《点、直线与圆锥曲线的位置关系》教案(公开课)

《点、直线与圆锥曲线的位置关系》教案

一、教学目标

(一)知识教学点

使学生掌握点、直线与圆锥曲线的位置及其判定，重点掌握直线与圆锥曲线相交的有关问题．

(二)能力训练点

通过对点、直线与圆锥曲线的位置关系的研究，培养学生综合运用直线、圆锥曲线的各方面知识的能力．

(三)学科渗透点

通过点与圆锥曲线的位置及其判定，渗透归纳、推理、判断等方面的能力．

二、教材分析

1．重点：直线与圆锥曲线的相交的有关问题．

(解决办法：先引导学生归纳出直线与圆锥曲线的位置关系，再加以应用．) 2．难点：圆锥曲线上存在关于直线对称的两点，求参数的取值范围．

(解决办法：利用判别式法和内点法进行讲解．)

3．疑点：直线与圆锥曲线位置关系的判定方法中△=0不是相切的充要条件．(解决办法：用图形向学生讲清楚这一点．)

三、活动设计

四、教学过程

(一)问题提出

1．点P(x0，y0)和圆锥曲线C：f(x，y)=0有哪几种位置关系？它们的条件是什么？

引导学生回答，点P与圆锥曲线C的位置关系有：点P在曲线C上、点P

在曲线C内部(含焦点区域)、点P在曲线的外部(不含焦点的区域)．那么这三种位置关系的条件是什么呢？这是我们要分析的问题之一．

2．直线l：Ax+By+C=0和圆锥曲线C：f(x，y)=0有哪几种位置关系？

引导学生类比直线与圆的位置关系回答．直线l与圆锥曲线C的位置关系可分为：相交、相切、相离．那么这三种位置关系的条件是什么呢？这是我们要分析的问题之二．

(二)讲授新课

1．点M(x0，y0)与圆锥曲线C：f(x，y)=0的位置关系

的焦点为F1、F2，y2=2px(p＞0)的焦点为F，一定点为P(x0，y0)，M点到抛物线的准线的距离为d，则有：

(由教师引导学生完成，填好小黑板)

上述结论可以利用定比分点公式，建立两点间的关系进行证明．

2．直线l∶Ax＋Bx＋C=0与圆锥曲线C∶f(x，y)＝0的位置关系：

直线与圆锥曲线的位置关系可分为：相交、相切、相离．对于抛物线来说，平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点，但并不是相切；对于双曲线来说，平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，但并不相切．这三种位置关系的判定条件可引导学生归纳为：

注意：直线与抛物线、双曲线有一个公共点是直线与抛物线、双曲线相切的必要条件，但不是充分条件．

3．应用

求m的取值范围．

解法一：考虑到直线与椭圆总有公共点，由直线与圆锥曲线的位置关系的充要条件可求．

由一名同学演板．解答为：

由椭圆方程及椭圆的焦点在x轴上，知：0＜m＜5．

又∵直线与椭圆总有公共点，

即(10k)2-4x(m+5k2)×5(1-m)≥0，

亦即5k2≥1-m对一切实数k成立．

∴1-m≤0，即m≥1．

故m的取值范围为m∈(1，5)．

解法二：由于直线过定点(0，1)，而直线与椭圆总有公共点，所以定点(0，1)必在椭圆内部或边界上，由点与椭圆的位置关系的充要条件易求．

另解：

由椭圆方程及椭圆的焦点在x轴上知：0＜m＜5．

又∵直线与椭圆总有公共点．

∴ 直线所经过的定点(0，1)必在椭圆内部或边界上．

故m的取值范围为m∈(1，5)，

小结：解法一由直线与圆锥曲线的位置关系的充要条件求，思路易得，但计算量大；解法二由点与圆锥曲线的位置关系的充要条件求，思路灵活，且简捷．

称，求m的取值范围．

解法一：利用判别式法．

并整理得：

∵直线l′与椭圆C相交于两点，

解法二：利用内点法．

设两对称点为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P1P2的中点为M(x0，y0)，

∴y1+y2=3(x1+x2)．(1)

小结：本例中的判别式法和内点法，是解决圆锥曲线上存在两点关于直线的对称的一般方法，类似可解抛物线、双曲线中的对称问题．

练习1：(1)直线过点A(0，1)且与抛物线y2=x只有一个公共点，这样的直线有几条？

(2)过点P(2，0)的直线l与双曲线x2-y2=1只有一个公共点，这样的直线有几条？

由学生练习后口答：(1)3条，两条切线和一条平行于x轴的直线；(2)2条，注意到平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，故这样的直线也只有2条．练习2：求曲线C∶x2+4y2=4关于直线y=x-3对称的曲线C′的方程．

由教师引导方法，学生演板完成．解答为：

设(x′，y′)是曲线C上任意一点，且设它关于直线y=x-3的对称点为(x，y)．

又(x′，y′)为曲线C上的点，

∴(y+3)2+4(x-3)2=4．

∴曲线C的方程为：4(x-3)2+(y+3)2=4．

(三)小结

本课主要研究了点、直线与圆锥曲线的三种位置关系及重要条件．

五、布置作业

的值．

2．k取何值时，直线y＝kx与双曲线4x2-y2=16相交、相切、相离？

3．已知抛物线x=y2+2y上存在关于直线y=x+m对称的相异两点，求m的取值范围．

作业答案：

1．由弦长公式易求得：k=-4

当4-k2=0，k=±2， y=±2x为双曲线的渐近线，直线与双曲线相离

当4-k2≠0时，△=4(4-k2)×(-6)

(1)当△＞0，即-2＜k＜2时，直线与双曲线有两个交点

(2)当△＜0，即k＜-2或k＞2时，直线与双曲线无交点

(3)当△=0，即k=±2时，为渐近线，与双曲线不相切

故当-2＜k＜2时，直线与双曲线相交

当k≤-2或k≥2时，直线与双曲线相离