2019年北京市东城区高三二模数学(理科)试卷及答案
2019年北京市东城区高考数学二模试卷(理科)(解析版)
2019年北京市东城区高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知集合A={-2，-1，0，1，2}，B={x|x2-x-2≤0}，则A∩∁R B=（）A. B. C. D. 0，1，2.执行如图所示的程序框图，输入a=2，b=5，那么输出的a，b的值分别为（）A. 7，B. ，C. 5，D. 5，23.已知向量与不共线，且=+m（m≠1），=n+．若A，B，C三点共线，则实数m，n满足的条件为（）A.B.C.D.4.鲁班锁起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，相传由春秋时代鲁国工匠鲁班所作．如图是某个经典的六柱鲁班锁及其六个构件的图片，下图是其中一个构件的三视图（单位：mm），则此构件的体积为（）A. B. C. D.5.已知S n是等差数列{a n}的前n项和，则“S n＞na n对n≥2恒成立”是“a3＞a4”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6.教室的图书角摆放了一些阅读书目，其中有3本相同的论语、6本互不相同的近代文学名著，现从这9本书中选出3本，则不同的选法种数为（）A. 84B. 42C. 41D. 357.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，P是底面ABCD上的动点，PA≥PC1，则满足条件的点P构成的图形的面积等于（）A. B. C. D.8.在交通工程学中，常作如下定义：交通流量Q（辆/小时）：单位时间内通过道路上某一横断面的车辆数；车流速度V（千米/小时）：单位时间内车流平均行驶过的距离；车流密度K（辆/千米）：单位长度道路上某一瞬间所存在的车辆数．一般的，V和K满足一个线性关系，即（其中v0，k0是正数），则以下说法正确的是（）A. 随着车流密度增大，车流速度增大B. 随着车流密度增大，交通流量增大C. 随着车流密度增大，交通流量先减小，后增大D. 随着车流密度增大，交通流量先增大，后减小二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9.已知复数在复平面内对应的点为Z，则Z关于虚轴对称的点位于第______象限．10.已知a=log26，b=log515，若a＞log3m＞b，m∈N*，则满足条件的m可以为______．11.椭圆：与曲线C2关于直线y=-x对称，C1与C2分别在第一、二、三、四象限交于点P1，P2，P3，P4．若四边形P1P2P3P4的面积为4，则点P1的坐标为______，C1的离心率为______．12.将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数y=g（x）的图象，则=______．13.设关于x，y的不等式组，，表示的平面区域为钝角三角形及其内部，则m的取值范围是______．14.已知函数f（x），对于任意实数x∈[a，b]，当a≤x0≤b时，记|f（x）-f（x0）|的最大值为D[a，b]（x0）．①若f（x）=（x-1）2，则D[0，3]（2）=______；②若，，，＞，则D[a，a+2]（-1）的取值范围是______．三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.如图，在四边形ABCD中，，，．（Ⅰ）求∠CAD的正弦值；（Ⅱ）若∠BAC=2∠CAD，且△ABC的面积是△ACD面积的4倍，求AB的长．16.某工厂的机器上有一种易损元件A，这种元件在使用过程中发生损坏时，需要送维修处维修．工厂规定当日损坏的元件A在次日早上8：30之前送到维修处，并要求维修人员当日必须完成所有损坏元件A的维修工作．每个工人独立维修A元件需要时间相同．维修处记录了某月从1日到20日每天维修元件A的个数，具体数据如表：从这天中随机选取一天，随机变量表示在维修处该天元件的维修个数．（Ⅰ）求X的分布列与数学期望；（Ⅱ）若a，b∈N*，且b-a=6，求P（a≤X≤b）最大值；（Ⅲ）目前维修处有两名工人从事维修工作，为使每个维修工人每天维修元件A的个数的数学期望不超过4个，至少需要增加几名维修工人？（只需写出结论）17.如图，四边形ABCD和三角形ADE所在平面互相垂直，AB∥CD，AB⊥BC，∠DAB=60°，AB=AD=4，AE⊥DE，AE=DE，平面ABE与平面CDE交于EF．（Ⅰ）求证：CD∥EF；（Ⅱ）若EF=CD，求二面角A-BC-F余弦值；（Ⅲ）在线段BC上是否存在点M使得AM⊥EM？若存在，求BM的长；若不存在，说明理由．18.已知点P（1，2）到抛物线C：y2=2px（p＞0）准线的距离为2．（Ⅰ）求C的方程及焦点F的坐标；（Ⅱ）设点P关于原点O的对称点为点Q，过点Q作不经过点O的直线与C交于两点A，B，直线PA，PB分别交x轴于M，N两点．求|MF|•|NF|的值．19.已知函数f（x）=x+sin x．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点，处的切线方程；（Ⅱ）若不等式f（x）≥ax cosx在区间，上恒成立，求实数a的取值范围．20.若n行n列的数表（n≥2）满足：a ij∈{0，1}（i，j=1，2，…，n），（i=1，2，…，n，0＜m＜n），＞，，，，，，记这样的一个数表为A n（m）．对于A n（m），记集合，，＜，，∈．|T（n，m）|表示集合T（n，m）中元素的个数．（Ⅰ）已知，写出＜，，∈的值；（Ⅱ）是否存在数表A4（2）满足|T（4，2）|=1？若存在，求出A4（2），若不存在，说明理由；（Ⅲ）对于数表＜＜，∈，求证：，．答案和解析1.【答案】A【解析】解：B={x|-1≤x≤2}；∴∁R B={x|x＜-1，或x＞2}；∴A∩∁R B={-2}．故选：A．可求出集合B，然后进行补集、交集的运算即可．考查列举法、描述法的定义，一元二次不等式的解法，以及交集、补集的运算．2.【答案】D【解析】解：模拟程序的运行，可得：a=2，b=5，不满足a＞b，a=2+5=7，b=7-5=2a=7-2=5．输出a，b的值分别为5，2．故选：D．由已知中的程序语句可知该程序的功能是计算并输出变量a，b的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．3.【答案】C【解析】解：由题意可得，∴，故有，∴mn=1，故选：C．由题意可得，再根据两个向量共线的性质可得，由此可得结论．本题主要考查两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算，属于中档题．4.【答案】C【解析】解：由三视图得鲁班锁的其中一个零件是：长为100，宽为20，高为20的长方体的上面的中间部分去掉一个长为40，宽为20，高为10的小长体的一个几何体，如图，∴该零件的体积：V=100×20×20-40×20×10=32000（mm3）．故选：C．由三视图得鲁班锁的其中一个零件是长为100，宽为20，高为20的长方体的上面的中间部分去掉一个长为40，宽为20，高为10的小长体的一个几何体，由此能求出该零件的体积．本题考查几何体的体积的求法，考查几何体的三视图等基础知识，考查运算求解能力、空间想象能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．5.【答案】C【解析】解：若S n＞na n对n≥2恒成立，则na1+d＞n（a1+（n-1）d]，整理得（n-1）d＜0，①当n≥2时，得d＜0，即等差数列{a n}是单调递减数列，则a3＞a4成立，若a3＞a4成立，得d＜0，此时由①得n-1＞0，得n＞1，此时n≥2恒成立，综上“S n＞na n对n≥2恒成立”是“a3＞a4”的充要条件，故选：C．根据等差数列的通项公式结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合等差数列通项公式以及前n项和公式进行化简是解决本题的关键．6.【答案】B【解析】解：根据题意，分4种情况讨论：①，选出的3本都是论语，有1种情况，②，选出的3本中有2本是论语，则其中有1本是近代文学名著，有C61=6种情况，③，选出的3本中有1本是论语，则其中有2本是近代文学名著，有C62=15种情况，④，选出的3本都是近代文学名著，有C63=20种情况，则有1+6+15+20=42种不同的选法；故选：B．根据题意，按选出论语的数目分4种情况讨论，求出每一种情况的选法数目，由加法原理计算可得答案．本题考查排列、组合的应用，涉及分类计数原理的应用，关键是分类讨论．7.【答案】A【解析】解：依题意，以C为坐标原点，CD为x轴，CB为y轴，CC1为z轴建立坐标系，则C1（0，0，2），A（2，2，0）．设P点坐标为（x，y，0），则由PA≥PC1，得≥，在xoy平面内，z=0，化简得：x+y≤1．所以，点P构成的区域为如图的阴影区域．所以，满足条件的点P构成的图形的面积等于S=×1×1=．故选：A．以C为坐标原点，CD为x轴，CB为y轴，CC1为z轴建立坐标系，设P点坐标为（x，y，0），根据PA≥PC1，列不等式，化简后得到x，y的约束条件，即可求出P点构成图形的面积．本题考查了空间距离，考查了正方体的结构特征，空间坐标系的应用等，属于中档题．8.【答案】D【解析】解：因为（其中v0，k0是正数），则随着车流密度增大，流速度减小，交通流量先增大，后减小，故A、B、C错误，D正确，故选：D．先阅读题意，再结合简单的合情推理判断即可得解．本题考查了阅读能力及简单的合情推理，属简单题．9.【答案】四【解析】解：∵=，∴Z（），则Z关于虚轴对称的点为（），位于第四象限．故答案为：四．利用复数代数形式的乘除运算化简，求出Z的坐标，进一步求得Z关于虚轴对称的点的坐标得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．10.【答案】9【解析】解：由a=log26＞log24=2，b=log515＜log525=2，即取m=9即log39=2满足a＞log3m＞b，m∈N*，故满足条件的m可以为9．故答案为：9由对数值的运算得：=log26＞log24=2，b=log515＜log525=2，即取m=9即log39=2满足题意，得解．本题考查了对数值的运算，属简单题．11.【答案】（1，1）【解析】解：在椭圆中，取x=-y，y=-x，可得曲线C2：，联立，得．∵四边形P1P2P3P4的面积为4，∴4x2=4，即，解得．∴点P1的坐标为（1，1），由a2=4，得a=2，c=．∴e=．故答案为：（1，1）；．由题意求得曲线C2的方程，与椭圆C1联立，结合四边形P1P2P3P4的面积为4求得b2，则答案可求．本题考查椭圆的简单性质，考查椭圆与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．12.【答案】【解析】解：函数，=2sin（2x-），函数的图象向左平移个单位长度，得到函数y=g（x）==2sin2x的图象，故：故答案为：-首先把三角函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用三角函数关系式的变换求出g（x）的关系式，最后求出三角函数的值．本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，正弦型函数的平移变换和伸缩变换的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．13.【答案】，，【解析】解：mx-y+1=0经过的定点D（0，1），x，y的不等式组表示的平面区域如图：平面区域为钝角三角形及其内部，可得∠PDO为钝角．或∠DQO为钝角，所以m的取值范围是：．故答案为：．画出可行域，利用mx-y+1=0经过的定点，判断求解即可．本题考查线性规划的应用，画出约束条件的可行域，判断三角形是钝角三角形哭直线系方程的应用，是难度比较大的题目．14.【答案】3 [1，4]【解析】解：①当0≤x≤3时，f（2）=1，则|f（x）-f（x0）|=|（x-1）2-1|=，则当x=3时，|f（x）-f（x0）|的最大值为D[0，3]（2）=（3-1）2-1=4-1=3．②f（-1）=-1+2=1，则|f（x）-f（x0）|=|f（x）-1|=，作出函数h（x）=|f（x）-1|图象如图：∵a≤-1≤a+2，∴区间长度为2，若a=-1，则对应区间为[-1，1]，此时D[a，a+2]（-1）=h（1）=h（0）=1，若a+2=-1，即a=-3，则对应区间为[-3，-1]，此时D[a，a+2]（-1）=h（-3）=（-3+1）2=4，则D[a，a+2]（-1）的取值范围是[1，4]，故答案为：3，[1，4]①根据定义先求出f（2）=1，将绝对值函数表示成分段函数形式，利用数形结合进行求解即可．②先求出f（-1）=1，将函数表示成分段函数形式，结合a≤-1≤a+2，讨论区间对应函数的最值进行求解即可．本题主要考查函数与方程的应用，求出函数的解析式，利用数形结合以及函数最值的性质是解决本题的关键．15.【答案】解：（Ⅰ）在△ACD中，设AD=x（x＞0），由余弦定理得，整理得7x2=7，解得x=1．所以AD=1，CD=2．由正弦定理得，解得．（Ⅱ）由已知得S△ABC=4S△ACD，所以，化简得AB•sin∠BAC=4AD•sin∠CAD．所以AB•2sin∠CAD•cos∠CAD=4AD•sin∠CAD，于是AB•cos∠CAD=2AD．因为，且∠CAD为锐角，所以．因此．【解析】（Ⅰ）直接利用余弦定理的应用和正弦定理的应用求出结果．（Ⅱ）进一步利用三角形的面积公式的应用和同角的三角函数的关系是的应用求出结果．本题考查的知识要点：正弦定理余弦定理和三角形面积的应用，同角三角函数的关系式的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．16.【答案】（共13分）解：（Ⅰ）X的取值为：9，12，15，18，24；P（X=9）=，P（X=12）=，P（X=15）=，P（X=18）=，P（X=24）=，故X的数学期望…（5分）（Ⅱ）当P（a≤X≤b）取到最大值时，a，b的只可能为：或或经计算，，，所以P（a≤X≤b）的最大值为…（10分）（Ⅲ）至少增加2人…（13分）【解析】（Ⅰ）求出X的所有可能取值为9，12，15，18，24，求出概率，得到X的分布列，然后求解期望即可．（Ⅱ）当P（a≤X≤b）取到最大值时，求出a，b的只可能然后求解P（a≤X≤b）的最大值即可．（Ⅲ）利用前两问的结果，判断至少增加2人．本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，概率的应用，考查转化思想以及计算能力．17.【答案】（Ⅰ）证明：∵AB∥CD，AB⊂平面ABE，CD⊄平面ABE，∴CD∥平面ABE，又CD⊂平面CDE，平面CDE∩平面ABE=EF，∴CD∥EF．（Ⅱ）取AD的中点N，连接EN，BN．∵AE=DE，∴EN⊥AD．又平面ADE⊥平面ABCD，平面ADE∩平面ABCD=AD，EN⊂平面ADE，∴EN ⊥平面ABCD ．∵AN =AD =2，AB =4，∠DAB =60°，∴BN = =2 ．∴AN 2+BN 2=AB 2，即AN ⊥BN ．∵△ADE 是等腰直角三角形，AD =4，∴EN =2，以N 为原点建立空间直角坐标系N -xyz ，如图所示，则N （0，0，0），B （0，2 ，0），C （-3， ，0），F （-1， ，2）． ∴ ， ， ， ， ， ，设平面BCF 的法向量为n =（x ，y ，z ），则 ， ，即 ，令 ，则x =-1，z =1．于是 ， ， ．又平面ABCD 的法向量为， ， ， ∴cos ＜ ， ＞== =． 由题知二面角A -BC -F 为锐角， 所以二面角A -BC -F 的余弦值为．（Ⅲ）不存在满足条件的点M ，使AM ⊥EM ，理由如下： 若AM ⊥EM ，则 =0．因为点M 为线段BC 上的动点，设． 则M （3t -3， t + ，0）， ∴ =（3t -5， t + ，0）， =（3t -3， t + ，-2），∴（3t -3）（3t -5）+（ t + ）2=0，化简得：2t 2-3t +3=0，方程无实根．所以线段BC 上不存在点M ，使AM ⊥EM ． 【解析】（I ）证明CD ∥ABE ，根据线面平行的性质即可得出CD ∥EF ；（II ）建立空间坐标系，求出平面ABC 和平面BCF 的法向量，通过计算法向量的夹角得出二面角的大小；（III ）设CM=tCB ，求出和，令=0求出t 的值得出结论．本题考查了线面平行的判定与性质，考查空间向量与空间角的计算，属于中档题． 18.【答案】（共13分）解：（Ⅰ）由已知得，所以p =2．所以抛物线C 的方程为y 2=4x ，焦点F 的坐标为（1，0）…（4分）（II ）设点 ， ， ， ，由已知得Q （-1，-2）， 由题意直线AB 斜率存在且不为0．设直线AB 的方程为y =k （x +1）-2（k ≠0）．由得ky 2-4y +4k -8=0，则 ，．因为点A ，B 在抛物线C 上，所以 ，，，．因为PF ⊥x 轴， 所以= =．所以|MF |•|NF |的值为2…（13分）【解析】（Ⅰ）通过点经过抛物线，代入方程，求出p ，即可求C 的方程及焦点F 的坐标； （Ⅱ）设点，，由已知得Q （-1，-2），设直线AB 的方程为y=k （x+1）-2（k≠0）．由得ky 2-4y+4k-8=0，利用韦达定理以及弦长公式，转化求解|MF|•|NF|的值．本题考查抛物线的标准方程的求法，直线与抛物线的位置关系的综合应用，考查计算能力． 19.【答案】解：（Ⅰ）因为f （x ）=x +sin x ，所以f '（x ）=1+cos x ，，， 所以曲线y =f （x ）在点， 处的切线方程为y =x +1 （Ⅱ）因为 ∈ ，，所以sin x ≥0，cos x ≥0，①当a ≤0时，x +sin x ≥0，ax cosx≤0，即f （x ）≥ax cosx 在区间 ，上恒成立 所以不等式f （x ）≥ax cosx 在区间 ，上恒成立． ②当a ＞0时，设g （x ）=f （x ）-ax cosx=x +sin x -ax cosx ， g '（x ）=1+cos x -a cos x +ax sinx=1+（1-a ）cos x +ax sinx ， （1）若0＜a ≤1，（1-a ）cos x ≥0，ax sinx≥0， 所以g '（x ）＞0在区间 ，上恒成立；所以g （x ）在区间 ，上单调递增，g （x ）min =g （0）=0， ∴g （x ）=f （x ）-ax cosx≥0∴f （x ）≥ax cosx 在区间 ， 上恒成立，（2）若1＜a ≤2，令h （x ）=g '（x ）=1+（1-a ）cos x +ax sinx ， 则h '（x ）=（2a -1）sin x +ax cosx ，h '（x ）＞0在区间 ，上恒成立， 所以g '（x ）在区间 ，上单调递增，g '（x ）min =g '（0）=2-a ≥0， ∴g （x ）在区间，上单调递增∴g（x）≥g（0）=0即f（x）≥ax cosx在区间，上恒成立∴当a≤2时，不等式f（x）≥ax cosx在区间，上恒成立；（3）当a＞2时，令h（x）=g'（x）=1+（1-a）cos x+ax sinx，则h'（x）=（2a-1）sin x+ax cosx，h'（x）＞0在区间，上恒成立，所以g'（x）在区间，上单调递增，g'（x）min=g'（0）=2-a＜0，＞，所以存在∈，，使得g'（x0）=0．当0＜x＜x0时，g'（x）＜0，g（x）单调递减；当＜＜时，g'（x）＞0，g（x）单调递增；当x=x0时，g'（x）=0，g（x）取得极小值；而g（0）=0，所以g（x0）＜0，所以不等式g（x）≥0在区间，上不能恒成立，所以不等式f（x）≥ax cosx在区间，上恒成立时实数a的取值范围是（-∞，2]【解析】（Ⅰ）利用导数的几何意义可求切线的方程；（Ⅱ）利用恒成立问题转化为最值，分类讨论即可解决此问题．本题考查利用导数求切线的方程和函数恒成立问题中求参数的取值范围，还考查了考生的逻辑思维能力20.【答案】解：（Ⅰ）根据题意，计算σ12=σ13=σ23=1；…（3分）（Ⅱ）不存在数表A4（2），使得|T（4，2）|=1．理由如下：假设存在A4（2），使得|T（4，2）|=1．不妨设，σij的可能值为0，1．当σij=0（1≤i＜j≤4）时，经验证这样的A4（2）不存在．当σij=1（1≤i＜j≤4）时，有，这说明此方程组至少有两个方程的解相同，不妨设，所以有，这也说明此方程组至少有两个方程的解相同，这样的A4（2）只能为或，这两种情况都与|T（4，2）|=1矛盾，即不存在数表A4（2），使得|T（4，2）|=1．…（8分）（Ⅲ）在数表A n（m）中，将σij换成1-σij，这将形成A n（n-m），由于σij=a i1a j1+a i2a j2+…+a in a jn，可得（1-a i1）（1-a j1）+（1-a i2）（1-a j2）+…+（1-a in）（1-a jn）=n-m-m+σij，从而|T（n，m）|=|T（n，n-m）|．当时，由于＞＜，，∈，所以任两行相同位置的1的个数．又由于σij≥0，而从1到的整数个数，从而，；从而当0＜m＜n时，都有|T（n，m）|≤．…（13分）【解析】（Ⅰ）根据题意计算σ12、σ13和σ23的值；（Ⅱ）不存在数表A4（2），使得|T（4，2）|=1，说明理由即可；（Ⅲ）在数表A n（m）中，将σij换成1-σij，得出A n（n-m），根据题意计算σij，得出|T（n，m）|=|T（n，n-m）|，从而得出|T（n，m）|≤．本题考查了不等式的性质与应用问题，也考查了矩阵乘法的性质应用问题，是难题．。
【精品高考数学试卷】2019北京高三数学二模(理)分类汇编--算法初步+答案
2019高三二模分类汇编—算法初步1.执行如图所示的程序框图，输入2,5a b ==，那么输出的,a b 的值分别为（A ）7，3- （B ）3-，3- （C ）5，3- （D ）5， 22.执行如图所示的程序框图，则输出的S 值等于(A) 1111...238++++ (B)1111...237++++(C)11111...238+++++(D)11111...237+++++3.在数学史上，中外数学家使用不同的方法对圆周率π进行了估算. 根据德国数学家莱布尼茨在1674年给出的求π的方法绘制 的程序框图如图所示.执行该程序框图，输出s 的值为 A.4 B.83 C.5215 D.304105开始结束输出 是否x < 1y =x 2-2x是否输出 y 结束输入x开始y =2x4．执行如图所示的程序框图，如果输入的[0,2]x ∈，那么输出的y 值不可能为 （A ）1- （B ）0 （C ）1（D ）25．中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？”现给出该问题算法的程序框图，其中)(mod m n N ≡表示正整数N 除以正整数m 后的余数为n ，例如)3(mod 211≡表示11除以3后的余数是2.执行该程序框图，则输出的N 等于A ．7 B. 8 C. 9 D. 106.执行如图所示的程序框图，则输出的S 值为(A) 4(B) 5 (C) 8 (D) 9开始 S =0， n =1 a =7-2nn=n+1S =S +a a >0输出结束2019高三二模分类汇编—算法初步答案部分1.D2.D3.C4.D5.B6.D。
北京市东城区2019-2020学年度第二学期高三数学综合练习(二)参考答案
……………6 分
（Ⅱ ）解： 由
得
，
又
，
,
因此，建立如图所示的空间直⻆坐标系
．
由
，
得
，
，
，
，
，
，
设平面
的法向量为
，
则
即
令得
，
所以
是平面
的一个法向量.
又
,
设直线 与平面 所成⻆为 ，
所以
分 （17）（本小题 14 分）
解：（Ⅰ ）由
，得
，即
． ，
因为
，
所以
，
.
……………14
所以
.
………………………………6 分
.
又因为
，
，
所以
，
所以 点 不在以 为直径的圆上．
（20）（本小题 15 分） （Ⅰ ）解：
对于
，
当
时，
, ，
所以
.
所以
在
上单调递减.
（Ⅱ ）解：当 时，
，对于
，命题成立，
………………………………14 分 ………………………………4 分
当
时，设
，
则
.
因为
，
所以
，
在
上单调递增.
又
，
所以
.
所以
在
上单调递增，且
；
设事件 C 表示“甲同学被项目 C 招募”，由题意可知，
；
设事件 D 表示“甲同学被项目 D 招募”，由题意可知，
；
（Ⅰ ）由于事件“甲同学至多获得三个项目招募”与事件“
”是对立的，
所以甲同学至多获得三个项目招募的概率是 （Ⅱ ）由题意可知，
【精品高考数学试卷】2019北京高三数学二模(理)分类汇编--导数及其应用+答案
2019高三二模分类汇编—导数及其应用1.（本小题满分14分） 已知函数22()(),ax a f x e x a+=-，其中0a ≠． (Ⅰ)求曲线()y f x =在点 (1,(1))f 处切线的倾斜角；(Ⅱ)若函数()f x 的极小值小于0，求实数a 的取值范围．2.（本小题14分）已知函数()sin f x x x =+．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(,())22f ππ处的切线方程；（Ⅱ）若不等式()cos f x ax x ≥在区间π[0,]2上恒成立，求实数a 的取值范围．3.（本小题满分13分） 已知函数()(ln 1)f x x x =+，其中0a ≠．(Ⅰ)若曲线()y f x =在点 00(,())x f x 处的切线的斜率小于1，求0x 的取值范围；(Ⅱ)设整数k 使得1()()2f x k x ≥-对(0,)x ∈+∞恒成立，求整数k 的最大值.4. （本小题满分13分）已知函数22()(24)ln 4f x ax x x ax x =+--(a ∈R ,且0a ≠). （Ⅰ）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程; （Ⅰ）若函数()f x 的极小值为1a，试求a 的值. 5．（本小题13分）已知函数2()ln (21)1()f x x ax a x a =+-++≥0．（Ⅰ）当0a =时，求函数()f x 在区间[1,)+∞上的最大值；（Ⅱ）函数()f x 在区间(1,)+∞上存在最小值，记为()g a ，求证：1()14g a a<-．6. （本小题共13分） 设函数()ln ,f x x a R=∈.（I ）若点()1,1在曲线()y f x =上，求在该点处曲线的切线方程； （II ）若()f x 有极小值2，求a .7．（本小题13分）已知函数．（Ⅰ）当0k =时，求曲线()y f x =在点()()11f --，处的切线方程； （Ⅱ）当0k ≠时，（ⅰ）求()f x 的单调区间；（ⅱ）若()f x 在区间()01，内单调递减，求k 的取值范围．8.（本小题14分）已知函数21()2sin +1,()cos 2f x x xg x x m x =-=+. （Ⅰ）求曲线()y f x =在0x =处的切线方程；（Ⅱ）求()f x 在(0,)π上的单调区间；（Ⅲ）当1m >时，证明：()g x 在(0,)π上存在最小值.2019高三二模分类汇编—导数及其应用答案部分1．（共14分）解：（Ⅰ）因为22()e ()a x a f x x a+=-，所以2'()e (2(2))a x f x ax x a =+-+ 所以'(1)0f = 所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处切线的倾斜角为0（Ⅱ）方法1：()()2R kxe f x k x=∈因为2'()e (2(2))e ((2))(1)a x a x f x ax x a ax a x =+-+=++- 令()0f x '=，得到122,1a x x a+=-= 当0a >时，x ，'()f x ，()f x 的变化情况如下表:而222(1)e (1)e (11)e ()0aa a a f a a a +=-=--=-<，符合题意 当1a =-时，1221a x x a+=-==， 2'()e (1)0a x f x x =-+≤,()f x 没有极值，不符合题意当10a -<<时，x >11，'()f x ，()f x 的变化情况如下表而2(1)e ()0af a=->，不符合题意当1a <-时，x <11，'()f x ，()f x 的变化情况如下表:所以2()2122()e[()()]0a a aa a f x a a+-++=--<， 解得2a <- 综上，a 的取值范围是(,2)(0,)-∞-+∞U方法2：因为函数()f x 的极小值小于0，所以()0f x <有解，即220a x a+-<有解 所以20a a+>，所以有0a >或2a <- 因为2'()e (2(2))e ((2))(1)a x a x f x ax x a ax a x =+-+=++- 令()0f x '=，得到122,1a x x a+=-= 当0a >时， x ，'()f x ，()f x 的变化情况如下表:而222(1)e (1)e (11)e ()0aa a a f a a a+=-=--=-<，符合题意 当2a <-时，x <11，'()f x ，()f x 的变化情况如下表:而22()()212222(2)()e[()()]e 0a a a a aa a a a f x a a a ++--+++=--=<，符合题意综上，a 的取值范围是(,2)(0,)-∞-+∞U2.（共14分） 解： （Ⅰ）因为()sin f x x x =+，所以()1cos f x x '=+，()12f π'=，()122f ππ=+，所以曲线()y f x =在点(,())22f ππ处的切线方程为1.y x =+ ............................5分（Ⅱ）因为[0,]2x π∈，所以sin 0x ≥，cos 0x ≥，当0a ≤时，()sin 0f x x x =+≥恒成立，cos 0ax x ≤恒成立，所以不等式()cos f x ax x ≥在区间[0,]2π上恒成立.当0a >时，设()()cos sin cos g x f x ax x x x ax x=-=+-，()1cos cos sin 1(1)cos sin g x x a x ax x a x ax x '=+-+=+-+，若01a <≤，(1)cos 0a x -≥，sin 0ax x ≥，所以()0g x '>在区间[0,]2π上恒成立；若12a <≤，110a -≤-<，1(1)cos 0a x +-≥，sin 0ax x ≥，所以()0g x '>在区间[0,]2π上恒成立；所以()g x 在区间[0,]2π上单调递增，min()(0)0,g x g ==所以当2a ≤时，不等式()cos f x ax x ≥在区间[0,]2π上恒成立；当2a >时，令()()1(1)cos sin h x g x a x ax x '==+-+，()(21)sin cos h x a x ax x '=-+，()0h x '>在区间[0,]2π上恒成立，所以()g x '在区间[0,]2π上单调递增，min ()(0)20g x g a ''==-<，max ()()1022a g x g ππ''==+>，所以存在0[0,]2x π∈，使得0()0g x '=. 当00x x <<时，()0g x '<，()g x 单调递减； 当02x x π<<时，()0g x '>，()g x 单调递增； 当0x x =时，()0g x '=，()g x 取得极小值；而(0)0g =，所以0()0g x <，所以不等式()0g x ≥在区间[0,]2π上不能恒成立，所以不等式()cos f x ax x ≥在区间[0,]2π上恒成立时实数a 的取值范围是(,2].-∞ (14)分3.4． (本小题满分13分)解：由题意可知()4(1)ln f x ax x '=+，(0,)x ∈+∞. （Ⅰ）(1)0f '=，(1)4f a =--，所以曲线()yf x =在点(1,(1))f 处的切线方程为4y a =--. ………….3分（Ⅱ）①当1a <-时，x 变化时变化情况如下表：此时1()ln()f a a a a a -=+-=,解得1ea =->-，故不成立. ②当1a =-时，()0f x '≤在(0,)+∞上恒成立，所以()f x 在(0,)+∞单调递减.此时()f x 无极小值，故不成立.③当10a -<<时，x 变化时变化情况如下表：此时极小值(1)4f a =--，由题意可得4a a--=，解得2a =-+2a =--.因为10a -<<，所以2a =-.④当0a >时，x 变化时变化情况如下表：此时极小值(1)4f a =--，由题意可得4a a--=，解得2a =-+2a =--，故不成立.综上所述2a =-+. ………….13分 5.（共13分） 解：（Ⅰ）当0a =时，()ln 1f x x x =-+，则1()1f x x'=-， ..................2分 因为[1,)x ∈+∞，所以()0f x '≤. ..................3分 所以()f x 在区间[1,)+∞上单调递减， ..................4分 所以()f x 区间[1,)+∞上最大值为(1)0f = . (5)分（Ⅱ）由题可知1()2(21)f x ax a x'=+-+ 22(21)1ax a x x-++=(21)(1)ax x x--=． ………………6分①当0a =时，由（Ⅰ）知，函数()f x 在区间(1,)+∞上单调递减，所以函数()f x 无最小值，此时不符合题意；………………7分②当12a ≥时，因为(1,)x ∈+∞，所以210ax ->．此时函数()f x 在区间(1,)+∞上单调递增，所以函数()f x 无最小值，此时亦不符合题意； ……………8分③当102a <<时，此时112a <．函数()f x 在区间1(1,)2a上单调递减，在区间1(,)2a +∞上单调递增，所以min 111()()ln 224f x f a a a ==-， ………………9分即11()ln24g a a a =-. 要证1()14g a a<-，只需证当102a <<时，1()104g a a -+<成立. 即证111ln10(0)222a a a -+<<<， ………………10分 设12t a=，()ln 1(1)h t t t t =-+> ……………11分由（Ⅰ）知()(1)0h t h <= ………………12分即1()104g a a -+<成立. 所以1()14g a a<-. ………………13分6. 解：（I ）因为点()1,1在曲线()y f x =上，所以1a =，()ln f x x------------------------------------------1分又()1f x x '==------------------------------------------3分 所以()112f '=-------------------------------------------4分在该点处曲线的切线方程为()1112y x -=--即230x y +-=-----------------5分（II ）定义域为()0,+∞，()1222f x x x x '=-=-------------------------------6分 讨论：（1）当0a ≤时，()0f x '<此时()f x 在()0,+∞上单调递减，所以不存在极小值------------------------------8分 （2）当0a >时，令()=0f x '可得24=x a------------------------------------------9分 列表可得所以()f x 在240,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在24,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增----------------------11分 所以()24=f x f a ⎛⎫⎪⎝⎭极小值=242ln a -，所以242ln a -=2解得()2a =舍负------13分 7．解: （Ⅰ）当0k =时，()221f x x x -==，()3322f x x x-'=-=-. ..........1分 所以()12f '-=， ()11f -=. .........2分所以曲线()y f x =在点()()11f --，处的切线方程为()()()()111y f f x ⎡⎤'--=---⎣⎦， .....................................3分即230x y -+=； .....................................4分 （Ⅱ）0k ≠时，（ⅰ）()f x =，定义域为， ..........................5分所以()f x '==． .......... ........ ..............7分 令()0f x '=，得2x k=． .......... ........ ..........8分 ①当0k >时，在()0-∞，和，()0f x '>；在，()0f x '<． 所以()f x 的单调递增区间为()0-∞，和，单调递减区间为；.........9分 ②当0k <时，在，()0f x '>；在和，()0f x '<． 所以()f x 的单调递增区间为，单调递减区间为2k ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，和()0+∞，；....10分 （ⅱ）由()f x 在区间()01，内单调递减， ①当0k >时，()01，，有，所以； ..........11分 ②当0k <时, ()f x 在递减，符合题意． ..........12分 综上k 的取值范围是()(]002,,-∞U ． ..........13分 8.（本小题13分） （Ⅰ）因为()2sin 1f x x x =-+，所以'()12cos f x x =-则(0)1f =，'(0)1f =-，所以切线方程为1y x =-+ ……………………4分（Ⅱ）令'()0f x =，即1cos 2x =，()0,x ∈π，得3x π= 当x 变化时，'(),()f x f x 变化如下：2xe kx{}0|≠x x 422x x e x ke kx kx ⋅-⋅42)2xx kx e kx -⋅（),2(+∞k )2,0(k),2(+∞k )2,0(k）（0,2k ），（k2-∞），（∞+0）（0,2k⊆)2,0(k 12≥k20≤<k ），（∞+0所以函数()f x 的单调递减区间为(0,)3,单调递增区间为(,)3π…………………8分（Ⅲ）因为21()cos 2g x x m x =+，所以'()sin g x x m x =- 令'()()sin h x g x x m x ==-，则'()1cos h x m x =- ……………9分 因为1m >， 所以1(0,1)m∈ 所以'()1cos 0,h x m x =-=即1cos x m =在()0,π内有唯一解0x当()00,x x ∈时，'()0h x <，当()0,x x π∈时，'()0h x >，所以()h x 在()00,x 上单调递减,在()0,πx 上单调递增. ……………11分 所以0()(0)0h x h <=，又因为()0h ππ=>所以()sin h x x m x =-在0(,)(0,)x ππ⊆内有唯一零点1x……………12分当()10,x x ∈时，()0h x < 即'()0g x <，当()1,x x π∈时，()0h x > 即'()0g x >， ……………13分所以()g x 在()10,x 上单调递减,在()1,πx 上单调递增. 所以函数()g x 在1x x =处取得最小值 即1m >时，函数()g x 在()0,π上存在最小值……………………………………14分。
北京市东城区2019届高三5月综合练习(二模)理数试卷【含答案及解析】
北京市东城区2019届高三5月综合练习（二模）理数试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 已知集合，则（）A. 或________B. 或C. D.2. 下列函数中为奇函数的是（）A. B.C. D.3. 若满足，则的最大值为（）A. B. C. D.4. 设是非零向量，则“ 共线”是“ ”的（）A. 充分而不必要条件________B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件________D. 既不充分也不必要条件5. 已知等比数列为递增数列，是其前项和.若，，则A. B. C. D.6. 我国南宋时期的数学家秦九韶（约）在他的著作《数书九章》中提出了多项式求值的秦九韶算法．如图所示的框图给出了利用秦九韶算法求多项式的一个实例．若输入的，，，则程序框图计算的是A.B.C.D.7. 动点从点出发，按逆时针方向沿周长为的平面图形运动一周，两点间的距离与动点所走过的路程的关系如图所示，那么动点所走的图形可能是A. B. C.D.8. 据统计某超市两种蔬菜连续天价格分别为和，令，若中元素个数大于，则称蔬菜在这天的价格低于蔬菜的价格，记作：，现有三种蔬菜，下列说法正确的是A. 若，，则B. 若，同时不成立，则不成立C. ，可同时不成立D. ，可同时成立二、填空题9. 复数在平面内所对应的点的坐标为 __________ ．10. 在极坐标系中，直线与圆相切，则__________ ．11. 某校开设类选修课门，类选修课门，每位同学需从两类选修课中共选门．若要求至少选一门类课程，则不同的选法共有 ____ 种.（用数字作答）12. 如图，在四边形中，，，，，，则 _________ ；三角形的面积为 ___________ .13. 在直角坐标系中，直线过抛物线的焦点，且与该抛物线相交于两点，其中点在轴上方．若直线的倾斜角为，则______ ．14. 已知函数 .①若有且只有个实根，则实数的取值范围是 __________ ．②若关于的方程有且只有个不同的实根，则实数的取值范闱是 __________ ．三、解答题15. 已知函数 .（1）若，求的值；（2）若在上单调递减，求的最大值 .16. 小明计划在 8 月 11 日至 8 月 20 日期间游览某主题公园,根据旅游局统计数据，该主題公园在此期间“游览舒适度”（即在园人数与景区主管部门核定的最大瞬时容量之比，以下为舒适，为一般，以上为拥挤），情况如图所示，小明随机选择8月 1 1日至 8 月1 9 日中的某一天到达该主题公园，并游览天 .（1）求小明连续两天都遇上拥挤的概率；（2）设是小明游览期间遇上舒适的天数，求的分布列和数学期望；（3）由图判断从哪天开始连续三天游览舒适度的方差最大？（结论不要求证明）17. 如图，在几何体中，平面平面，四边形为菱形，且，，∥ ，为中点．（Ⅰ）求证：∥平面；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；（Ⅲ）在棱上是否存在点，使？若存在，求的值；若不存在，说明理由．18. 设函数） .（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）设，若对任意的，存在使得成立，求的取值范围 .19. 已知椭圆：的短轴长为，右焦点为，点是椭圆上异于左、右顶点的一点．（1）求椭圆的方程；（2）若直线与直线交于点，线段的中点为，证明：点关于直线的对称点在直线上．20. 对于维向量，若对任意均有或，则称为维向量. 对于两个维向量定义.（1）若 , 求的值；（2）现有一个维向量序列：若且满足：，求证：该序列中不存在维向量 .(3) 现有一个维向量序列：若且满足：，若存在正整数使得为维向量序列中的项，求出所有的 .参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】。
2019届北京市东城区高三第二学期综合练习(一)数学(理)试题(解析版)
2019届北京市东城区高三第二学期综合练习（一）数学（理）试题一、单选题1．在复平面内，复数(2i)z -对应的点位于第二象限，则复数z 可取（ ） A ．2 B ．-1C ．iD ．2i +【答案】B【解析】由题意首先分析复数z 的实部和虚部的关系，然后考查所给的选项即可确定z 的值. 【详解】不妨设(),z a bi a b R =+∈，则()()()()()2222i z i a bi a b b a i -=-+=++-，结合题意可知：20,20a b b a +<->，逐一考查所给的选项： 对于选项A ：24,22a b b a +=-=-，不合题意； 对于选项B ：22,21a b b a +=--=，符合题意； 对于选项C ：21,22a b b a +=-=，不合题意； 对于选项D ：25,20a b b a +=-=，不合题意； 故选：B . 【点睛】本题主要考查复数的运算法则，各个象限内复数的特征等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2．正方体被一个平面截去一部分后，所得几何体的三视图如图所示，则截面图形的形状为A ．等腰三角形B ．直角三角形C．平行四边形D．梯形【答案】A【解析】首先确定几何体的空间结构特征，然后确定截面的形状即可.【详解】如图所示，由三视图可得，该几何体是正方体被一个平面截去一个三棱锥所得的几何体，很明显三棱锥的两条侧棱相等，故截面是等腰三角形.故选：A.【点睛】本题主要考查由三视图还原几何体的问题，截面问题的处理方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3．若,x y满足0,10,26,x yyy x+≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩则x y-的最大值为A．0B．1C．2D．4【答案】D【解析】首先画出可行域，然后结合目标函数的几何意义求解目标函数的最大值即可. 【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数即：z x y =-=其中z 取得最大值时，其几何意义表示可行域内的点到直线0x y -=倍最大，据此可知目标函数在点A 处取得最大值， 联立直线方程：026x y y x +=⎧⎨=-⎩，可得点的坐标为：()2,2A -，据此可知目标函数的最大值为：()max 224z =--=. 故选：D . 【点睛】(1)本题是线性规划的综合应用，考查的是非线性目标函数的最值的求法．(2)解决这类问题的关键是利用数形结合的思想方法，给目标函数赋于一定的几何意义． 4．已知直线l 过抛物线28y x =的焦点F ，与抛物线交于A ，B 两点，与其准线交于点C .若点F 是AC 的中点，则线段BC 的长为（ ) A ．83B ．3C ．163D ．6【答案】C【解析】由题意结合抛物线的定义和性质首先求得直线AB 的方程，然后联立直线方程与抛物线方程可得点B 的坐标，进一步整理计算即可求得最终结果. 【详解】如图，A 在准线上的射影为E ，B 在准线上的射影为H ，由抛物线y 2=8x ，得焦点F （2，0），∵点F 是的AC 中点，∴AE =2p =8，则AF =8，∴A 点横坐标为6，代入抛物线方程，可得(6,A .AF k ∴==AF 所在直线方程为)2y x =-.联立方程：)228y x y x⎧=-⎪⎨=⎪⎩可得：2320120x x -+=， 264,3B B x x ∴==，则28233BF BH ==+=. 故816833BC CF BF AF BF =-=-=-=. 故选：C . 【点睛】本题主要考查抛物线的标准方程，抛物线的几何性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5．南北朝时代的伟大数学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.其含义是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.如图，夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为12,,V V 被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面的面积分别为12,,S S 则“12,V V 相等”是“12,S S 总相等”的（ )A ．而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由题意结合祖暅原理和空间几何体的几何特征考查充分性和必要性是否成立即可求得最终结果. 【详解】由祖暅原理知,若12,S S 总相等,则12,V V 相等成立，即必要性成立，若12,V V 相等,不妨设几何体为图中长方体1111ABCD A B C D -内的的三棱锥111A A B D -和1B BCD -，此时满足“12,V V 相等”,但是不满足“12,S S 总相等”，即充分性不成立， 综上可得：“12,V V 相等”是“12,S S 总相等”的必要而不充分条件. 故选：B . 【点睛】本题主要考查空间几何体的结构特征，充分性与必要性的判定等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6．已知数列{}n a 满足：1a a =，11()2n n na a n a *+=+∈N ，则下列关于{}n a 的判断正确的是（ )A ．0,2,a n ∀>∃≥使得n a B ．0,2,a n ∃>∃≥使得1n n a a +<C ．0,,a m *∀>∃∈N 总有()m n a a m n <≠D ．0,,a m *∃>∃∈N 总有m n n a a += 【答案】D【解析】由题意结合均值不等式的结论、数列的单调性、函数的单调性和特殊数列的性质确定题中的说法是否正确即可. 【详解】对于选项A ，由于0a >，故0n a >恒成立，则112n n n a a a +=+≥=，故不存在n a 的项，选项A 说法错误；对于选项B ，由于12112n n n a a a +=+，结合选项A可知n a ≥，故121112n n na a a +=+<，即1n n a a +<，选项B 说法错误； 对于选项C，构造函数(1()2x f x x x =+≥，则()211'02f x x=-≥，则函数()f x在区间)+∞上单调递增，则不存在m N *∈满足m n a a <，选项C 说法错误；对于选项D，令1a121112a a a a =+===，此时数列{}n a 为常数列，故0,,a m *∃>∃∈N 总有m n n a a +=，选项D 说法正确.故选：D . 【点睛】本题主要考查数列的单调性，数列中的最值问题，递推关系的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.二、填空题7．在6)x 的展开式中，2x 的系数是_____________.（用数字作答） 【答案】60【解析】由题意结合二项式展开式的通项公式可得2x 的系数. 【详解】由二项式展开式的通项公式可得6)x 的展开式为：()()661661kkk kk k k k T C x C x --+=⨯⨯-=-，令2k =可得2x 的系数是()62226160C--=.【点睛】二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n 和r 的隐含条件，即n ，r 均为非负整数，且n ≥r ，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．8．在ABC ∆中，若cos sin 0b C c B +=，则C ∠=___________. 【答案】34π 【解析】由题意结合正弦定理和特殊角的三角函数值可得∠C 的大小. 【详解】由题意结合正弦定理可得：sin cos sin sin 0B C C B +=， 由于sin 0B ≠，故cos sin 0C C +=，则sin 3tan 1,cos 4C C C C π==-=. 【点睛】本题主要考查正弦定理的应用，特殊角的三角函数值等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 9．若曲线:C cos ,2sin x a y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）关于直线:l 1,22x t y t=+⎧⎨=-+⎩(t 为参数)对称，则a =___________；此时原点O 到曲线C 上点的距离的最大值为___________.【答案】3【解析】首先把参数方程化为普通方程，然后求解a 的值和原点O 到曲线C 上点的距离的最大值即可. 【详解】 消去参数可得：曲线C 的普通方程为：()()2221x a y -+-=，直线l 的普通方程为：24y x =-， 由题意可知直线l 过圆心(),2a ，故：224a =-，解得：3a =，O 到曲线C 上点的距离的最大值1. 【点睛】本题主要考查参数方程化为普通方程的方法，直线与圆的位置关系及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.10．已知向量(1,3)a =，向量b 为单位向量，且1a b ⋅=，则2b a -与2b 夹角为__________. 【答案】60【解析】首先求得向量,a b 的夹角，然后求解向量2b a -与2b 的夹角即可. 【详解】很明显132a =+=，设向量,a b 的夹角为θ， 则：21cos 1a b θ⋅=⨯⨯=，1cos ,23πθθ∴==， 据此有：()()22422224b a a b b b -⋅=-⋅=-=， 且()22242,22b a b a b ===-=--，向量2b a -与2b 的夹角为β，则21cos ,60222ββ===⨯， 综上可得：2b a -与2b 夹角为60. 【点睛】本题主要考查平面向量数量积的运算法则，向量夹角的计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11．已知函数3()4f x x x =-，若1212,[,],,x x a b x x ∀∈≠都有12122()(2)(2)f x x f x f x +>+成立，则满足条件的一个区间是________.【答案】(0,1) (答案不唯一)【解析】将原问题进行等价转化，然后结合二阶导函数的解析式可得满足题意的一个区间. 【详解】12122()(2)(2)f x x f x f x +>+即()()121222f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭，定义函数y =()f x 为上凸函数，故原问题等价于函数()f x 在区间内满足()''0f x ≤在给定的区间内恒成立， 由函数的解析式可得：()2'43f x x =-，()''6f x x =-，故可给定区间()0,1，函数在该区间内即满足()''0f x ≤， 综上可得，满足条件的一个区间是(0,1)(答案不唯一). 【点睛】本题主要考查导函数研究函数的凹凸性，等价转化的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.12．设A B ，是R 的两个子集，对任意x R ∈，定义：01x A m x A ∉⎧=⎨∈⎩，，，，01.x B n x B ，，，∉⎧=⎨∈⎩①若A B ⊆，则对任意x R ∈，(1)m n -= _____； ②若对任意x R ∈，1m n +=，则A B ，的关系为__________. 【答案】0 R A B =ð【解析】由题意分类讨论x ∉A 和x ∈A 两种情况即可求得(1)m n -的值，结合题中的定义和m ,n 的关系即可确定A ,B 之间的关系. 【详解】①∵A ⊆B .则x ∉A 时,m =0,m (1−n )=0. x ∈A 时,必有x ∈B ,∴m =n =1,m (1−n )=0. 综上可得：m (1−n )=0.②对任意x ∈R ，m +n =1，则m ，n 的值一个为0，另一个为1， 即x ∈A 时，必有x ∉B ，或x ∈B 时，必有x ∉A ， ∴A ,B 的关系为R A B =ð. 【点睛】本题主要考查新定义知识的应用，集合之间的基本关系等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.三、解答题13．已知函数()4cos sin()6f x a x x π=-，且()13f π=.(Ⅰ) 求a 的值及()f x 的最小正周期；(Ⅱ) 若()f x 在区间[0,]m 上单调递增，求m 的最大值. 【答案】（Ⅰ）1a =,最小正周期为π；（Ⅱ）3π. 【解析】(Ⅰ)由题意首先确定a 的值，然后整理函数的解析式为()()sin f x A x b ωϕ=++的形式即可确定函数的最小正周期；(Ⅱ)结合题中所给的区间[0,]m 和(Ⅰ)中确定的函数解析式得到关于m 的不等式，求解不等式即可确定m 的最大值. 【详解】（Ⅰ）由已知()13f π=，得114122a ⨯⨯=，解得1a =. ()4cos sin()6f x x x π=-14cos cos )22x x x =-2cos 2cos x x x =-2cos21x x =--2sin(2)16x π=--所以()2sin(2)16f x x π=--的最小正周期为π.（Ⅱ）由（Ⅰ）知()2sin(2) 1.6f x x π=--当[0,]x m ∈时，2[,2],666x m πππ-∈--若()f x 在区间[0,]m 上单调递增， 则有262m ππ-≤，即3m π≤. 所以m 的最大值为3π. 【点睛】本题主要考查三角函数解析式的化简，三角函数的单调性，三角函数最小正周期的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.14．改革开放40年来，体育产业蓬勃发展反映了“健康中国”理念的普及．下图是我国2006年至2016年体育产业年增加值及年增速图．其中条形图为体育产业年增加值（单位：亿元），折线图为体育产业年增长率（％）．（Ⅰ）从2007年至2016年随机选择1年，求该年体育产业年增加值比前一年的体育产业年增加值多500亿元以上的概率；（Ⅱ）从2007年至2016年随机选择3年，设X 是选出的三年中体育产业年增长率超过20%的年数，求X 的分布列与数学期望；（Ⅲ）由图判断，从哪年开始连续三年的体育产业年增长率方差最大？从哪年开始连续三年的体育产业年增加值方差最大？（结论不要求证明） 【答案】（Ⅰ）25；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）从2008年或2009年开始连续三年的体育产业年增长率方差最大．从2014年开始连续三年的体育产业年增加值方差最大． 【解析】(Ⅰ)由题意利用古典概型计算公式可得满足题意的概率值；(Ⅱ)由题意首先确定X 可能的取值，然后结合超几何概型计算公式得到分布列，然后求解其数学期望即可；(Ⅲ)由题意结合方差的性质和所给的图形确定方差的最大值即可. 【详解】（Ⅰ）设A 表示事件“从2007年至2016年随机选出1年，该年体育产业年增加值比前一年的体育产业年增加值多500亿元以上”．由题意可知，2009年，2011年，2015年，2016年满足要求， 故42()105P A ==． （Ⅱ）由题意可知，X 的所有可能取值为0,1,2，3，且36310C 1(0)=C 6P X ==；1246310C C 1(1)=C 2P X ==；2146310C C 3(2)=C 10P X ==；34310C 1(3)=C 30P X ==.所以X 的分布列为：故X 的期望11316()01236210305E X =⨯+⨯+⨯+⨯=． （Ⅲ）从2008年或2009年开始连续三年的体育产业年增长率方差最大．从2014年开始连续三年的体育产业年增加值方差最大． 【点睛】本题主要考查统计图表的识别，超几何概型计算公式，离散型随机变量的分布列与期望的计算，古典概型计算公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 15．如图，在棱长均为2的三棱柱111ABC A B C -中，点C在平面11A ABB 内的射影O 为1AB 与1A B 的交点，,E F 分别为11,BC A C 的中点．（Ⅰ）求证：四边形11A ABB 为正方形；（Ⅱ）求直线EF 与平面11A ACC 所成角的正弦值；（Ⅲ）在线段1AB 上存在一点D ，使得直线EF 与平面1A CD 没有公共点，求1ADDB 的值.【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ；（Ⅲ）12.【解析】(Ⅰ)由题意结合几何体的空间结构特征证得1111D C B A 的对角线相等即可证得题中的结论；(Ⅱ)建立空间直角坐标系，分别求得直线的方向向量和平面的法向量，然后由夹角公式可得线面角的正弦值；(Ⅲ)由题意利用线面垂直的充要条件得到点D 的坐标，据此整理计算即可确定1ADDB 的值. 【详解】 （Ⅰ）连结CO ．因为C 在平面11A ABB 内的射影O 为与1A B 的交点，所以CO ⊥平面11A ABB ．由已知三棱柱111ABC A B C -各棱长均相等， 所以AC BC =，且11A ABB 为菱形. 由勾股定理得OA OB =，即11AB A B =. 所以四边形11A ABB 为正方形.（Ⅱ）由（Ⅰ）知CO ⊥平面11,A ABB 1,.CO OA CO OA ⊥⊥ 在正方形11A ABB 中，1OA OA ⊥． 如图建立空间直角坐标系O xyz -．由题意得11(0,0,0),(O A A B C C ，(E F ．所以1(2,2,0),(0,A A AC =-=- 设平面11A ACC 的法向量为(,,),m x y z =则10,0.m AA m AC ⎧⋅=⎨⋅=⎩即0,0.⎧=⎪⎨=⎪⎩ 令1,x =则1, 1.y z == 于是(1,1,1)m =．又因为3(EF =， 设直线EF 与平面11A ACC 所成角为θ，则30sin |cos |m EF m ,EF m EFθ⋅=〈〉==所以直线EF 与平面1A AC 所成角的正弦值为15. （Ⅲ）直线EF 与平面1A CD 没有公共点，即EF ∥平面1A CD． 设D 点坐标为0(0,,0)y ，D 与O 重合时不合题意，所以00y≠．因为10(,0)A D y =，1(AC =．设111(,,)n x y z =为平面1A CD 的法向量，则110,0.n A D n A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即101110,0.y y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ 令11x =，则1y =，11z =. 于是02(1,,1)n y =. 若EF ∥平面1ACD ，0n EF ⋅=.又3(EF=，=，解得0y =． 此时EF不属于平面1A CD ， 所以AD =1DB =所以112AD DB =． 【点睛】本题的核心在考查空间向量的应用，需要注意以下问题：(1)求解本题要注意两点：一是两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，二是利用方程思想进行向量运算，要认真细心，准确计算．(2)设,m n 分别为平面α，β的法向量，则二面角θ与,m n 互补或相等.求解时一定要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角． 16．设函数2()(2)ln f x ax a x x =+--的极小值点为0x .（I ）若01x =，求a 的值()f x 的单调区间；（II ）若001x <<，在曲线()y f x =上是否存在点P ，使得点P 位于x 轴的下方？若存在，求出一个P 点坐标，若不存在，说明理由. 【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）答案见解析.【解析】(Ⅰ)首先确定函数的定义域，然后求解导函数的解析式，利用导函数与极值的关系得到关于a 的方程，解方程确定a 的值即可求解函数的单调区间和a 的值； (Ⅱ)由导函数的解析式分类讨论求解函数的最小值可得满足题意的点P 不存在. 【详解】（Ⅰ）()f x 定义域为(0,)+∞.212(2)1(21)(1)'()2(2)ax a x x ax f x ax a x x x+--+-=+--==. 由已知，得()01f '=，解得1a =. 当1a =时，(21)(1)'(),x x f x x+-=当01x <<时，()0f x '<；当1x >时，()0f x '>. 所以()f x 的递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,).+∞ 所以1a =时函数()f x 在1x =处取得极小值. 即()f x '的极小值点为1时a 的值为1.（II ）当001x <<时，曲线()y f x =上不存在点P 位于x 轴的下方，理由如下： 由（I ）知(21)(1)'(),x ax f x x+-=当0a ≤时，'()0f x <，所以()f x 在(0,)+∞单调递减，()f x 不存在极小值点；当0a >时，令(21)(1)'()0x ax f x x +-==，得1x a=.当1(0,)x a ∈时，()0f x '<，()f x 在区间1(0,)a 上单调递减； 当1(,)x a ∈+∞时，()0f x '>，()f x 在区间1(,)a +∞上单调递增.所以11()ln 1f a a a=+-是()f x 在(0,)+∞上的最小值.由已知，若001x <<，则有101a <<，即1a >.当1a >时，ln 0a >，且101a<<，110a ->.所以1()0.f a>当001x <<时，曲线()y f x =上所有的点均位于x 轴的上方. 故当001x <<时，曲线()y f x =上不存在点P 位于x 轴的下方. 【点睛】本题主要考查由函数的极值求参数的方法，导函数研究函数的单调性，导函数研究函数的最值，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.17．已知椭圆22:1(0)4x y C m m m+=>与x 轴交于两点12,A A ，与y 轴的一个交点为B ，△12BA A 的面积为2.（Ⅰ）求椭圆C 的方程及离心率；（Ⅱ）在y 轴右侧且平行于y 轴的直线l 与椭圆C 交于不同的两点12,P P ，直线11A P 与直线22A P 交于点P .以原点O 为圆心，以1A B 为半径的圆与x 轴交于,M N 两点（点M 在点N 的左侧），求PM PN -的值.【答案】（Ⅰ）2214x y +=，离心率为；（Ⅱ）4. 【解析】(Ⅰ)由题意结合三角形的面积求得m 的值即可确定椭圆方程，然后求解离心率即可；(Ⅱ)由题意首先求得点P 的轨迹方程，然后结合双曲线的定义和几何性质可得PM PN -的值.【详解】（Ⅰ）因为0,m >由椭圆方程知：224,,a m b m a b ====，1212222BA A S ab m ∆=⨯===，所以 1.m =所以椭圆C 的方程为2214x y +=.由2,1a b ==，222a b c =+，得c =所以椭圆C 的离心率为（Ⅱ）设点(,)P P P x y ,1002000(,),(,)(0),P x y P x y x ->不妨设12(2,0),(2,0),AA - 设()0110:22y P A y x x =++，()0220:22yP A y x x -=--， 由()()00002222y y x x y y x x ⎧=+⎪+⎪⎨-⎪=-⎪-⎩，得0004,2.P Px x y y x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 即0004,42=.22PPp P P P x x y x x y y y x ⎧=⎪⎪⎪⎨⎪⎪==⎪⎩又220014xy +=，得2224()414P P P x y x +=， 化简得221(0).4P P P x y x -=>因为1(2,0),(0,1)A B -，所以1A B =，即(M N所以点P 的轨迹为双曲线2214x y -=的右支，,M N 两点恰为其焦点，12,A A 为双曲线的顶点，且124A A =，所以4PM PN -=. 【点睛】本题主要考查椭圆方程的求解，平面轨迹方程的确定，双曲线的性质与应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.18．已知L *∈N ，数列12:n A a a a L ，，，中的项均为不大于L 的正整数.k c 表示12,,,n a a a 中k 的个数(1)k L =L ，2，，.定义变换T ，T 将数列A 变成数列()T A 12:(),(),,()n t a t a t a 其中12()kc c c t k L n+++=⋅L .（Ⅰ）若4L =，对数列A ：1，1，2，3，3，4，写出i c 4)i ≤≤(1的值； （Ⅱ）已知对任意的(1,2,,)k k n =，存在A 中的项m a ，使得m a k =.求证：i it a a =（）(1,2,,)i n =的充分必要条件为(12)i j c c i j L ==，，，，；L（Ⅲ）若l n =，对于数列12:,,,n A a a a L ，令12(()):,,,n T T A b b b L ，求证：()i i b t a =(1,2,,).i n =【答案】（Ⅰ）1=2c ，2=1c ，3=2c ，4=1c ；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）详见解析. 【解析】(Ⅰ)由题意结合所给的定义确定i c 4)i ≤≤(1的值即可； (Ⅱ)由题意分别证明充分性和必要性成立即可证得题中的结论；(Ⅲ)由题意结合变换L 的定义首先对数列进行合理排序，求解()T A 的值，结合变换的性质进一步计算可得()()T T A 的值，从而证得题中的结论. 【详解】（Ⅰ）考查数列的项中1,2,3,4的个数可得：1=2c ，2=1c ，3=2c ，4=1.c（Ⅱ）由于对任意的正整数(1)k k L ≤≤，存在A 中的项m a ，使得m a k =.所以12L c c c L ，，，均不为零.必要性：若()i i t a a =(1)i n ≤≤，由于12()kc c c t k L n+++=⋅L ，所以有1(1)1c t L n =⋅=；12(2)2c ct L n +=⋅=；123(3)3c c c t L n++=⋅=；；12()Lc c c t L L n+++=⋅L .通过解此方程组，可得(12)i j c c i j L ==L ，，，，成立. 充分性：若(12)i j c c i j L ==L ，，，，成立，不妨设(12)i j h c c i j L ===L ，，，，，可以得到h L n ⋅=.所以有：(1)1h t L n =⋅=；2(2)2h t L n =⋅=；3(3)3ht L n=⋅=；；()Lht L L L n=⋅=. 所以()i i t a a =(1)i n ≤≤成立.（Ⅲ）设12:n A a a a L ，，，的所有不同取值为12m u u u L ，，，，且满足：12m u u u <<<L . 不妨设12111212122212:,mr r m m mr A u u u u u u u u u L L L L ，，，，，，，，，，，， 其中111121r u u u ==L =；221222r u u u ===L ；；12mm m mr u u u ==L =.又因为L n =，根据变换T 有：111112111()()()()u r c t u t u t u t u L r n=====⋅=L ；12221222212()()()()u u r c c t u t u t u t u L r r n+=====⋅=+L ；;L121212()()()()mm u u u m m mr m m c c c t u t u t u t u L r r r L n+++=====⋅=+++=L L L ；所以12111222():(),(),,()(),(),,()(),(),,().m m m m r r r T A t u t u t u t u t u t u t u t u t u 个个个，，即12111121212():,,,,,,,,,.m r r r T A r r r r r r r r r L L L +++个个个，，，所以12111121212(()):(),(),,(),(),(),,()(),(),,().m r r r T T A t r t r t r t r r t r r t r r t L t L t L +++个个个，，因为11212,m r r r r r r <+<<+++所以有11121212(),(),,()m t r r t r r r r t r r r L =+=++++=.因此，112121211112,,,r r r r r b b b r b b b r r +++========+1211211212m m r r r r r r n m b b b r r r L --++++++++====+++=即(()):T T A 12111121212,,,,,,,,,.m r r r r r r r r r r r r L L L +++个个个，，，从而()(1,2,,)i i b t a i n ==.因此结论成立. 【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.。
北京市东城区2019届高三数学下学期综合练习(二模)试题文
如果您喜欢这份文档，欢迎下载！祝您成绩进步，学习愉快！ 北京市东城区2019届高三数学下学期综合练习（二模）试题 文本试卷共4页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合{13},{20}A x x x B x x =<->=-≥或，则A B =U（A ）{}12x x x <-≥或 （B ）{}12x x -<≤ （C ）{23}x x ≤< （D ）R （2）下列函数中，既是偶函数又在区间()0,+∞上单调递增的是（A ）3y x = （B ）cos y x = （C ）x y e =（D ）1y x =+（3）执行如图所示的程序框图，输入2,5a b ==，那么输出的,a b 的值分别为（A ）7,3- （B ）3,3-- （C ）5,3- （D ）5,2 （4）若,x y 满足21x yx -＃，则点(,)x y 到点(1,0)-距离的最小值为（A ）5（B ）355（C ）2 （D ）12（5）鲁班锁起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，相传由春 秋时代鲁国工匠鲁班所作. 右图是经典的六柱鲁班锁及六 个构件的图片，下图是其中一个构件的三视图，则此构件的 体积为（A ）334000mm （B ） 333000mm （C ）332000mm （D ）330000mm （6）已知,,,m n p q 为正整数，且m n p q +=+，则在数列{}n a 中，“m n p q a a a a ⋅=⋅”是“{}n a 是等比数列”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（7）如图，在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，终边分别是射线OA 和射线OB . 射线OA ，OC 与单位圆的交点分别为34,55A ⎛⎫⎪⎝⎭，(1,0)C -.若6BOC π∠=，则()cos βα-的值是（A ）34310- （B ）34310+ （C ）433- （D ）433+ （8）在交通工程学中，常作如下定义：交通流量Q （辆/小时）：单位时间内通过道路上某一横断面的车辆数； 车流速度V （千米/小时）：单位时间内车流平均行驶过的距离； 车流密度K （辆/千米）：单位长度道路上某一瞬间所存在的车辆数. 一般的，V 和K 满足一个线性关系，即00=(1)KV v k -（其中00,v k 是正数），则以下说法正确的是（A ）随着车流密度增大，车流速度增大（B ）随着车流密度增大，交通流量增大（C ）随着车流密度增大，交通流量先减小，后增大 （D ）随着车流密度增大，交通流量先增大，后减小第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
2019年北京各区二模理科数学分类汇编----解析几何
2019年北京各区二模理科数学分类汇编---解析几何1.（2019西城二模理科）设f 是平面直角坐标系xOy 到自身的一个映射，点(,)P x y 在映射f 下的像为点(,)22y xQ -，记作()Q f P =，已知11(16,8),()n n P P f P +=，其中1,2,3,...,n =，那么对于任意的正整数n ，则（ ）(A) 存在点M ，使得10n MP ≤；(B) 不存在点M ，使得n MP ≤(C) 存在无数个点M ，使得n MP ≤(D) 存在唯一的点M ，使得n MP ≤答案：C考点：映射，两点之间距离。
解析：1(16,8)P ，21()P f P =＝(,)22y x Q -＝(4,8)-，即2P (4,8)-，同理，可得：3P (4,2)--，4P (1,2)-，51P (1,)2－，…， 随着正整数n 的增大，n P 与原点的距离越近， 显然P 1，P 3的距离最大，｜P 1P 3，以P 1P 3为直径作圆，显然其它点都在圆内，设P 1P 3的中点为Q ，显然QP 1＝QP 3＝＞10，所以，A 错；当点M 在Q 点时，有n MP ≤B 也错；以Q小圆上有无数个点M 都符合n MP ≤所以，C 正确。
同理可知D 错误。
2.（2019西城二模理科）以椭圆22:154x y C +=在x 轴上的顶点和焦点分别为焦点和顶点的双曲线方程为 ；此双曲线的渐近线方程为答案：2214y x -= 2y x =±考点：椭圆与双曲线的性质。
解析：椭圆中：a b ＝2，所以，c ＝1椭圆在x ，0），0），焦点为：（－1,0），（1，0），依题意，双曲线中，c ，a ＝1，所以，b ＝2，双曲线方程为：2214y x -=，渐过线方程为：2y x =±3.（2019西城二模理科）已知抛物线2:2W y px =的准线方程为1x =-，焦点为F ，F 为抛物线上异于原点O 的一点。
2019年北京各区二模理科数学分类汇编----平面向量
2019年北京各区二模理科数学分类汇编---平面向量1.（2019东城二模理科）已知向量a 与b 不共线，且AB m =+a b (1)m ≠，.AC n =+a b 若,,A B C 三点共线，则实数,m n 满足的条件为(A)1m n +=(B) 1m n +=- (C)1mn = (D)1mn =- 答案：C考点：平面向量共线的性质。
解析：因为,,A B C 三点共线，所以，AB AC λ=，即()a mb na b λ+=+，所以，有1n m λλ=⎧⎨=⎩，解得：1mn = 2.（2019朝阳二模理科）在同一平面内，已知A 为动点，B ，C 为定点，且∠BAC =π3，∠ACB ≠π2，BC =1，P 为BC 中点．过点P 作PQ ⊥BC 交AC 所在直线于Q ，则AQ⃗⃗⃗⃗⃗ 在BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上投影的最大值是（ ） A. 13B. 12C. √33D. 23【答案】C【解析】 解：建立如图所示的平面直角坐标系，则B （-，0），C （，0），P （0，0），设A （x ，y ），则x ＜0，设直线AB ，AC 的斜率分别为k 1，k 2，由到角公式得：=tan， 化简得：x 2+（y-）=，则x 2， 则-≤x ＜0， 由在方向上投影的几何意义可得：在方向上投影为|DP|=|x|， 则在方向上投影的最大值是，故选：C ．先建系，再由到角公式得：=tan ，化简得：x 2+（y-）=，则x 2，则-≤x ＜0，再由在方向上投影的几何意义可得解．本题考查了到角公式及平面向量数量积的运算，属中档题．3.(2019昌平二模理科)设,a b 是非零向量，则“存在实数λ，使得=λa b ”是“||||||+=+a b a b ”的(A) 充分而不必要条件(B) 必要而不充分条件 (C) 充分必要条件(D) 既不充分也不必要条件 答案：B考点：充分必要条件，平面向量。
解析：存在实数λ，使得=λa b ，说明向量,a b 共线，当,a b 同向时，||||||+=+a b a b 成立，当,a b 反向时，||||||+=+a b a b 不成立，所以，充分性不成立。
北京市东城区2019-2020学年度第二学期高三综合练习(二)数学试卷
北京市东城区2019-2020学年度第二学期高三综合练习（二）数学2020.6本试卷共4页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题共40分）一、选择题共10题，每题4分，共40分。
在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
(1)已知全集{}0,1,2,3,4,5=U，集合{}0,1,2=A，{}5=B，那么()=UUA Bð(A){}0,1,2(B){}3,4,5(C){}1,4,5(D){}0,1,2,5(2)已知三个函数33,3,logxy x y y x===，则(A)定义域都为R(B)值域都为R(C)在其定义域上都是增函数(D)都是奇函数(3)平面直角坐标系中，已知点,,A B C的坐标分别为(0,1),(1,0),(4,2)，且四边形ABCD为平行四边形，那么D点的坐标为(A) (3,3)(B) (5,1)-(C)(3,1)-(D)(3,3)-(4)双曲线222:1yC xb-=的渐近线与直线1x=交于,A B两点，且4AB=，那么双曲线C的离心率为(B) 2(5) 已知函数()log af x x b=+的图象如图所示，那么函数()xg x a b=+的图象可能为(A)（B）（C）（D）(6)已知向量(0,5)=a，(4,3)=-b，(2,1)=--c，那么下列结论正确的是(A)-a b与c为共线向量(B)-a b与c垂直(C)-a b与a的夹角为钝角(D)-a b与b的夹角为锐角(7)《九章算术》成书于公元一世纪，是中国古代乃至东方的第一部自成体系的数学专著．书中记载这样一个问题“今有宛田，下周三十步，径十六步．问为田几何？”（一步=1.5米）意思是现有扇形田，弧长为45米，直径为24米，那么扇形田的面积为(A)135平方米 (B)270平方米(C)540平方米(D)1080平方米(8)已知函数2()ln f x x ax =+，那么“0a >”是“()f x 在(0,)+∞上为增函数”的 (A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件(9)已知一个几何体的三视图如图所示，正（主）视图是由一个半圆弧和一个正方形的三边拼接而成的，俯视图和侧（左）视图分别为一个正方形和一个长方形，那么这个几何体的体积是（A ）π12+（B ）π14+ （C ）π18+（D ）1π+(10) 函数()f x 是定义域为R 的奇函数，且它的最小正周期是T ，已知,[0,],4()=,(,],242⎧∈⎪⎪⎨⎪-∈⎪⎩T x x f x T T T x x ()()()g x f x a a R =+∈. 给出下列四个判断：①对于给定的正整数n ，存在∈a R ，使得1()()0ni i T i Tg f n n=⋅⋅=∑成立; ②当=4Ta 时，对于给定的正整数n ，存在(1)∈≠k k R ，使得1()()0ni i T i T g k f n n =⋅⋅=∑成立; ③当=4Ta k(∈k Z )时，函数()()g x f x +既有对称轴又有对称中心; ④当=4T a k (∈k Z )时，()()g x f x +的值只有0或4T.其中正确判断的有(A)1个(B)2个(C) 3个(D)4个俯视图侧（左）视图正（主）视图EA 1BCD第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5题，每题5分，共25分。
【精品高考数学试卷】2019北京高三数学二模(理)分类汇编--数列+答案
2019高三二模分类汇编—数列1. 若数列{}n a 的前n 项和28n S n n =-，1,2,3,...,n =则满足0n a >的n 的最小值为_____2.已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，则“n n S na >对2n ≥恒成立”是“34a a >”的(A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件(C) 充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件3.能说明“设数列{}n a 的前n 项和n S ，对于任意的*n N ∈，若1n a +>n a ，则1n S +>n S ”为假命题的一个等差数列是 。
（写出数列的通项公式）4. 已知等差数列{}n a 的首项为1a ，公差0d ≠.则“139,,a a a 成等比数列” 是“1a d =”的 A . 充分而不必要条件 B . 必要而不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件5．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，能够说明“若数列{}n a 是递减数列，则数列{}n S 是递减数列”是假命题的数列{}n a 的一个通项公式为____．6.在等比数列{}n a 中，若112a =，44a =-，则7a = A ．32 B ．16 C ．8 D ．1167. （本小题共13分） 在数列{}n a 中，若221n n a a D --=（2n ≥，n N *∈，D 为常数），则称{}n a 为“平方等差数列”．（Ⅰ）若数列{}n b 是“平方等差数列”，121,2b b ==，写出34,b b 的值； （Ⅱ）如果一个公比为q 的等比数列为“平方等差数列”，求证：1q =±；（Ⅲ）若一个“平方等差数列”{}n c 的前n 项和为n T ．是否存在正整数n N *∈都成立？若存在，求出,p k8.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，14a =，6812a a +=，则7S = .2019高三二模分类汇编—数列答案部分1. 52.C3.4.C5． 满足12,0,0a a d ><（答案不唯一）6.A7. 解：（Ⅰ）由{}n b 是“平方等差数列”，121,2b b ==，有22213D =-=，于是2232437b b D =+=+=，22437310b b D =+=+=------------------------------------------4分（Ⅱ）设数列是等比数列，所以，（为公比且）则，若为“平方等差数列”，则有2222222422(2)21111(1)n n n n n a a a q a q a q q D -----=-=-=（D 为与无关的常数） 所以21q =， 即或．-------------------------------------8分{}n a 11n n a a q -=q 0q ≠22221n n a a q -={}n a n 1q =1q =-（Ⅲ）因为数列{}n c 是“平方等差数列”，122,0n c c c ==>，则4D =，221(1)44(1)4n c c n D n n =+-=+-=∴n c = 所以数列1n c ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前项和 -------------------------------------10分假设存在正整数,p k使不等式112>L 对一切1)++>L 当时，11)>，∴94p k +<又,p k 为正整数， ∴1p k ==．------------------------------------------11分对一切都成立．所以存在1pk ==使不等式1n T>对一切都成立． （注：也可用数学归纳法证明）------------------------------------------13分8. 35n 1...2n T =++*n N ∈1n =...1)++>*n N ∈*)n N =>=∈...1)...1)+>+++=*n N ∈。
北京市东城区2019届高三二模数学理科试题含答案解析
2019年北京市东城区高考数学二模试卷（理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．（5分）=（）A．B．C．D．【考点】：运用诱导公式化简求值．【专题】：三角函数的求值．【分析】：原式中的角度变形后，利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算即可得到结果．【解析】：解：sin（﹣）=sin（﹣4π+）=sin=，故选：C．【点评】：此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．2．（5分）设a=log4π，π，c=π4，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞c＞b B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．c＞a＞b【考点】：对数值大小的比较．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：利用指数与对数函数的单调性即可得出．【解析】：解：∵0＜a=log4π＜1，π＜0，c=π4，＞1，∴c＞a＞b，故选：D．【点评】：本题考查了指数与对数函数的单调性，属于基础题．3．（5分）已知{a n}为各项都是正数的等比数列，若a4•a8=4，则a5•a6•a7=（）A．4 B．8 C．16 D．64【考点】：等比数列的通项公式．【专题】：等差数列与等比数列．【分析】：由等比数列的性质可得a6=2，而a5•a6•a7=a63，代值计算可得．【解析】：解：∵{a n}为各项都是正数的等比数列且a4•a8=4，∴由等比数列的性质可得a62=a4•a8=4，∴a6=2，再由等比数列的性质可得a5•a6•a7=a63=8，故选：B．【点评】：本题考查等比数列的性质，属基础题．4．（5分）甲、乙两名同学8次数学测验成绩如茎叶图所示，1，2分别表示甲、乙两名同学8次数学测验成绩的平均数，s1，s2分别表示甲、乙两名同学8次数学测验成绩的标准差，则有（）A．1＞2，s1＜s2 B．1=2，s1＜s2 C．1=2，s1=s2 D．1＜2，s1＞s2【考点】：众数、中位数、平均数；茎叶图．【专题】：概率与统计．【分析】：根据茎叶图中的数据，计算出甲、乙同学测试成绩的平均数与方差、标准差，即可得出结论【解析】：解：由茎叶图可知，甲的成绩分别为：78，79，84，85，85，86，91，92，乙的成绩分别为：77，78，83，85，85，87，92，93，所以=（78+79+84+85+85+86+91+92）=85，s12=[（78﹣85）2+（79﹣85）2+0+0+（86﹣85）2+（91﹣85）2+（92﹣85）2]=，2=（77+78+83+85+85+87+92+93）=85，s22=[（77﹣85）2+（78﹣85）2+0+0+（87﹣85）2+（92﹣85）2+（93﹣85）2]=，∴1=2，s1＜s2故选：B【点评】：本题考查了茎叶图的应用问题，也考查了平均数、方差、标准差的计算问题，是基础题5．（5分）已知p、q是简单命题，则“p∧q是真命题”是“¬p是假命题”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【考点】：命题的否定；复合命题的真假；必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】：规律型．【分析】：由p∧q为真命题，知p和q或者同时都是真命题，由¬p是假命题，知p是真命题．由此可知“p∧q是真命题”是“¬p是假命题”的充分不必要条件．【解析】：解：∵p∧q为真命题，∴p和q或者同时都是真命题，由¬p是假命题，知p是真命题．∴“p∧q是真命题”推出“¬p是假命题”，反之不能推出．则“p∧q是真命题”是“¬p是假命题”的充分而不必要条件．故选A．【点评】：本题考查复合命题的真假判断，解题时要认真审题，仔细求解．6．（5分）若实数x，y满足不等式组则z=2|x|+y的取值范围是（）A．[﹣1，3] B．[1，11] C．[1，3] D．[﹣1，11]【考点】：简单线性规划．【专题】：不等式的解法及应用．【分析】：先画出满足条件的平面区域，通过讨论x的范围，求出直线的表达式，结合图象从而求出z的范围．【解析】：解：画出满足条件的平面区域，如图示：，显然x≤0时，直线方程为：y=2x+z，过（0，﹣1）时，z最小，Z最小值=﹣1，x≥0时，直线方程为：y=﹣2x+z，过（6，﹣1）时，z最大，Z最大值=11，故选：D．【点评】：本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，是一道中档题．7．（5分）定义在R上的函数f（x）满足f（x+6）=f（x）．当x∈[﹣3，﹣1）时，f（x）=﹣（x+2）2，当x∈[﹣1，3）时，f（x）=x，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2019）=（）A．336 B．355 C．1676 D．2019【考点】：数列与函数的综合．【专题】：函数的性质及应用；等差数列与等比数列．【分析】：直接利用函数的周期性，求出函数在一个周期内的和，然后求解即可．【解析】：解：定义在R上的函数f（x）满足f（x+6）=f（x）．可得函数的周期为：6，当x∈[﹣3，﹣1）时，f（x）=﹣（x+2）2，当x∈[﹣1，3）时，f（x）=x，f（1）=1，f（2）=2，f（3）=f（﹣3）=﹣1，f（4）=f（﹣2）=0，f（5）=f（﹣1）=﹣1，f（6）=f（0）=0，2019=6×335+5，f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2019）=f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+335[f（1）+f （2）+…+f（6）]=1+2﹣1+0﹣1+335×（1+2﹣1+0﹣1+0）=336．故选：A．【点评】：本题考查数列与函数相结合，函数的值的求法，函数的周期性的应用，考查计算能力．8．（5分）为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为a0a1a2，a i∈{0，1}（i=0，1，2），传输信息为h0a0a1a2h1，其中h0=a0⊕a1，h1=h0⊕a2，⊕运算规则为：0⊕0=0，0⊕1=1，1⊕0=1，1⊕1=0，例如原信息为111，则传输信息为01111．传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是（）A．11010 B．01100 C．10111 D．00011【考点】：抽象函数及其应用．【专题】：压轴题．【分析】：首先理解⊕的运算规则，然后各选项依次分析即可．【解析】：解：A选项原信息为101，则h0=a0⊕a1=1⊕0=1，h1=h0⊕a2=1⊕1=0，所以传输信息为11010，A选项正确；B选项原信息为110，则h0=a0⊕a1=1⊕1=0，h1=h0⊕a2=0⊕0=0，所以传输信息为01100，B 选项正确；C选项原信息为011，则h0=a0⊕a1=0⊕1=1，h1=h0⊕a2=1⊕1=0，所以传输信息为10110，C 选项错误；D选项原信息为001，则h0=a0⊕a1=0⊕0=0，h1=h0⊕a2=0⊕1=1，所以传输信息为00011，D 选项正确；故选C．【点评】：本题考查对新规则的阅读理解能力．二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）9．（5分）若的二项展开式中各项的二项式系数的和是64，则n=6，展开式中的常数项为15．（用数字作答）【考点】：二项式系数的性质．【专题】：二项式定理．【分析】：首先由二项式系数的性质列式求得n值，再写出二项展开式的通项并整理，由x 得指数为0求得r值，则答案可求．【解析】：解：由题意知：2n=64，即n=6；则，由．令3﹣，得r=2．∴展开式中的常数项为．故答案为：6；15．【点评】：本题考查了二项式系数的性质，关键是熟记二项展开式的通项，是基础题．10．（5分）已知正数x，y满足x+y=xy，则x+y的最小值是4．【考点】：基本不等式．【专题】：计算题．【分析】：依题意由基本不等式得x+y=xy≤，从而可求得x+y的最小值．【解析】：解：∵x＞0，y＞0，∴xy≤，又x+y=xy，∴x+y≤，∴（x+y）2≥4（x+y），∴x+y≥4．故答案为：4【点评】：本题考查基本不等式，利用基本不等式将已知条件转化为关于x+y的二次不等式是关键，属于基础题．11．（5分）若直线为参数）与曲线为参数，a＞0）有且只有一个公共点，则a=．【考点】：参数方程化成普通方程．【专题】：坐标系和参数方程．【分析】：将直线和曲线的参数方程转化为圆的普通方程即可．【解析】：解：直线的普通方程为x+y=2，曲线的普通的方程为（x﹣4）2+y2=a2（a＞0），表示为圆心坐标为（4，0），半径为a，若直线和圆只有一个公共点，则直线和圆相切，则圆心到直线的距离d===a，即a=，故答案为：．【点评】：本题主要考查参数方程和普通方程的转化，以及直线和圆的位置关系的应用，将参数方程转化为普通方程是解决参数方程的基本方法．12．（5分）若双曲线=1（a＞0，b＞0）截抛物线y2=4x的准线所得线段长为b，则a=．【考点】：双曲线的简单性质．【专题】：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：求得抛物线y2=4x的准线为x=﹣1，代入双曲线方程，求得弦长，解方程，即可得到a．【解析】：解：抛物线y2=4x的准线为x=﹣1，代入双曲线=1，可得y=±b，由题意可得，b=2b，解得a=．故答案为：．【点评】：本题考查抛物线和双曲线的方程和性质，主要考查抛物线的准线的运用，考查运算能力，属于基础题．13．（5分）已知非零向量，满足||=1，与﹣的夹角为120°，则||的取值范围是（0，]．【考点】：平面向量数量积的运算．【专题】：平面向量及应用．【分析】：设，，由已知与﹣的夹角为120°可得∠ABC=60°，由正弦定理=得||=sinC≤，从而可求||的取值范围【解析】：解：设，，如图所示：则由又∵与﹣的夹角为120°，∴∠ABC=60°又由||=||=1由正弦定理=得||=sinC≤∴||∈（0，]故答案为：．【点评】：本题主考查了向量的减法运算的三角形法则，考查了三角形的正弦定理及三角函数的性质，属于中档题．14．（5分）如图，平面中两条直线l1和l2相交于点O，对于平面上任意一点M，若p，q 分别是M到直线l1和l2的距离，则称有序非负实数对（p，q）是点M的“距离坐标”．给出下列四个命题：①若p=q=0，则“距离坐标”为（0，0）的点有且仅有1个．②若pq=0，且p+q≠0，则“距离坐标”为（p，q）的点有且仅有2个．③若pq≠0，则“距离坐标”为（p，q）的点有且仅有4个．④若p=q，则点M的轨迹是一条过O点的直线．其中所有正确命题的序号为①②③．【考点】：命题的真假判断与应用．【专题】：简易逻辑．【分析】：根据点M的“距离坐标”的定义即可判断出正误．【解析】：解：①若p=q=0，则“距离坐标”为（0，0）的点是两条直线的交点O，因此有且仅有1个，正确．②若pq=0，且p+q≠0，则“距离坐标”为（0，q）（q≠0）或（p，0）（p≠0），因此满足条件的点有且仅有2个，正确．③若pq≠0，则“距离坐标”为（p，q）的点有且仅有4个，如图所示，正确．④若p=q，则点M的轨迹是两条过O点的直线，分别为交角的平分线所在直线，因此不正确．综上可得：只有①②③正确．故答案为：①②③．【点评】：本题考查了新定义“距离坐标”，考查了理解能力与推理能力、数形结合的思想方法，属于中档题．三、解答题（共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）15．（13分）已知函数f（x）=．（Ⅰ）求f（x）的定义域及其最大值；（Ⅱ）求f（x）在（0，π）上的单调递增区间．【考点】：三角函数的最值．【专题】：三角函数的求值．【分析】：（Ⅰ）解sinx≠0可得f（x）的定义域，化简可得f（x）=，可得f（x）的最大值；（Ⅱ）由和x∈（0，π）可得f（x）在（0，π）上的单调递增区间．【解析】：解：（Ⅰ）由sinx≠0，得x≠kπ（k∈Z）．∴f（x）的定义域为{x∈R|x≠kπ，k∈Z}，∵=2cosx﹣2sinx=，∴f（x）的最大值为；（Ⅱ）∵函数y=cosx的单调递增区间为[2kπ+π，2kπ+2π]（k∈Z）由，x≠kπ（k∈Z），且x∈（0，π），∴f（x）在（0，π）上的单调递增区间为【点评】：本题考查三角函数的最值和单调性，属基础题．16．（13分）某校高一年级开设A，B，C，D，E五门选修课，每位同学须彼此独立地选三门课程，其中甲同学必选A课程，不选B课程，另从其余课程中随机任选两门课程．乙、丙两名同学从五门课程中随机任选三门课程．（Ⅰ）求甲同学选中C课程且乙同学未选中C课程的概率；（Ⅱ）用X表示甲、乙、丙选中C课程的人数之和，求X的分布列和数学期望．【考点】：离散型随机变量的期望与方差；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；离散型随机变量及其分布列．【专题】：概率与统计．【分析】：（Ⅰ）设事件A为“甲同学选中C课程”，事件B为“乙同学选中C课程”．求出A，B的概率，然后求解甲同学选中C课程且乙同学未选中C课程的概率．（Ⅱ）X的可能取值为：0，1，2，3．求出概率，得到X为分布列，然后求解期望．【解析】：（共13分）解：（Ⅰ）设事件A为“甲同学选中C课程”，事件B为“乙同学选中C课程”．则，．因为事件A与B相互独立，所以甲同学选中C课程且乙同学未选中C课程的概率为．…（4分）（Ⅱ）设事件C为“丙同学选中C课程”．则．X的可能取值为：0，1，2，3．．=．=．．X为分布列为：．…（13分）【点评】：本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，考查计算能力．17．（14分）如图，三棱柱ABC﹣DEF的侧面BEFC是边长为1的正方形，侧面BEFC⊥侧面ADEB，AB=4，∠DEB=60°，G是DE的中点．（Ⅰ）求证：CE∥平面AGF；（Ⅱ）求证：GB⊥平面BEFC；（Ⅲ）在线段BC上是否存在一点P，使二面角P﹣GE﹣B为45°，若存在，求BP的长；若不存在，说明理由．【考点】：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法．【专题】：空间位置关系与距离；空间角．【分析】：（Ⅰ）根据线面平行的判定定理即可证明CE∥平面AGF；（Ⅱ）根据线面垂直的判定定理即可证明GB⊥平面BEFC；（Ⅲ）在建立空间直角坐标系，利用向量法结合二面角的大小建立方程关系即可得到结论．【解析】：（Ⅰ）证明：连接CD与AF相交于H，则H为CD的中点，连接HG．因为G为DE的中点，所以HG∥CE．因为CE⊄平面AGF，HG⊂平面AGF，所以CE∥平面AGF．（Ⅱ）证明：BE=1，GE=2，在△GEB中，∠GEB=60°，BG=．因为BG2+BE2=GE2，所以GB⊥BE．因为侧面BEFC⊥侧面ADEB，侧面BEFC∩侧面ADEB=BE，GB⊂平面ADEB，所以GB⊥平面BEFC．（Ⅲ）解：BG，BE，BC两两互相垂直，建立空间直角坐标系B﹣xyz．假设在线段BC上存在一点P，使二面角P﹣GE﹣B为45°．平面BGE的法向量m=（0，0，1），设P（0，0，λ），λ∈[0，1]．，E（0，1，0）．所以=（﹣，0，λ），．设平面PGE的法向量为n=（x，y，z），则所以令z=1，得y=λ，，所以PGE的法向量为．因为m•n=1，所以，解得∈[0，1]，故．因此在线段BC上存在一点P，使二面角P﹣GE﹣B为45°，且．【点评】：本题主要考查空间直线和平面平行或垂直的判定，以及空间二面角的求解和应用，建立空间坐标系，利用向量法是解决二面角的基本方法．18．（13分）已知函数f（x）=x+a•e﹣x．（Ⅰ）当a=e2时，求f（x）在区间[1，3]上的最小值；（Ⅱ）求证：存在实数x0∈[﹣3，3]，有f（x0）＞a．【考点】：利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】：计算题；证明题；分类讨论；导数的综合应用．【分析】：（Ⅰ）当a=e2时，f（x）=x+e2﹣x，x∈[1，3]；f′（x）=1﹣e2﹣x，从而由导数的正负确定函数的单调性及最值；（Ⅱ）“存在实数x0∈[﹣3，3]，有f（x0）＞a”等价于f（x）的最大值大于a；且f′（x）=1﹣ae﹣x，从而分当a≤0时，当a＞0时两大类讨论，再在a＞0时分a≥e3时，e﹣3＜a＜e3时与0＜a≤e﹣3时讨论，从而证明．【解析】：解：（Ⅰ）当a=e2时，f（x）=x+e2﹣x，x∈[1，3]；∵f′（x）=1﹣e2﹣x，由f′（x）=0得x=2；则x，f′（x），f（x）关系如下：所以当x=2时，f（x）有最小值为3．（Ⅱ）证明：“存在实数x0∈[﹣3，3]，有f（x0）＞a”等价于f（x）的最大值大于a．因为f′（x）=1﹣ae﹣x，所以当a≤0时，x∈[﹣3，3]，f′（x）＞0，f（x）在（﹣3，3）上单调递增，所以f（x）的最大值为f（3）＞f（0）=a．所以当a≤0时命题成立；当a＞0时，由f′（x）=0得x=lna．则x∈R时，x，f′（x），f（x）关系如下：（1）当a≥e3时，lna≥3，f（x）在（﹣3，3）上单调递减，所以f（x）的最大值f（﹣3）＞f（0）=a．所以当a≥e3时命题成立；（2）当e﹣3＜a＜e3时，﹣3＜lna＜3，所以f（x）在（﹣3，lna）上单调递减，在（lna，3）上单调递增．所以f（x）的最大值为f（﹣3）或f（3）；且f（﹣3）＞f（0）=a与f（3）＞f（0）=a必有一成立，所以当e﹣3＜a＜e3时命题成立；（3）当0＜a≤e﹣3时，lna≤﹣3，所以f（x）在（﹣3，3）上单调递增，所以f（x）的最大值为f（3）＞f（0）=a．所以当0＜a≤e﹣3时命题成立；综上所述，对任意实数a都存在x∈[﹣3，3]使f（x）＞a成立．【点评】：本题考查了导数的综合应用及恒成立问题及分类讨论的思想应用，属于中档题．19．（13分）已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为，且椭圆C上的点到两个焦点的距离之和为4．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设A为椭圆C的左顶点，过点A的直线l与椭圆交于点M，与y轴交于点N，过原点与l平行的直线与椭圆交于点P．证明：|AM|•|AN|=2|OP|2．【考点】：椭圆的简单性质．【专题】：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：（Ⅰ）设椭圆C的标准方程为，由离心率公式和a，bc的关系和椭圆的定义，得到方程组，解得a，b，即可得到椭圆方程；（Ⅱ）设直线AM的方程为：y=k（x+2），联立椭圆方程，运用韦达定理，设A（﹣2，0），M（x1，y1），可得M的坐标，运用两点的距离公式，计算|AM|，|AN|，再由直线y=kx代入椭圆方程，求得P的坐标，得到|OP|，计算即可得证结论．【解析】：解：（Ⅰ）设椭圆C的标准方程为，由题意知解得a=2，b=1．所以椭圆C的标准方程为．（Ⅱ）证明：设直线AM的方程为：y=k（x+2），则N（0，2k）．由得（1+4k2）x2+16k2x+16k2﹣4=0（*）．设A（﹣2，0），M（x1，y1），则﹣2，x1是方程（*）的两个根，所以．所以．=．．则．设直线OP的方程为：y=kx．由得（1+4k2）x2﹣4=0．设P（x0，y0），则，．所以，．所以|AM|•|AN|=2|OP|2．【点评】：本题考查椭圆的定义、方程和性质，主要考查椭圆的离心率公式和方程的运用，联立直线方程，运用韦达定理和两点的距离公式，考查运算能力，属于中档题．20．（14分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足a1=a（a≠3），，设，n∈N*．（1）求证：数列{b n}是等比数列；（2）若a n+1≥a n，n∈N*，求实数a的最小值；（3）当a=4时，给出一个新数列{e n}，其中，设这个新数列的前n项和为C n，若C n可以写成t p（t，p∈N*且t＞1，p＞1）的形式，则称C n为“指数型和”．问{C n}中的项是否存在“指数型和”，若存在，求出所有“指数型和”；若不存在，请说明理由．【考点】：等差数列与等比数列的综合；数列的求和．【专题】：综合题；新定义．【分析】：（1）依题意，可求得S n+1=2S n+3n，当a≠3时，=2，利用等比数列的定义即可证得数列{b n}是等比数列；（2）由（1）可得S n﹣3n=（a﹣3）×2n﹣1，a n=S n﹣S n﹣1，n≥2，n∈N*，从而可求得a n=，由a n+1≥a n，可求得a≥﹣9，从而可求得实数a的最小值；（3）由（1）当a=4时，b n=2n﹣1，当n≥2时，C n=3+2+4+…+2n=2n+1+1，C1=3，可证得对正整数n都有C n=2n+1，依题意由t p=2n+1，t p﹣1=2n，（t，p∈N*且t＞1，p＞1），t只能是不小于3的奇数．分①当p为偶数时与②当p为奇数讨论即可得到答案．【解析】：解：（1）a n+1=S n+3n⇒S n+1=2S n+3n，b n=S n﹣3n，n∈N*，当a≠3时，===2，所以{b n}为等比数列．b1=S1﹣3=a﹣3，b n=（a﹣3）×2n﹣1．（2）由（1）可得S n﹣3n=（a﹣3）×2n﹣1，a n=S n﹣S n﹣1，n≥2，n∈N*，∴a n=，∵a n+1≥a n，∴a≥﹣9，又a≠3，所以a的最小值为﹣9；（3）由（1）当a=4时，b n=2n﹣1，当n≥2时，C n=3+2+4+…+2n=2n+1+1，C1=3，所以对正整数n都有C n=2n+1．由t p=2n+1，t p﹣1=2n，（t，p∈N*且t＞1，p＞1），t只能是不小于3的奇数．①当p为偶数时，t p﹣1=（+1）（﹣1）=2n，因为t p+1和t p﹣1都是大于1的正整数，所以存在正整数g，h，使得t p+1=2g，﹣1=2h，2g﹣2h=2，2h（2g﹣h﹣1）=2，所以2h=2且2g﹣h﹣1=1⇒h=1，g=2，相应的n=3，即有C3=32，C3为“指数型和”；②当p为奇数时，t p﹣1=（t﹣1）（1+t+t2+…+t p﹣1），由于1+t+t2+…+t p﹣1是p个奇数之和，仍为奇数，又t﹣1为正偶数，所以（t﹣1）（1+t+t2+…+t p﹣1）=2n不成立，此时没有“指数型和”．【点评】：本题考查等差数列与等比数列的综合，考查数列求和，突出逻辑思维与创新思维、综合分析、运算能力的考查，属于难题．。
2019北京东城区高三理科数学二模试题
北京市东城区2018-2019学年度第二学期综合练习（二）高三数学 （理科）本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 已知复数2(1)(1)z a a i =-++，若z 是纯虚数，则实数a 等于（ B ）A ．2B ．1C ．1±D ．1-2.对于非零向量a ，b ，“2+0a b =”是“a//b ”的（ A ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3. 执行如图所示的程序框图,输出的T 等于（C ）A .10B .15C .20D .304.右图是一个几何体的三视图, 根据图中的数据,计算该几何体的表面积为（ D ） A ．15π B ．18πC ．22πD ．33π5. 已知不等式组1,1,0x y x y y +≤⎧⎪-≥-⎨⎪≥⎩表示的平面区域为M ，若直线3y kx k =-与平面区域M 有公共点，则k 的取值范围是（ A ）A.1[,0]3-B. 1(,]3-∞C. 1(0,]3D. 1(,]3-∞- 6.已知函数6(3)3,7,(),7.x a x x f x ax ---≤⎧=⎨>⎩若数列{}n a 满足()n a f n =*()n ∈N ，且{}n a 是递增数列，则实数a 的取值范围是（ C ）A . 9[,3)4B . 9(,3)4C . (2,3)D . (1,3)7.已知抛物线22y px =(0)p >与双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>有相同的焦点F ，点A是两曲线的一个交点，且AF x ⊥轴，若l 为双曲线的一条渐近线，则l 的倾斜角所在的区间可能是（ D ） A .(0,)6πB .(,)64ππC . (,)43ππD . (,)32ππ8. 已知集合{1,2,3,4}A =，函数()f x 的定义域、值域都是A ，且对于任意i A ∈，i i f ≠)(.设4321,,,a a a a 是4,3,2,1的任意一个排列，定义数表12341234()()()()aa a a f a f a f a f a ⎛⎫⎪⎝⎭，若两个数表的对应位置上至少有一个数不同，就说这是两张不同的数表，那么满足条件的不同的数表的张数为 ( A ) A ．216B ．108C ．48D ．24第Ⅱ卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡相应位置的横线上．9. 命题“000,x x ex ∃∈>R ”的否定是 ．10. 如图，从圆O 外一点A 引圆的切线AD 和割线ABC ，已知AD =6AC =，圆O 的半径为3，则圆心O 到AC 的距离为 ．11.已知一个样本容量为100的样本数据的频率分布直方图如图所示，样本数据落在[6,10)内的样本频数为 ，样本数据落在[2,10)内的频率为 ．12. 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆5cos 1,:5sin 2x C y θθ=-⎧⎨=+⎩（θ为参数）和直线46,:32x t l y t =+⎧⎨=--⎩ （t 为参数），则直线l 与圆C 相交所得的弦长等于 ．13. 在函数)sin()(ϕω+=x A x f (0,0)A ω>>的一个周期内，当9π=x 时有最大值21，当94π=x 时有最小值21-，若)2,0(πϕ∈，则函数解析式)(x f = ． 14. 已知数列{}n a 中，n S 是其前n 项和，若11a =，22a =，1212n n n n n n a a a a a a ++++=++， 且121n n a a ++≠，则123a a a ++=_______________，2010S =_______________． 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15. （本小题满分13分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ， cos 2A C += （Ⅰ）求cos B 的值；（Ⅱ）若3a =，b =，求c 的值．16．（本小题满分13分）袋中装着标有数字1，2，3，4的小球各3个，从袋中任取3个小球，每个小球被取出的可能性都相等．（Ⅰ）求取出的3个小球上的数字互不相同的概率；（Ⅱ）用X 表示取出的3个小球上所标的最大数字，求随机变量X 的分布列和均值．17．（本小题满分14分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，90DAB ∠=，//AD BC ，AD ⊥侧面PAB ，△PAB 是等边三角形，2DA AB ==， 12BC AD =，E 是线段AB 的中点．（Ⅰ）求证：PE CD ⊥；（Ⅱ）求四棱锥P ABCD -的体积；（Ⅲ）求PC 与平面PDE 所成角的正弦值．18．（本小题满分13分）已知抛物线的焦点F 在y 轴上，抛物线上一点(,4)A a 到准线的距离是5，过点F 的直线与抛物线交于M ，N 两点，过M ，N 两点分别作抛物线的切线，这两条切线的交点为T ．（Ⅰ）求抛物线的标准方程； （Ⅱ）求FT MN ⋅的值；（Ⅲ）求证：FT 是MF 和NF 的等比中项．19．（本小题满分13分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，141n n S a +=+，设12n n n b a a +=-． （Ⅰ）证明数列{}n b 是等比数列； （Ⅱ）数列{}n c 满足21log 3n n c b =+*()n ∈N ，设1223341n nn T cc c c c c c c +=++++， 若对一切*n ∈N 不等式4(2)n n mT n c >+恒成立，求实数m 的取值范围．20.(本小题满分14分)已知函数(1)()ln 1a x f x x x -=-+． (Ⅰ) 若函数()f x 在(0,)+∞上为单调增函数，求a 的取值范围； (Ⅱ) 设m ，n +∈R ，且m n ≠，求证：ln ln 2m n m nm n -+<-．（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）北京市东城区2018-2019学年度第二学期综合练习（二）高三数学参考答案 （理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．B 2．A 3．C 4．D 5．A 6．C 7．D 8．A 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．x ∀∈R ，x e x ≤ 10 11．32，0.412． 13．1sin(3)26x π+ 14．6，4020 注：两个空的填空题第一个空填对得2分，第二个空填对得3分．三、解答题（本大题共6小题，共80分） 15. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为cos2A C +=A B C π++=，所以sinsin()2223B AC π+=-=．…………………………………3分 所以 21cos 12sin 23B B =-=．………………………………………7分 （Ⅱ）由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得2210c c -+=．…………………………………………………………11分解得1c =．…………………………………………………………………13分 16. （本小题满分13分） 解：（I ）“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A ，则3111433331227()55C C C C P A C ⋅⋅⋅==．…………………………………………………5分 （II ）由题意X 所有可能的取值为：1，2，3，4.…………………………………6分31211(1)220P X C ===； 212133333331219(2)220C C C C C P X C ⋅+⋅+===； 21123636333126416(3)22055C C C C C P X C ⋅+⋅+====； 211239393331213634(4)22055C C C C C P X C ⋅+⋅+====．……………………………………………………………10分随机变量X 的均值为11916341551234220220555544EX =⨯+⨯+⨯+⨯=．………………………………13分 17. （本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为AD ⊥侧面PAB ，PE ⊂平面PAB ，所以AD PE ⊥．……………………………………………………………2分 又因为△PAB 是等边三角形，E 是线段AB 的中点，所以PE AB ⊥．因为ADAB A =，所以PE ⊥平面ABCD ．…………………………………………………4分 而CD ⊂平面ABCD ，所以PE CD ⊥．……………………………………………………………5分（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知：PE ⊥平面ABCD ，所以PE 是四棱锥P ABCD -的高．由2DA AB ==，12BC AD =，可得1BC =．因为△PAB 是等边三角形，可求得PE =．所以111(12)2332P ABCD ABCD V S PE -=⋅=⨯+⨯=9分 （Ⅲ）解：以E 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系E xyz -．则(0,0,0)E ，(1,1,0)C -，(2,1,0)D，P ．(2,1,0)ED =，EP =，(1,1,PC =-．设(,,)x y z =n 为平面PDE 的法向量．由0,0.ED EP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n即20,0.x y +=⎧⎪=令1x =，可得(1,2,0)=-n ．………………………12分 设PC 与平面PDE 所成的角为θ．||3sin cos ,5||||PC PC PC θ⋅=<>==n n n ．所以PC 与平面PDE 所成角的正弦值为35． …………………………………14分 18. （本小题满分13分）（Ⅰ）解：由题意可设抛物线的方程为22x py =(0)p ≠．因为点(,4)A a 在抛物线上，所以0p >． 又点(,4)A a 到抛物线准线的距离是5，所以452p+=，可得2p =． 所以抛物线的标准方程为24x y =．………………………………………………3分（Ⅱ）解：点F 为抛物线的焦点，则(0,1)F ．依题意可知直线MN 不与x 轴垂直，所以设直线MN 的方程为1y kx =+．由21,4.y kx x y =+⎧⎨=⎩ 得2440x kx --=．因为MN 过焦点F ，所以判别式大于零． 设11(,)M x y ，22(,)N x y ．则124x x k +=，124x x =-．……………………………………………………6分2121(,)MN x x y y =--2121(,())x x k x x =--．由于24x y =，所以'12y x =． 切线MT 的方程为1111()2y y x x x -=-， ①切线NT 的方程为2221()2y y x x x -=-． ②由①，②，得1212(,)24x x x x T +．…………………………………8分则1212(,1)(2,2)24x x x x FT k +=-=-．所以21212()2()0FT MN k x x k x x ⋅=---=．………………………10分 （Ⅲ）证明：2222(2)(2)44FTk k =+-=+．由抛物线的定义知 11MF y =+，21NF y =+．则12(1)(1)MF NF y y ⋅=++2121212(2)(2)2()4kx kx k x x k x x =++=+++244k =+．所以2FTMF NF =⋅．即FT 是MF 和NF 的等比中项．…………………………………………………13分 19．（本小题满分13分）证明：（Ⅰ）由于141n n S a +=+， ① 当2n ≥时，141n n S a -=+． ②①-②得 1144n n n a a a +-=-．所以 1122(2)n n n n a a a a +--=-．…………………………………………………2分 又12n n n b a a +=-，所以12n n b b -=．因为11a =，且12141a a a +=+， 所以21314a a =+=． 所以12122b a a =-=．故数列{}n b 是首项为2，公比为2的等比数列．…………………………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知2nn b =，则211log 33n n c b n ==++（n ∈*N ）． 1223341n n n T c c c c c c c c +=++++1111455667(3)(4)n n =++++⨯⨯⨯++ 1144n =-+ 4(4)nn =+．……………………………………………………………………9分由4(2)n n mT n c >+，得243mn n n n +>++． 即(4)(2)(3)n n m n n ++>+．所以22683n n m n n++>+．所以22383811333n m n n n n n +>+=+++++．……………………………………11分 设238()133f x x x x=++++，1x ≥． 可知()f x 在[1,)+∞为减函数，又15(1)4f =，则当n ∈*N 时，有()(1)f n f ≤．所以154m >． 故当154m >时，4(2)n n mT n c >+恒成立．…………………………………13分20. （本小题满分14分）解：(Ⅰ) '21(1)(1)()(1)a x a x f x x x +--=-+ 22(1)2(1)x ax x x +-=+22(22)1(1)x a x x x +-+=+．………………………………………3分 因为()f x 在(0,)+∞上为单调增函数，所以'()0f x ≥在(0,)+∞上恒成立．即2(22)10x a x +-+≥在(0,)+∞上恒成立．当(0,)x ∈+∞时，由2(22)10x a x +-+≥，得122a x x-≤+． 设1()g x x x=+，(0,)x ∈+∞．1()2g x x x =+≥=． 所以当且仅当1x x=，即1x =时，()g x 有最小值2． 所以222a -≤． 所以2a ≤．所以a 的取值范围是(,2]-∞．…………………………………………………………7分 (Ⅱ)不妨设0m n >>，则1mn>． 要证ln ln 2m n m nm n -+<-， 只需证112ln m m n n m n-+<， 即证2(1)ln 1m m n m n n ->+．只需证2(1)ln 01m mn m n n-->+．……………………………………………………………11分设2(1)()ln 1x h x x x -=-+． 由(Ⅰ)知()h x 在(1,)+∞上是单调增函数，又1m n >， 所以()(1)0m h h n>=． 2(1)ln 01m m n m n n-->+所以l n l n m n m m n -+<-．………………………………………………………14分。
【精品高考数学试卷】2019北京高三数学二模(理)分类汇编-- 立体几何+答案
2019高三二模分类汇编—立体几何1.如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 是对角线1AC 上的动点（点P 与1,A C 不重合）．则下面结论中错误的是(A)存在点P ，使得平面1A DP ∥平面11B CD (B)存在点P ，使得1AC ⊥平面1A DP(C) 12,S S 分别是△1A DP 在平面1111A B C D ，平面11BB C C 上 的正投影图形的面积，对任意点P ，12S S ≠ (D)对任意点P ，△1A DP 的面积都不等于262.（本小题满分14分）如图1所示，在等腰梯形ABCD ，BC ∥AD ，CE AD ⊥，垂足 为E ，33AD BC ==，1EC =.将DEC ∆沿EC 折起到1D EC ∆的位置， 使平面1D EC ∆⊥平面ABCE ，如图2所示，点G 为棱1AD 上一个动点。
(Ⅱ)当点G 为棱1AD 中点时，求证：BG ∥平面1D EC t (Ⅱ)求证：AB ⊥平面1D BE ;(Ⅲ)是否存在点G ，使得二面角1G BE D --的余弦值为63？ 若存在，求出AG 的长；若不存在，请说明理由．3.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，P 是底面ABCD 上的动点，1PA PC ≥，则满足条件的点P 构成的图形的面积等于(A) 12 (B) 4π (C) 44π- (D) 72、4.（本小题14分）如图，四边形ABCD 和三角形ADE 所在平面互相垂直，AB ∥CD ，AB BC ⊥，60DAB ∠=o ，4AB AD ==，AE DE ⊥，AE DE =，平面ABE 与平面CDE 交于EF ． （Ⅰ）求证：CD PEF ；（Ⅱ）若EF CD =，求二面角--A BC F 余弦值；（Ⅲ）在线段BC 上是否存在点M 使得AM EM ⊥？若存在，求BM 的长；若不存在，说明理由．5.已知正四面体ABCD 的棱长为1，平面α与该正四面体相交，对于实数(01)d d <<，记正四面体ABCD 的四个顶点中到平面α的距离等于d 的点的个数为m ，那么下列结论中正确的是(A) m 不可能等于2 (B) m 不可能等于3 (C) m 不可能等于4 (D) 以上三个答案都不正确6.某三棱锥的三视图如图所示，则在该三棱锥表面的四个三角形中，等腰三角形的个数为 。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高三数学（理）（东城） 第 1 页（共 14 页）北京市东城区2018-2019学年度第二学期高三综合练习（二）2019.5数学 （理科）本试卷共4页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将答题卡交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合2{2,1,0,1,2},{20}A B x x x =--=--≤，则AB =R ð(A){2}- (B) {01}， (C) {2,1,2}-- (D) {1,0,1,2}- （2）执行如图所示的程序框图，输入2,5a b ==，那么输出的,a b 的值分别为（A ）7，3- （B ）3-，3- （C ）5，3- （D ）5， 2（3）已知向量a 与b 不共线，且AB m =+a b (1)m ≠，.AC n =+a b 若,,A B C 三点共线，则实数,m n 满足的条件为 (A)1m n +=(B) 1m n +=-(C) 1mn = (D)1mn =-（4）鲁班锁起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，相传由春 秋时代鲁国工匠鲁班所作. 右图是某个经典的六柱鲁班锁及其六个构件的图片，下图是其中一个构件的三视图（单位：mm ），则此构件的体积为（A ）334000mm （B ） 333000mm （C ） 332000mm （D ）330000mm高三数学（理）（东城） 第 2 页（共 14 页）（5）已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，则“n n S na >对2n ≥恒成立”是“34a a >”的 (A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件 (C) 充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件（6）教室的图书角摆放了一些阅读书目，其中有3本相同的论语、6本互不相同的近代文学名著，现从这9本书中选出3本，则不同的选法种数为(A) 84 (B) 42 (C) 41 (D)35（7）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，P 是底面ABCD 上的动点，1PA PC ≥，则满足条件的点P 构成的图形的面积等于(A) 12 (B) 4π (C) 44π- (D) 72（8）在交通工程学中，常作如下定义：交通流量Q （辆/小时）：单位时间内通过某一道路横断面的车辆数； 车流速度V （千米/小时）：单位时间内车流平均行驶的距离；车流密度K （辆/千米）：单位长度道路上某一瞬间所存在的车辆数. 一般的， V 和K 满足一个线性关系：00=(1)KV v k -（其中00,v k 是正数），则以下说法正确的是 (A) 随着车流密度的增大，车流速度在逐渐增大 (B) 随着车流密度的增大，交通流量在逐渐增大(C) 随着车流速度的增大，交通流量先减小、后增大 (D) 随着车流速度的增大，交通流量先增大、后减小第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
（ 9 ）已知复数1i2iz -=在复平面内对应的点为Z ，则Z 关于虚轴对称的点位于第 象限. （ 10 ）已知2log 6a =，5log 15b =，若3log a m b >>，m *∈N ，则满足条件的m 可以为_____.（ 11）椭圆22124:1x y C b+=与曲线2C 关于直线y x =-对称，1C 与2C 分别在第一、二、三、四象限交于点1234,,,.P P P P 若四边形1234PP P P 的面积为4，则点1P 的坐标为_______, 1C 的离心率为__ ．高三数学（理）（东城） 第 3 页（共 14 页）（ 12）将函数sin 22y x x =-的图象向左平移6π个单位长度，得到函数()y g x =的图象，则5()6g π= . （13）设关于,x y 的不等式组0,20,10x x y mx y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩表示的平面区域为钝角三角形及其内部，则m 的取值范围是 .（14）已知函数()f x ，，对于任意实数[,]x a b ∈，当0a x b ≤≤时，记0|()()|f x f x -的最大值为[,]0()a b D x .①若2()(1)f x x =-，则[0,3](2)D = ；②若22,0,()21,0,x x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨-->⎪⎩则[,2](1)a a D +-的取值范围是 .三、解答题共6小题，共80分。
解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（15）（本小题13分）如图，在四边形ABCD 中，2,AC CD AD ==2.3ADC π∠=（Ⅰ）求CAD ∠的正弦值；（Ⅱ）若2BAC CAD ∠=∠，且△ABC 的面积是△ACD 面积的4倍，求AB 的长.高三数学（理）（东城） 第 4 页（共 14 页）（16）（本小题13分）某工厂的机器上有一种易损元件A ，这种元件在使用过程中发生损坏时，需要送维修处维修.工厂规定当日损坏的元件A 在次日早上8：30之前送到维修处，并要求维修人员当日必须完成所有损坏元件A 的维修工作.每个工人从这20天中随机选取一天，随机变量X 表示在维修处该天元件A 的维修个数. （Ⅰ）求X 的分布列与数学期望；（Ⅱ）若,a b *∈N ，且6b a -=，求()P a X b ≤≤最大值；（Ⅲ）目前维修处有两名工人从事维修工作，为使每个维修工人每天维修元件A 的个数的数学期望不超过4个，至少需要增加几名维修工人？ （只需写出结论）高三数学（理）（东城） 第 5 页（共 14 页）如图，四边形ABCD 和三角形ADE 所在平面互相垂直，AB ∥CD ，AB BC ⊥，60DAB ∠=，4AB AD ==，AE DE ⊥，AE DE =，平面ABE 与平面CDE 交于EF ．（Ⅰ）求证：CDEF ；（Ⅱ）若EF CD =，求二面角--A BC F 余弦值； （Ⅲ）在线段BC 上是否存在点M 使得AMEM ⊥？若存在，求BM 的长；若不存在，说明理由．高三数学（理）（东城） 第 6 页（共 14 页）已知点()1,2P 到抛物线()2:20C y px p =>准线的距离为2.（Ⅰ）求C 的方程及焦点F 的坐标；（Ⅱ）设点P 关于原点O 的对称点为点Q ，过点Q 作不经过点O 的直线与C 交于两点,A B ，直线,PA PB 分别交x 轴于,M N 两点.求MF NF ⋅的值.高三数学（理）（东城） 第 7 页（共 14 页）已知函数()sin f x x x =+．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(,())22f ππ处的切线方程；（Ⅱ）若不等式()cos f x ax x ≥在区间π[0,]2上恒成立，求实数a 的取值范围．高三数学（理）（东城） 第 8 页（共 14 页）若n 行n 列的数表111212122212n n n n nn a a a a a a a a a ⎛⎫⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭L L M M M L(2)n ≥满足：{}01ija ∈，(12)i j n =L ，，，，，1n ik k a m ==∑(12,0)i n m n =<<，，，L ，10(,1,2,,,)nikjk k aa i j n i j =->=≠∑L ，记这样的一个数表为()n A m .对于()n A m 记集合1(,),,.ni j i ji k j kk T n m a a i j n i j σσ*=⎧⎫==≤<≤∈⎨⎬⎩⎭∑N ，1(,)T n m 表示集合(,)T n m 中元素的个数. （Ⅰ）已知3110(2)011,101A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭写出(13,)ij i j i j σ*≤<≤∈N ，的值；（Ⅱ）是否存在数表4(2)A 满足(42)1T =，？若存在，求出4(2)A ，若不存在，说明理由；（Ⅲ）对于数表()(0,)n A m m n m *<<∈N ，求证：(,)2nT n m ≤.高三数学（理）（东城） 第 9 页（共 14 页）北京市东城区2018-2019学年度第二学期高三综合练习（二）2019.5数学（理科）参考答案及评分标准一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）（1）A （2）D （3）C （4）C （5）C （6）B （7）A （8）D 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）（9）四 （10）9（答案不唯一）（11）()1,1 （12）（13）()12,0(,)2-+∞ （14）3[1,4]三、解答题（共6小题，共80分） （15）（共13分）解：（Ⅰ）在△ACD 中，设(0)AD x x =>，由余弦定理得2227=422cos 3x x x x +-⨯⋅π， 整理得277x =，解得1x =.所以1, 2.AD CD ==由正弦定理得2sin sin 3DC ACDAC=∠π，解得sin 7DAC ∠= ............................6分（Ⅱ）由已知得4ABC ACD S S ∆∆=，所以11sin 4sin 22AB AC BAC AD AC CAD⋅⋅∠=⨯⋅⋅∠，化简得sin 4sin .AB BAC AD CAD ⋅∠=⋅∠所以2sin cos 4sin ,AB CAD CAD AD CAD ⋅∠⋅∠=⋅∠高三数学（理）（东城） 第 10 页（共 14 页）于是cos 2.AB CAD AD ⋅∠=因为sin 7CAD ∠=，且CAD ∠为锐角，所以cos CAD ∠==.因此AB = ...............13分 （16）（共13分）解：（Ⅰ）由题意可知， X 的所有可能取值为 9,12,15,18,24，且3(9)20P X ==；5(12)20P X ==；7(15)20P X ==； 2(18)20P X ==；3(24)20P X ==.故X 的数学期望35723()9+12+15+18+24=152020202020E X =⨯⨯⨯⨯⨯.............................5分 （Ⅱ）当()P a X b ≤≤取到最大值时，,a b 的只可能为：9,15,a b =⎧⎨=⎩或12,18,a b =⎧⎨=⎩或18,24.a b =⎧⎨=⎩经计算15(915)20P X ≤≤=，14(1218)20P X ≤≤=，5(1824)20P X ≤≤=， 所以()P a X b ≤≤的最大值为153=204. ............................10分（Ⅲ）至少增加2人 ............................13分（17）（共14分） 解：（Ⅰ）在四边形ABCD 中，AB ∥CD ． 因为AB ⊂平面ABE ，CD ⊄平面ABE ， 所以CD ∥平面ABE ．因为CD ⊂平面CDE ，且平面ABE平面CDE EF =，所以CD ∥EF ． ............................4分高三数学（理）（东城） 第 11 页（共 14 页）（Ⅱ）如图，取AD 的中点N ，连接BN ，EN .在等腰△ADE 中，.EN AN ⊥因为平面ADE ⊥平面ABCD ，交线为AD ， 又EN AD ⊥，所以EN ⊥平面ABCD . 所以.EN BN ⊥ 由题意易得.AN BN ⊥如图建立空间直角坐标系N xyz -，则(0,0,0),N (2,0,0)A，(0,B，(C -， (2,0,0)D -，(0,0,2)E ．因为EF CD =，所以(2)F -.设平面B C F 的法向量为(,,x y z=，n (1,3,2)(3,3,0),B F BC =--=- 则0,0,BFBC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即20,30.x z x ⎧-+=⎪⎨--=⎪⎩令y =1,1x z =-=．于是(=-n ．又平面ABCD 的法向量为(0,0,2)NE =， 所以5cos ,NE NE NE⋅〈〉==n nn 由题知二面角--A BC F 为锐角， 所以二面角--A BC F ............................9分 （Ⅲ）不存在满足条件的点M ，使AM EM ⊥，理由如下：若AM EM ⊥，则0EM AM ⋅=．因为点M 为线段BC上的动点，设(01),CM tCBt =≤≤，(,,0)M u v ．则(3,u v t +=，解得(3M t -．所以(32)EM t =--，(3,0)AM t =-． 所以(3,2)(35,EM AM t t ⋅=--⋅-．整理得22330t t -+=，此方程无实根．高三数学（理）（东城） 第 12 页（共 14 页）所以线段BC 上不存在点M ，使AM EM ⊥. ............................14分（18）（共13分） 解：（Ⅰ）由已知得122p+=，所以 2.p = 所以抛物线C的方程为24y x =，焦点F的坐标为()1,0. ............................4分（II ）设点11(,)A x y ,22(,)B x y ，由已知得(1,2)Q --，由题意直线AB 斜率存在且不为0.设直线AB 的方程为()12(0)y k x k =+-≠ .由()2412y x y k x ⎧=⎪⎨=+-⎪⎩，得24480ky y k -+-=， 则121248,4y y y y k k+==-. 因为点,A B 在抛物线C 上，所以2114y x =，2224y x =，1121112241214PA y y k x y y --===-+-，22224.12PB y k x y -==-+ 因为PF ⊥x 轴， 所以()()122244PAPBPA PB y y PF PF MF NF k k k k ++⋅=⋅==⋅ ()1212244y y y y +++=884424k k -++==.所以MF NF ⋅的值为2. ............................13分（19）（共14分）解： （Ⅰ）因为()sin f x x x =+，所以()1cos f x x '=+，()12f π'=，()122f ππ=+，高三数学（理）（东城） 第 13 页（共 14 页）所以曲线()y f x =在点(,())22f ππ处的切线方程为 1.y x =+ ............................5分 （Ⅱ）因为[0,]2x π∈，所以sin 0x ≥，cos 0x ≥，当0a ≤时，()sin 0f x x x =+≥恒成立，cos 0ax x ≤恒成立， 所以不等式()cos f x ax x ≥在区间[0,]2π上恒成立.当0a >时，设()()cos sin cos g x f x ax x x x ax x =-=+-，()1cos cos sin 1(1)cos sin g x x a x ax x a x ax x '=+-+=+-+，若01a <≤，(1)cos 0a x -≥，sin 0ax x ≥， 所以()0g x '>在区间[0,]2π上恒成立；若12a <≤，110a -≤-<，1(1)cos 0a x +-≥，sin 0ax x ≥， 所以()0g x '>在区间[0,]2π上恒成立；所以()g x 在区间[0,]2π上单调递增，min ()(0)0,g x g ==所以当2a ≤时，不等式()cos f x ax x ≥在区间[0,]2π上恒成立；当2a >时，令()()1(1)cos sin h x g x a x ax x '==+-+，()(21)sin cos h x a x ax x '=-+，()0h x '>在区间[0,]2π上恒成立，所以()g x '在区间[0,]2π上单调递增，min ()(0)20g x g a ''==-<，max ()()1022a g x g ππ''==+>，所以存在0[0,]2x π∈，使得0()0g x '=.当00x x <<时，()0g x '<，()g x 单调递减； 当02x x π<<时，()0g x '>，()g x 单调递增； 当0x x =时，()0g x '=，()g x 取得极小值；而(0)0g =，所以0()0g x <，所以不等式()0g x ≥在区间[0,]2π上不能恒成立，所以不等式()cos f x ax x ≥在区间[0,]2π上恒成立时实数a 的取值范围是(,2].-∞..............14分（20）（共13分）解：（Ⅰ） 1213231σσσ===. ............................3分高三数学（理）（东城） 第 14 页（共 14 页）（Ⅱ）不存在数表4(2)A ，使得(4,2)1T =.理由如下：假设存在4(2)A ，使得(4,2)1T =.不妨设21222324431323334414243441100(2)aa a a A a a a a a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭， ij σ的可能值为01，. 当=0(14)ij i j σ≤<≤时，经验证这样的4(2)A 不存在.当=1(14)ij i j σ≤<≤时，有212231324142=1=1=1a a a a a a +⎧⎪+⎨⎪+⎩，这说明此方程组至少有两个方程的解相同，不妨设2324433344344110001(2)0110a a A a a a a ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，所以有232433344344=1=1=1a a a a a a +⎧⎪+⎨⎪+⎩， 这也说明此方程组至少有两个方程的解相同，这样的4(2)A 只能为1100010101011010⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭或1100010101101001⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎝⎭，这两种情况都与(4,2)1T =矛盾. ..............8分（Ⅲ） 在数表()n A m 中，将ij σ换成1ij σ-，这将形成()n A n m -，由于1122ij i j i j in jn a a a a a a σ=+++L ，可得1122(1)(1)(1)(1)(1)(1)i j i j in jn a a a a a a --+--++--L ,ij n m m σ=--+从而()(-)T n m T n n m =，，.当2nm ≤时，由于10(0N )nit jt t a a i j n i j *=->≤<≤∈∑，，，所以任两行相同位置的1的个数12n≤-. 又由于0ij σ≥，而从1到12n -的整数个数2n ≤，从而().2n T n m ≤， 0(,).2nm n T n m <<≤从而当时都有，..............13分。