三角形四心与向量

三角形的四心与平面向量总结

三角形“四心”向量形式的充要条件应用

1．O 是ABC ∆的重心⇔

=++;

若O 是ABC ∆的重心，则

ABC AOB AOC BOC S 31

S S S ∆∆∆∆=

==故

=++;

1()

3PG PA PB PC =++⇔G 为ABC ∆的重心.

2．O 是ABC ∆的垂心⇔

⋅=⋅=⋅;

若O 是ABC ∆(非直角三角形)的垂心，则C tan B tan A tan S S S AOB AOC BOC

：：：：=∆∆∆

故C tan B tan A tan

=++

3．O 是ABC ∆的外心⇔|OC ||OB ||OA |==(或2

2

2

OC OB OA ==)

若O 是ABC ∆的外心则C 2sin :B 2sin :A 2sin AOB sin AOC sin BOC sin S S S AOB AOC BOC

=∠∠∠=∆∆∆：：：：

故C 2sin B 2sin A 2sin =++

4．O

是内心ABC ∆的充要条件是

(

(

)(

=⋅=⋅=⋅

引进单位向量，使条件变得更简洁。如果记CA ,BC ,AB 的单位向量为321e ,e ,e ，则刚才O 是ABC ∆内心的充要条件

可以写成

0)e e ()e e ()e e (322131=+⋅=+⋅=+⋅ ，O

是ABC ∆内心的充要条件也可以是

0OC c OB b OA a =++ 。若O 是ABC ∆的内心，则c b a S S S AOB AOC BOC ：：：：=∆∆∆

故

0OC C sin OB B sin OA A sin 0OC c OB b OA a =++=++或;

||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=⇔是ABC ∆的内心;

向量()(0)||||

AC AB AB AC λλ+≠所在直线过ABC ∆的内心(是BAC ∠的角平分线所在直线

)(

例1

．O 是平面上的一定点，A,B,C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足+

+=λ，[)+∞∈,0λ则

P 点的轨迹一定通过ABC ∆的（

）

（A ）外心（B ）内心（C ）重心（D ）垂心

AB 的单位向量设AB 与AC 方向上的单位向量分别为21e e 和， 又AP OA OP =-，则原

式可化为

)(21e e +=λ，由菱形的基本性质知AP 平分BAC ∠，那么在ABC

∆中，AP 平分BAC ∠，则知选B.

(二)将平面向量与三角形垂心结合考查“垂心定理”

例2． H 是△ABC 所在平面内任一点，HA HC HC HB HB HA ⋅=⋅=⋅⇔点H 是△ABC 的垂心. 由AC HB AC HB HA HC HB HC HB HB HA ⊥⇔=⋅⇔=-⋅⇔⋅=⋅00)(, 同理AB HC ⊥，⊥.故H 是△ABC 的垂心. （反之亦然（证略））

C(x 2,y 2)

y 例3.(湖南)P 是△ABC 所在平面上一点，若PA PC PC

PB PB PA ⋅=⋅=⋅，则P 是△ABC 的（D

）

A ．外心

B ．内心

C ．重心

D ．垂心

解析:由0=⋅-⋅⋅=⋅PC PB PB PA PC PB PB

PA 得.即0,0)(=⋅=-⋅CA PB PC PA PB 即 则AB PC BC PA CA PB ⊥⊥⊥,,同理 所以P 为ABC ∆的垂心. 故选D.

(三)将平面向量与三角形重心结合考查“重心定理”

例4． G 是△ABC 所在平面内一点，GC GB GA ++=0⇔点G 是△ABC 的重心.

证明 作图如右，图中GE GC GB =+

连结BE 和CE ，则CE=GB ，BE=GC ⇔BGCE 为平行四边形⇒D 是BC 的中点，AD 为BC 边上的中线.

将GE GC GB =+代入GC GB GA ++=0，

得EG GA +=0⇒GD GE GA 2-=-=，故G 是△ABC 的重心.（反之亦然（证略）） 例5． P 是△ABC 所在平面内任一点.G 是△ABC 的重心⇔)(3

1

PC PB PA PG ++=

. 证明 CG PC BG PB AG PA PG +=+=+=⇒)()(3PC PB PA CG BG AG PG +++++= ∵G 是△ABC 的重心 ∴GC GB GA ++=0⇒CG BG AG ++=0，即PC PB PA PG ++=3 由此可得)(3

1

PC PB PA PG ++=

.（反之亦然（证略）

） 例6 若O 为ABC ∆内一点，0OA OB OC ++= ，则O 是ABC ∆ 的（

）

A ．内心

B ．外心

C ．垂心

D ．重心 解析：由0OA OB OC ++=得OB OC OA +=-，如图以OB 、OC 为相邻两边构作平行四边形，则OB OC OD +=，由

平行四边形性质知1

2

OE

OD =，2OA OE =，同理可证其它两边上的这个性质，所以是重心，选D 。

(四) 将平面向量与三角形外心结合考查 例7若O 为ABC ∆内一点，

OA OB OC ==，则O 是ABC ∆ 的（ ）

A ．内心

B ．外心

C ．垂心

D ．重心

解析：由向量模的定义知O 到ABC ∆的三顶点距离相等。故O 是ABC ∆ 的外心 ，选B 。 (五)将平面向量与三角形四心结合考查

例8．已知向量1OP ，2OP ，3OP 满足条件1OP +2OP +3OP =0，|1OP |=|2OP |=|3OP |=1， 求证 △P 1P 2P 3是正三角形.（《数学》第一册（下），复习参考题五B 组第6题） 证明 由已知1OP +2OP =-3OP ，两边平方得1OP ·2OP =2

1

-， 同理 2OP ·3OP =3OP ·1OP =2

1-

， ∴|21P P |=|32P P |=|13P P |=3，从而△P 1P 2P 3是正三角形.

反之，若点O 是正三角形△P 1P 2P 3的中心，则显然有1OP +2OP +3OP =0且|1OP |=|2OP |=|3OP |. 即O 是△ABC 所在平面内一点，

1OP +2OP +3OP =0且|1OP |=|2OP |=|3OP |⇔点O 是正△P 1P 2P 3的中心.

例9．在△ABC 中，已知Q 、G 、H 分别是三角形的外心、重心、垂心。求证：Q 、G 、H 三点共线，且QG:GH=1:2。 【证明】：以A 为原点，AB 所在的直线为x 轴，建立如图所示的直角坐标系。设A(0,0)、B （x 1,0）、C(x 2,y 2)，D 、E 、F 分别为AB 、BC 、AC 的中点，则有：

112222,0)(,)(,)22222x x x y x y E F +D （

、、 由题设可设1324,)(,)2x Q y H x y （、, 122(,)33x x y G +212243(,)(,)222x x y AH x y QF y ∴==--，