1.4 阶跃信号与冲激信号

定义（1）：狄拉克(Dirac)函数 定义（ ）：狄拉克(Dirac)函数 狄拉克(Dirac)
+∞δ (t) dt =1 ∫ −∞ δ (t) = 0, t ≠ 0
∫
δ (t )d t = ∫0 δ (t )d t −∞
−
+∞
0+
函数值只在t=0时不为零； 函数值只在 时不为零； 时不为零 积分面积为1 积分面积为1； t=0时， (t ) →∞，为无界函数。 时 δ 为无界函数。
6.符号函数
1 n 定义 sg ( t) = −1 (t > 0) (t < 0)
可用阶跃表示 sg ( t) = 2ε(t) −1 n
三．单位冲激函数
1.定义 1.定义 2.单位冲激函数的描述 2.单位冲激函数的描述 3.冲激函数的性质 3.冲激函数的性质
• 连续时间单位冲激信号是一种奇异信号，它定 义为那种持续时间无穷小，顺间幅度无穷大， 涵盖面积恒为1的一种理想信号。例如：冲击 力的作用、雷击、抽样脉冲等。它的特点是只 有在t=0的这时刻有能量。
f (5 − 2t ) → f (5 − t ) :展宽一倍， 展 t f (5 − t ) = 2δ − 3 = 4δ (t − 6) 2
f (5 − t ) → f (−t ) ：左移 ； 移5；
0
(4) t 1 2 3 6
f(-t)
(4) t 0 1 2 3 6 f(t)
f (−t ) = f [5 − (t + 5)] = 4δ (t − 1)
+∞
o
t
对于移位情况： 对于移位情况：
δ (t ) f (t −t 0) = f (t0 )δ (t )
∫
δ (t − t0 ) f (t )dt = f (t0 ) −∞
+∞
(2) 奇偶性
δ (t ) = δ (−t )
（3）比例性
1 δ (at ) = δ (t ) a
（4）微积分性质 δ (t ) = du(t ) dt （5）卷积性质
4.用阶跃信号表示矩形脉冲 4.用阶跃信号表示矩形脉冲
G(t) = u(t) − u(t −τ )
G (t) = u(t −t0 ) − u(t − t0 −τ ) 1
G(t)
G1(t)
τ
t9
τ
5.信号加窗或取单边 5.信号加窗或取单边
f (t) = e−t [ε(t) − ε(t − t0 )]
定义（2） 定义（
1 τ τ p(t ) = u t + − u t − τ 2 2
1
p(t )
τ τ 2
t
τ →0
−τ 2 0
面积1； 脉宽↓； 脉冲高度↑； 面积1 脉宽↓ 脉冲高度↑ 则窄脉冲集中于t=0处 则窄脉冲集中于 处。 ★面积为1 面积为1 面积为 宽度为 三个特点： ★宽度为0 三个特点： 宽度为0
f (−t ) → f (t ) ：倒置 f (t ) = 4δ (t + 1) ；
(4)
t 0 1 2 3 6
X
总结： R(t)，u(t)， δ(t) 之间的关系
R(t ) 1
O
u(t ) 1 t 1
O
δ (t )
∞
(1)
t
O
t
求 导
R(t) ↓ ↑ 积 u(t) ↓ ↑ 分 δ(t)
(-∞<t< ∞) ∞
无穷 ★ 幅度 0
t =0 t ≠0
2.单位冲激函数的描述 2.单位冲激函数的描述
1 τ τ δ (t ) = lim p(t ) = lim u t + − u t − τ →0 τ →0 τ 2 2
δ (t )
∞ (1)
t
δ (t − t0 )
0 u(t ) = 1 t <0 点无定义或1/2） （0点无定义或 ） 点无定义或 t >0
1
u(t )
O
t
2.物理模型：等效为开关的闭合 物理模型： 物理模型
K
负载
3. 有延迟的单位阶跃信号
0 u(t − t0 ) = 1 t < t0 t > t0
u(t − t0 )
, t0 > 0
3 三角斜变 • 0< t < t0 • R(t) = Kt / t0 • t > t0 R(t) = 0
0
t
0
t
在实际中常遇到切平的斜变信号，如左图所示。 在实际中常遇到切平的斜变信号，如左图所示。还有把某时刻以后的信号截断 成为三角斜变信号如右图。 成为三角斜变信号如右图。
二．单位阶跃信号
1. 定义
§ 1.4 阶跃信号与冲激信号
•主要内容：单位斜变信号、单位阶 主要内容：单位斜变信号、 主要内容 跃信号、单位冲激信号、 跃信号、单位冲激信号、冲激偶信号
•重点：单位阶跃信号与单位冲激信号的定 重点： 重点 性质， 义、性质，及其物理概念 •难点：冲激函数的几种定义方式 难点： 难点
奇异信号
• 函数本身有不连续点(跳变点)或其导数与积分有 函数本身有不连续点(跳变点) 奇异信号或 不连续点的一类函数统称为奇异信号 奇异函数。 不连续点的一类函数统称为奇异信号或奇异函数。 – – – – – 斜变信号 单位阶跃信号 符号函数 单位冲激 冲激偶信号
时移的冲激函数
∞
(1)
o
o
t0
t
若面积为k，则强度为k。 若面积为 ，则强度为 。 三角形脉冲，双边指数脉冲，钟形脉冲，抽样函数， 三角形脉冲，双边指数脉冲，钟形脉冲，抽样函数， 极限， 取τ→0极限，都可以认为是冲激函数。 极限 都可以认为是冲激函数。
（1）其他函数演变的冲激脉冲 • 三角脉冲的极限 • 双边指数脉冲的极限
f(t)
t t t0
几点认识
• 当单位阶跃乘以某个信号时，就将该信号取了 单边，即令信号从t=0时开始。 • 单位阶跃之差常用与给信号加窗。 • 如图所示。
（1）突然接入的直流电压 （2）突然接通又马上断开电源
K
负载
• 单位阶跃经常用来描述那些突然接入的直流电 压。 • 有时用来描述突然接入又马上断开的信号。可 近似为窄的方脉冲甚至单位冲激。 • 如图所示。 • 于是用数学语言来表示控制信号切入的时间。
1 δ (t) = lim{τ (1− τ )[ε(t +τ ) − ε(t −τ ) t
τ →∞
lim τ ] } δ (t) = τ →∞[ 21 e
−τ
t
]
（2）其他函数演变的冲激脉冲 • 钟形脉冲的极限 • 抽样脉冲的极限
δ (t) = lim[τ e
τ →∞
t −π ( τ )2 1
lim ] δ (t) = τ →∞[π Sa(kt) ]
思考题
• 1. 什么是奇异信号？ 什么是奇异信号？ • 2. 单位斜变信号、阶跃信号与冲激信号的定义、 单位斜变信号、阶跃信号与冲激信号的定义、 性质、物理意义及相互之间的转化关系。 性质、物理意义及相互之间的转化关系。 • 3. 冲激函数的几种定义。 冲激函数的几种定义。
一、 单位斜变信号
斜变信号——斜坡信号 1 斜变信号 斜坡信号 t >=0 t <0 R(t) = t R(t) = 0
R(t)
t >= t0 t < t0
R(t-t0) = t -t0 R(t-t0) = 0
R(tR(t-t0)
0
1
t
0
t0ห้องสมุดไป่ตู้
t0+1
t
2切平的斜变 • 0< t < t0 • R(t) = Kt / t0 • t > t0 R(t) = K
k
3.冲激函数的性质 3.冲激函数的性质
抽样性(筛选性) (1) 抽样性(筛选性) 如果f(t)在 处连续 且处处有界， 处连续， 如果 在t=0处连续，且处处有界，则有
f (t )
δ (t ) f (t ) = f (0)δ (t )
f (0)
∞
∫
δ (t ) f (t )dt = f (0) −∞
f (t ) ∗δ (t ) = f (t )
∫
δ (τ )dτ = u(t ) −∞
t
四、冲激偶信号—— δ ' (t) = δ (t)
d dt
取极限
τ →0
求 导
δ (t)
取极限
δ (t)
'
τ →0
冲激偶的性质
①
∫
δ ′(t ) f (t )dt = − f ′ (0) −∞
−∞
∞ (k )
+∞
阶导数： 对δ (t )的k阶导数： ∫ δ
时移， 时移，则： ②
(t ) f (t )d t = (−1)
k
f (k ) (0)
−∞ +∞
δ ′ (t )dt = δ (t ) ③ δ ′(−t ) = −δ ′(t ) , ′ −∞ δ (t0 − t ) = −δ ′(t − t0 ) ∴δ ′(t )是奇函数 ④ f (t )δ ′(t) = f (0)δ ′(t) − f ′(0)δ (t ) ， 不同） （与 f (t)δ (t) = f (0)δ (t ) 不同）
−∞
∫−∞δ ′(t)dt = 0 ,
+∞
∫
δ ′(t − t0 ) f (t )dt = − f ′ (t0 ) −∞
−∞
∫
t
X
例1： ：
f(5-2t) 1 +∞ f (0) 例1： ∫−∞δ (5t ) f (t )d(t ) = 5 (2) t 3
f 的波形， 0 例2：已知信号 (5 − 2t )的波形，请画出 1 2 ： f(5-t) f (t )的波形． 的波形． f (5 − 2t ) = 2δ (t − 3)
1
O
0 u(t + t0 ) = 1
t < −t0 t > −t0
t0 u(t + t0 )
t
, t0 > 0
1
由宗量 (t ± t ) = 0 可知t = ∓t , 即时 0 0 断点， ，函数有断点 间为∓ t0时 函数有断点，跳变点 宗量>0 函数值为 函数值为1 宗量
− t0 O
t
宗量<0 函数值为 函数值为0 宗量