初等数学研究教案

教案

课程名称：初等数学研究任课教师：

教师所在单位

课程简介

《初等数学研究》是初等教育专业的专业课。它是在学生掌握了一定的高等数学理论知识的基础上，继教育学、心理学之后而开设的。本课程从中学数学教学的需要出发，以基本问题分成若干专题进行研究，在内容上适当加深和拓广，在理论、观点、思想、方法上予以总结提高，并着重解决理论方面的问题。本课程的重点是培养中小学数学教师严谨、系统的初等数学理论和基础知识，训练中小学数学教师的技巧。

《初等数学研究》包括《初等代数研究》和《初等几何研究》两部分，是初等教育专业开设的一门综合性的选修课程。根据高等师范学校数学专业的培养目标，通过该课程的学习，使学生了解初等数学的发展过程，初等数学的内容结构，思想方法等。理解初等数学理论知识，提高中学数学教学水平。学习本课程，要求学生更好地掌握并处理中学数学的教材，还必须使学生理解中学数学中用描述的方法引进的一些数学概念怎样给出精确的定义，未作证明的或证明不完整的数学命题怎样做出严格的证明，以及一些广泛应用的数学方法的理论依据。

本课程摆脱了中学数学里已有的基础，以及高等数学里已作详尽讨论的知识，按照自己的逻辑系统来阐述初等数学的内容，并进行研究，将避免造成与中学数学或高等数学不必要的重复。对于中学数学中已经解决的问题，将不在展开讨论，已有的知识与技能将作为工具来应用，在高等数学里已讨论过的有关理论，可以直接指导中学数学的，将直接应用，不再讨论。

《初等数学研究》教案

1. 反射变换

函数)(x f y -=与)(x f y =的图象关于y 轴对称；函数)(x f y -=与)(x f y =的图象关于x 轴对称；函数)(1x f

-与)(x f y =的图象关于直线x y =对称．因此函数)(x f y -=，)(x f y -=和)(1

x f

-的

图象可由函数的图象分别对y 轴、x 轴和直线x y =作反射得到．

2. 平移变换

函数b x f y +=)(的图象可由函数)(x f y =的图象沿y 轴方向上下平移b 个单位得到．当0>b 时，图象向上平移；当0

函数)(m x f y +=的图象可有函数)(x f y =的图象沿x 轴方向左右平移m 个单位得到．当0>m 时，图象向左平移；当0

３. 伸缩变换

函数)0)((>=k x kf y 的图象可由函数)(x f y =的图象沿y 轴方向放大)1(>k k 倍或缩短

)10(<=k kx f y 的图象可由函数)(x f y =的图象沿轴x 方向压缩)

1(>k k 倍或伸长)10(1

<

例3 作出函数2

11x y -=的图象．

解 易知2

11

x

y -=

的定义域为),1()1,1()1,(+∞⋃-⋃--∞，且没有零点，)1,1(-是其正值区间．),1(),1,(+∞--∞是其负值区间．所给函数是偶函数，其图象关于y 轴对称．当0=x 时，该函数有极小值1．当]1,0[∈x 时单调递增，当)0,1(-∈x 时单调递减，当)1,1(-∈x 时，函数是下凸的．当),1(+∞∈x 时，函数单调递增，且上凸；当），（1-∞-时，函数单调递减，且上凸．由于0

11

lim 11lim 2

2=-=-+∞→-∞→x x x x 在)1,1(-区间内+∞=-=-+-

→→2121

11lim 11lim x x x x 在区间内-∞=---→2111

lim x

x 在),1(+∞区间内-∞=-+

→2

1

11

lim x

x 所以函数图象无限趋近于x 轴与直线1±=x 根据以上分析容易作出函数的图象。 复习思考题、作业题：

1、若函数)0(2>=a ax y 的图象已经作出，试通过图象变换作出函数y ＝13+x 2+的图象．

2、作出函数x y 3

11+=

的图象．

定义4 形如⎪⎪

⎩⎪⎪⎨⎧===)

,,(),,(),,(),,(),,,(),,,(212121*********n k n k n

n n n x x x G x x x F x x x G x x x F x x x G x x x F (2)的集合称为含有n 个未知数x 1，x 2，…，n

x 的k 个方程的方程组.

定义5 在方程组⑵的定义域中使方程组成立的数组（a 1,a 2, …a n )称为方程组⑵的解，方程组⑵所有解的集合称为方程组⑵的解集，求方程组的解集的过程称为解方程组.

事实上，方程组（2）的解集也就是组成该方程的k 个方程的解集的交集. 1.2 不等式的基本概念

定义6 形如 F ,,(y x …),z ∨G ,,(y x …),z ⑶的式了称为善于变元x ,,y …,z 的不等式，其中∨表示不等号＞,＜,≥,≤,≠中的任何一种，F ,,(y x …),z 与G ,,(y x …),z 为变元的实函数，它们的定义域的交集称为不等式⑶的定义域.

定义7 在不等式⑶的定义域D 中，使不等式成立的数组),...,,(c b a 称为不等式⑶的解集，不等式⑶的解的全体组成的集合S 称为不等式⑶的解集.求不等式的解集的过程，称为解不等式.

显然，解集S 与定义域D 满足S ⊆D .

⑴若解集S ＝D ，则称⑶式为绝对不等式。 ⑵若解集S ＝φ，则称⑶式为矛盾不等式。 ⑶若解集S ⊂D ，则称⑶式为条件不等式。 1.3 方程的变形与某些类型的方程的解法

定理 若F 1（x ）≡F 2（x ），G 1（x ）≡G 2（x ），且方程F 1（x ）≡G 1（x ）与方程F 2（x ）≡G 2（x ）的定义域相同，则这两个方程同解

证明 设方程⑴、⑵的解集分别为S 1、S 2，它们的定义域为D .设a ∈S 1，则F 1（a ）= G 1（a ）,且a ∈D ，即a 在F 1（a ）与G 1（a ）的公共域中，由F 1（x ）≡F 2（x ），有F 1（a ）= F 2（a ）.同理G 1（a ）= G 2（a ），则有F 2（a ）= G 2（a ），即a ∈S 2，故S 1⊆S 2。

同理可证S 2⊆S 1.所以S 1＝S 2，即方程⑴与方程⑵同解. 这个定理是利用恒等代换求解方程的理论基础 复习思考题、作业题：

1023=+++r qx px x 的三个根分别为,,,321x x x 试求一个一元三次方程，使得其三根分别为2

13132

321,,x x x x x x x x x +++.