顺序统计量X(1)和X(n)的相关结构
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C ( u2 , v2) C ( u2 , v1 ) C ( u1 , v2 ) C ( u1 , v1 ) ≥ 0 , 则称 C 为 Copula 函数.
收稿日期: 2018-03-22 基金项目: 湖南省教育厅一般项目(15C0618) 作者简介: 彭定忠(1981− ), 男, 湖南浏阳人, 硕士, 讲师. 主要研究方向: 概率论与数理统计
X (1) min{X1, X 2,Λ, X n}, X (n) max{X1, X 2,Λ, X n} . 最小项顺序统计量与最大项顺序统计量在可靠性理论、均匀分布的参数估计等方面起着非常重要的
作用. 由文[1]可知, 当 x, y ( 0, 1) 时,
X (1) ~ F1( x ) பைடு நூலகம் 1 [1 F( x ) ]n , X (n) ~ Fn( y ) [ F ( y ) ]n . ( X (1) , X (n) ) 的联合分布函数为
( s ( X ) , t (Y ) ) ~ Cs ( X ), t (Y ) ( u, v ) v C (1 u, v ) ; (2) 若 u , v 独立, 则 C ( u , v ) uv . Sklar 定理[2] 设随机变量 ( X , Y ) 的联合分布为 H ( x, y ) , 边缘分布分别为 F ( x) , G ( y) . 令
画 X (1) 和 X (n) 相关结构的 Copula, 并在此基础上计算它们的相关性测度.
1 预备知识
定义 1[2] 若一个二元函数 C :[ 0 , 1]2 [ 0 , 1] 满足如下条件: (1) 对任意的变量 t I [ 0, 1] , 都有 C ( t , 0 ) C ( 0, t ) 0 , C ( t , 1) C (1, t ) t ; (2) 对任意的 u1,u2, v1, v2 I [ 0 , 1] , 且 u1 ≤ u2, v1 ≤ v2 , 有
中图分类号: O212
文献标识码: A
文章编号: 1672-5298(2018)02-0006-03
The Dependence Structure Between Order Statistics
X(1)and X(n)
PENG Dingzhong
(School of Mathematics, Hunan Institute of Science and Technology, Yueyang 414006, China)
彭定忠
(湖南理工学院 数学学院, 湖南 岳阳 414006)
摘 要: 利用 Copula 研究顺序统计量 X(1)和 X(n)的相关结构, 证明了当样本容量 n 时, X(1)与 X(n)是渐近独立的. 并 计算了它们的相关性测度.
关键词: 顺序统计量; Copula; 渐近独立; Kendall’s
F 1 ( u ) inf { x : F ( x ) u }, G1( v ) inf{ y : G ( y ) v} . 如果 F ( x) , G ( y) 连续, 则存在唯一的 Copula 函数 C, 使得
C ( u , v ) H ( F 1 ( u ) ,G1 ( v ) ) . 注 由 Sklar 定理可知, 当随机变量联合分布已知时, 可利用边缘分布的反函数和联合分布, 求出相应 的 Copula 函数. 利用 Copula 函数度量连续型随机变量之间的相关性, 优点在于由其导出的相关性指标是严格单增变 换下的相关性, 比线性相关使用的范围更广. 下面介绍一种重要的相关性测度. 定义 2[2] 设 X 和 Y 是连续型随机变量, 它们具有 Copula 函数 C ( u , v) , 则
Abstract: In this paper, we study the dependence structure between order statistics X(1)and X(n), give a proof for their asymptotic independence as n approaches infinity, and calculate the dependence measures.
X,Y 4 C ( u , v ) dC ( u, v ) 1
第2期
彭定忠: 顺序统计量 X(1)和 X(n)的相关结构
7
条件(1)称为二元函数具有零基面(grounded); 条件(2)称为二元函数二维递增(2-increasing). 本文需用到 Copula 函数的两个基本性质: (1) 设 s (x ) 是关于 x 的严格递减函数, t ( y ) 是关于 y 的严格递增函数, 若 ( X ,Y ) ~ C ( u , v ) , 则
第 31 卷 第 2 期 2018 年 6 月
湖南理工学院学报(自然科学版)
Journal of Hunan Institute of Science and Technology (Natural Sciences)
Vol.31 No.2 Jun. 2018
顺序统计量 X(1)和 X(n)的相关结构
F1,n ( x ,
y
)
[ [
F F
( (
y y
) )
]n ]n
,
[
F
(
y
)
F
(
x
)
]n
, xy, x≥ y.
(1)
二元 Copula 能联系随机变量 X , Y 的联合分布函数与边缘分布函数. 作为一种灵活而稳健的相关性分
析工具, Copula 理论在分析变量间的相关结构时有很多优势[2~4]. 本文借助文[2]中的 Sklar 定理得到了能刻
Key words: order statistics; Copula; asymptotic independent; Kendall’s
设 X1, X 2, Λ, X n 是来自总体 X 的简单随机样本, X 具有分布函数 F(x) , X (1) ≤ X (2) ≤Λ≤ X (n) 为其顺 序统计量. 显然,
收稿日期: 2018-03-22 基金项目: 湖南省教育厅一般项目(15C0618) 作者简介: 彭定忠(1981− ), 男, 湖南浏阳人, 硕士, 讲师. 主要研究方向: 概率论与数理统计
X (1) min{X1, X 2,Λ, X n}, X (n) max{X1, X 2,Λ, X n} . 最小项顺序统计量与最大项顺序统计量在可靠性理论、均匀分布的参数估计等方面起着非常重要的
作用. 由文[1]可知, 当 x, y ( 0, 1) 时,
X (1) ~ F1( x ) பைடு நூலகம் 1 [1 F( x ) ]n , X (n) ~ Fn( y ) [ F ( y ) ]n . ( X (1) , X (n) ) 的联合分布函数为
( s ( X ) , t (Y ) ) ~ Cs ( X ), t (Y ) ( u, v ) v C (1 u, v ) ; (2) 若 u , v 独立, 则 C ( u , v ) uv . Sklar 定理[2] 设随机变量 ( X , Y ) 的联合分布为 H ( x, y ) , 边缘分布分别为 F ( x) , G ( y) . 令
画 X (1) 和 X (n) 相关结构的 Copula, 并在此基础上计算它们的相关性测度.
1 预备知识
定义 1[2] 若一个二元函数 C :[ 0 , 1]2 [ 0 , 1] 满足如下条件: (1) 对任意的变量 t I [ 0, 1] , 都有 C ( t , 0 ) C ( 0, t ) 0 , C ( t , 1) C (1, t ) t ; (2) 对任意的 u1,u2, v1, v2 I [ 0 , 1] , 且 u1 ≤ u2, v1 ≤ v2 , 有
中图分类号: O212
文献标识码: A
文章编号: 1672-5298(2018)02-0006-03
The Dependence Structure Between Order Statistics
X(1)and X(n)
PENG Dingzhong
(School of Mathematics, Hunan Institute of Science and Technology, Yueyang 414006, China)
彭定忠
(湖南理工学院 数学学院, 湖南 岳阳 414006)
摘 要: 利用 Copula 研究顺序统计量 X(1)和 X(n)的相关结构, 证明了当样本容量 n 时, X(1)与 X(n)是渐近独立的. 并 计算了它们的相关性测度.
关键词: 顺序统计量; Copula; 渐近独立; Kendall’s
F 1 ( u ) inf { x : F ( x ) u }, G1( v ) inf{ y : G ( y ) v} . 如果 F ( x) , G ( y) 连续, 则存在唯一的 Copula 函数 C, 使得
C ( u , v ) H ( F 1 ( u ) ,G1 ( v ) ) . 注 由 Sklar 定理可知, 当随机变量联合分布已知时, 可利用边缘分布的反函数和联合分布, 求出相应 的 Copula 函数. 利用 Copula 函数度量连续型随机变量之间的相关性, 优点在于由其导出的相关性指标是严格单增变 换下的相关性, 比线性相关使用的范围更广. 下面介绍一种重要的相关性测度. 定义 2[2] 设 X 和 Y 是连续型随机变量, 它们具有 Copula 函数 C ( u , v) , 则
Abstract: In this paper, we study the dependence structure between order statistics X(1)and X(n), give a proof for their asymptotic independence as n approaches infinity, and calculate the dependence measures.
X,Y 4 C ( u , v ) dC ( u, v ) 1
第2期
彭定忠: 顺序统计量 X(1)和 X(n)的相关结构
7
条件(1)称为二元函数具有零基面(grounded); 条件(2)称为二元函数二维递增(2-increasing). 本文需用到 Copula 函数的两个基本性质: (1) 设 s (x ) 是关于 x 的严格递减函数, t ( y ) 是关于 y 的严格递增函数, 若 ( X ,Y ) ~ C ( u , v ) , 则
第 31 卷 第 2 期 2018 年 6 月
湖南理工学院学报(自然科学版)
Journal of Hunan Institute of Science and Technology (Natural Sciences)
Vol.31 No.2 Jun. 2018
顺序统计量 X(1)和 X(n)的相关结构
F1,n ( x ,
y
)
[ [
F F
( (
y y
) )
]n ]n
,
[
F
(
y
)
F
(
x
)
]n
, xy, x≥ y.
(1)
二元 Copula 能联系随机变量 X , Y 的联合分布函数与边缘分布函数. 作为一种灵活而稳健的相关性分
析工具, Copula 理论在分析变量间的相关结构时有很多优势[2~4]. 本文借助文[2]中的 Sklar 定理得到了能刻
Key words: order statistics; Copula; asymptotic independent; Kendall’s
设 X1, X 2, Λ, X n 是来自总体 X 的简单随机样本, X 具有分布函数 F(x) , X (1) ≤ X (2) ≤Λ≤ X (n) 为其顺 序统计量. 显然,