必修一答案--高中数学必做100题

高中数学必做100题----数学1

1. 试选择适当的方法表示下列集合：

（1）函数22y x x =-+的函数值的集合； （2）3y x =-与35y x =-+的图象的交点集合.

解：（1）2

2

17224y x x x ⎛

⎫=-+=-+ ⎪⎝

⎭ ……（3分）

7

4

y ∴≥

，……（5分） 故所求集合为7|4y y ⎧⎫

≥⎨⎬⎩⎭

.……（6分） （2）联立3

35

y x y x =-⎧⎨=-+⎩，……（8分）

解得2

1

x y =⎧⎨

=-⎩，……（10分）

故所求集合为

(){}2,1-.……（12分）

2. 已知集合{|37}A x x =≤<，{|510}B x x =<<，求()R C A B 、()R C A B 、()R C A B 、

()R A C B . （◎P 14 10）

解：{}()|310R C A B x x x =<≥或，……（3分）

{}()|57R C A B x x x =≤≥或，……（6分）

{}()|710R C A B x x =≤<，……（9分）

{}()|710R A C B x x x =<≥或.……（12分）

3. 设全集*{|9}U x N x =∈<，{1,2,3}A =，{3,4,5,6}B =. （◎P 12 例8改编） （1）求A B ，A B ，()U C A B ，()U C A B ； 解：{}1,2,3,4,5,6A B =，……（1分）

{}3A B =，……（2分） {}()7,8U C A B =，……（3分） {}()1,2,4,5,6,7,8U C A B =.……（4分）

（2）求U C A ， U C B ， ()()U U C A C B ，()()U U C A C B ；

解：{}4,5,6,7,8U C A =，……（5分）

{}1,2,7,8U C B =，……（6分）

{}()()1,2,4,5,6,7,8U U C A C B =，……（7分） {}()()7,8U U C A C B =. ……（8分）

（3）由上面的练习，你能得出什么结论？请结合Venn 图进行分析.

解：()()()U U U C A B C A C B =，……（9分）()()()U U U C A B C A C B =. ……（10分） Venn 图略. ……（12分）

4. 设集合{|(4)()0,}A x x x a a R =--=∈，{|(1)(4)0}B x x x =--=. （◎P 14 B 4改编） （1）求A B ，A B ；

解：①当4a =时，{}4A =，{}1,4B =，故{}1,4A B =，{}4A B =；……（2分） ②当1a =时，{}1,4A =，{}1,4B =，故{}1,4A B =，{}1,4A B =；……（4分） ③当4a ≠且1a ≠时，{},4A a =，{}1,4B =，故{}1,,4A B a =，{}4A B =. ……（6分）

（2）若A B ⊆，求实数a 的值；

解：由（1）知，若A B ⊆，则1a =或4. ……（8分）

（3）若5a =，则A B 的真子集共有 个, 集合P 满足条件()()A B P A B 刎，写出所有可能的集合P .

解：若5a =，则{}4,5A =，{}1,4B =，故{}1,4,5A B ⋃=，此时A B 的真子集有

7个. ……（10分） 又

{}4A B ⋂=，∴满足条件()()A B P A B 刎的所有集合P 有{}1,4、{}4,5. ……

（12分） 5. 已知函数3()41

x

f x x -=

+. （1）求()f x 的定义域与值域（用区间表示） （2）求证()f x 在1(,)4

-+∞上递减. 解：（1）要使函数有意义，则410x +≠，解得1

4

x ≠-. ……（2分） 所以原函数的定义域是1{|}4

x x ≠-.……（3分）

()311241(41)1311311

041441441444144

x x x y x x x x ---++=

=⨯=⨯=-+≠-+=-++++，……（5分）

所以值域为1

{|}4

y y ≠-.……（6分） （2）在区间1,4⎛⎫

-

+∞ ⎪⎝⎭

上任取12,x x ，且12x x <，则 ()()()()()

2112

121212133341414141x x x x f x f x x x x x ----=

-=

++++……（8分） 12x x <，210x x ∴->……（9分）

又121,,4x x ⎛⎫

∈-

+∞ ⎪⎝⎭

，12410,410x x ∴+>+>，……（10分） ()()120f x f x ∴->

()()12f x f x ∴>，……（11分）∴函数()f x 在1

(,)4

-+∞上递减. ……（12分）

6. 已知函数(4),0

()(4),0

x x x f x x x x +≥⎧=⎨-<⎩，求(1)f 、(3)f -、(1)f a +的值.（◎P 49 B4）

解：(1)5f =，……（3分）()321f -=，……（6分）

()22

65,1

123,1

a a a f a a a a ⎧++≥-⎪+=⎨--<-⎪⎩.……（12分） 7. 已知函数2()2f x x x =-+. （☆P 16 8题）

（1）证明()f x 在[1,)+∞上是减函数;（2）当[]2,5x ∈时，求()f x 的最大值和最小值. 解：（1）证明：在区间[1,)+∞上任取12,x x ，且12x x <，则有……（1分）

221211222112()()(2)(2)()(2)f x f x x x x x x x x x -=-+--+=-⋅+-，……（3分）

∵12,[1,)x x ∈+∞，12x x <，……（4分）

∴21120,x x x x ->0,+-2>即12()()0f x f x ->……（5分） ∴12()()f x f x >，所以()f x 在[1,)+∞上是减函数．……（6分） （2）由（1）知()f x 在区间[]2,5上单调递减，所以

max min ()(2)0,()(5)15f x f f x f ====-……（12分）

8. 已知函数()log (1),()log (1)a a f x x g x x =+=-其中(01)a a >≠且．（◎P 84 4）

（1）求函数()()f x g x +的定义域；

（2）判断()()f x g x +的奇偶性，并说明理由；