)指数函数y＝ax(a>0，a≠1)与对数函数y＝logax(a>0， a≠1)的图象和性质都与a的取值有密切的联系，需分a>1与 0<a<1进行讨论：a>1时，函数的单调性相同，都为增函数； 0<a<1时，函数的单调性相同，都为减函数．
• (2)对常用对数的化简要创设情境，充分利用 lg 5＋lg 2＝1来求解．
• (3)对多重对数符号的化简，应从内向外逐层 化简求值．
• (4)对数的运算性质，要注意只有当式子中所
3．对比学习指数函数、对数函数的性质 指数函数、对数函数是一对“姊妹”函数，它们的定义、 图象、性质和运算既有区别又有联系． (1)指数函数y＝ax(a>0，a≠1)，对数函数y＝logax(a>0， a≠1)的定义中对底数a的要求是一样的，均为a>0，且a≠1. (2)指数函数y＝ax(a>0，a≠1)恒过定点(0,1)，对数函数y＝ logax(a>0，a≠1)恒过定点(1,0)．
＝lg 100＋2＝2＋2＝4.
方法二：原式
＝lg 5＋lg 100＋lg 8－lg 5－12lg 82＋50－16·2log23
＝lg 100＋50－48＝4.
•数的大小比较
• 【点拨】 指数式与对数式的大小比较是 基本初等函数中的一类重要题目类型，其主要 方法有以下三种：
• (1)根据函数的单调性(如根据一次函数、二 次函数、指数函数、对数函数、幂函数的单调 性)，利用单调性的定义求解；
• (2)采用中间量的方法(实际上也要用到函数 的单调性)，常用的中间量如0,1，－1等；
• (3)采用数形结合的方法，通过函数的图象
比较下列各组数的大小：
(1)40.9,80.48，12－1.5； (2)log20.4，log30.4，log40.4. [思维点击] (1)观察三个数的特点，都可以化为以2为底 的指数式，故可以利用函数y＝2x的单调性解决； (2)通过换底公式都可以用函数y＝log0.4x的倒数表示三个 数，再通过幂函数y＝x－1的单调性解决．
[规范解答] (1)40.9＝21.8,80.48＝21.44，12－1.5＝21.5， ∵y＝2x在(－∞，＋∞)上是增函数，∴40.9>12－1.5>80.48； (2)∵对数函数y＝log0.4x在(0，＋∞)上是减函数， ∴log0.44<log0.43<log0.42<log0.41＝0. 又幂函数y＝x－1在(－∞，0)上是减函数， 所以log10.42<log10.43<log10.44， 即log20.4<log30.4<log40.4.
况．此时要注意两种运算的顺序是否可换，如当a≥0时， n am
＝(
n a
)m，而当a<0时，则不一定可换，应视m，n的情况而
定．
• 2．点击对数运算
• (1)同底对数化简的常用方法：将同底的两对 数的和(差)化成积(商)的对数；将积(商)的对 数拆成对数的和(差)，根据题目的条件选择 恰当的方法．
知能整合提升
1．点击指数运算 有理数指数及其运算是本章的基础内容，要明确运算法 则，化简或求值是本章知识点的主要呈现方式． (1)在进行幂和根式的化简时，一般是先将根式化成幂的 形式，并尽可能地统一成分数指数幂的形式，再利用幂的运算 性质进行化简、求值或计算，以达到化繁为简的目的． (2)根式的运算中，有开方和乘方两种运算并存的情
5．探究指数不等式、对数不等式的解法 指数不等式、对数不等式的解法主要是“同底法”，即把 不等式两边化为同底数，再根据相应函数的单调性，运用转化 和化归思想转化为一般不等式求解．同时，要注意转化的等价 性．
热点考点例析
•关于指数、对数的运算
• 【点拨】 指数、对数的运算应遵循的原 则
• 1．指数式的运算首先注意化简顺序，一般 负指数先转化成正指数，根式化为分数指数幂 运算，其次若出现分式则要注意分子、分母因 式分解以达到约分的目的．
(2)方法一：12lg3429－34lg 8＋lg 245 ＝lg472－lg 4＋lg 7 5＝lg4 7 2×14×7 5 ＝lg 10＝12lg 10＝21.
方法二：原式＝12(5lg 2－2lg 7)－34×23lg 2＋21(2lg 7＋lg 5) ＝52lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋12lg 5 ＝12lg 2＋12lg 5＝12(lg 2＋lg 5) ＝12lg 10＝21.
(5)指数函数y＝ax(a>0，a≠1)与对数函数y＝logax(a>0， a≠1)互为反函数，函数图象关于y＝x对称．
4．详谈比较指数(对数)大小的方法 (1)当需要比较大小的两个实数均是指数(对数)时，可将其 看成某个指数函数或幂函数(对数函数)的函数值，然后利用该 函数的单调性进行比较． (2)比较多个数的大小时，先利用“0”和“1”作为分界点，即 把它们分为“小于0”“大于0，小于1”“大于1”三部分，然 后在各部分内利用函数的性质比较大小．
[思维点击] 第(1)题关于分数指数幂的运算，要把握分数 指数幂的运算性质，要注意运算顺序．
第(2)题关于常用对数的运算，对于底数相同的对数式的 化简，要将同底的两对数的和(差)化成积(商)的对数．
1．化简下列各式：
(1)
33 a b÷ b
a3×3 a
b；
(2)lg 500＋lg85－12lg 64＋50(lg 2＋lg 5)2－24＋log23.
(2)方法一：原式
＝lg500×85－lg
64＋50[l
g(2×5)]ຫໍສະໝຸດ 2－16·2log 3 2
＝lg 800－lg 8＋50－16×3＝lg8800＋50－48
(3)指数函数y＝ax(a>0，a≠1)的定义域与对数函数y＝ logax(a>0，a≠1)的值域相同，为R；指数函数y＝ax(a>0， a≠1)的值域与对数函数y＝logax(a>0，a≠1)的定义域相同，为 (0，＋∞)．
(4)指数函数y＝ax(a>0，a≠1)与对数函数y＝logax(a>0， a≠1)的图象和性质都与a的取值有密切的联系，需分a>1与 0<a<1进行讨论：a>1时，函数的单调性相同，都为增函数； 0<a<1时，函数的单调性相同，都为减函数．
• (2)对常用对数的化简要创设情境，充分利用 lg 5＋lg 2＝1来求解．
• (3)对多重对数符号的化简，应从内向外逐层 化简求值．
• (4)对数的运算性质，要注意只有当式子中所
3．对比学习指数函数、对数函数的性质 指数函数、对数函数是一对“姊妹”函数，它们的定义、 图象、性质和运算既有区别又有联系． (1)指数函数y＝ax(a>0，a≠1)，对数函数y＝logax(a>0， a≠1)的定义中对底数a的要求是一样的，均为a>0，且a≠1. (2)指数函数y＝ax(a>0，a≠1)恒过定点(0,1)，对数函数y＝ logax(a>0，a≠1)恒过定点(1,0)．
＝lg 100＋2＝2＋2＝4.
方法二：原式
＝lg 5＋lg 100＋lg 8－lg 5－12lg 82＋50－16·2log23
＝lg 100＋50－48＝4.
•数的大小比较
• 【点拨】 指数式与对数式的大小比较是 基本初等函数中的一类重要题目类型，其主要 方法有以下三种：
• (1)根据函数的单调性(如根据一次函数、二 次函数、指数函数、对数函数、幂函数的单调 性)，利用单调性的定义求解；
• (2)采用中间量的方法(实际上也要用到函数 的单调性)，常用的中间量如0,1，－1等；
• (3)采用数形结合的方法，通过函数的图象
比较下列各组数的大小：
(1)40.9,80.48，12－1.5； (2)log20.4，log30.4，log40.4. [思维点击] (1)观察三个数的特点，都可以化为以2为底 的指数式，故可以利用函数y＝2x的单调性解决； (2)通过换底公式都可以用函数y＝log0.4x的倒数表示三个 数，再通过幂函数y＝x－1的单调性解决．
[规范解答] (1)40.9＝21.8,80.48＝21.44，12－1.5＝21.5， ∵y＝2x在(－∞，＋∞)上是增函数，∴40.9>12－1.5>80.48； (2)∵对数函数y＝log0.4x在(0，＋∞)上是减函数， ∴log0.44<log0.43<log0.42<log0.41＝0. 又幂函数y＝x－1在(－∞，0)上是减函数， 所以log10.42<log10.43<log10.44， 即log20.4<log30.4<log40.4.
况．此时要注意两种运算的顺序是否可换，如当a≥0时， n am
＝(
n a
)m，而当a<0时，则不一定可换，应视m，n的情况而
定．
• 2．点击对数运算
• (1)同底对数化简的常用方法：将同底的两对 数的和(差)化成积(商)的对数；将积(商)的对 数拆成对数的和(差)，根据题目的条件选择 恰当的方法．
知能整合提升
1．点击指数运算 有理数指数及其运算是本章的基础内容，要明确运算法 则，化简或求值是本章知识点的主要呈现方式． (1)在进行幂和根式的化简时，一般是先将根式化成幂的 形式，并尽可能地统一成分数指数幂的形式，再利用幂的运算 性质进行化简、求值或计算，以达到化繁为简的目的． (2)根式的运算中，有开方和乘方两种运算并存的情
5．探究指数不等式、对数不等式的解法 指数不等式、对数不等式的解法主要是“同底法”，即把 不等式两边化为同底数，再根据相应函数的单调性，运用转化 和化归思想转化为一般不等式求解．同时，要注意转化的等价 性．
热点考点例析
•关于指数、对数的运算
• 【点拨】 指数、对数的运算应遵循的原 则
• 1．指数式的运算首先注意化简顺序，一般 负指数先转化成正指数，根式化为分数指数幂 运算，其次若出现分式则要注意分子、分母因 式分解以达到约分的目的．
(2)方法一：12lg3429－34lg 8＋lg 245 ＝lg472－lg 4＋lg 7 5＝lg4 7 2×14×7 5 ＝lg 10＝12lg 10＝21.
方法二：原式＝12(5lg 2－2lg 7)－34×23lg 2＋21(2lg 7＋lg 5) ＝52lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋12lg 5 ＝12lg 2＋12lg 5＝12(lg 2＋lg 5) ＝12lg 10＝21.
(5)指数函数y＝ax(a>0，a≠1)与对数函数y＝logax(a>0， a≠1)互为反函数，函数图象关于y＝x对称．
4．详谈比较指数(对数)大小的方法 (1)当需要比较大小的两个实数均是指数(对数)时，可将其 看成某个指数函数或幂函数(对数函数)的函数值，然后利用该 函数的单调性进行比较． (2)比较多个数的大小时，先利用“0”和“1”作为分界点，即 把它们分为“小于0”“大于0，小于1”“大于1”三部分，然 后在各部分内利用函数的性质比较大小．