三角形四心与向量
向量与三角形的四心
向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇一、四心的概念介绍（1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1；（2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直；（3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等；（4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。
二、四心与向量的结合（1）⇔=++0OC OB OA O 是ABC ∆的重心.证法1：设),(),,(),,(),,(332211y x C y x B y x A y x O⇔=++⎩⎨⎧=-+-+-=-+-+-0)()()(0)()()(321321y y y y y y x x x x x x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=⇔33321321yy y y x x x x⇔O 是ABC ∆的重心.证法2：如图 OC OB OA ++2=+= ∴2= ∴D O A 、、三点共线，且O 分AD为2：1 ∴O 是ABC ∆的重心（2）⇔⋅=⋅=⋅O 为ABC ∆的垂心.证明：如图所示O 是三角形ABC 的垂心，BE 垂直AC ，AD 垂直BC ， D 、E 是垂足. 0)(=⋅=-⇔⋅=⋅ ⊥⇔ 同理⊥，⊥⇔O 为ABC ∆的垂心（3）设a ,b ,c 是三角形的三条边长，O 是∆ABC 的内心O OC c OB b OA a ⇔=++0为ABC ∆的内心. 证明：b c 、 分别为AC AB 、方向上的单位向量， ∴b ACc AB+平分BAC ∠,(λ=∴AO b c +)，令c b a bc++=λ ∴c b a bc ++=（b ACc AB+) 化简得0)(=++++AC c AB b OA c b a∴0=++OC c OB b OA aB CDB CD（4==⇔O 为ABC ∆的外心。
典型例题：例1：O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，动点P 满足)(AC AB OA OP ++=λ，[)+∞∈,0λ ，则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的（ ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心中点. 分析：如图所示ABC ∆，E D 、分别为边AC BC 、的2=+ ∴λ2+=+=AD AP λ2=∴ AP ∴//AD∴点P 的轨迹一定通过ABC ∆的重心，即选C .例2：（03全国理4）O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，动点P满足++=λ，[)+∞∈,0λ ，则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的（ B ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心分析：分别为方向上的单位向量，+平分BAC ∠,∴点P 的轨迹一定通过ABC ∆的内心，即选B .例3：O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，动点P 满足OA OP ++=λ，[)+∞∈,0λ ，则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的（ ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心分析：如图所示AD 垂直BC ，BE 垂直AC ， D 、E 是垂足. +⋅+B CDC+=-=0∴点P 的轨迹一定通过ABC ∆的垂心，即选D .练习：1．已知ABC ∆三个顶点C B A 、、及平面内一点P ，满足0=++PC PB PA ，若实数λ满足：λ=+，则λ的值为（ ）A ．2B ．23 C ．3 D ．6 2．若ABC ∆的外接圆的圆心为O ，半径为1，=++，则=⋅( )A ．21B ．0C ．1D ．21- 3．点O 在ABC ∆内部且满足022=++OC OB OA ，则ABC ∆面积与凹四边形ABOC 面积之比是（ ）A ．0B ．23C ．45D ．34 4．ABC ∆的外接圆的圆心为O ，若OC OB OA OH ++=，则H 是ABC ∆的（ ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心5．O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，若222OB BC OA =+ 222+=+，则O 是ABC ∆的（ ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心6．ABC ∆的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，)(m ++=， 则实数m =7．（06陕西）已知非零向量AB →与AC →满足(AB →|AB →| +AC →|AC →| )·BC →=0且AB →|AB →| ·AC →|AC→| =12 , 则△ABC 为( ) A ．三边均不相等的三角形 B ．直角三角形C ．等腰非等边三角形D ．等边三角形8．已知ABC ∆三个顶点C B A 、、，若CA BC CB AB AC AB AB ⋅+⋅+⋅=2，则ABC ∆为（ ）A ．等腰三角形B ．等腰直角三角形C ．直角三角形D ．既非等腰又非直角三角形练习答案：C 、D 、C 、D 、D 、1、D 、C。
三角形四心与向量(最新整理)
-2-
A．内心
B．外心 C．垂心 D．重心
解析：由向量模的定义知 O 到 ABC 的三顶点距离相等。故 O 是 ABC 的外心 ，选 B。
(五)将平面向量与三角形四心结合考查
例 8．已知向量 OP1 ， OP2 ， OP3 满足条件 OP1 + OP2 + OP3 =0，| OP1 |=| OP2 |=| OP3 |=1，
向量 ( AB AC )( 0) 所在直线过 ABC 的内心(是 BAC 的角平分线所在直 B
| AB | | AC |
线)；
范例
(一)将平面向量与三角形内心结合考查
A
e1
C
P
e2
C C
例 1．O 是平面上的一定点，A,B,C 是平面上不共线的三个点，动点 P 满足 OP OA ( AB AC ) ， 0,
例 3.(湖南)P 是△ABC 所在平面上一点，若 PA PB PB PC PC PA ，则 P 是△ABC 的（D ）
A．外心
B．内心
C．重心
D．垂心
解析:由 PA PB PB PC得PA PB PB PC 0 .即 PB (PA PC) 0,即PB CA 0
（B ）
A.AB 边中线的中点
B.AB 边中线的三等分点（非重心）
C.重心
D.AB 边的中点
1. B 取 AB 边的中点 M，则 OA OB 2OM ，由 OP = 1 ( 1 OA + 1 OB +2 OC )可得 3 OP 3OM 2MC ，
32
2
∴
MP
2 3
三角形四心与向量的关系
三角形四心与向量的关系三角形是几何学中的基本图形之一，它有许多重要的性质和特点。
在三角形中，有四个特殊的点，它们被称为三角形的四心，分别是重心、外心、垂心和内心。
本文将探讨这四个特殊点与向量之间的关系。
我们来介绍一下三角形的四心。
重心是三角形三条中线交于一点的点，它被定义为三角形三个顶点的坐标的平均值。
外心是三角形外接圆的圆心，它被定义为三角形三个顶点和三个外接圆弧的交点之一。
垂心是三角形三个高线交于一点的点，它被定义为三角形三个顶点和三个高线的交点之一。
内心是三角形的内切圆的圆心，它被定义为三角形三条边的垂直平分线的交点之一。
接下来，我们来研究这些四心与向量之间的关系。
首先，我们来看重心。
重心可以表示为三个顶点向量的平均值。
设三角形的三个顶点分别为A、B、C，对应的向量为a、b、c，则重心G可以表示为G=(a+b+c)/3。
这个公式说明了重心与向量之间的关系，即重心是三个顶点向量的平均值。
然后，我们来看外心。
外心可以表示为三个顶点向量的线性组合。
设三角形的三个顶点分别为A、B、C，对应的向量为a、b、c，则外心O可以表示为O=(a+b+c)/2。
这个公式说明了外心与向量之间的关系，即外心是三个顶点向量的线性组合。
接下来，我们来看垂心。
垂心可以表示为三个顶点向量的和的负数。
设三角形的三个顶点分别为A、B、C，对应的向量为a、b、c，则垂心H可以表示为H=-(a+b+c)。
这个公式说明了垂心与向量之间的关系，即垂心是三个顶点向量的和的负数。
我们来看内心。
内心可以表示为三条边的单位法向量的线性组合。
设三角形的三个顶点分别为A、B、C，对应的边向量为AB、BC、CA，单位法向量为n1、n2、n3，则内心I可以表示为I=(n1+n2+n3)/(|n1|+|n2|+|n3|)。
这个公式说明了内心与向量之间的关系，即内心是三条边的单位法向量的线性组合。
我们可以得出结论：三角形的四心与向量之间有着紧密的关系。
第4讲 向量与四心
第4讲向量与四心四心的概念：外心:三角形的外心是三角形三条垂直平分线的交点(或三角形外接圆的圆心)内心：三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点(或内切圆的圆心)。
垂心：三角形的垂心是三角形三边上的高的交点(通常用H 表示)。
重心：三角形的重心是三角形三条中线的交点。
与三角形的“四心”有关的一些常见的重要的向量关系式有1设()+∞∈,0λ，则向量AC ABλ必平分∠BAC，该向量必通过△ABC 的内心;2设()+∞∈,0λ，则向量AC AB λ必平分∠BAC 的邻补角3设()+∞∈,0λ，则向量AC AB λ必垂直于边BC，该向量必通过△ABC 的垂心4△ABC 中+一定过BC的中点，通过△ABC 的重心5点O 是△ABC 的外心222OC OB OA ==⇔6点O 是△ABC 的重心0=++⇔OC OB OA 7点O 是△ABC 的垂心⇔OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅（移项证明）8点O 是△ABC 的内心=⋅+⋅+⋅⇔c b a (其中a、b、c 为△ABC 三边)9△ABC 的外心O 、重心G 、垂心H 共线，即∥10设O 为△ABC 所在平面内任意一点，G 为△ABC 的重心，，I 为△ABC 的内心，则有)(31OC OB OA OG++=cb a OCc OB b OA a OI ++++=并且重心G（X A +X B +X C 3，Y A +Y B +Y C3）内心I（aX A +bX B +cX C a+b+c ，ay A +by B +cy Ca+b+c）推论（结合奔驰定理）ABC 内有一点O ，0xO A yO B zO C ++=1.如果点O 是ABC 的重心：::1:1:1x y z =2.如果点O 是ABC 的内心：::sin :sin :sin x y z A B C =3.如果点O 是ABC 的外心：::sin 2:sin 2:sin 2x y z A B C =4.如果点O 是ABC 的垂心：::tanA :tanB :tanCx y z =典型例题1．已知O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足()[0||sin ||sin AB ACOP OA AB B AC C λλ=++∈，)+∞，则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的()A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心【解答】解： ||sin ||sin AB B AC C =设它们等于t ，∴1()OP OA AB AC tλ=++而2AB AC AD+= 1()AB AC tλ+表示与AD 共线的向量AP 而点D 是BC 的中点，所以即P 的轨迹一定通过三角形的重心．故选：C ．2．已知O 是平面上的一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足()2||cos ||cos OB OC AB ACOP AB B AC Cλ+=++ ，[0λ∈，)+∞，则动点P 的轨迹一定通过ABC ∆的()A ．内心B ．垂心C ．重心D ．外心【解答】解：设BC 的中点为D ，(2||cos ||cos OB OC AB ACOP AB B AC Cλ+=++，∴()||cos ||cos AB ACOP OD AB B AC C λ=++，即(||cos ||cos AB ACDP AB B AC Cλ=+，两端同时点乘BC ， ||||cos()||||cos (()(||||)0||cos ||cos ||cos ||cos AB BC AC BC AB BC B AC BC CDP BC BC BC AB B AC C AB B AC Cπλλλ-=+=+=-+=，DP BC ∴⊥，∴点P 在BC 的垂直平分线上，即P 经过ABC ∆的外心故选：D ．3．O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足(||||AB ACOP OA AB AC λ=++，(0,)λ∈+∞，则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的()A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心【解答】解：||AB AB 、||ACAC分别表示向量AB 、AC 方向上的单位向量，||||AB ACAB AC ∴+的方向与BAC ∠的角平分线重合，又()||||AB AC OP OA AB AC λ=++可得到()||||AB ACOP OA AP AB AC λ-==+∴向量AP的方向与BAC ∠的角平分线重合，∴一定通过ABC ∆的内心故选：B ．模拟自测1．O 是平面上一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足()OP OA AB AC λ=++，[0λ∈，)+∞，则P 的轨迹一定通过ABC ∆的()A ．外心B ．垂心C ．内心D ．重心2．P 是ABC ∆所在平面上一点，若PA PB PB PC PC PA ==，则P 是ABC ∆的()A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心3．已知O 是ABC ∆所在平面上的一点，若aPA bPB cPCPO a b c++=++（其中P 是ABC 所在平面内任意一点），则O 点是ABC ∆的()A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心4．已知ABC ∆的三内角A ，B ，C 所对边的长依次为a ，b ，c ，M 为该三角形所在平面内的一点，若0aMA bMB cMC ++=，则M 是ABC ∆的()A ．内心B ．重心C ．垂心D ．外心5．已知O 是平面内一点，且222OA OB OC ==，则O 是ABC ∆的()A ．垂心B ．外心C ．重心D ．内心6．已知O 为ABC ∆所在平面内一点，且满足222222OA BC OB CA OC AB +=+=+ ，则O 点的轨迹一定通过ABC ∆的()A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心7已知点O 、N 、P 在ABC ∆所在平面内，且OA OB OC == ，0NA NB NC ++=，PA PB PB PC PC PA ==，则点O 、N 、P 依次为ABC ∆的()A ．重心、外心、垂心B ．重心、外心、内心C ．外心、重心、垂心D ．外心、重心、内心8．已知点P 是ABC ∆的内心（三个内角平分线交点）、外心（三条边的中垂线交点）、重心（三条中线交点）、垂心（三个高的交点）之一，且满足222AP BC AC AB =- ，则点P 一定是ABC ∆的()A ．内心B ．外心C ．重心D ．垂心9．已知非零向量AB ，AC 满足()0||||AB AC BC AB AC += ，且1||||2AB AC AB AC =，则ABC∆的形状是()A ．三边均不相等的三角形B ．直角三角形C ．等腰（非等边）三角形D ．等边三角形10．已知点C 为线段AB 上一点，P 为直线AB 外一点，PC 是APB ∠角的平分线，I为PC 上一点，满足(0)||||AC APBI BA AC AP λλ=++>，||||4PA PB -= ，||10PA PB -= ，则||BI BABA的值为()A ．2B ．3C ．4D ．5参考答案1）解：令D 为BC 的中点，则()2OP OA AB AC OA AD λλ=++=+ ，于是有2AP AD λ= ，∴点A 、D 、P 共线，即点P 的轨迹通过三角形ABC 的重心．故选：D ．2）解：PA PB PB PC PC PA ==，则由PA PB PB PC =得：()0,0PB PC PA PB AC ⋅-=⋅=即，PB AC∴⊥同理PA BC ⊥，PC AB ⊥，即P 是垂心故选：D ．3）解：由aPA bPB cPCPO a b c ++=++得aPO bPO cPO aPA bPB cPC ++=++ ，即()()()0a PA PO b PA PO c PC PO -+-+-=．即0aOA bOB cOC ++= ．即()()0aOA b OA AB c OA AC ++++=．再设1e 为AB 的单位向量，2e 为AC 的单位向量，所以12()()a b c OA bc e e ++=-+ ，所以12()bcOA e e a b c=-+++ ．则说明O 在A ∠的角平分线上，同理可得O 也在B ∠，C ∠的平分线上，故O 为ABC ∆的内心．故选：B ．4）解：M 是三角形ABC 的内心．理由如下：已知0aMA bMB cMC ++=，延长CM 交AB 于D ，根据向量加法得：MA MD DA =+ ，MB MD DB =+ ，代入已知得：()()0a MD DA b MD DB cMC ++++=，因为MD 与MC共线，所以可设MD kMC = ，上式可化为()(ka kb c MC +++ )0aDA bDB +=，由于DA 与DB 共线，MC 与DA 、DB不共线，所以只能有：0ka kb c ++=，0aDA bDB +=，由0aDA bDB += 可知：DA 与DB 的长度之比为b a，所以由内角平分线定理的逆定理可得CD 为ACB ∠的平分线，同理可证AM ，BM 的延长线也是角平分线．故M 为内心．故选：A ．5）解：O 是平面内一点，且222OA OB OC == ，可得：||||||OA OB OC ==，所以O 是ABC ∆的外心．故选：B ．6）解：BC OC OB =- ，CA OA OC =- 、AB OB OA =-，∴由222222OA BC OB CA OC AB +=+=+ ，得222222()()()OA OC OB OB OA OC OC OB OA +-=+-=+- ，OB OC OA OC OA OB ∴== ，即()()()OC OB OA OA OC OB OB OC OA -=-=- ，OC AB OA BC OB AC ∴== ，则OC AB ⊥，OA BC ⊥，OB AC ⊥．O ∴是ABC ∆的垂心．故选：D ．7）证明： OA OB OC ==，O ∴到三角形三个顶点的距离相等，O ∴是三角形的外心，根据所给的四个选项，第一个判断为外心的只有C ，D 两个选项，∴只要判断第三个条件可以得到三角形的什么心就可以，PA PB PB PC PC PA == ，∴()0PB PA PC -=，∴0PB CA =，∴PB CA ⊥ ，同理得到另外两个向量都与相对应的边垂直，得到P 是三角形的垂心，故选：C ．8）解：设D 为BC 的中点，可得2AC AB AD +=22()()AC AB AC AB AC AB -=+- ，∴点P 满足2222()AP BC AC AB AD AC AB =-=-，向量BC AC AB =- ，∴22AP BC AD BC = ，移项得2()0BC AD AP -=即0BC PD = ，得BC PD ⊥．结合D 为BC 的中点，可得P 在BC 的垂直平分线上又 点P 是ABC ∆的内心、外心、重心和垂心之一∴结合三角形外接圆的性质，得点P 是ABC ∆的外心故选：B ．9）解：()0||||AB AC BC AB AC += ，||AB AB ，||ACAC分别为单位向量，A ∴∠的角平分线与BC 垂直，AB AC ∴=，1cos ||||2AB AC A AB AC == ，3A π∴∠=，3B C A π∴∠=∠=∠=，∴三角形为等边三角形．故选：D ．10）解： ||||10PA PB AB -==，PC 是APB ∠角的平分线，又满足(0)||||AC AP BI BA AC AP λλ=++>，即(||||AC APAI AC AP λ=+，所以I 在BAP ∠的角平分线上，由此得I 是ABP ∆的内心，过I 作IH AB ⊥于H ，I 为圆心，IH 为半径，作PAB ∆的内切圆，如图，分别切PA ，PB 于E 、F ，||||4PA PB -= ，||10PA PB -=，11||||(||||||)[||(||||)]322BH BF PB AB PA AB PA PB ==+-=--=，在直角三角形BIH 中，||cos ||BH IBH BI ∠= ，所以||cos ||3||BI BA BI IBH BH BA =∠==．故选：B ．。
三角形四心和向量的关系
三角形四心和向量的关系三角形四心和向量的关系，听起来可能有点高深，但其实这其中的奥妙，咱们可以轻松聊聊。
三角形有四个重要的“心”，分别是重心、内心、外心和垂心。
说白了，这些心就像是三角形的小秘密，它们各自的位置和特性，能让我们更好地理解三角形的构造。
想象一下，重心就像那种总能把大家聚在一起的朋友，嘿，谁都愿意跟它在一起，三角形的质量分布就是围绕着它的。
它是三条中线的交点，简单说就是把三角形“撑开”之后，能够让每一部分都平衡的地方。
内心就是个温暖的地方，哦，这里是三角形内切圆的中心，形象点说就像是一个小小的避风港，三角形里的每一点到它的距离都差不多。
你可以想象一下，在一个雨天，大家都挤在这个小港湾里避雨，它的存在让三角形显得更圆满。
再说外心，它的神秘感十足，简直就是个三角形的守护者。
外心是三角形外接圆的中心，想象一下，外心就像是为三角形“披上外衣”，让它的每个角都显得那么得体。
三角形的每一个角都能指向这个心，形成一个美丽的圆，像是为三角形加冕一样，优雅极了。
再谈谈垂心，嘿，它的性格有点酷。
垂心是从一个顶点落下的垂线与对边的交点。
这个点就像是个叛逆的小家伙，总是让人意想不到。
它的存在让我们能更好地理解三角形的高度和形状，毕竟高度可不是随随便便就能到的。
每个三角形的形状各不相同，垂心的位置也是千变万化，真是让人看了又爱又恨。
四个心之间的关系，也可以用向量来表达。
向量嘛，简单来说就是一种“指向”，它可以告诉我们心与心之间的距离和方向。
比如说，从重心到内心的向量，可以看作是三角形的一部分特征，这就像是你和你最好的朋友之间的默契，虽然有时候会有距离，但心里明白彼此总是相互吸引。
再比如，重心到垂心的向量，能够告诉我们三角形的高度变化。
试想一下，向量的变化就像是三角形的成长，随着形状的变化，它们的关系也在不断调整。
这就好比生活中的关系，人与人之间的距离和方向时刻在变化。
三角形的四个心，不就是象征着我们生活中不同的角色吗？有时你是重心，有时你又是那种在外拼搏的外心，内心时而温暖，时而也有点叛逆。
向量与三角形四心的关系
向量与三角形四心的关系三角形中的“四心”的向量表示向量既反映数量关系，又体现位置关系，从而能数形结合地用代数方法来研究几何问题，即把几何代数化，从而用代数运算解几何问题。
作为处理几何问题的一种工具，向量方法兼有几何的直观性，表述的简洁性和方法的一般性。
使用向量的第一步，是要在图中指定基向量（基底），这组基底一般是线性无关的。
一旦确定了基向量，在整个问题的解决过程中，以此为依据而进行计算。
在确定点的位置时，经常用向量的线性关系（这是向量的重要性质，贯穿在整个向量法中）来解决;在处理垂直关系，长度关系及交角等问题时，一般用向量的数量积来解决。
一、线共点问题。
解决线共点问题转化为向量共线问题来解决。
=例1、用向量法求证：△ABC 的三条高共点.分析：得BC 与AC 边上的高AD 与BE 交于H ，连接CH ，只要证明CH ⊥AB 即可。
因此，关键是选好基向量. 设l =，m =，n =，则 由⊥，⊥得 ()()()⎩⎨⎧=-⋅=-⋅⋅=⋅=-⋅000l m n l n m n l n l 即由此得 ∴CH ⊥AB ，同理，BC AH ⊥得证。
类似方法，还可以证明：（1）三角形的三条内角平分线交于一点。
(2)三角形的三条中线交与一点。
二、三角形的四心——重心、垂心、外心、内心的向量表示例2、已知O 是△ABC 所在平面内一点，若-=+，则点O 是△ABC 的重心。
分析：利用-=+及加法的平行四边形法则可证。
拓展：若()AC AB OA OP ++=λ，λ∈(0，+∞)，则点P 的的轨迹一定是△ABC 的_______心。
(重心)例3、已知O 是△ABC 所在平面内一点，若·=·=·，则点O 是△ABC 的垂心。
分析：·=·得·==0，∴OB ⊥AC 同理OA ⊥BC ，OC ⊥AB 可证。
拓展1：已知O 是△ABC 平面上一定点，若=+λ⎫⎛+C AC B AB cos cos ，λ∈（0，+∞），则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的_______心。
向量与三角形四心的一些结论
向量与三角形四心的一些结论第一篇：向量与三角形四心的一些结论【一些结论】：以下皆是向量若P是△ABC的重心 PA+PB+PC=0 2 若P是△ABC的垂心PA•PB=PB•PC=PA•PC(内积）3 若P是△ABC 的内心aPA+bPB+cPC=0(abc是三边）若P是△ABC的外心|PA|²=|PB|²=|PC|²（AP就表示AP向量|AP|就是它的模）AP=λ（AB/|AB|+AC/|AC|),λ∈[0,+∞)则直线AP经过△ABC内心6 AP=λ（AB/|AB|cosB+AC/|AC|cosC),λ∈[0,+∞)经过垂心7 AP=λ（AB/|AB|sinB+AC/|AC|sinC),λ∈[0,+∞）或AP=λ(AB+AC),λ∈[0,+ ∞)经过重心8.若aOA=bOB+cOC,则0为∠A的旁心,∠A及∠B,C的外角平分线的交点【以下是一些结论的有关证明】1.O是三角形内心的充要条件是aOA向量+bOB向量+cOC向量=0向量充分性：已知aOA向量+bOB向量+cOC向量=0向量，延长CO交AB于D，根据向量加法得：OA=OD+DA,OB=OD+DB,代入已知得：a(OD+DA)+b(OD+DB)+cOC=0,因为OD与OC共线，所以可设OD=kOC,上式可化为(ka+kb+c)OC+(aDA+bDB)=0向量,向量DA与DB共线，向量OC与向量DA、DB不共线，所以只能有：ka+kb+c=0，aDA+bDB=0向量,由aDA+bDB=0向量可知：DA与DB的长度之比为b/a,所以CD为∠ACB的平分线，同理可证其它的两条也是角平分线。
必要性：已知O是三角形内心,设BO与AC相交于E，CO与AB相交于F，∵O是内心∴b/a=AF/BF，c/a=AE/CE过A作CO的平行线，与BO的延长线相交于N，过A作BO的平行线，与CO的延长线相交于M，所以四边形OMAN是平行四边形根据平行四边形法则，得向量OA=向量OM+向量ON=(OM/CO)*向量CO+(ON/BO)*向量BO=(AE/CE)*向量CO+(AF/BF)*向量BO=(c/a)*向量CO+(b/a)*向量BO∴a*向量OA=b*向量BO+c*向量CO∴a*向量OA+b*向量OB+c*向量OC=向量02.已知△ABC 为斜三角形,且O是△ABC所在平面上的一个定点,动点P满足向量OP=OA+入{(AB/|AB|＾2*sin2B)+AC/(|AC|＾2*sin2C)},求P点轨迹过三角形的垂心OP=OA+入{(AB/|AB|＾2*sin2B)+AC/(|AC|＾2*sin2C)},OP-OA=入{(AB/|AB|＾2*sin2B)+AC/(|AC|＾2*sin2C)},AP=入{(AB /|AB|＾2*sin2B)+AC /(|AC|＾2*sin2C)},AP•BC=入{(AB•BC /|AB|＾2*sin2B)+AC•BC /(|AC|＾2*sin2C)},AP•BC=入{|AB|•|BC|cos(180°-B)/(|AB|＾2*sin2B)+|AC|•|BC| cosC/(|AC|＾2*sin2C)},AP•BC=入{-|AB|•|BC| cos B/(|AB|＾2*2sinB cos B)+|AC|•|BC| cosC/(|AC|＾2*2sinC cosC)},AP•BC=入{-|BC|/(|AB|*2sinB)+|BC|/(|AC|*2sinC)},根据正弦定理得：|AB|/sinC=|AC|/ sinB,所以|AB|*sinB=|AC|*sinC∴-|BC|/(|AB|*2sinB)+|BC|/(|AC|*2sinC)=0，即AP•BC=0，P点轨迹过三角形的垂心3.OP=OA+λ(AB/(|AB|sinB)+AC/(|AC|sinC))OP-OA=λλ(AB/(|AB|sinB)+AC/(|AC|sinC))AP=(AB/(|AB|sinB)+AC/(|AC| sinC))AP与AB/|AB|sinB+AC/|AC|sinC共线根据正弦定理：|AB|/sinC=|AC|/sinB,所以|AB|sinB=|AC|sinC,所以AP与AB+AC共线AB+AC过BC中点D，所以P点的轨迹也过中点D，∴点P过三角形重心。
三角形“四心”及其向量形式.docx
三角形“四心”及其向量形式.docx三角形“四心”及其向量形式在高考屮，往往将“向量作为载体”对三角形的“四心”进行考查。
这就需要我们在熟悉三角形的“四心”定理及向量的代数运算的基础上读懂向量的几何意义。
下面从六个方面加以阐述：1.三角形的“四心”定理的平面儿何证明；2.三角形“四心”定理向量形式的充要条件及其证明；3.与三角形的“四心”有关的一些常见的其它向量关系式；4.与三角形的“四心”有关的高考连接题及其应用；5.练习题.1?三角形的“四心”定理的平面几何证明①三角形三边的中垂线交于一点，这一点为三角形外接圆的圆心，称外心。
证明：设AB、BC的中垂线交于点0,则有0A=0B=0C, 故0也在AC的中垂线上，I大I为0到三顶点的距离相等, 故点0是△ ABC外接圆的圆心.因而称为外心.②三角形三边上的高交于一点，这一点叫三角形的垂心。
证明：AD、BE、CF为AABC三条高，过点A、B、C分别作对边的平行线，相交成AA'B‘ C' , AD为C'的中垂线；同理BE、CF也分别为N C‘、￡的中垂线，由外心定理，它们交于一点,命题得证.③三角形三边中线交于一点，这一点叫三角形的重心。
证明：（同?法）设中线BE,CF交于点G,连结EF,则EF//BC,且EF:BC=FG:GC=EG:GB=1:2.同理中线AD, BE交于G；连结DE,则:DE//AB,且EG':GE二DG':G'A二DE:AB二1:2,故G, G'重合.④三角形三内角平分线交于一点，这一点为三角形内切圆的圆心，称内心。
证明：设ZA、ZC的平分线和交于I,过 1 作1D±BC, 1E±AC, 1F±AB,则有IE二IF二ID?因此I也在ZC的平分线上，即三角形三内角平分线交于一点.2.三角形的“四心”定理的平面向量表达式及其证明①0是4P\PK的重心O 州+亟+死=6 （其中a,b,c是NP\PK三边）P证明：充分性两+西+西= 6 = 0是A片巴人的重心若两+西+西=6,则两+西二-西，以两，西为邻边作平行四边形OPR'P"设。
三角形“四心”向量形式的结论及证明
三角形“四心”向量形式的结论及证明三角形的“四心”是指三角形的重心、外心、内心和垂心。
它们的位置可以用向量的形式来描述。
本文将分别介绍三角形“四心”的向量形式以及其证明。
1.重心:重心是指三角形三个顶点的中线交点所在的点，用G表示。
假设三角形的三个顶点分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)和C(x3,y3)，则重心G的坐标可以通过以下公式得到：G=(A+B+C)/3其向量形式为：OG=(OA+OB+OC)/3其中O为坐标原点。
证明：由定义可知，重心是三角形三个顶点的中线交点所在的点。
而中线的坐标可以通过两个顶点的坐标的平均值得到。
因此，重心的坐标是三个顶点坐标的平均值。
根据向量加法的性质，可以得到上述结论。
2.外心:外心是指可以通过三角形的三个顶点作为圆心，找到一个圆使得三条边都是这个圆的切线。
用O表示外心。
假设三角形的三个顶点分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)和C(x3,y3)，则外心O的坐标可以通过以下公式得到：O=(a^2*A+b^2*B+c^2*C)/(a^2+b^2+c^2)其中a、b、c分别表示三角形的边长BC、AC和AB的长度。
其向量形式为：OO=(a^2*OA+b^2*OB+c^2*OC)/(a^2+b^2+c^2)其中O为坐标原点。
证明：设外心为O，连接OA、OB、OC，并设AO的长度为R，BO的长度为R'，CO的长度为R''。
根据定义可知，OA，OB，OC都是截圆半径，可以得到以下关系：OA⊥BC，OB⊥AC，OC⊥AB由于OA、OB、OC是向量，因此上述关系可以写为：OA·BC=0，OB·AC=0，OC·AB=0其中“·”表示点乘。
根据向量的点乘性质可知：OA·(B-C)=0，OB·(C-A)=0，OC·(A-B)=0将向量差展开得：OA·B-OA·C=0，OB·C-OB·A=0，OC·A-OC·B=0进一步展开可得：R^2-R'^2=0，R'^2-R''^2=0，R''^2-R^2=0整理得：R^2-R'^2=R''^2-R^2移项得：2R^2=R'^2+R''^2根据圆的定义可知，外心到三角形的每个顶点的距离都相等，因此R=R'=R''。
三角形“四心” 与向量的完美结合
三角形的“四心”与向量的完美结合三角形重心、垂心、外心、内心向量形式的充要条件的向量形式 一． 知识点总结1）O 是ABC ∆的重心⇔=++; 若O 是ABC ∆的重心，则ABC AOB AOC BOC S 31S S S ∆∆∆∆===故0OC OB OA =++;1()3PG PA PB PC =++⇔G 为ABC ∆的重心.2）O 是ABC ∆的垂心⇔OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅;若O 是ABC ∆(非直角三角形)的垂心，则C tan B tan A tan S S S AOB AOC BOC ：：：：=∆∆∆故0OC C tan OB B tan OA A tan =++3）O 是ABC ∆的外心⇔|OC ||OB ||OA |==(或222==) 若O 是ABC ∆的外心则C 2sin :B 2sin :A 2sin AOB sin AOC sin BOC sin S S S AOB AOC BOC =∠∠∠=∆∆∆：：：：故C 2sin B 2sin A 2sin =++ 4）O 是内心ABC ∆的充要条件是(=-⋅=-⋅=-⋅引进单位向量，使条件变得更简洁。
如果记,,的单位向量为321e ,e ,e ，则刚才O 是ABC ∆内心的充要条件可以写成 0)e e ()e e ()e e (322131=+⋅=+⋅=+⋅ O 是ABC ∆内心的充要条件也可以是0OC c OB b OA a =++ 若O 是ABC ∆的内心，则c b a S S S AOB AOC BOC ：：：：=∆∆∆故 C sin B sin A sin c b a =++=++或;||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=⇔ABC ∆的内心;向量()(0)||||AC AB AB AC λλ+≠所在直线过ABC ∆的内心(是BAC ∠的角平分线所在直线)；二． 范例(一)．将平面向量与三角形内心结合考查例1．O 是平面上的一定点，A,B,C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足++=λ，[)+∞∈,0λ则P 点的轨迹一定通过ABC ∆的（ ）（A ）外心（B ）内心（C ）重心（D ）垂心解析：AB 的单位向量设AB 与AC 方向上的单位向量分别为21e e 和， 又AP OA OP =-，则原式可化为)(21e e AP +=λ，由菱形的基本性质知AP 平分BAC ∠，那么在ABC∆中，AP 平分BAC ∠，则知选B.点评：这道题给人的印象当然是“新颖、陌生”是什么？没见过！想想，一个非零向量除以它的模不就是单位向量？ 此题所用的都必须是简单的基本知识，如向量的加减法、向量的基本定理、菱形的基本性质、角平分线的性质等，若十分熟悉，又能迅速地将它们迁移到一起，解这道题一点问题也没有。
三角形中的四心与向量
三角形中的四“心”与向量平面几何中的三角形四“心”，即三角形的内心（内角平分线的交点，内切圆的圆心）、重心（中线的交点）、垂心（高线的交点）、外心（各边垂直平分线的交点，三角形外接圆的圆心）。
在引入向量这个工具后，我们可以通过向量来表示三角形的四“心”，这样使我们对向量形式的多样性和向量运算的灵活性有更清楚的认识。
一、重心：例1、已知O 是ABC V 所在平面上的一点，若0OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r ,则O 是ABC V的A.外心B.内心C.重心D.垂心【解析】若0OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r ，则=OA OB OC +-u u u r u u u r u u u r ，以,OA OB u u u r u u u r 为邻边作平行四边形'OAC B ，设OC 与AB 交于点D ，则D 为AB 中点，有'=OA OB OC +u u u u r u u u r u u u r ，得'=OC OC -u u u u r u u u r ，即',,,C O D C 四点共线，故CD 为ABC V 的中线，同理,AE BF亦为ABC V 的中线，所以O 是ABC V 的重心。
例2、已知O 是平面上一定点，,,A B C 是平面上不共线的三点，动点P 满足(),(0,)OP OA AB AC λλ=++∈+∞u u u r u u u r u u u r u u u r ，则动点P 的轨迹一定通过ABC V 的A.外心B.内心C.重心D.垂心【解析】上式可化为()AP AB AC λ=+u u u r u u u r u u u r ，当(0,)λ∈+∞时，由于()AB AC λ+u u u r u u u r 表示BC 边上的中线所在直线的方向向量，故动点P 的轨迹一定通过ABC V 的重心。
高中数学：三角形四心与向量
三角形四心的向量表示知识点总结奔驰定理：O 为ABC 内的一点，,,BOC AOC AOB 的面积分别为,,A B C S S S ，则0A B C S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=1.重心（1）O 是ABC ∆的重心⇔0OC OB OA =++;说明：若O 是ABC ∆的重心，则ABC AOB AOC BOC S 31S S S ∆∆∆∆===故0OC OB OA =++;（2）P 为ABC 所在平面内的一点，1()3PG PA PB PC =++⇔G 为ABC ∆的重心. 证明 ：CG PC BG PB AG PA PG +=+=+=⇒)()(3PC PB PA CG BG AG PG +++++= ∵G 是△ABC 的重心 ∴GC GB GA ++=0⇒CG BG AG ++=0，即PC PB PA PG ++=3 由此可得)(31PC PB PA PG ++=.（反之亦然（证略））2．垂心（1）O 是ABC ∆(非直角三角形)的垂心⇔0OC C tan OB B tan OA A tan =++;说明：若O 是ABC ∆(非直角三角形)的垂心，则C tan B tan A tan S S S AOB AOC BOC ：：：：=∆∆∆故0OC C tan OB B tan OA A tan=++（2）O 是ABC ∆的垂心⇔OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅;3．外心（1）O 是ABC ∆(非直角三角形)的外心⇔0OC C 2sin OB B 2sin OA A 2sin =++;说明：若O 是ABC ∆的外心则C 2sin :B 2sin :A 2sin AOB sin AOC sin BOC sin S S S AOB AOC BOC =∠∠∠=∆∆∆：：：：故0OC C 2sin OB B 2sin OAA 2sin =++（2）O 是ABC ∆的外心⇔|OC ||OB ||OA |==(或222OCOB OA ==)4．内心（1）O 是ABC ∆内心⇔0OC c OB b OA a =++ 。
向量与三角形四心结论总结
向量与三角形四心结论总结一、三角形的四心。
1. 重心。
这重心啊，可是三角形三条中线的交点呢。
想象一下，就像三角形的一个平衡点。
如果我们设三角形的三个顶点为A(x_1,y_1)，B(x_2,y_2)，C(x_3,y_3)，那么重心G的坐标就是((x_1 + x_2+ x_3)/(3),(y_1 + y_2 + y_3)/(3))。
从向量的角度来看，有个超有趣的结论哦。
如果→GA+→GB+→GC=→0，这就说明G是三角形的重心啦。
就好像这三个向量达成了一种平衡，谁也不“欺负”谁，都加起来等于零向量了呢。
2. 内心。
内心呀，是三角形三条角平分线的交点。
它到三角形三边的距离相等，就像一个很公平的小中心。
设a,b,c为三角形ABC三边BC,AC,AB的边长，→AI为角A的角平分线所在向量，那么有→AI=frac{b→AB+c→AC}{b + c}。
这个式子看起来有点复杂，但是你想啊，内心是和三角形的边的长度有关系的，b和c就像是在根据边的长短来分配向量的权重呢，这样就能准确找到内心的向量表示啦。
3. 外心。
外心呢，是三角形三条边的垂直平分线的交点。
它是三角形外接圆的圆心哦。
如果O是三角形ABC的外心，那么|→OA|=|→OB|=|→OC|。
从向量角度还有个好玩的结论，对于非直角三角形ABC，设H为垂心，则→OH=→OA+→OB+→OC，这个结论就像是外心和其他向量之间的一个神秘联系，把外心、垂心和三角形的顶点向量都串起来了呢。
4. 垂心。
垂心是三角形三条高的交点。
如果H是三角形ABC的垂心，A,B,C为三角形的顶点，那么→AH·→BC=0，→BH·→AC=0，→CH·→AB=0。
这几个式子就表明了垂心和三角形三边的垂直关系在向量中的体现呀。
就像垂心在和三边说：“我和你们是垂直的哦，所以我们向量的点积就是零啦。
”二、这些结论的应用。
这些关于向量和三角形四心的结论在解题的时候可太有用啦。
三角形四心的向量公式及证明
三角形四心的向量公式及证明在我们的数学世界里，三角形可是个相当重要的角色。
而三角形的“四心”——重心、外心、内心和垂心，更是藏着许多有趣的秘密，特别是它们与向量公式之间的奇妙关系。
先来说说重心。
重心是三角形三条中线的交点。
假设三角形的三个顶点分别是 A(x₁,y₁) 、B(x₂,y₂) 、C(x₃,y₃) ，那么重心 G 的坐标就是 ((x₁ + x₂ + x₃) / 3, (y₁ + y₂ + y₃) / 3) 。
这背后的向量公式是这样的：若有向量 \(\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} +\overrightarrow{GC} = \overrightarrow{0}\) ，则点 G 就是重心。
给大家举个小例子吧，我曾经在课堂上给学生们讲这个知识点的时候，有个学生就特别好奇地问我：“老师，这重心在生活中有啥用啊？”我笑着回答他：“你想想看啊，假如我们要做一个三角形的风筝，要让它飞得稳，重心的位置就得找好，不然它可就歪歪扭扭飞不起来啦！”这一下，同学们都恍然大悟，对重心的理解也更深刻了。
再聊聊外心。
外心是三角形三边中垂线的交点，也就是三角形外接圆的圆心。
若点 O 是外心，那么 \(|\overrightarrow{OA}| =|\overrightarrow{OB}| = |\overrightarrow{OC}|\) 。
说到外心，我想起有一次带学生们在操场上做数学实践活动。
我们用绳子和标杆模拟画出三角形，然后一起找它的外心。
同学们兴致勃勃，七嘴八舌地讨论着，那场面别提多热闹了。
接着是内心。
内心是三角形三条内角平分线的交点，也就是内切圆的圆心。
若点 I 是内心，\(\overrightarrow{a}\overrightarrow{IA} +\overrightarrow{b}\overrightarrow{IB} +\overrightarrow{c}\overrightarrow{IC} = \overrightarrow{0}\) （其中 a、b、c 是三角形三边的长度）。
高考数学向量与三角形的四个心
） B．内心 C．重心
A
A．外心
D．垂心
分析： 如图所示 ABC ，D、E 分别为边 BC、AC 的中点. AB AC 2 AD
E
OP OA 2 AD
OP OA AP AP 2 AD
B
D
C
AP // AD
点 P 的轨迹一定通过 ABC 的重心，即选 C .
向量与三角形内心、外心、重心、垂心 一、四心的概念介绍 （1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成 2：1； （2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直； （3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心） ：角平分线上的任意 点到角两边的距离相等； （4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心） ：外心到三角形各顶点 的距离相等。 二、典型例题 例 1： O 是平面上一定点， A、B、C 是平面上不共线的三个点， 动点 P 满足 OP OA ( AB AC ) ， 0, ，则点 P 的轨迹一定通过
AC BC cos C AC cos C
= BC + BC =0
点 P 的轨迹一定通过 ABC 的垂心，即选 D .
新浪微博：北京新东方优能中学教育 人人网：新东方优能中学
( AB AB cos B AB BC AB cos B AC AC cos C AC BC AC cos C ) BC
B D C A
AB AB cos B
AC AC cos C
) ， 0, ，则点 P 的轨迹一定
） B． 内心 C． 重心 D． 垂
E
=
=
AB BC cos B AB cos B
例 2： （03 全国理 4） O 是平面上一定点， A、B、C 是平面上不共线的
向量与三角形四心结论
向量与三角形四心结论在几何学中，向量与三角形的四心结论是一个重要的定理，也是研究三角形内部向量的有用结论。
这一定理指出，如果三角形的三个内角的对应边的中点连接在一起，则这三个内角的乘积等于三个半周长的乘积。
本文将研究“向量与三角形四心结论”。
首先讨论向量与三角形四心结论的定义。
它是指三角形内的三个内角的对应边的中点向量的乘积等于三个半周长的乘积。
用符号表示为：AM * BM * CM = 2 * R * (A + B + C)，其中，AM是三角形ABC内角A的边BC的中点M的向量，BM是三角形ABC内角B的边AC的中点的向量，CM是三角形ABC内角C的边AB的中点的向量，R是三角形ABC的半径，A、B、C是三角形ABC的内角。
接下来，考虑“向量与三角形四心结论”的证明。
由于中点向量的乘积，可以用调和公式得到：AM * BM * CM = (AB + AC + BC) * (AB + AC - BC) * (AB - AC + BC) * (- AB + AC + BC)，接着，回到原来的公式，AM * BM * CM = 2 * R * (A + B + C)，从而，就可以用展开二次方程的方法来证明“向量与三角形四心结论”。
最后，讨论“向量与三角形四心结论”的应用。
三角形内向量的乘积是由“向量与三角形四心结论”来确定的，因此，“向量与三角形四心结论”可以用于求解三角形内部向量的乘积。
此外，“向量与三角形四心结论”也可以用来判断三角形是不是等腰三角形，从而帮助我们分析三角形的形状特征。
综上所述，“向量与三角形四心结论”是一个重要的定理，它可以用来研究三角形内部的向量乘积，也可以用来判断是不是等腰三角形，帮助我们分析三角形的形状特征。
相信随着今后的进一步研究，“向量与三角形四心结论”会发挥更大的作用，为几何学的研究和应用提供更多的依据。
三角形的“四心”与平面向量
线( O ， G ， H 三点连线称为欧拉线)，且 OG ＝ GH .
三角形的“四心”与平面向量
题型一 三角形的“重心”与平面向量
重心：三角形三条中线的交点叫重心.它到三角形顶点距离与该点
到对边中点距离之比为2∶1.
在向量表达形式中，设点 G 是△ ABC 所在平面内的一点，则当点 G
1
是△ ABC 的重心时，有 ＋ ＋ ＝0或 ＝ ( ＋ ＋ )(其
｜｜cos
所以 ＝ － ＝λ
所以 · ＝ ·λ
＋
｜｜cos
｜｜cos
｜｜cos
＋
＋
，
｜｜cos
｜｜cos
｜ ｜)＝0，
所以 ⊥ ，所以点 P 在 BC 的高线上，
即动点 P 的轨迹一定通过△ ABC 的垂心.
示△ AB 1 C 1的面积，
1
1
所以 S △ COA ＝ S ， S △ AOB ＝ S ，
9
6
1
1
1
1
S △ BOC ＝ △1 ＝ × △1 1 ＝ S .
2
2
3
18
1
1
1
于是 S △ BOC ∶ S △ COA ∶ S △ AOB ＝
平行四边形为OAC'B， OC 与 AB 交于点 D (图略)，则 D 为 AB 的中点，由
＋ ＝ ′ 得， ＝－ ′ ，即 C ， O ， D ，C'四点共线，故 CD
为△ ABC 的中线，所以 O 在边 AB 的中线上，同理可证， O 在边 AC 的中
线上， O 在边 BC 的中线上，所以 O 是三角形 ABC 的重心.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
三角形的四心与平面向量总结三角形“四心”向量形式的充要条件应用1．O 是ABC ∆的重心⇔=++;若O 是ABC ∆的重心，则ABC AOB AOC BOC S 31S S S ∆∆∆∆===故=++;1()3PG PA PB PC =++⇔G 为ABC ∆的重心.2．O 是ABC ∆的垂心⇔⋅=⋅=⋅;若O 是ABC ∆(非直角三角形)的垂心，则C tan B tan A tan S S S AOB AOC BOC：：：：=∆∆∆故C tan B tan A tan=++3．O 是ABC ∆的外心⇔|OC ||OB ||OA |==(或222OC OB OA ==)若O 是ABC ∆的外心则C 2sin :B 2sin :A 2sin AOB sin AOC sin BOC sin S S S AOB AOC BOC=∠∠∠=∆∆∆：：：：故C 2sin B 2sin A 2sin =++4．O是内心ABC ∆的充要条件是(()(=⋅=⋅=⋅引进单位向量，使条件变得更简洁。
如果记CA ,BC ,AB 的单位向量为321e ,e ,e ，则刚才O 是ABC ∆内心的充要条件可以写成0)e e ()e e ()e e (322131=+⋅=+⋅=+⋅ ，O是ABC ∆内心的充要条件也可以是0OC c OB b OA a =++ 。
若O 是ABC ∆的内心，则c b a S S S AOB AOC BOC ：：：：=∆∆∆故0OC C sin OB B sin OA A sin 0OC c OB b OA a =++=++或;||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=⇔是ABC ∆的内心;向量()(0)||||AC AB AB AC λλ+≠所在直线过ABC ∆的内心(是BAC ∠的角平分线所在直线)(例1．O 是平面上的一定点，A,B,C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足++=λ，[)+∞∈,0λ则P 点的轨迹一定通过ABC ∆的（）（A ）外心（B ）内心（C ）重心（D ）垂心AB 的单位向量设AB 与AC 方向上的单位向量分别为21e e 和， 又AP OA OP =-，则原式可化为)(21e e +=λ，由菱形的基本性质知AP 平分BAC ∠，那么在ABC∆中，AP 平分BAC ∠，则知选B.(二)将平面向量与三角形垂心结合考查“垂心定理”例2． H 是△ABC 所在平面内任一点，HA HC HC HB HB HA ⋅=⋅=⋅⇔点H 是△ABC 的垂心. 由AC HB AC HB HA HC HB HC HB HB HA ⊥⇔=⋅⇔=-⋅⇔⋅=⋅00)(, 同理AB HC ⊥，⊥.故H 是△ABC 的垂心. （反之亦然（证略））C(x 2,y 2)y 例3.(湖南)P 是△ABC 所在平面上一点，若PA PC PCPB PB PA ⋅=⋅=⋅，则P 是△ABC 的（D）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心解析:由0=⋅-⋅⋅=⋅PC PB PB PA PC PB PBPA 得.即0,0)(=⋅=-⋅CA PB PC PA PB 即 则AB PC BC PA CA PB ⊥⊥⊥,,同理 所以P 为ABC ∆的垂心. 故选D.(三)将平面向量与三角形重心结合考查“重心定理”例4． G 是△ABC 所在平面内一点，GC GB GA ++=0⇔点G 是△ABC 的重心.证明 作图如右，图中GE GC GB =+连结BE 和CE ，则CE=GB ，BE=GC ⇔BGCE 为平行四边形⇒D 是BC 的中点，AD 为BC 边上的中线.将GE GC GB =+代入GC GB GA ++=0，得EG GA +=0⇒GD GE GA 2-=-=，故G 是△ABC 的重心.（反之亦然（证略）） 例5． P 是△ABC 所在平面内任一点.G 是△ABC 的重心⇔)(31PC PB PA PG ++=. 证明 CG PC BG PB AG PA PG +=+=+=⇒)()(3PC PB PA CG BG AG PG +++++= ∵G 是△ABC 的重心 ∴GC GB GA ++=0⇒CG BG AG ++=0，即PC PB PA PG ++=3 由此可得)(31PC PB PA PG ++=.（反之亦然（证略）） 例6 若O 为ABC ∆内一点，0OA OB OC ++= ，则O 是ABC ∆ 的（）A ．内心B ．外心C ．垂心D ．重心 解析：由0OA OB OC ++=得OB OC OA +=-，如图以OB 、OC 为相邻两边构作平行四边形，则OB OC OD +=，由平行四边形性质知12OEOD =，2OA OE =，同理可证其它两边上的这个性质，所以是重心，选D 。
(四) 将平面向量与三角形外心结合考查 例7若O 为ABC ∆内一点，OA OB OC ==，则O 是ABC ∆ 的（ ）A ．内心B ．外心C ．垂心D ．重心解析：由向量模的定义知O 到ABC ∆的三顶点距离相等。
故O 是ABC ∆ 的外心 ，选B 。
(五)将平面向量与三角形四心结合考查例8．已知向量1OP ，2OP ，3OP 满足条件1OP +2OP +3OP =0，|1OP |=|2OP |=|3OP |=1， 求证 △P 1P 2P 3是正三角形.（《数学》第一册（下），复习参考题五B 组第6题） 证明 由已知1OP +2OP =-3OP ，两边平方得1OP ·2OP =21-， 同理 2OP ·3OP =3OP ·1OP =21-， ∴|21P P |=|32P P |=|13P P |=3，从而△P 1P 2P 3是正三角形.反之，若点O 是正三角形△P 1P 2P 3的中心，则显然有1OP +2OP +3OP =0且|1OP |=|2OP |=|3OP |. 即O 是△ABC 所在平面内一点，1OP +2OP +3OP =0且|1OP |=|2OP |=|3OP |⇔点O 是正△P 1P 2P 3的中心.例9．在△ABC 中，已知Q 、G 、H 分别是三角形的外心、重心、垂心。
求证：Q 、G 、H 三点共线，且QG:GH=1:2。
【证明】：以A 为原点，AB 所在的直线为x 轴，建立如图所示的直角坐标系。
设A(0,0)、B （x 1,0）、C(x 2,y 2)，D 、E 、F 分别为AB 、BC 、AC 的中点，则有：112222,0)(,)(,)22222x x x y x y E F +D （、、 由题设可设1324,)(,)2x Q y H x y （、, 122(,)33x x y G +212243(,)(,)222x x y AH x y QF y ∴==--，212(,)BC x x y =- 2212422142()0()AH BCAH BC x x x y y x x x y y ⊥∴•=-+=-∴=-212223221232()()0222()22QF ACx x yQF AC x y y x x x y y y ⊥∴•=-+-=-∴=+121221224323()(,),)22x x x x x x y QH x y y --∴=--=--2（22y2112212221232122122122122()(,),)3233223()23()1 (,)(,)6321=3x x x y x x y x x x y QG y x x x x x y x x x x x y QH+--∴=--=------=--=--222（62y 66y 22y 即=3QH QG ，故Q 、G 、H 三点共线，且QG ：GH =1：2例10．若O 、H 分别是△ABC 的外心和垂心.求证 OC OB OA OH ++=. 证明 若△ABC 的垂心为H ，外心为O ，如图. 连BO 并延长交外接圆于D ，连结AD ，CD .∴AB AD ⊥，BC CD ⊥.又垂心为H ，BC AH ⊥，AB CH ⊥， ∴AH ∥CD ，CH ∥AD ，∴四边形AHCD 为平行四边形，∴OC DO DC AH +==，故OC OB OA AH OA OH ++=+=.著名的“欧拉定理”讲的是锐角三角形的“三心”——外心、重心、垂心的位置关系：（1）三角形的外心、重心、垂心三点共线——“欧拉线”；（2）三角形的重心在“欧拉线”上，且为外——垂连线的第一个三分点，即重心到垂心的距离是重心到外心距离的2倍。
“欧拉定理”的向量形式显得特别简单，可简化成如下的向量问题.例11． 设O 、G 、H 分别是锐角△ABC 的外心、重心、垂心. 求证 OH OG 31=证明 按重心定理 G 是△ABC 的重心⇔)(31OC OB OA OG ++= 按垂心定理 OC OB OA OH ++= 由此可得 OH OG 31=.补充练习1．已知A 、B 、C 是平面上不共线的三点，O 是三角形ABC 的重心，动点P 满足OP =31 (21OA +OB 21+2OC ),则点P 一定为三角形ABC 的 （ B ） A.AB 边中线的中点 B.AB 边中线的三等分点（非重心） C.重心 D.AB 边的中点 1. B 取AB 边的中点M ，则OM OBOA 2=+，由OP=31 (21OA +OB 21+2OC )可得3MC OM OP 23+=，∴32=，即点P 为三角形中AB 边上的中线的一个三等分点，且点P 不过重心，故选B.2．在同一个平面上有ABC ∆及一点Ｏ满足关系式： 2O A ＋2BC ＝2OB ＋2CA ＝2OC＋2AB，则Ｏ为ABC∆的 （ D ）Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心2．已知△ABC 的三个顶点A 、B 、C 及平面内一点P 满足：0PA PB PC++=，则P 为ABC∆的（ C ）Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心3．已知O 是平面上一 定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足：)(AC AB OA OP ++=λ，则P 的轨迹一定通过△ABC 的 （C ）Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心4．已知△ABC ，P 为三角形所在平面上的动点，且动点P 满足：0PA PC PA PB PB PC •+•+•=，则P 点为三角形的 （D ）Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心5．已知△ABC ，P 为三角形所在平面上的一点，且点P 满足：0a PA b PB c PC ⋅+⋅+•=，则P 点为三角形的（ B ）Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心6．在三角形ABC 中，动点P 满足：•-=222，则P 点轨迹一定通过△ABC 的： （ B ）Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心7.已知非零向量AB →与AC →满足(AB →|AB →| +AC →|AC →| )·BC →=0且AB →|AB →| ·AC →|AC →|=12 , 则△ABC 为( )A.三边均不相等的三角形B.直角三角形C.等腰非等边三角形D.等边三角形 解析：非零向量与满足(||||AB AC AB AC +)·=0，即角A 的平分线垂直于BC ，∴ AB =AC ，又cos A =||||AB AC AB AC ⋅=12 ，∠A =3π，所以△ABC 为等边三角形，选D ．8.ABC ∆的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，)(m ++=，则实数m = 19.点O 是三角形ABC 所在平面内的一点，满足⋅=⋅=⋅，则点O 是ABC ∆的（B ）（A ）三个内角的角平分线的交点 （B ）三条边的垂直平分线的交点 （C ）三条中线的交点 （D ）三条高的交点 10. 如图1，已知点G 是ABC ∆的重心，过G 作直线与AB ，AC 两边分别交于M ，N 两点，且AM xAB =，AN y AC=，则113x y+=。