数学建模 刹车距离与车速

刹车距离与车速的关系

摘要

汽车司机在行驶中发现前方出现突发事件会紧急刹车，从司机决定刹车到完全停止这段时间内汽车行驶的距离称为刹车距离。刹车距离由反应距离和制动距离两部分组成。车速越快，刹车距离越长。在反应时间内，车做匀速运动，对反应距离与车速进行分析，确立其比例关系。对于制动距离，刹车时使用最大制动力做的功等于汽车动能的改变，根据动能定理，可以分析出制动距离与初速度之间的关系。而反应距离与制动距离之和为刹车距离，这样就初步建立了刹车距离与车速之间的数学模型，进一步运用matlab进行系数求解和曲线模拟。

一、问题的重述

汽车司机在行驶中发现前方出现突发事件会紧急刹车，从司机决定刹车到完全停止这段时间内汽车行驶的距离称为刹车距离。刹车距离由反应距离和制动距离两部分组成，前者指从司机决定刹车到制动器开始起作用这段时间内汽车所行驶的距离，反应距离由反映时间和车速决定（对固定汽车和同一类型司机，反应时间可视为常数）。

二、模型的基本假设

（1）刹车时使用最大制动力F基本不变。

（2）F做的功等于汽车动能的改变。

（3）F与车的质量m成正比。

（4）汽车牌子固定，在不变的道路、气候等条件下，由同一司

机驾驶。

（5）人的反应时间为一个常数。

（6）在反应时间内车速不变。

（7）汽车的刹车距离等于反应距离和制动距离之和。

（8）反映距离与车速成正比，比例系数为反应时间。

三、符号说明

F：刹车最大制动力；

m:车的质量；

S1：反应距离;

t：反应时间；

S2：制动距离;

S：刹车距离;

v：汽车的初速度;

k1：反应距离与初速度的比例系数;

k2：制动距离与初速度的比例系数。

四、问题的分析

在反应时间内，车做匀速运动，对反应距离与初速度成正比关系。对于制动距离，由于刹车时使用最大制动力做的功等于汽车动能的改变，根据动能定理，可以分析出制动距离为初速度的二次函数。而反应距离与制动距离之和为刹车距离，由于反应距离与初速度成正比关系, 制动距离为初速度的二次函数，这样就初步确定刹车距离是初速度的二次函数。

五、模型的建立与求解

F 做的功等于汽车动能的改变，并且F 在制动过程中基本不变，

由动能定理FS 2=2

1mv 2

,求得制动距离S 2=F mv 22,为便于matlab 模拟曲

线，令

F

m

2=k 2，S 2= k 2 v 2，由于反应时间内车速不变，反应距离S 1= vt ，反应时间t 为一常数，为便于matlab 模拟曲线，令t=k 1，即S 1= k 1v 。刹车距离等于反应距离和制动距离之和，S= S 1+ S 2= k 2 v 2+ k 1v

表1 车速和刹车距离的一组数据

变车速单位km/h 为m/h ，因刹车距离S 为车速v 的二次函数，运用matlab 编程进行如下曲线拟合：

>> v=20/3.6:20/3.6:140/3.6;

S=[6.5,17.8,33.6,57.1,83.4,118.0,153.5]; f=polyfit(v,S,2) f =

0.0851 0.6617 -0.1000 >>

绘制图形程序如下：

>> v=20/3.6:0.1:140/3.6;

S=0.0851*v.^2+0.6617*v-0.1000;

plot(v,S)

xlabel('车速m/s');

ylabel('刹车距离/m');

title('车速与刹车距离关系图');

六、模型的检验

上述求出的回归模型以后，还需对线性回归方程同实际数据拟合效果进行检验，因此，输入以下程序：

检验程序

七、附录

表1 车速和刹车距离的一组数据

系数求解程序：

>> v=20/3.6:20/3.6:140/3.6;

S=[6.5,17.8,33.6,57.1,83.4,118.0,153.5]; f=polyfit(v,S,2)

f =

0.0851 0.6617 -0.1000

>>

绘制图形程序：

>> v=20/3.6:0.1:140/3.6;

S=0.0851*v.^2+0.6617*v-0.1000;

plot(v,S)

xlabel('车速m/s');

ylabel('刹车距离/m');

title('车速与刹车距离关系图');