江阴市敔山湾实验学校(初中)数学整式的乘法与因式分解中考真题汇编[解析版]

一、八年级数学整式的乘法与因式分解解答题压轴题（难）

1．阅读以下材料，并按要求完成相应的任务．

在初中数学课本中重点介绍了提公因式法和运用公式法两种因式

分解的方法，其中运用公式法即运用平方差公式：22()()a b a b a b -=+-和完全平方公式：222

)2(a ab b a b ±+=±进行分解因式，能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍．当一个二次三项式不能直接能运用完全平方公式分解因式时，可应用下

面方法分解因式，先将多项式2ax bx c ++(0)a ≠变形为2()a x m n ++的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式2ax bx c ++的配方法．再运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行分解因式．

例如：21124x x ++

22

21111112422x x ⎛⎫⎛⎫=++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 2112524x ⎛⎫=+- ⎪⎝

⎭ 1151152222x x ⎛⎫⎛⎫=+++- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ (8)(3)x x =++．

根据以上材料，完成相应的任务：

（1）利用“多项式的配方法”将268x x -+化成2()a x m n ++的形式为_______；

（2）请你利用上述方法因式分解：

①223x x +-； ②24127x x +-．

【答案】（1）2(3)1x --；（2）①(3)(1)x x +-；②(27)(21)x x +-

【解析】

【分析】

（1）将多项式2233+-即可完成配方；

（2）①将多项式+1-1后即可用配方法再根据平方差公式分解因式进行解答；

②将多项式2233+-即可完成配方，再根据平方差公式分解因式，整理后即可得到结果.

【详解】

解：（1）268x x -+=2226338x x -+-+=2(3)1x --，

故答案为：2(3)1x --；

（2）①223x x +-

22113x x =++--

2(1)4x =+-

(12)(12)x x =+++-

(3)(1)x x =+-．

②24127x x +-

222(2)12337x x =++--

2(23)16x =+-

(234)(234)x x =+++-

(27)(21)x x =+-．

【点睛】

此题考查多项式的配方法，多项式的分解因式，正确理解题中的配方法的解题方法是关键.

2．（1）你能求出（a ﹣1）（a 99+a 98+a 97+…+a 2+a +1）的值吗？遇到这样的问题，我们可以先从简单的情况入手，分别计算下列各式的值．

（a ﹣1）（a +1）＝ ；

（a ﹣1）（a 2+a +1）＝ ；

（a ﹣1）（a 3+a 2+a +1）＝ ；…

由此我们可以得到：（a ﹣1）（a 99+a 98+…+a +1）＝ ．

（2）利用（1）的结论，完成下面的计算：

2199+2198+2197+…+22+2+1．

【答案】（1）21a -，31a -，41a -，1001a -（2）20021-

【解析】

【分析】

根据简单的多项式运算推出同类复杂多项式运算结果的一般规律，然后根据找出的规律进行解决较难的运算问题．

【详解】

解：（1）21a - 31a - 41a - 1001a -

（2）1991981972222221+++⋅⋅⋅++

=()21- ⨯（1991981972222221+++⋅⋅⋅++）

=20021-．

【点睛】

考查了学生的基础运算能力和对同一类运算问题计算结果的一般规律性洞察力．

3．我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积时，可以得到一个数学等式．例如由图1可以得到()()22

322a ab b a b a b ++=++．请回答下列问题：

（1）写出图2中所表示的数学等式是 ；

（2）如图3，用四块完全相同的长方形拼成正方形，用不同的方法，计算图中阴影部分的

面积，你能发现什么?(用含有x ，

y 的式子表示) ； （3）通过上述的等量关系，我们可知: 当两个正数的和一定时，它们的差的绝对值越小，则积越 （填“ 大”“或“小”）；当两个正数的积一定时，它们的差的绝对值越小，则和越 （填“ 大”或“小”）．

【答案】（1）22(2)(2)225a b a b a b ab ++=++；（2）22()()4x y x y xy +=-+；

（3）大 小

【解析】

【分析】

（1）图2面积有两种求法，可以由长为2a+b ，宽为a+2b 的矩形面积求出，也可以由两个边长为a 与边长为b 的两正方形，及4个长为a ，宽为b 的矩形面积之和求出，表示即可； （2）阴影部分的面积可以由边长为x+y 的大正方形的面积减去边长为x-y 的小正方形面积求出，也可以由4个长为x ，宽为y 的矩形面积之和求出，表示出即可；

（3）两正数和一定，则和的平方一定，根据等式224()()xy x y x y =+--，得到被减数

一定，差的绝对值越小，即为减数越小，得到差越大，即积越大；当两正数积一定时，即差一定，差的绝对值越小，得到减数越小，可得出被减数越小；

【详解】

（1）看图可知，22(2)(2)225a b a b a b ab ++=++

（2）22()()4x y x y xy +=-+

（3）当两个正数的和一定时，它们的差的绝对值越小则积越大；当两个正数的积一定时，它们的差的绝对值越小则和越小.

【点睛】

本题考点：整式的混合运算，此题考查了整式的混合运算的应用，弄清题意是解本题的关键．

4．先阅读下列材料：我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、十字相乘法等等，其中十字相乘法在高中应用较多．