伯努利方程

二、实际流体的伯努利方程
根据能量守恒定律，连续稳定流动系统的能量衡算：
输入能=输出能
可列出以１kg流体为基准的能量衡算式，即:
u1 u2 U1 gZ1 p1v1 Qe We U 2 gZ2 p2v2 2 2
u2 U gZ ( pv) Qe We 2
O
Z
du dt
dp g d z
2 1 dp gdz 2 d (u ) 0
X
1 2 gz u const ——理想流体的伯努利方程式 2
p
Y
理想流体在各截面上所具有的总机械能相等， 且各种形式的机械能可以相互转换.
二、实际流体的伯努利方程
三、伯努利方程的讨论
（2）不同衡算基准的伯努利方程表达式
1kg 1N 1m3
J/kg
m
Pa
三、伯努利方程的讨论
伯努利方程的常用形式及其适用条件
序
适 条
用 件
方 程 形 式
号
以单位质量 流体为基准
以单位重量 流体为基准
1
①稳态流动②无 外功输入③不可 压缩理想流体 ①稳态流动②有 外功输入③不可 压缩、实际流体 ①不可压缩流体 ②流体处于静止 状态
图流动系统的总能量衡算
二、实际流体的伯努利方程
衡算范围：内壁面1-1′与2-2′截面间 衡算基准：1kg流体 基准水平面：o-o′平面
u1、u2 ── 流体分别在截面1-1′与2-2′处的流速, m/s p1、p2 ── 流体分别在截面1-1′与2-2′处的压强, N/m２； Z１、Z２──截面1-1′与2-2′的中心至o-o′的垂直距离, m； A1、A2 ── 截面1-1′与2-2′的面积，m2； v1、v2 ── 流体分别在截面1-1′与2-2′处的比容, m3/kg；
gZ1 p1
2


u 21 We 2
u 22 gZ 2 hf 2 p2
3
p1 p2 Z1 Z2 g g
四、伯努利方程的应用
伯努利方程揭示流体在重 力场中流动时能量守恒。由伯 努利方程可以看出，流速高处 压力低，流速低处压力高。 实验中由于有气体从上方吹入，上表 面空气流速加快则压力减小，上下表 面形成压力差，当上下压差大于等于 重力时，乒乓球受到向上的力，便形 成了实验中的现象
一、理想流体的伯努利方程
流动过程中， 系统与外界 无能量转换
理想流体 做稳态流 动
推导 条件
流体内能不 变化
重力场中， 垂直向为Z轴
一、理想流体的伯努利方程
2）推导 表面力+体积力=质量*加速度
p dp A pA gA d z ma Adz
1 d (u 2 ) 0 2
流体具有粘性，流动过 程中有能量损失 实际流体的特点 流体在输送过程中可能 需要外加能量。
二、实际流体的伯努利方程
在图所示的系统中，流体从截面1-1′流
入，从截面2-2′流出。管路上装有对流体作功的
泵及向流体输入或从流体取出热量的换热器。 并假设： （a）连续稳定流体； （b）两截面间无旁路流体输入、输出； （c）系统热损失QL=0。
而 因此
Qe′= Qe +∑hf
v2 v1
U Qe hf pdv
二、实际流体的伯努利方程
因为
( pv) d ( pv) pdv vdp
1 v1 p1
2
v2
p2
故式
稳态流动过 程的总能量 衡算式
u2 U gZ ( pv) Qe We 2
四、伯努利方程的应用
图中的两张纸平行放置、两张纸间 隔比较窄，当向两张纸间吹气时，纸间
的空气的流速就比纸外侧的空气的流速
高，则纸内侧压力比纸外侧的小。所以 这两张纸就被纸外侧的空气挤在一起。
p2 u2 g Z vdp W1 h f p1 2
实际流体的比容v或密度ρ 为常数，因此

p2 p1
dp ( p2 p1 )
p

实际流体稳 态流动的伯 努利方程式
二、实际流体的伯努利方程
当流体静止时，则u=0；没有运动，自然没有阻力，即 ∑hf=0；由于流体保持静止状态，也就不会有外功加入，即We =0。
实际流体稳 态流动的伯 努利方程
由此可见,伯努利方程式除了可以表示流动规律外，还表 示了流体静止状态的规律，而流体的静止状态只不过是流动状 态的一种特殊形式
三、伯努利方程的讨论
（1）适用条件 伯努利方程式适用于不可压缩、连续稳态流体， 同时要注意是实际流体还是理想流体，有无外功； 对于非稳态流体系统的任意瞬间，伯努利方程 式仍然成立； 对于可压缩流体，若所取系统两截面间的绝对 压强小于原来绝对压强的20%，伯努利方程式仍然适 用，其中式中的流体密度应以两截面间的平均密度 代替。
稳态流动过 程的总能量 衡算式
2
2
二、实际流体的伯努利方程
根据热力学第一定律： 式中
U Qe pdv
' v1
v2

v2
v1
pdv
为 1kg流体从截面1-1′流到截面2-2′过程中，因被加热 而引起体积膨胀所做的功，J/k截面1-1′与2-2′之间所获得的热, J/kg。
为何乒乓球在漏斗中间上下震动？ 为何纸片会向中间靠拢？

乒乓球
2
伯努利方程 Burnoulli Equation
• 推导条件 • 推导 • 特点 • 推导 • 形式
理想流体 的伯努利 方程
实际流体 的伯努利 方程
伯努利方 程的应用
• 悬浮球 • 船吸现象
伯努利方 程的讨论
• 适用条件 • 衡量标准