材料力学 梁的应力.

由：M z

A
y dA M
A
z

A
y dA
E

y dA
2
E

Iz M
y
C
x dA
M EI z
于是得：
1
z y
其中EIz 表征杆件抵抗弯曲变形的能力，称为抗弯刚度。
M y y Iz
E
M y Iz
C
z
由该式可知横截面上各点正应
力大小与各点到中性轴的距离成正 比，中性轴上各点正应力为零，离 y z
Iz y2 d A
A
O
D d
z
y2 d A y2 d A
AD Ad
AD Ad
y2 d A
y
πD 4 πd 4 π 4 4 D d 64 64 64 πD 4 14 64 dD 。 式中，
而空心圆截面的弯曲截面系数为 Iz πD 3 4 Wz 1 D 32 2 根据对称性可知：
A
y
x dA
z
y
M z y dA M
A
z
由：F N

A
dA
A
E
A

E
ydA 0
y
C
x dA
FN
E

ydA

E
Sz 0 E
z y
必有 Sz=0 ，z 轴过截面形心。 由： M y

A
z dA

A
yzdA

S yz 0
必有 Syz=0 ，z 轴为形心主轴。
根据对称性可知，原截面对于形心轴z和y的惯 性矩Iz和Iy是相等的，Iz= Iy，于是得
I p πd 4 Iz I y 2 64
而弯曲截面系数为
d

o z y
y
dA
z
Iy Iz πd 3 Wz W y d d 32 2 2

(3) 空心圆截面 由于空心圆截面的面积Ａ等于大圆的面积AD减 去小圆(即空心部分)的面积Ad故有
12
(2) 圆截面 在等直圆杆扭转问题(§3-4)中已求得：
4 π d 2 Ip d A A 32
d

o
y dA
z
z
y
而由图可见，ρ2=y2+z2 , 从而 知
4 π d 2 2 2 Ip d A y d A z d A I z I y A A A 32
x dA
y
中性轴最远点正应力最大。
max
C
C
z
max
z
b o z
d2
yc,max
h
d
o
z
yt,max
O z y
y (a)
y (b)
b
(c)
中性轴 z 为横截面对称轴的梁 (图a，b) 其横截 面上最大拉应力和最大压应力的值相等；中性轴 z 不是横截面对称轴的梁 (图c) ，其横截面上的最大 拉应力和最大压应力的值不相等。
建筑力学
第4章 弯曲应力
§4–5 概述
§4–6 弯曲正应力
§4–7 弯曲切应力
§4–8 梁的强度计算 §4–9 提高梁强度的主要措施 §4–10 弯曲中心
§ 4 –5
一、平面弯曲 P1
概述
P2
纵向对称面
二、纯弯曲 图示梁 AB 段横截面上 C 只有弯矩，而无剪力，该段 梁的弯曲称为纯弯曲。 F C A与BD 段横截面上即 s
d1
h
中性轴z为横截面的对称轴时，横截面上最大拉、 压应力的值max为 Mymax M M max Iz I z Wz ymax 式中，Wz为截面的几何性质，称为弯曲截面系数 3。 (section modulus in bending) ，其单位为 m b
O
I y Iz ,
W y Wz
D d
z
y
思考： 空心圆截面对于形心轴的惯性矩就等于大圆 对形心轴的惯性矩减去小圆对于形心轴的惯性矩； 但空心圆截面的弯曲截面系数并不等于大圆和小 圆的弯曲截面系数之差，为什么？
型钢截面及其几何性质：参见型钢表
需要注意的是，型钢规格表中所示的x轴是我 们所标示的z轴。
max
M ymax Iz
Iz , 上式可改写为 令 Wz ymax
max
M Wz
Wz 称为抗弯截面模量，单位：m3。 上述分析是在平面假设下建立的，对于横力弯曲，由于 横截面上还有剪力，变形后截面会发生翘曲，平面假设不再 成立。当截面尺寸与梁的跨度相比很小时，翘曲很小，仍可 按平面假设分析，上面公式仍可使用。
变形后
变形前
⒋ 变形物理关系
E E
y
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
其中y 为横截面上求应力那点相对中性轴的坐标， 为 中性层变形后的曲率半径。欲求横截面上一点应力必须知道 中性轴的位置和中性层的曲率半径。 ⒌ 静力关系 横截面正应力满足如下关系： z
FN dA 0
A
M y z dA 0
Iz bh2 Wz h 6 2

3 b h 2 2 I y z d A hz d z A b 2 12 2 Iy bh Wy b 6 2 b2

思考: 一长边宽度为 b，高为 h 的平行四边形，它对于 bh3 形心轴 z 的惯性矩是否也是 I z ？
一层即不伸长也不缩短， 称为中性层。 ⑵横线代表一横截面，变形后仍为直线，但转过一个角 度，且仍与纵线正交。横截面与中性层的交线称为中性轴。
纵向对称面
中性层 中性轴
⒉ 基本假设
⑴平面假设：梁的横截面变形后仍为平面，且与梁变形
后的轴线正交； ⑵层间纤维无挤压。
⒊ 变形几何关系 取一微段dx
o a
o1 k1 c
a A
P
P B
a D
⊕
－ ○
有弯矩，又有剪力，该两段 梁的弯曲称为横力弯曲。 ⊕ M
x
x
§4–6 弯曲正应力
一、纯弯曲时梁的正应力 ⒈ 实验观察
⑴纵向直线代表一 层纤维，变形后为平行 曲线。每层变成曲面， 同层纤维变形相同。 M 下层纤维受拉伸长， 上层纤维受压缩短；层
a
b
c
d
a
b
M
c d
间变形连续，中间必有
o1o2 dx d k1 ' k2 ' ( y)d
b
o2 k2 d
l k1 ' k2 'dx ( y)d d yd l yd y dx d
dx
a ' d b ' o1 o2 k1 ' k2 ' c' d'
o
h
d
z
o
z
y
y
中性轴 z 不是横截面的对称轴时(参见图c)，其横 截面上最大拉应力值和最大压应力值为 Myt ,max Myc,max t,max c,max Iz Iz
简单截面对于形心轴的惯性矩和弯曲截面系数 (1) 矩形截面
3 bh I z y 2 d A by2 d y A h 2 12 h2