顺序统计量X(1)和X(n)的相关结构
2-5顺序统计量
X p
0 1/3
1 1/3
2 1/3
现抽取容量为 3 的样本, 共有 27 种可能取值, 列表如下
x1 0 0 0 1 0 0 2 0 1 x2 x3 x(1) x(2) x(3) x1 x2 x3 x(1) x(2) x(3) x1 x2 x3 x(1) x(2) x(3) 0 0 1 0 0 2 0 1 0 0 1 0 0 2 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 1 2 2 2 1 1 1 0 0 1 2 1 2 0 2 1 1 2 0 0 2 1 2 0 0 2 1 2 1 0 0 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 0 2 1 1 2 2 1 1 2 0 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 1 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2
例 设总体 X 分布为 U(0,1), X1 , X2……, Xn 是取自总
体的样本，
(1) 试写出 (X(1) , X(n)) 的联合密度函数.
(2) 次序统计量的函数 X(n) - X(1) 称为样本极差, 求其
密度函数.
思考题
设总体X的分布函数为F ( x)，X 1 ,..., X n为简单随机样本， 考虑（不需严格证明）
计量 (X(i) , X( j)) ( i < j ) 的联合密度函数为
n! i 1 j i 1 n-j F ( y) F ( z) F ( y) (1 F (z ) p( y ) p (z ), a y z b pij ( y, z ) (i 1)!( j i 1)!(n j )! 0 其它
统计学（第六版）期末考试考点梳理
统计学（第六版）期末考试考点梳理统计学（第六版）期末考试考点梳理第⼀章导论1.1.1 什么是统计学统计学是收集、处理、分析、解释数据并从数据中得出结论的科学。
数据分析所⽤的⽅法分为描述统计⽅法和推断统计⽅法。
1.2 统计数据的类型1.2.1 分类数据、顺序数据、数值型数据按照所采⽤的计算尺度不同，可以将统计数据分为分类数据、顺序数据、数值型数据。
分类数据：只能归于某⼀类别的⾮数字型数据，它是对事物进⾏分类的结果，数据表现为类别，是⽤⽂字来表⽰。
例如：⽀付⽅式、性别、企业类型等。
顺序数据：只能归于某⼀有序类别的⾮数字型数据。
例如：员⼯对改⾰措施的态度、产品等级、受教育程度等。
数值型数据：按数字尺度测量的观测值，其结果表现为具体的数值。
例如：年龄、⼯资、产量等。
统计数据⼤体上可分为品质数据（定性数据）和数量数据（定量数据、数值型数据）。
1.2.2 观测数据和实验数据按照统计数据的收集⽅法，可以分为观测数据和实验数据。
观测数据：通过调查或观测⽽收集的数据。
例如：降⾬量、GDP、家庭收⼊等。
实验数据：在实验中控制实验对象⽽收集到的数据。
例如：医药实验数据、化学实验数据等。
1.2.3 截⾯数据和时间序列数据按照被描述的现象与时间的关系，可分类截⾯数据和时间序列数据。
截⾯数据：在相同或近似相同的时间点上收集的数据。
例如：2012年我国各省市的GDP。
时间序列数据：同⼀现象在不同的时间收集的数据。
例如：2000-2012年湖北省的GDP。
1.3.1 总体和样本总体：包含所研究的全部个体（数据）的集合。
样本：从总体中抽取的⼀部分元素的集合。
1.3.2 参数和统计量参数：⽤来描述总体特征的概括性数字度量。
统计量：⽤类描述样本特征的概括性数字度量。
例如：某研究机构准备从某乡镇5万个家庭中抽取1000个家庭⽤于推断该乡镇所有农村居民家庭的年⼈均纯收⼊。
这项研究的总体是5万个家庭；样本是1000个家庭；参数是5万个家庭的⼈均纯收⼊；统计量是1000个家庭的⼈均纯收⼊。
统计学课后思考
1.1什么是统计学统计学是关于数据的一门学科，它收集，处理，分析，解释来自各个领域的数据并从中得出结论。
1.2解释描述统计和推断统计描述统计；它研究的是数据收集，处理，汇总，图表描述，概括与分析等统计方法。
推断统计；它是研究如何利用样本数据来推断总体特征的统计方法。
1.3统计学的类型和不同类型的特点统计数据；按所采用的计量尺度不同分；（定性数据）分类数据：只能归于某一类别的非数字型数据，它是对事物进行分类的结果，数据表现为类别，用文字来表述；（定性数据）顺序数据：只能归于某一有序类别的非数字型数据。
它也是有类别的，但这些类别是有序的。
（定量数据）数值型数据：按数字尺度测量的观察值，其结果表现为具体的数值。
统计数据；按统计数据都收集方法分；观测数据：是通过调查或观测而收集到的数据，这类数据是在没有对事物人为控制的条件下得到的。
实验数据：在实验中控制实验对象而收集到的数据。
统计数据；按被描述的现象与实践的关系分；截面数据：在相同或相似的时间点收集到的数据，也叫静态数据。
时间序列数据：按时间顺序收集到的，用于描述现象随时间变化的情况，也叫动态数据。
1.4解释分类数据，顺序数据和数值型数据答案同1.31.5举例说明总体，样本，参数，统计量，变量这几个概念对一千灯泡进行寿命测试，那么这千个灯泡就是总体，从中抽取一百个进行检测，这一百个灯泡的集合就是样本，这一千个灯泡的寿命的平均值和标准差还有合格率等描述特征的数值就是参数，这一百个灯泡的寿命的平均值和标准差还有合格率等描述特征的数值就是统计量，变量就是说明现象某种特征的概念，比如说灯泡的寿命。
1.6变量的分类变量可以分为分类变量，顺序变量，数值型变量。
变量也可以分为随机变量和非随机变量。
经验变量和理论变量。
1.7举例说明离散型变量和连续性变量离散型变量，只能取有限个值，取值以整数位断开，比如“企业数”连续型变量，取之连续不断，不能一一列举，比如“温度”。
2.1什么是二手资料？使用二手资料应注意什么问题与研究内容有关，由别人调查和试验而来已经存在，并会被我们利用的资料为“二手资料”。
1.3 顺序统计量
PX (1) u, X ( n ) v Pu X 1 v,, u X n v Pu X 1 v Pu X n v [ F ( v ) F ( u)]n , 若u v， 0 , 若u v ； F ( u, v ) PX (1 ) u, X ( n ) v PX ( n ) v PX (1 ) u, X ( n ) v [ F (v )]n [ F (v ) F ( u )]n , 若u v， n ， 若 u v． [ F (v )]
1.3 顺序统计量
§1.3
顺序统计量、经验分布函数和直方图
一、顺序统计量 另一类常见的统计量是顺序统计量. 定义 1 设 X 1 , X 2 ,, X n 是取自总体 X 的样本, X ( i ) 称为 该样本的第 i 个顺序统计量，它的取值是将样本观测值由小 到大排列后得到的第 i 个观测值。x(1) x( 2 ) x( n ) ，X ( i ) 的值是 x ( i ) 。其中 X (1) minX 1 , X 2 ,, X n 称为该样本的最小顺 序统计量，称 X ( n ) maxX 1 , X 2 ,, X n 为该样本的最大顺序统 计量。 我们知道， 在一个样本中， X 1 , X 2 ,, X n 是独立同分布的， 而次序统计量 X (1) , X ( 2) ,, X ( n) 则既不独立，分布也不相同， 看下例。
假设总体 X 在区间[0,2]上服从均匀分布； Fn ( x )
是总体 X 的经验分布函数， 基于来自 X 的容量为 n 的简单随 机样本，求 Fn ( x ) 的概率分布，数学期望和方差． 解 总体 X 的分布函数为
§2-3 顺序统计量,经验分布函数
一．顺序统计量及其分布
例题 1
设总体 X 在 ( 0, ) 上服从均匀分 布，求容量为 2 的样本 ( X1, X2) 的顺序 统计量X (1),X (2) 的联合概率密度，并且
讨论X (1) , X (2) 是否相互独立．
1 f ( x) θ 0
0 xθ 其它
f1, 2 ( x1 , x2 ) 2! f ( x1 ) f ( x2 )
从而是统计量（随机变量）。 （3）当样本容量 n 足够大时，总体的经验分布 函数是它的理论分布函数很好的近似。
样本点：20
样本点：40
样本点：150
三、直方图
三． 直方图
概率密度函数的 估计问题
设 ( x1, x2, …, xn ) 是来自连续型总体
X ~f ( x )的一个样本观测值，试估计未知
§2-3 顺序统计量 经验分布函数
一、顺序统计量及其分布 二、经验分布函数及其性质
三、直方图
一、顺序统计量及其分布
一．顺序统计量及其分布
顺序统计量的定义
设 ( X1, X2, …, Xn ) 是抽自总体 X ～F ( x) 的样本， 将它们按从小到大的次序排列为 X (1)≤X (2) ≤ … ≤X (n) ， 则称X (1), X (2) , … ,X (n) 为由样本X1, X2, …, Xn 生成的顺序 统计量， X (k),称为第 k 个顺序统计量． 最大顺序统计量 最小顺序统计量 X (n) = max {X1, X2, …, Xn} X (1) = min {X1, X2, …, Xn}
三． 直方图
概率密度函数 的 估计问题
步骤 1 设 ( x1, x2, …, xn ) 是来自连续型总体 X ~f ( x )的一个样本观测值 ，试估计未知的 概率密度函数 f ( x ) 。
秩统计量
1 Ri = ∑ I ( X j ≤ X i ) ， I ( X j ≤ X i ) = j ≠i 0 Ri 是不超过 X i 的 X j 的计数，记
n
X j ≤ Xi X j > Xi
R = ( R1 , R2 ,L, Rn )
称为秩统计量。 6 有结数据的秩 设 X 1 , X 2 ,L X n 是来自总体 X 的样本， 样本中相同 的数据称为结，一个结的数据重复的次数称为结长， 结的秩为排列后位置序号按结长的平均。例如 样本观测值为： 2 排序后： 1 1 1 1 2 2 2 4 2 2 4
为线性秩统计量。an (g) 为记分函数。 cn (i) 为回归常数，
i = 1,L, n 。
3
3 顺序统计量分布函数
n为奇数 n为偶数
设总体的分布函数 F ( x ) ， 则第 r 个顺序统计量 X ( r ) 的分布函数为
Fr ( x) = P ( X ( r ) ≤ x) = P (至少r个X i小于或等于x)
= ∑ P( X 1 , X 2 ,L, X n中恰好有j个小于x)
j =r
n i i = ∑ Cn F ( x) [1 − F ( x) ] i =r n −i
时， S n+ 记为 S + ，是符号统计量。 8 线性秩统计量： 设 X 1 , X 2 ,L X n 为样本， Ri 为 X 1 , X 2 ,L X n 中的秩。 定义 an (g) 和 cn (g) 为在1,2,L, n 上的函数，称
n
S n = ∑ cn (i )an ( Ri )
i =1
7 线性符号秩统计量
+ (g) 设 Ri+ 为 | X i | 在 X 1 , X 2 ,L, X n 中的秩，定义 an
顺序统计量
X1 min X1, X 2 ,, X n ：最小顺序统计量， X(n) max X1, X2 ,, Xn ：最大顺序统计量
**********************************************************
而计算 X k 的密度函数）
设 X k 的分布函数为 Fk x ，计算 X k 落于 x, x的概率
P Xk x, x x Fk x x Fk x
2
k
n!
1 ! n
k
!
F
x k 1
F
1000 0 0 0 1100 0 0 1 1200 0 0 2
64
32
64
1001 0 0 1 1101 0 1 1 1201 0 1 2
32
16
32
1002 0 0 2 1102 0 1 2 1202 0 2 2
64
32
64
1010 0 0 1 1110 0 1 1 1 210 0 1 2
32
16
第十周 独立随机变量和的分布与顺序统计量
10.4 顺序统计量
顺（次）序统计量
X1, X2,, Xn 独 立 同 分 布 ， 分 布 函 数 F x ， 将 这 n 个 随 机 变 量 做 升 序 排 列
X1 X2 Xn ， X1 , X2 ,, Xn 称为顺（次）序统计量(ordered statistics)。
序排列 X 1 X 2 X n ，求 X k 的分布。
1
（分析：考虑 X k 在 x 点附近的分布规律，x 非
上海工程技术大学数理统计复习题(2016.12)
c
s n
t1 (n 1)
200 12
1.796
103.686
拒绝域为
K0 {X 200 c 103.686}
由于 X 2000 9 c ，所以接受 H0 ，拒绝 H1 ，即认为该制造商的 产品与他所说的标准不相符合。
例题 5 某商场为了比较来自两个不同厂家的同一类商品的销量 有无显著差异，随机抽取了商场 9 周的该商品销量数据如下：
F (x))n1
f
(x)
n(
1/ 0,
2
x) n1 ,
x [ 1/ 2, 1/ 2] 其他
f(n)
(x)
n(F
( x)) n1
f
(x)
n(1/
2
x 0,
)n1 ,
x [ 1/ 2, 1/ 2] 其他
二、参数的点估计-极大似然估计法
例题 2 设总体 X ~ N[, 2 ]，其中 R, 0 是未知参数，X1, X 2 ,X n 为
SB rt ( X j X )2 98.0 ， j1
-----列间离差平方和
rs
SAB t
( X ij X j X i X )2 50.0 ， ----行列交互离差平方和
i1 j1
SE ST SA SB SAB 184.0 ，
从 X 中随机抽取的一个样本，x1, x2 ,, xn 是样本的一个观察值，求 参数 , 2 及 2 2 的极大似然估计。
解 总体 X 的密度函数为
f (x, , 2 )
1 2 Βιβλιοθήκη exp (x )2 2 2
顺序统计量公式证明
顺序统计量公式证明顺序统计量是统计学中非常重要的概念之一，它描述了一组数据中第k个最小值或第k个最大值的概念。
在实际应用中，顺序统计量常常被用于数据分析、质量控制、风险管理等领域。
为了证明顺序统计量的公式，我们需要先了解几个基本的数学概念和定理。
首先，我们需要了解什么是数学期望。
数学期望定义为随机变量取值的概率加权和。
在概率论中，数学期望是一个非常重要的概念，它描述了随机变量的平均水平。
其次，我们需要了解方差的概念。
方差是随机变量取值与数学期望的离散程度，即随机变量取值分布的散布程度。
方差越大，随机变量的取值分布越分散；方差越小，随机变量的取值分布越集中。
最后，我们需要了解协方差的概念。
协方差是两个随机变量取值之间的相关程度的度量。
如果两个随机变量取值之间的协方差为正，则它们之间存在正相关关系；如果协方差为负，则它们之间存在负相关关系；如果协方差为零，则它们之间没有相关关系。
在了解了上述数学概念之后，我们可以开始证明顺序统计量的公式了。
首先，我们考虑证明第k个最小值的期望公式。
我们可以将一组n个数据按照从小到大的顺序排列，那么第k个最小值的期望可以表示为：E[X(k)]。
根据数学期望的定义，我们可以得到：E[X(k)] = (x1+x2+…+xn-k+1)p(x1+x2+…+xn-k+1)+(x2+x3+…+xn-k+2)p(x2+x3+…+xn-k+2)+…+(xk)p(xk) （1）根据概率的定义，上述公式（1）可以化简为：E[X(k)] = (x1+x2+…+xn-k+1)P(X≤x1+x2+…+xn-k+1)+(x2+x3+…+xn-k+2)P(X≤x2+x3+…+xn-k+2)+…+(xk)P(X ≤xk) （2）其中，P(X≤xi)表示随机变量X小于等于xi的概率。
根据顺序统计量的定义，我们可以得到：E[X(k)] = (x1+x2+…+xn-k+1)P(X≤x1)+(x2+x3+…+xn-k+2)P(X≤x2)+…+(xk)P(X≤xk) （3）由于随机变量X的概率分布是离散的，因此P(X≤xi)对于所有的i都是相等的，等于1/n。
顺序统计量
−1 ! − !
−1
1−
−
()
证明： 对任意的实数 x ，考虑次序统计量 x(k) 取值
落在小区间 (x , x + x ] 内这一事件，它等价于
“样本容量为 n 的样本中有 1 个观测值落在区间
(x , x + x ] 之间，而有 k-1 个观测值小于等于 x ，
100
•T1 X i 是不合格品率p的充分统计量
i 1
1 n
( X i )2
•来自正态总体的样本，若总体期望已知，
n i 1
1 n
是总体方差的充分统计量，若总体方差已知，n X i
i 1
•是总体期望的充分统计量。
3、分位数
设(1) ≤ (1) ≤ ⋯ ≤ () 为取自总体 X 的
次序统计量，称 Mp为p分位数。
+1 ,
= ൞1
+
2
若不是整数
+1
,
若是整数
4、四分位数：
① 排序后处于25%和75%位置上的值
25%
25%
QL
25%
QM
② 不受极端值的影响
③ 计算公式
布，
X
0
1
2
设总体 X 的分布如下:
p
1/3 1/3 1/3
现抽取容量为 3 的样本, 共有 27 种可能取值, 列表如下
x1
x2 x3 x(1) x(2) x(3) x1 x2 x3 x(1) x(2) x(3) x1 x2 x3 x(1) x(2) x(3)
0
0
0
0
0
0
1
1
0
数理统计的基本概念
另一类是研究如何分析所获得的随机数据，对所研究 的问题进行科学的、合理的估计和推断，尽可能地为 采取一定的决策提供依据，作出精确而可靠的结论. 这部分的内容称为推断统计学，如：参数估计、假设 检验等。
我们主要讨论有关推断统计学中几个最基本的 问题。
在数理统计中总体X的分布永远是未知的，即使 有足够的理由可以认为总体X服从某种类型的分布， 但这个分布的参数还是未知的。
例如本市家庭的月收入X是个随机变量，X服从什么
分布事先是不清楚的，根据资料可确信 X ~ N , 2 .
但 , 2 究竟取什么值还是未知的，
由于总体X的分布是未知的，因此X的数字特征如 均值、方差等往往也是一个未知的值。对于这些未知
不过在统计研究中，人们关心总体仅仅是关心
其每个个体的一项(或几项)数量指标和该数量指标在总体中的分布
情况. 这时，每个个体具有的数量指标的全体就是总体.
称总体中所含个体的数目为总体容量, 总体容量有限的称为有 限总体, 总体容量无限的称为无限总体.
当个体个数很大时通常把有限总体看作无限总体。
从另一方面看： 统计的任务,是根据从总体中抽取的样本, 去推断总体的性质. 由于我们关心的是总体中的个体的某项指标(如人的身高、体重， 灯泡的寿命,汽车的耗油量…)， 所谓总体的性质，无非就是这 些指标值集体的性质. 概率分布是刻划这种集体性质最适当的工具. 因此在理论上可 以把总体与概率分布等同起来. 如研究某批灯泡的寿命时, 关心的数量指标就是寿命, 那么, 此 总体就可用描述其寿命的随机变量 X 或用其分布函数 F(x)表示.
一个统计量.
ex1.设 X1, X 2, X3 是取自正态总体 X ~( , 2) 的一个样本,
全体顺序统计量的联合概率密度函数
全体顺序统计量的联合概率密度函数全体顺序统计量是概率论和统计学中一个重要的概念，它在研究多个随机变量的顺序特性时发挥着关键的作用。
本文将深入探讨全体顺序统计量的联合概率密度函数，旨在帮助读者更深入地理解该概念。
1. 什么是全体顺序统计量？全体顺序统计量是指从一组随机变量中按照顺序选择k个变量，并记为X(1), X(2), ..., X(k)，其中X(1)为最小值，X(k)为最大值。
全体顺序统计量可以用来描述一组变量的顺序特性，如最小值、最大值等。
2. 联合概率密度函数的定义全体顺序统计量的联合概率密度函数描述了多个随机变量按照顺序排列时的概率密度分布。
设X(1), X(2), ..., X(k)是一组随机变量的全体顺序统计量，则联合概率密度函数可以表示为：f(x(1), x(2), ..., x(k)) = n! / ((k-1)!(n-k)!) * [F(x(1))]^(k-1) * [1 -F(x(k))]^(n-k) * f(x(1)) * f(x(2)) * ... * f(x(k))其中，n为随机变量的个数，f(x)为随机变量X的概率密度函数，F(x)为随机变量X的累积分布函数。
3. 解读联合概率密度函数联合概率密度函数中的第一项n! / ((k-1)!(n-k)!)表示了选择k个变量的排列方式数目。
接下来的两项 [F(x(1))]^(k-1) 和 [1 - F(x(k))]^(n-k) 表示了选择的k个变量在对应位置上的概率。
最后一项 f(x(1)) * f(x(2)) * ... * f(x(k)) 表示了每个变量自身的概率密度。
通过联合概率密度函数，我们可以计算在给定条件下全体顺序统计量的概率分布。
这对于理解随机变量的排列顺序以及建立推断统计模型等问题具有重要意义。
4. 观点和理解全体顺序统计量的联合概率密度函数是概率论和统计学中一个重要的研究工具。
它可以帮助研究人员描述和分析多个随机变量的顺序特性，并为统计推断提供理论基础。
定理25极差的分布
i 1
统计量 （而称 S 2 统计量 统计量
Sn 2
1 i 叫样本方差 n i 1
2
n
2
1 n i n 1 i 1
叫修正的样本方差）；
1 n Ar (i ) r ，（r =1，2，…）叫样本的r阶原点矩； n i 1 1 n Br (i ) r ，（r =1，2，…）叫作样本的r阶中心矩。 n i 1
2
0.1.2大数定律 定义：若 1, 2 ,..., n ,...随机变量序列，如果存在常 数列 a1, a2 ,..., an ,... 使得对任意的 0 有
1 n lim P i an 1 n n i 1
成立，则称随机变量序列n 服从大数定律. 定理1（贝努里大数定律）设 n 是n重贝努里试验 中事件A出现的次数，又A在每次试验中出现的 概率为p（0<p<1），则对任意的 0 ，有：
0.预备知识
0.1 大数定律与中心极限定理
阐明大量随机现象平均结果的稳定性的一系列定理统 称大数定律，而研究独立随机变量的和的极限分布在 什么条件下为正态分布的一类定理叫中心极限定理。
0.1.1车贝雪夫不等式 设随机变量 有期望 E 和方差 D ，则对任意 0，有
P E D
20
P U 105
k 1
k
Uk , k 1, 2,..., 20
§1基本概念 1.1总体与样本
总体：研究对象的全体，记为X或 ，是指一个随机变量。 个体：组成总体的每个单元。 样本：就是n个相互独立且与总体有相同概率分布的随机变量 i ， i=1，2，…，n，所组成的n维随机变量 1, 2 ,..., n 样本值：每一次具体的抽样所得的数据就是 n 个随机变量的值 （样本值）用小写字母 x1 , x2 ,.., xn 表示。 注：样本具有双重性，即它本身是随机变量，但一经抽取便是一 组确定的具体值。 定义：若随机变量 1 , 2 ,, n 相互独立且每个 i，i=1，2，…，n， 与总体 有相同的概率分布，则称随机变量 1 , 2 ,, n 为来自 总体 的容量为n的简单随机样本，称 i ，i=1，2，…，n为样 本的第i个分量。若 有分布密度 f x （或分布函数 F x ）则 f x ）的样本. 称1, 2 ,..., n 是来自总体 F x（或
顺序统计量的分布
顺序统计量的特点
顺序性
顺序统计量按照数据的大小顺序排列，具有明确的顺 序关系。
唯一性
对于一组数据，其顺序统计量是唯一的，不会因数据 排列顺序的改变而改变。
简单易得
顺序统计量计算简单，容易获取，不需要复杂的数学 模型和计算过程。
顺序统计量的应用场景
独立样本假设检验
顺序统计量可以用于独立样本假设检验中， 通过比较两组独立样本的差异，判断两组样 本是否来自同一总体。
在决策分析中的应用
风险决策分析
顺序统计量可以用于风险决策分析中，通过比较不同方案的风险 和收益，选择最优方案。
贝叶斯决策分析
顺序统计量可以用于贝叶斯决策分析中，通过比较不同方案的期 望收益和风险，选择最优方案。
3
应用场景
顺序统计量分布广泛应用于统计学、数据分析、 风险管理和可靠性工程等领域，用于描述和分析 数据的概率分布特征。
03
CHAPTER
常见顺序统计量的分布
正态分布下的顺序统计量
总结词
正态分布下的顺序统计量呈现钟形曲 线，其概率密度函数为正态分布。
详细描述
在正态分布中，所有数据都围绕均值 对称分布，顺序统计量也不例外。随 着数据点在均值附近的增加，其出现 的概率也相应增加。
顺序统计量与参数和统计量的比较
顺序统计量是根据数据大小排列的数值，而参数和统计量则是基于数据计算得出的数值。
与其他统计量的联系与区别
联系
顺序统计量和总体及样本统计量都是描 述数据特征的数值，它们都可以用来描 述数据的分布情况、中心趋势和离散程 度等。
VS
区别
顺序统计量只关注数据的大小排列，不涉 及数据的具体数值；而总体和样本统计量 则更注重数据的具体数值和分布情况。
§1.4顺序统计量的分布（发）
第四节顺序统计量≤≤≤=1212(1)(2)()1212()()(1)(2)()12(,,,) (5.4.1 ,,,),(,,,)(,,),(1,2,,), (,,,)( ,,,n n n n n k k n X X X X x x x x x x X X X x x x X x k n X X X X X X 设是从总体中抽取的一个样本,是其一个观测值将观测值按由小到大的次序一、顺序统计量的定义定重新排列为当取值为时定义取值为由此得到的称为样本义(1)(2)()) (,,,)..n n x x x 顺序的对应的成统量为其计观察值≤≤≤≤===-称为样本的特别地，称为 称为 称为由于每个都是样本的函数，所以都是随机变量第个顺序统计量最小顺序统计量最大顺序统计量. 一般它们不相互独立.设总体的分布为样本极差.例1注：： ()12(1)1()1()()(1)()12(1)(2)():(,,,)min .max .(,,,),,,.k n i i nn i i nn n k n n X X X X X X X X R X X X X X X X k X X X 仅取的离散均匀分布，其分布列为0, 1, 2----=--<<<=-><=-≤-=-+-=---⎰设总体分布为为样本，则的联合密度函数为 令 由可以推出 则该分布参例数为 12(1)()21,()(1)(1)()122(0,1),,,,(,)(,)(1)(),0 1.,001()(1)[3()](1)(1).(1n n n n n n r n R n X U X X X X X f y z n n z y y z R x x R X X R R f r n n y r y dyn n r r n 的贝塔分布.,2)。
[研究生入学考试]第六章数理统计基础
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〔2)样本要有独立性,即要求样本中每一样品的取 值不影响其他样品的取值,这意味着x1,x2,…,xn相 互独立.
用简单随机抽样方法得到的样本称为简单随 机样本,也简称样本.除非特别指明,本书中的样本 皆为简单随机样本.
于是,样本x1,x2,…,xn可以看成是相互独立的 具有同一分布的随机变量,其共同分布即为总体分 布.
对于样本均值的抽样分布,我们有下面的定理 定理1 设x1,x2,…,xn是来自某个总体X的样本, 为样本均值. 〔1)若总体分布为N〔μσ2),则的精确分布为
N〔μσ2/n); 〔2)若总体X分布未知〔或不是正态分布),且
n1E渐<i近nX1 >分x=i 布μ的,D是渐<指X近>n分=较σ布大2,为则时N当的〔样近μ本似σ2容分/n量)布,这n较里大的时,
〔1)x<1>的分布函数F1<x>=1-<1-F<x>>n,x<1> 的分布密度f1<x>=n-<1-F<x>>n-1f<x>
〔2)x〔n)的分布函数Fn<x>=[F<x>]n,x<n>的分 布密度fn<x>=n[F<x>]n-1f<x>
证明 先求出x<1>及x<n>的分布函数F1<x>及Fn<x>： 分别对F1〔x),Fn〔x)求导即得
定义1 设x1,x2,…,xn为取自某总体的样本,若样 本函数T＝T〔x1,x2,…,xn)中不含有任何未知参 数,则称T为统计量.统计量的分布称为抽样分布.
实验数据处理自学讲义二
检验它们之间是否存在显著差异，从而推断出另一组数据是
否存在系统误差。
河南工业大学
设有两组试验数据：
试验设计与数据处理
shiyanshujuchulishiyongfangfa
X 1(1) , X 2(1) ,..., X n(1) 与 X 1(2) , X 2(2) ,..., X n(2)
其中 n1
n1 6 , n2 9 , n n1 n2 15
又甲组数据的个数少于乙组数据的个数，且甲组的秩和为
T 7 9 11.5 11.5 14 15 68
0.05 ，查秩和临界表 可得 T 的上下限为 T1 33 , T2 63 ，从而有 T T ，故 2
河南工业大学
例 2.2
试验设计与数据处理
shiyanshujuchulishiyongfangfa
设甲乙两人分别测定某样品中的 C O2含量得到
的样本数据为
甲组
乙组
14.7
14.6
14.8
15.0
15.2
15.2
15.6
已知甲组数据无系统误差，试判断乙组数据是否存在系 统误差(给定显著检验水平 方法1(秩和检验法)
X
与
Y
的样本均值和样
，查 t
— 分布临界值表，定
t ，使
P T t
T 的取值满足 T t
③ 如果由样本数据求得的统计量
在系统误差。
，则当已知一组数据无系统误差时，就可认为另一组数据存 如果 T t ，则可以认为两组数据无显著的差异，就意 味着它们均无系统误差。
由此可得，统计量的样本值
试验设计与数据处理
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3-次序统计量解读
F ( z ) F ( y )
j i 1
n k
( X (1) , X ( 2 ) ,, X ( n ) )的联合密度函数为
p( n ) ( y1 , y2 ,, yn ) n! p( y1 ) p( y2 ) p( yn ), y1 y2 yn
二、与次序统计量相关的常用统计量
X ( n )称为该样本的最大次序 统计量
在一个简单随机样本中 ，X 1 ,X 2 , ,X n独立同分布， 注：
次序统计量X (1)，X (2)， ，X ( n )既不独立，分布也不相 同.
而且任何两个次序统计 量分布也不相同 .
1、单个次序统计量的分布 定理1 设X 1 ,X 2 , ,X n 是来自总体X的样本，且X的 密度函数为p( x ), 分布函数F ( x ), 则第k个次序统计 量x( k )的密度函数为 n! pk ( x ) ( F ( x )) k-1 (1 - F ( x )) n-k p( x ) ( k-1)! ( n-k )!
j2 -j1 1
[ F ( y jr ) - F ( y jr 1 )]
jr jr 1 1
1 F ( y )
jr
n jr
p( y j1 ) p( y j2 ) p( y jr ),
y j1 y j2 y jr
证明：
j1 1
1
y j1
j1 j2 1 y j1 y j1 yj
次序统计量和经验分布 函数
一、次序统计量(或称顺序统计量)及其分布 定义 设X 1 ,X 2 , ,X n是来自总体X的样本，将X 1 ,
X 2 , ,X n按从小到大的顺序排列 为 X (1) X ( 2 ) X ( n ) 则X ( i ) 称为该样本的第 i个次序统计量，
最小次序统计量的分布函数
最小次序统计量的分布函数最小次序统计量是统计学中的一个重要概念，它在描述数据集的排序特征方面起着关键作用。
本文将围绕最小次序统计量的分布函数展开讨论，从定义、性质、应用等多个方面进行阐述。
最小次序统计量是指从一个给定的数据集中选取最小的一个观测值。
在统计学中，我们经常需要对数据进行排序，以便更好地描述其特征。
最小次序统计量可以帮助我们了解数据集中最小的观测值是多少，并且可以在一定程度上反映数据集的整体分布情况。
我们来详细定义最小次序统计量。
对于一个由n个观测值组成的数据集，我们将这些观测值按照从小到大的顺序排列，记为X(1) ≤ X(2) ≤ ... ≤ X(n)。
其中，X(1)表示最小的观测值，即最小次序统计量。
最小次序统计量的分布函数可以表示为F(x) = P(X(1) ≤ x)，即求小于等于x的最小次序统计量的概率。
最小次序统计量的分布函数具有以下几个重要性质：1. 随机变量的取值范围：最小次序统计量的取值范围是数据集中的最小观测值到最大观测值，即X(1) ∈ [min(X), max(X)]。
2. 分布函数的单调性：最小次序统计量的分布函数是非递减函数，即F(x1) ≤ F(x2)，其中x1 ≤ x2。
3. 分布函数的界限：最小次序统计量的分布函数具有边界值，即F(min(X)) = 0，F(max(X)) = 1。
4. 分布函数的连续性：最小次序统计量的分布函数是右连续的，即在任意x0处，有F(x0+) = F(x0)。
最小次序统计量的分布函数在统计推断中有着广泛的应用。
例如，在假设检验中，我们常常需要根据给定的样本数据判断某个参数的取值范围。
最小次序统计量的分布函数可以帮助我们计算出在给定显著性水平下的拒绝域，从而进行假设检验。
在可靠性分析中，最小次序统计量的分布函数也有着重要的应用。
例如，我们经常需要估计某个产品的寿命分布，以评估其可靠性。
通过使用最小次序统计量的分布函数，我们可以计算出该产品在给定时间范围内发生故障的概率，从而为产品的设计和改进提供依据。
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C ( u , v ) H ( F 1 ( u ) ,G1 ( v ) ) . 注 由 Sklar 定理可知, 当随机变量联合分布已知时, 可利用边缘分布的反函数和联合分布, 求出相应 的 Copula 函数. 利用 Copula 函数度量连续型随机变量之间的相关性, 优点在于由其导出的相关性指标是严格单增变 换下的相关性, 比线性相关使用的范围更广. 下面介绍一种重要的相关性测度. 定义 2[2] 设 X 和 Y 是连续型随机变量, 它们具有 Copula 函数 C ( u , v) , 则
中图分类号: O212
文献标识码: A
文章编号: 1672-5298(2 Structure Between Order Statistics
X(1)and X(n)
PENG Dingzhong
(School of Mathematics, Hunan Institute of Science and Technology, Yueyang 414006, China)
画 X (1) 和 X (n) 相关结构的 Copula, 并在此基础上计算它们的相关性测度.
1 预备知识
定义 1[2] 若一个二元函数 C :[ 0 , 1]2 [ 0 , 1] 满足如下条件: (1) 对任意的变量 t I [ 0, 1] , 都有 C ( t , 0 ) C ( 0, t ) 0 , C ( t , 1) C (1, t ) t ; (2) 对任意的 u1,u2, v1, v2 I [ 0 , 1] , 且 u1 ≤ u2, v1 ≤ v2 , 有
X,Y 4 C ( u , v ) dC ( u, v ) 1
( s ( X ) , t (Y ) ) ~ Cs ( X ), t (Y ) ( u, v ) v C (1 u, v ) ; (2) 若 u , v 独立, 则 C ( u , v ) uv . Sklar 定理[2] 设随机变量 ( X , Y ) 的联合分布为 H ( x, y ) , 边缘分布分别为 F ( x) , G ( y) . 令
F1,n ( x ,
y
)
[ [
F F
( (
y y
) )
]n ]n
,
[
F
(
y
)
F
(
x
)
]n
, xy, x≥ y.
(1)
二元 Copula 能联系随机变量 X , Y 的联合分布函数与边缘分布函数. 作为一种灵活而稳健的相关性分
析工具, Copula 理论在分析变量间的相关结构时有很多优势[2~4]. 本文借助文[2]中的 Sklar 定理得到了能刻
C ( u2 , v2) C ( u2 , v1 ) C ( u1 , v2 ) C ( u1 , v1 ) ≥ 0 , 则称 C 为 Copula 函数.
收稿日期: 2018-03-22 基金项目: 湖南省教育厅一般项目(15C0618) 作者简介: 彭定忠(1981− ), 男, 湖南浏阳人, 硕士, 讲师. 主要研究方向: 概率论与数理统计
X (1) min{X1, X 2,Λ, X n}, X (n) max{X1, X 2,Λ, X n} . 最小项顺序统计量与最大项顺序统计量在可靠性理论、均匀分布的参数估计等方面起着非常重要的
作用. 由文[1]可知, 当 x, y ( 0, 1) 时,
X (1) ~ F1( x ) 1 [1 F( x ) ]n , X (n) ~ Fn( y ) [ F ( y ) ]n . ( X (1) , X (n) ) 的联合分布函数为
第2期
彭定忠: 顺序统计量 X(1)和 X(n)的相关结构
7
条件(1)称为二元函数具有零基面(grounded); 条件(2)称为二元函数二维递增(2-increasing). 本文需用到 Copula 函数的两个基本性质: (1) 设 s (x ) 是关于 x 的严格递减函数, t ( y ) 是关于 y 的严格递增函数, 若 ( X ,Y ) ~ C ( u , v ) , 则
Key words: order statistics; Copula; asymptotic independent; Kendall’s
设 X1, X 2, Λ, X n 是来自总体 X 的简单随机样本, X 具有分布函数 F(x) , X (1) ≤ X (2) ≤Λ≤ X (n) 为其顺 序统计量. 显然,
第 31 卷 第 2 期 2018 年 6 月
湖南理工学院学报(自然科学版)
Journal of Hunan Institute of Science and Technology (Natural Sciences)
Vol.31 No.2 Jun. 2018
顺序统计量 X(1)和 X(n)的相关结构
彭定忠
(湖南理工学院 数学学院, 湖南 岳阳 414006)
摘 要: 利用 Copula 研究顺序统计量 X(1)和 X(n)的相关结构, 证明了当样本容量 n 时, X(1)与 X(n)是渐近独立的. 并 计算了它们的相关性测度.
关键词: 顺序统计量; Copula; 渐近独立; Kendall’s
Abstract: In this paper, we study the dependence structure between order statistics X(1)and X(n), give a proof for their asymptotic independence as n approaches infinity, and calculate the dependence measures.