高中数学一轮复习资料

1sinx
的图象向左平移m个单位(m>0)，
若所得图象对应的函数为偶函数，则m的最小值是________．
解析：由题意，知f(x)＝3sinx－cosx＝2(
31π
2sinx－2cosx)＝2sin(x－6)，
ππ
其图象向左平移m个单位后变为y＝2sin(x－＋m)，平移后其对称轴为x－＋m＝kπ＋
312
7π
＋φ)＝1，解得φ＝2kπ－
12
2π
(k∈Z)，
3
又－π<φ<π，故φ＝－
2π2π7π
，故f(x)＝3sin(2x－
3)，依次判断各选项，易知①②是错误的，由图象易知x＝是函数图象
312
π7π
的一条对称轴，故③正确，④函数的单调递增区间有无穷多个，区间[
，]只是函数的一个单调递增区间，⑤由上述推
22π
，－2)．M(
3
π
(1)求f(x)的解析式；(2)当x∈[0，12]时，求f(x)的最值．
2π2π2π
解：(1)由最低点为M(，－2)得A＝2.由T＝π得ω＝＝2.
＝3T
π
2π4π4π
由点M(，－2)在图象上得2sin(＋φ)＝－2，即sin(＋φ)＝－1，
333
∴
4π
＋φ＝2kπ－
3
π
2(k∈Z)，即φ＝2kπ－
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第五章三角函数
第四节函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图像
A组
1．(2009年高考浙江卷改编)已知a是实数，则函数f(x)＝1＋asinax的图象不可能是________．
解析：函数的最小正周期为T＝
2π
，∴当|a|>1时，T<2π当.0<|a|<1时，T>2π，观察图形中周期与振幅的关系，发现
11π
，k∈Z.又φ∈(0，
6
π
2)，∴φ＝
π
，
6
B组
1．(2009年高考宁夏、海南卷)已知函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，－π≤φ<π)的图象如图所示，则φ＝________.
解析：由图可知，T＝2π－3
π，
24
∴T＝
52π54
＝，
π，∴π，∴ω＝
225
ω
4
∴y＝sin(
x＋φ)．
5
4
5
又∵sin(
×
3
4
π＋φ)＝－1，
∴sin(3
π＋φ)＝－1，
2
2ωx＋cos2ωx＋2sinωx·cosωx＋1＋cos2ωx＝sin2ωx＋cos2ωx＋2＝2sin(2ωx＋
解：(1)f(x)＝sin
π
)＋2，依题意，得
4
2π
＝
2ω
2π
，故ω＝
3
3
2
.
(2)依题意，得g(x)＝2sin[3(x－
π
π5π
2)＋4]＋2＝2sin(3x－4)＋2.
由2kπ－
9．(2009年高考上海卷)当0≤x≤1时，不等式sin
2πx
解析：当0≤x≤1时，y＝sin的图象如图所示，y＝kx的图象在[0,1]之间的部分应位于
2
此图象下方，当k≤0时，y＝kx在[0,1]上的图象恒在x轴下方，原不等式成立．
πx
当k>0，kx≤sin时，在x∈[0,1]上恒成立，k≤1即可．
2
故k≤1时，x∈[0,1]上恒有sin
πx
≥kx.答案：k≤1
2
2
10．(2009年高考重庆卷)设函数f(x)＝(sinωx＋cosωx)
2
＋2cos
ωx(ω>0)的最小正周期为
2π
3.(1)
求ω的值；(2)若函数y＝g(x)的图象是由y＝f(x)的图象向右平移
π
个单位长度得到，求y＝g(x)的单调增区间．
6
3
2
，
1π
经过题设的变化得到的函数g(x)＝sin(
2x－6)＋
3
2
，
当x＝4kπ＋
4
3
π，k∈Z时，函数取得最大值
5
.
2
令2kπ＋
π
≤
2
1π3
≤2kπ＋
x－πk(∈Z)，
262
∴4kπ＋
4π10
≤x≤4kπ＋
πk(∈Z)．
33
4π
即x∈[4kπ＋，4kπ＋
3
10
3
π，]k∈Z为函数的单调递减区间．
|a|
④不符合要求．答案：④
π
2．(2009年高考湖南卷改编)将函数y＝sinx的图象向左平移φ(0≤φ<2π个)单位后，得到函数y＝sin(x－6)的图象，则φ等
于________．
π
解析：y＝sin(x－
6)＝sin(x－
π
＋2π＝)sin(x＋
6
11π
6)．答案：
11π
6
3．将函数f(x)＝3sinx－cosx的图象向右平移φ(φ>0)个单位，所得图象对应的函数为奇函数，则φ的最小值为________．
5
∴
3
5
π＋φ＝
3
2
π＋2kπ，k∈Z.
∵－π≤φ<π，∴φ＝
9
π.答案：
10
9
π
10
2．(2010年南京调研)已知函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<π的)图象如图所示，则φ＝________.
2π
解析：由图象知T＝2(
－
3
π
)＝π.
6
2π
π
∴ω＝＝2，把点(，1)代入，可得2×
T6
ππ
＋φ＝，φ＝
1212
导易知正确．答案：③⑤
5．(原创题)已知函数f(x)＝sinωx＋cosωx，如果存在实数x1，使得对任意的实数x，都有f(x1)≤f(x)≤f(x1＋2010)成立，则
ω的最小值为________．
解析：显然结论成立只需保证区间[x1，x1＋2010]能够包含函数的至少一个完整的单调区间即可，且f(x)＝sinωx＋cosωx
ω
又f(x)＝sin(2x＋
ππππ
4)∴g(x)＝sin[2(x＋8)＋4]＝sin(2x＋2)＝cos2x.
答案：向左平移
π
个单位长度
8
4．(2009年高考辽宁卷改编)已知函数f(x)＝
则f(0)＝________.
π
Acos(ωx＋φ)的图象如图所示，f()＝－
2
2
3
，
解析：
T
2
＝
11
12
π－
2
3π
)＝
2
3π
cosx，该函数在[π，)上单调递增，②正确；当x＝
2
5π5π5ππ
5π5π5π
时，y＝sin(2x＋
＋＋＝－
)＝sin()＝sin()＝cos
4626266
3
，不
2
5π
等于函数的最值，故x＝不是函数y＝sin(2x＋
4
5π
6)的图象的一条对称轴，③不正确．答案：2
πx
≥kx恒成立，则实数k的取值范围是________．
)向右平移
4
ππ
个单位长度后得到函数解析式y＝tan[ω(x－
)＋
66
πππω
]，即y＝tan(ωx＋－)，显然当
446
π
－
4
πωπ1
＝＋kπ(k∈Z)时，两图象重合，此时ω＝－6k(k∈Z)．∵ω>0，∴k＝0时，ω的最小值为
662
1
4.答案：
1
2
π
8．给出三个命题：①函数y＝|sin(2x＋)|的最小正周期是
3
π
，0)中心对称．
12
解析：由y＝sin(2x＋
π
)＝sin2(x＋
3
πππ
，0)对称，因此要使平移后的图象关于(－，0)对称，
)可知其函数图象关于点(－
6612
只需向右平移
π
即可．答案：右
12
π
12
6．(2010年深圳调研)定义行列式运算：
a1a2
a3a4
＝a1a4－a2a3，将函数f(x)＝
3cosx
3
π
；②函数y＝sin(x－
2
3π
)在区间[π，
2
3π
]上单调递增；③x＝
2
Fra Baidu bibliotek5π
是
4
函数y＝sin(2x＋
5π
)的图象的一条对称轴．其中真命题的个数是________．
6
解析：由于函数y＝sin(2x＋
π
)的最小正周期是π，故函数y＝|sin(2x＋
3
π
)|的最小正周期是
3
π
，①正确；y＝sin(x－
ππ
5π
≤3x－≤2kπ＋
24
2(k∈Z)，解得
2
π
≤x≤
3kπ＋
4
27π
3kπ＋12(k∈Z)．
2π
kπ＋，
34
故g(x)的单调增区间为[
2
3
kπ＋
7π
](k∈Z)．
12
π
11．(2009年高考陕西卷)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈R(其中A>0，ω>0,0<φ<)的周期为π，且图象上一个最低点为
66
π
，k∈Z.若为偶函数，则x＝
2
0，所以m＝kπ＋
2π
(k∈Z)，故m的最小值为
3
2π
.答案：
3
2π
3
7．(2009年高考全国卷Ⅱ改编)若将函数y＝tan(ωx＋
象重合，则ω的最小值为________．
π
4)(ω>0)的图象向右平移
ππ
个单位长度后，与函数y＝tan(ωx＋
6
6)的图
π
解析：y＝tan(ωx＋
π
个单位后，再将得到的图象上各点横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函
6
数y＝g(x)的图象，求函数g(x)的最大值及单调递减区间．
解：(1)f(x)＝
3
sin2ωx＋
2
1
2
cos2ωx＋
3
2
＝sin(2ωx＋
π
)＋
6
3
2
，
令2ωx＋
πππ
＝
，将x＝代入可得：ω＝1.
626
π
(2)由(1)得f(x)＝sin(2x＋)＋
7
π＝
12
π
，∴ω＝
3
2π
＝3.
T
7
又(π，0)是函数的一个上升段的零点，
12
∴3×
7
π＋φ＝
12
3π
＋2kπk(∈Z)，得φ＝－
2
π
＋2kπ，k∈Z，
4
π
代入f(
2)＝－
2
3
，得A＝
222
，∴f(0)＝
3
3.答案：
2
3
π
5．将函数y＝sin(2x＋)的图象向________平移________个单位长度后所得的图象关于点(－
①函数f(x)的最小正周期为
π
；
2
②函数f(x)的振幅为23；
7
③函数f(x)的一条对称轴方程为x＝
π；
12
④函数f(x)的单调递增区间为[
π7
，π；]
1212
2
⑤函数的解析式为f(x)＝3sin(2x－
π．)
3
T5π
解析：据图象可得：A＝3，＝－
26
π7π
?T＝π，故ω＝2，又由f(
)＝3?sin(2×
62
π
.答案：
6
π
6
π
3．(2009年高考天津卷改编)已知函数f(x)＝sin(ωx＋)(x∈R，ω>0)的最小正周期为π，为了得到函数g(x)＝cosωx的图象，
4
只要将y＝f(x)的图象________．
π
解析：∵f(x)＝sin(ωx＋
)(x∈R，ω>0)的最小正周期为π，
4
∴
2π
＝π，故ω＝2.
解析：因为f(x)＝3sinx－cosx＝2sin(x－
π
)，f(x)的图象向右平移φ个单位所得图象对应的函数为奇函数，则φ的最
6
5π
小值为.
6
答案：
5π
6
4．如图是函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，－π<φ<π，)x∈R的部分图象，则下列命题中，正确
命题的序号为________．
2π
π
＝2sin(ωx＋
)，则2010≥
4
ω
?ω≥
2
π
.答案：
2010
π
2010
π
22
6．(2010年苏北四市质检)已知函数f(x)＝sinωx＋3sinωx·sin(ωx＋)＋2cosωx，x∈R(ω>0)，在y轴右侧的第一个最高
2
点的横坐标为
π
.(1)求ω；
6
(2)若将函数f(x)的图象向右平移