复数的几何表示
复数的三角形式和运算
与代数形式转换方法
三角形式转换为代数形式
根据三角形式的定义，将$r(costheta + isintheta)$展开得到$rcostheta + irsintheta$。
将实部和虚部分别对应到代数形式的$a$和$b$，即得到代数形式$a + bi$。
03 复数运算规则
加减法运算规则
同类项合并
在复数的加减运算中，实部与实部相加、虚部与行化简，得到最简复数表达式。
乘法运算规则
分配律
复数乘法遵循分配律，即先将一个复数与另一个复数的实部和虚部分别相乘，再将所得的积相加。
乘法公式
根据复数乘法公式，可将两个复数的乘积表示为实部和虚部的形式。
除法运算规则
共轭复数
01
在复数除法中，为了消去分母中的虚部，需要引入共轭复数的
表示其振幅和相位。
阻抗和导纳
在正弦交流电路中，阻抗和导纳是 描述电路元件对交流电信号响应的 重要参数，它们可以用复数表示。
复数运算
通过复数的加、减、乘、除等运算， 可以方便地分析正弦交流电路中的 电压、电流和功率等问题。
阻抗匹配问题
阻抗匹配概念
阻抗匹配是指使负载阻抗与源阻抗共轭相等，以实现最大功率传 输或最小反射功率的电路设计方法。
在复数 $z = a + bi$ 中，$a$ 称为复数的实部，$b$ 称为复数的虚部。
复数相等
两个复数相等当且仅当它们的实部和虚部分别相等。
复平面表示法
复平面
以实轴和虚轴为坐标轴的平面称为复 平面，其中实轴上的点表示实数，虚 轴上的点表示纯虚数。
复数的几何意义
复数 $z = a + bi$ 在复平面上对应的 点为 $(a, b)$，该点到原点的距离表 示复数的模长，与正实轴的夹角表示 复数的辐角。
复数运算的几何意义解读
复数运算的几何意义解读复数是由实数和虚数构成的数学概念，具有实部和虚部两个部分。
在复平面中，复数可以表示为一个有序数对(a,b)，其中a为实部，b为虚部。
复数运算的几何意义可以通过复平面的几何解释来理解。
首先，复数可以用来表示平面上的点。
复平面以实轴为x轴，以虚轴为y轴，每个复数可以对应平面上的一个点。
实部表示该点在x轴上的位置，虚部表示该点在y轴上的位置。
例如，复数z=3+4i表示平面上的一个点，该点在x轴上的位置是3，在y轴上的位置是4加法运算是复数运算中的一种基本操作。
两个复数相加得到的结果是一个新的复数，其实部等于两个复数的实部之和，虚部等于两个复数的虚部之和。
在几何上，两个复数的加法可以理解为将两个平面上的点进行向量相加，得到一个新的点。
减法运算也是复数运算中的一种基本操作。
两个复数相减得到的结果是一个新的复数，其实部等于第一个复数的实部减去第二个复数的实部，虚部等于第一个复数的虚部减去第二个复数的虚部。
在几何上，两个复数的减法可以理解为将第二个复数对应的点作为向量，进行与第一个复数对应的点的相反方向的向量相加。
乘法运算是复数运算中的另一种基本操作。
两个复数相乘得到的结果是一个新的复数，其实部等于两个复数的实部的乘积减去两个复数的虚部的乘积，虚部等于第一个复数的实部与第二个复数的虚部之积加上第一个复数的虚部与第二个复数的实部之积。
在几何上，两个复数的乘法可以理解为将两个平面上的点进行相乘得到一个新的点。
除法运算是复数运算中的一种特殊操作。
两个复数相除得到的结果是一个新的复数，其实部等于两个复数相乘的实部之和除以两个复数相乘的模的平方，虚部等于两个复数相乘的虚部之差除以两个复数相乘的模的平方。
在几何上，两个复数的除法可以理解为将第二个复数对应的点作为向量，进行与第一个复数对应的点的相反方向的向量相加。
复数的模是复数到原点的距离，可以用勾股定理计算。
复数的模平方等于复数实部的平方加上虚部的平方。
1.1复数及几何表示(1)
复数的定义 对于任意两实数 x, y, 称 z x yi
或 z x iy 为复数. 其中 x, y 分别称为 z 的实部和虚部, 记作 x Re z, y Im z. 当 x 0, y 0 时, z iy 称为纯虚数; 当 y 0 时, z x 0i, 把它看作实数 x. 注意： 全体复数的集合记为 .
a1 ib1 (a1 ib1)(a2 ib2 ) a2 ib2 (a2 ib2 )(a2 ib2 )
a1a2 a22
b1b2 b22
i
a2b1 a22
a1b2 b22
(a2
ib2
0).
复数的加法、减法、乘法和除法的定义 设 a1, a2,b1,b2 R,则复数的加法、减法、
二、 复数域是实数域的扩充
让形如(a,0)的复数与实数a对应,记作(a,0) a. 由定义可看出它们的和、积
(a,0) (c,0) (a c,0) a c, (a,0)(c,0) (ac,0) ac.
因此 是一个同构对应. 在同构的意义下,简记(a,0) a. 从而实数集 : {(a,0) a} 是复数集的子集,复数集 是实数集的扩充.
(c id) (a ib) x iy (c a) i(d b)
(c id) (a) i(b). 注：(1) 复数减复数等于实部减实部，虚部减虚部;
或 (2) 减去一个复数等于加上它相反的数.
除法是乘法的逆运算
若复数x iy满足(a ib)(x iy) c id,则称 x iy是c id和a ib的商,记为x iy (c id) /(a ib).
(4) 每个复数a ib有相反的数(a) i(b);
(5)
每个非零复数a
ib有倒数
a2
a
复数的几何表示
辐角：表示复数在复平面上的旋转角度
复数的几何运算
03
加法运算
举例：例如z1=3+4iz2=1+2i则z1+z2=4+6i
定义：两个复数相加相当于在复平面内将它们的向量相加
规则：平行四边形法则即以实部和虚部分别为邻边作平行四边形其对角线即为相加后的复数
几何意义：表示在复平面内将z1和z2对应的点相加得到的结果对应的点就是z1+z2
复数的几何表示
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汇报人：
目录
01
添加目录项标题
02
复数的几何定义
03
复数的几何运算
04
复数的几何意义
05
复数的几何应用
06
复数的几何表示的扩展
添加目录项标题
01
复数的几何定义
02
复数平面的坐标系
实轴和虚轴：复数平面的水平轴表示实数垂直轴表示虚数
点的表示：每个复数z可以表示为平面上的一点(,b)其中是实部b是虚部
模长：复数z的模长定义为√(^2 + b^2)表示点(,b)到原点的距离
幅角：复数z的幅角定义为rctn(b/)表示点(,b)与实轴正方向的夹角
复数在平面上的表示
实部为横坐标虚部为纵坐标
复数平面的表示方法有多种
复数由实部和虚部组成
复数可以用平面上的点来表示
复数的模和辐角
复数的模：表示复数在复平面上的距离
除法运算
定义：复数 + bi 与 c + di 的除法运算可以通过乘以共轭数的方式进行
单击此处添加标题
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应用：在电路分析、信号处理等领域中复数的除法运算有广泛应用
第一章 第2节 复数几何表示
0
, ( 0)
0 ，
无意义
二、区域
1.区域的概念 集合中的各类点
1）集合的各类点（集）
一维空间：邻域（开区间）
（ x0
x0
） x0
二维空间：邻域（开圆）
平面上以 z0 为中心, (任意的正数)为半径 的圆 : z z0 内部的点的集合称为z0 的邻域.
课堂练习 判断下列区域是否有界?
r2
(1) 圆环域: r1 z z0 r2 ; (2) 上半平面: Im z 0;
r1
z0
y
(3) 角形域: 0 arg z ;
(4) 带形域: a Im z b.
o x
答案
(1)有界;
(2) (3) (4)无界.
2.单连通域与多连通域
(5)0 arg z ;
非开集
边界点、边界: 设D是复平面内的一个区域,如果点 P 不属于D, 但在 P 的任意小的邻域内总有D 中的点,这样的 P 点我们称为D的边界点. D的所有边界点组成D的边界.
说明 (1) 区域的边界可能是由几条曲线和一些
孤立的点所组成的.
C2
z
C3
C1
(2) 区域D与它的边界一起构成闭区域
z0
R
邻域: 平面上以 z0 为中心, (任意的正数)为半径
的圆 : z z0 内部的点的集合称为z0 的邻域.
说明
z0所对应的点P的邻域和去心邻域也可 分别记作U(P,), U (P,δ)
说明 包括无穷远点自身在内且满足 z M 的
所有点的集合, 其中实数 M 0, 称为无穷远 点的邻域.
第一章
1.2 复数的几何表示
r ei(12 ) 2
z2 r e2 i(2 1 ) z1 r1
棣莫佛(de Moivre)公式
(cos i sin )n cos n i sin n
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28
思考题
是否任意复数都有辐角?
29
思考题答案
否. 唯有 z 0的情况特殊, 它的模为零而辐角不确定.
放映结束，按Esc退出.
第二节 复数的表示
2.1 复数的模和辐角 2.2 复数模的三角不等式 2.3 复数的三角表示 2.4 用复数的三角表示作乘除法 2.5 复数的乘方与开方 2.6 小结与思考
2.1 复数的模(或绝对值)和辐角 1 . 如 果 z 是 一 个 不 等于 零 的 复 数 ， 把 它 对 应的 向 量 的 长 度 叫 做 z 的 模, 记 做 z
当k以其他整数值代入时, 这些根又重复出现.
21
例如 k n时,
wn
r
1 n
cos
2nπ n
i sin
2nπ n
r
1 n
cos
n
i
sin
n
w0
.
从几何上看, n z 的 n 个值就是以原点为中心,
1
r n 为半径的圆的内接正 n 边形的 n 个顶点.
22
例3 计算 3 1 i 的值.
4
5
arctan
y x
,
arctan
y
+π,
argz
=
arctan
x y
-π,
x
当z在第一象限 当z在第二象限 当z在第三象限
arctan
y
,
x
当z在第四象限
复数的加减法及其几何意义
复数的加减法及其几何意义一、复数的加减法1. 复数的定义- 设z = a+bi，其中a,b∈ R，a称为复数z的实部，记作Re(z)=a；b称为复数z的虚部，记作Im(z) = b。
- 例如，z = 3 + 2i，实部a = 3，虚部b=2。
2. 复数的加法法则- 设z_{1}=a_{1}+b_{1}i，z_{2}=a_{2}+b_{2}i，则z_{1}+z_{2}=(a_{1}+a_{2})+(b_{1}+b_{2})i。
- 例如，若z_{1}=2 + 3i，z_{2}=1 - 2i，则z_{1}+z_{2}=(2 + 1)+(3-2)i=3 + i。
3. 复数的减法法则- 设z_{1}=a_{1}+b_{1}i，z_{2}=a_{2}+b_{2}i，则z_{1}-z_{2}=(a_{1}-a_{2})+(b_{1}-b_{2})i。
- 例如，若z_{1}=4+5i，z_{2}=2 + 3i，则z_{1}-z_{2}=(4 - 2)+(5 -3)i=2+2i。
二、复数加减法的几何意义1. 复数的几何表示- 在复平面内，复数z = a+bi可以用点Z(a,b)来表示，也可以用向量→OZ来表示，其中O为坐标原点。
- 例如，复数z = 3+2i对应的点为(3,2)，对应的向量→OZ，起点为O(0,0)，终点为Z(3,2)。
2. 复数加法的几何意义- 设z_{1}=a_{1}+b_{1}i，z_{2}=a_{2}+b_{2}i，它们对应的向量分别为→OZ_{1}和→OZ_{2}。
- 那么z_{1}+z_{2}对应的向量为→OZ_{1}+→OZ_{2}，即平行四边形法则：以→OZ_{1}和→OZ_{2}为邻边作平行四边形，则对角线→OZ对应的复数就是z_{1}+z_{2}。
- 例如，z_{1}=2 + i，z_{2}=1+2i，→OZ_{1}=(2,1)，→OZ_{2}=(1,2)，以→OZ_{1}和→OZ_{2}为邻边的平行四边形的对角线向量→OZ=→OZ_{1}+→OZ_{2}=(3,3)，对应的复数z_{1}+z_{2}=3 + 3i。
复数的坐标表示
例3、设复数Z=3a-1+(a-2)i(a∈R)，
（1）求a为何值时，表示复数Z的点Z在第二、三象限？
（2）a为何值时，点Z在实轴上,虚轴上？
（3）能否在原点？
复数的模
定义：复数z=a+bi所对应的点Z(a,b)到原点的距离。
即 | z || a bi | a 2 b 2
例：若复数 z1 , z2满足Re z1 Re z2 0, Im z1 Im z2 0, 则z1 , z2在复平面上的对应点有 怎样的对称关系？
关 于x轴 对 称
例：如果复数 z (m 2) (m 2 16)i (m R)在复平面上 的对应点在第四象限， 则m的范围？
| z | x 2 y 2 5
5
y
–5 O
5 x
x 2 y 2 25
图形:
以原点为圆心,5为半径的圆上
–5
模的几何意义
满足 3<|z|<5 (z∈C)的 5 y
复数z对应的点在复平面
上将构成怎样的图形？ 设z = x+yi(x、y∈R)
3 x2 y2 5
3
O
5
–5 –3
a bi(a, b R)。建立了直角坐标系用来
b
表示复数 z a bi(a, b R) 的平面叫做复平面. 这里 x轴 实轴； y轴 虚轴。
o
a
x
表示实数的点都在实轴上，表示纯虚数的点都在虚轴上，原点表示实数0.
这样复数集中的元素和复平面上的点集中的元素是一一对应的。
并数一数(1) 复数
解: (1) 10×10=100 个
(2) 10个
复变函数12复数几何表示
10 10
指数表示式为
z
3 i
e10 .
2020/5/14
10
例2 把复 z数 1cosisin,0π化为
三角表示式式 与 ,并指 求 z的数 辐表 角示 .的主
解 z 1 co is sin 2sin22isincos
2
22
2si 2 nsi 2 nico 2s
2si 2n co π 2 s isiπn 2 (三角式)
第二节 复数的几何表示
一、复平面 二、复球面 三、小结与思考
一、复平面
1. 复平面的定义
复 数z xiy与 有 序 实 数 (x,对 y)成 一 一
对应 . 因此, 一个建立了直角的坐平标面系可以
用来表示复 , 通数常把横轴叫实 x轴轴 , 纵或轴
叫虚轴y或 轴.这种用来表示复面数叫的复平平
面.
z z 1 t( z 2 z 1 )参t 数 (, ),
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14
故,由z1到z2的直线段的参数方程为
z z 1 t ( z 2 z 1 ) 0 t 1
若取t 1, 2
得线z段 1z2的中点坐z标 z1为 2 z2 .
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15
例8 求下列方程所表示的曲线: (1 )z i 2 ; (2 )z 2 i z 2 ; (3 )Im i z) ( 4 . 解 (1)方程 zi2表示所有 i距与 离点
两边同时开方得 z1z2z1z2.
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13
例6 将通过 z1两 x1i点 y1与 z2x2iy2的直 线用复数形 表式 .示的方程来 解 通过 (x1两 ,y1)与 点 (x2,y2)的直线的
xy xy11tt((xy22yx11)) 参t 数 (, ), 所以它的复数形式的参数方程为
复数的几何表示ppt课件
指数表示式为
z
3 i
e10 .
内容小结
1.复数的模、辐角、幅角主值; 2.复数的各种表示法.
各种表示法可相互转化,
思考题
1.是否任意复数都有辐角?
它的模为零而辐角不确定.
作业
习题一: 1(2)(4)、2、4(1)(6) 7,8(3)(4)(5)
例4 将通过两点z1 x1 iy1 与 z2 x2 iy2 的直 线用复数形式的方程来表示.
2.用复平面上的向量表示复数
向量 OP与复数 z 一x 一iy对应，故用它表示复数.
y
P
z x iy
z
o
x
注意： 复数 z，点 z，向量 z 可视为同一个概念。
y
z 与 z 在复平面上关于实轴对称. y r
z x yi
O
x
x
z x yi
二、复数的模和幅角
复数z 的模：向量 OP的长度， 记作
由于z 位于第三象限，
arg z arctan ( 1 ) π 3
arctan
1 3
π .
y
3
x
1
arctan y
x
arctan y
x
arctan y x
arctan y x
例2 证明复平面上的三角不等式
(1) z1 z2 z1 z2 ; (2) z1 z2 z1 z2 .
证 两复数的加减运算满足向量的平行四边形法则，
6
6
5π i
z 4e 6 . 习惯上取主辐角
例5 将下列复数化为三角表示式与指数表示式:
z sin i cos ;
5
5
解 r z 1,
sin
复数的各类表达形式
复数的各类表达形式一、代数形式表示形式：表示一个复数复数有多种表示形式，常用形式z=a+bi 叫做代数形式。
二、几何形式点的表示形式：表示复平满的一个点在直角坐标系中，以x为实轴，y为虚轴，O为原点形成的坐标系叫做复平面，这样所有复数都可以复平面上的点表示被唯一确定。
复数z=a+bi 用复平面上的点z(a，b )表示。
这种形式使复数的问题可以借助图形来研究。
也可反过来用复数的理论解决一些几何问题。
三、三角形式表示形式复数z＝a+bi化为三角形式，z＝r(cosθ+sinθi)。
式中r=∣z∣=√(a^2+b^2)，是复数的模(即绝对值)；θ是以x轴为始边，射线OZ为终边的角，叫做复数的辐角，记作argz，即argz=θ=arctan(b/a)。
这种形式便于作复数的乘、除、乘方、开方运算。
四、指数形式表示形式将复数的三角形式z＝r( cosθ+isinθ)中的cosθ+isinθ换为exp(iθ)，复数就表为指数形式z＝rexp(iθ)。
向量在数学与物理中，既有大小又有方向的量叫做向量〔亦称矢量〕，在数学中与之相对的是数量，在物理中与之相对的是标量。
向量的运算法那么1、向量的加法向量的加法满足平行四边形法那么和三角形法那么。
OB+OA=OC。
a+b=(x+x'，y+y')。
a+0=0+a=a。
向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a；结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。
2、向量的减法如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量为0AB-AC=CB. 即“共同起点，指向被减〞a=(x,y)b=(x',y') 那么a-b=(x-x',y-y').如图：c=a-b 以b的结束为起点，a的结束为终点。
3、数乘向量实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣·∣a∣。
当λ>0时，λa与a同方向当λ<0时，λa与a反方向；当λ=0时，λa=0，方向任意。
复数的几何意义
复数的几何意义一、复数的几何意义1、复数的几何表示：bi a z +=与复平面内的点）（b ,a Z 之间是一一对应的，即任何复数bi a z +=都可以用复平面内的点）（b ,a Z 来表示。
2、复数的向量表示：直角坐标系内的点）（b ,a Z 与始点在原点的向量）（b ,a OZ =是一一对应的，因此，复数bi a z +=也与向量）（b ,a OZ =一一对应，其中复数0对应零向量，任何复数bi a z +=可以表示为复平面内以原点O 为起点的向量OZ ，我们把这种表示像是叫做复数的向量表示法。
复数z=a+bi ↔复平面内的点Z （a ，b ）↔平面向量OZ 3、复数的模的几何意义复数z=a+bi 在复平面上对应的点Z(a,b)到原点的距离. 即 |Z |=|a+bi |=22b a +4、复数的加法与减法的几何意义加法的几何意义 减法的几何意义)ZZ 2Z1yz 1z 2≠0时， z 1+z 2对应的向量是以OZ 1、OZ 2、为邻边的平行四边形OZ 1ZZ 2的对角线OZ ， z 2-z 1对应的向量是Z 1Z 2 5、 复数乘法与除法的几何意义z 1=r 1（cos θ1+i sin θ1） z 2=r 2（cos θ2+i sin θ2）①乘法：z=z 1· z 2=r 1·r 2 [cos(θ1+θ2)+i sin(θ1+θ2)]如图：其对应的向量分别为oz oz oz 12→→→显然积对应的辐角是θ1+θ2 < 1 > 若θ2 > 0 则由oz 1→逆时针旋转θ2角模变为oz 1→的r 2倍所得向量便是积z 1·z 2=z 的向量oz →。
< 2 >若θ2< 0 则由向量oz 1→顺时针旋转θ2角模变为r 1·r 2所得向量便是积z 1·z 2=z 的向量oz →。
为此，若已知复数z 1的辐角为α，z 2的辐角为β求α+β时便可求出z 1·z 2=z a z 对应的辐角就是α+β这样便可将求“角”的问题转化为求“复数的积”的运算。
复数的基本概念和几何意义
复数的基本概念和几何意义复数是数学中的一个重要概念，它由一个实数部分和一个虚数部分组成。
一个复数可以用以下形式表示：a+bi，其中a为实数部分，b为虚数部分，i为虚数单位，即i^2=-1复数的基本概念包括实数部分和虚数部分。
实数部分是复数的实际部分，它可以是任何实数。
虚数部分是复数中的虚构部分，它必须乘以虚数单位i才能表示。
实数部分和虚数部分都可以是负数。
复数的几何意义可以通过复平面理解。
复平面是一个由实数轴和虚数轴构成的平面。
实数轴表示实数部分，虚数轴表示虚数部分。
复数a+bi 可以在复平面上表示为一个点，实数部分对应的是x坐标，虚数部分对应的是y坐标。
复数的模表示复数到原点的距离，可以通过勾股定理求得。
模的值是一个非负实数。
复数的共轭表示实数部分不变，虚数部分取相反数，即a-bi。
复数可以进行加法、乘法和求逆运算。
复数的加法和减法可以通过实数部分和虚数部分分别相加或相减得到。
复数的乘法可以通过FOIL法则展开得到。
复数的求逆可以通过取共轭复数，将实数部分除以模的平方得到。
复数的基本性质包括交换律、结合律、分配律等。
复数可以进行四则运算，并满足这些性质。
复数的重要应用包括在电路分析、量子力学、工程计算等领域。
复数在这些领域中能够提供更加精确和便捷的计算手段。
总结起来，复数是由实数部分和虚数部分组成的数，它可以在复平面上表示为一个点。
复数有加法、乘法和求逆等运算，满足交换律、结合律和分配律。
复数的几何意义可以帮助我们理解和应用它们。
复数在数学和实际应用中都有重要的意义。
复数的几何意义
3
4
（3）这个方程可以写成 |z-(-2)|-|z-2|=2，所以表示到 两个定点F1(-2,0)，F2(2,0)距离 差2a等于2的点的轨迹，这个轨 迹是双曲线右半支．
x y 即双曲线： 1（x>0） 1 3
2
2
例4：△ABC的三个顶点对应的 复数分别是z1,z2,z3，若复数z满 足 |z-z1|=|z-z2|=|z-z3| ， 则 z 对应的点为△ABC的（ D ） A. 内心； B．垂心； C．重心； D．外心；
例1：设z∈C，满足下列条件的点Z的集 合是什么图形？ （1）|z|=4；（2）2≤|z|≤4．
解：（1）|z|=4表示到原点距离为4的点．所 以z表示的点Z构成一个半径为4的圆． （2）表示一个圆环．由于|z|的几何意义是点 Z到原点的距离，所以2≤|z|≤4表示到原点距 离大于等于2，小于4的点所构成的图形．
解：（1）方程可以看成 |z-(1+i)|=|z-(-2-i)|， 表示的是到两个定点A(1,1)和 B(-2,-1)距离相等的动点轨迹．所 以是线段AB的的垂直平分线。 即：直线6x+4y+3=0。
（2）方程可以看成 |z-(-i)|+|z-i|=4，表示的是到两个 定点(0,-1)和(0,1)距离和等于4的动点 轨迹．因为点Z到两个定点的距离和 是常数4，并且大于两点(0,-1)，(0,1) 间的距离2，所以满足方程的动点轨 迹是椭圆． 2 2 x y 即椭圆： 1
例 7 ：在复平面上 A 、 B 两点对应的 复数分别是 1 和 i ，复数 z 在直线 AB 上运动，求复数 z2 对应的点的轨迹。
解：设z=a+bi,(a,b∈R) 由题意，直线 AB 的方程是： x+y=1 ， ∵复数z在直线AB上运动，∴a+b=1， 再设z2对应的点为P(x,y) ∴z2=x+yi=(a+bi)2=(a2-b2)+2abi =(a-b)+2abi x a b 由复数相等的条件，得： y 2 ab 2 消去b,得y=(1-x ), 所以，复数z2对应的点的轨迹 是抛物线 y=(1-x2)。
复数运算的几何意义解读
复数运算的几何意义解读复数是由实数和虚数两部分组成的数，它可用于代表平面上的点或向量，因此具有一定的几何意义。
在复数运算中，加法和乘法可以在几何上进行解释。
首先，我们来讨论复数的几何表示。
对于一个复数 z=a+ib，其中 a是实部，b 是虚部，可以将其看作平面上的一个点 P(x,y)，其中 x 为 a 的值，y 为 b 的值。
这个点位于一个坐标系中的复平面上，实轴表示实部，虚轴表示虚部。
因此，复数 z 在几何上可以理解为复平面上的点 P。
1.加法：复数的加法可以表示为 (a+ib) + (c+id) = ((a+c) + i(b+d))。
在几何上，这个运算可以理解为将两个复数的点在复平面上相应方向上的平移，并将这两个复数的实部和虚部分别相加。
可以看出，加法运算实际上是将两个向量相加，得到一个新的向量。
这个向量从第一个向量指向第二个向量的尖端。
换句话说，复数加法相当于将两个复数所代表的向量进行平移。
2.乘法：复数的乘法可以表示为 (a+ib) * (c+id) = (ac-bd) + i(ad+bc)。
在几何上，这个运算可以理解为将一个复数的点绕原点旋转，并将两个复数的实部和虚部形成一个新的复数。
乘法运算实际上是将两个向量相乘，并按照一定的规则得到新的向量。
具体而言，复数的模长是两个向量的模长的乘积，而复数的辐角是两个向量的辐角的和。
因此，复数乘法可以理解为将一个复数代表的向量绕原点旋转一定角度，并按照一定比例进行缩放。
除此之外，复数的运算还具有以下几何意义：3.模长：一个复数的模长可以表示为，z，=√(a^2+b^2)。
在几何上，复数的模长表示了对应向量的长度，也可以理解为复平面上原点到点P的距离。
模长的平方等于复数的实部平方加上虚部平方，可以通过勾股定理来计算。
因此，复数的模长也可以理解为一个向量的长度。
4.共轭：一个复数的共轭可以表示为 z* = a-ib。
在几何上，一个复数和其共轭代表了复平面上关于 x 轴的对称点。
复数的几何意义
复数的几何意义引言复数是数学中一种常见的概念，用于描述带有虚部的数。
在复数的运算中，虚部通常用虚数单位i表示，其中i是一个满足i^2 = -1的数。
复数的几何意义是通过将复数表示为有序对的形式，将其在复平面上进行表示和解释。
本文将介绍复数的几何意义及其在实际应用中的作用。
复平面表示法复平面是由实数轴和虚数轴组成的平面。
实数轴水平表示实部，虚数轴垂直表示虚部。
复数可以通过将其表示为实部和虚部的有序对的形式来在复平面上进行表示。
例如，复数z = a + bi可以表示为 (a, b) 的点在复平面上的位置。
在复平面中，原点表示零，实数轴上的点表示实数，虚数轴上的点表示纯虚数，而其他点表示具有实部和虚部的复数。
复数的模复数的模表示复数到原点的距离，可以使用勾股定理计算。
复数z = a + bi的模可以表示为|z| = sqrt(a^2 + b^2)。
在复平面中，模可以视为复数对原点的径向距离。
由模的定义可知，复数的模为非负实数。
复数的辐角复数的辐角是复数到正实数轴的夹角，通常使用弧度制进行表示。
复数z = a +bi的辐角可以通过计算theta = arctan(b / a)获得。
在复平面中，辐角可以视为复数与正实数轴之间的倾斜角度。
需要注意的是，辐角只有在复数不等于零时才有意义。
复数的几何运算在复平面中，复数可以进行各种基本的几何运算，包括加法、减法、乘法和除法。
这些运算的结果可以用复数在复平面上的图形表示形式来解释。
复数的加法和减法复数的加法可以通过将两个复数对应的点在复平面上进行相加来实现。
例如，复数z1 = a1 + b1i和z2 = a2 + b2i的和为z = (a1 + a2) + (b1 + b2)i。
类似地，复数的减法也可以通过复数在复平面上的点相减来实现。
复数的乘法和除法复数的乘法可以通过将两个复数的模相乘、辐角相加来实现。
例如，复数z1 = |z1| (cos(theta1) + i * sin(theta1))* 和z2 = |z2| (cos(theta2) + i * sin(theta2))* 的乘积为z = |z1| |z2| * (cos(theta1 + theta2) + i * sin(theta1 + theta2))*。
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复数z 的辐角：向量 OP 的方向角 . 记作 Arg z .
y
注意:
y
z x yi
2) 0的模为零，0的辐角不确定. 3)
O
x
x
复数z的幅角主值: 满足 π π 的那个幅角.
记作 arg z . 于是幅角与幅角主值的关系
例5
求下列复方程所表示的曲线:
(1) z 1 z 1 4;
(2)Re( z 2 ) 1.
x2 y2 设 z x iy, 代入复方程得 1 4 3
3i
(1)
(2)
2
1
1
2
1
1
3i
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*二、复球面
1.南极、北极的定义
取一个与复平面切于原 点 z 0 的球面, 球面上一点 S 与原点重合,
复数 z 的指数表示式为 z 4e
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5π i 6
.
习惯上取主辐角
例5
将下列复数化为三角表示式与指数表示式 :
z sin 5 i cos 5 ;
解
r z 1,
3 sin cos cos , 5 10 2 5
Arg z arg z 2 k π , k 0, 1, 2, .
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幅角主值的计算: 注意arg z ( , ]. arctan y , 若z在第一、四象限； x y arctan π, 若z在第二、三象限； x arg z π, x 0, y 0, 若 2 0或π, 若 x 0, y 0.
y
为2的点的轨迹.
即表示中心为 i , 半径为 2 的圆. 设 z x iy,
o
-i
x
x ( y 1)i 2,
x 2 ( y 1)2 2, 圆方程 x 2 ( y 1)2 4.
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( 2) z 2i z 2
表示所有与点 2i 和 2距离相等的垂直平分线.
y
z2
z2
o
z1
z1 z2
z1 z 2 z1
x
z1
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例3 求下列在复平面上所表示的曲线: (1) z i 2; ( 2) z 2i z 2 ;
( 3) Im(i z ) 4.
解 (1) 方程 z i 2 表示所有与点 i 距离
线用复数形式的方程来 表示.
解
通过两点( x1 , y1 ) 与 ( x2 , y2 ) 的直线的方程
x x1 t ( x2 x1 ) 参数 t ( , ), y y1 t ( y2 y1 )
所以它的复数形式的参数方程为(复方程)
z z1 t ( z2 z1 )
设 z x iy,
化简后得
x yi 2i x yi 2 ,
2i 2
y x.
( 3) Im( i z ) 4 i z x (1 y )i ,
设 z x iy,
Im( i z ) 1 y 4,
所求曲线方程为y 3.
各种表示法可相互转化,
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思考题
1.是否任意复数都有辐角?
它的模为零而辐角不确定.
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作业
习题一: 1(2)(4)、2、4(1)(6) 7,8(3)(4)(5)
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例4 将通过两点 z1 x1 iy1 与 z2 x2 iy2 的直
, ( ),
0
, ( 0)
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为了用球面上的点来表示复数，引入了无穷远
点．无穷远点与无穷大这个复数相对应 , 所谓无穷
大是指模为正无穷大（辐角无意义）的唯一的一个 复数，不要与实数中的无穷大或正、负无穷大混为
一谈．
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z x iy
y 其中arctan ( , ). x 2 2
y
y
z x iy
O
x
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例1 求 z 的模和幅角： (1) z 1 i ; (2) z i .
2 2 解 (1)模为 | z | x y 2 .
由于z 位于第二象限， y z z y arg z arctan x π x arctan(1) π , 4 3π Arg z arg z 2k 2 k π , k 0, 1, 2, . 4
sin 3 , cos sin 10 5 2 5
3 3 故三角表示式为 z cos i sin , 10 10
指数表示式为 z e
3 i 10
.
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内容小结
1.复数的模、辐角、幅角主值;
2.复数的各种表示法.
N P
通过 S 作垂直于复平面的 直线与球面相交于另一 点 N,
我们称 N 为北极, S 为南极.
S O
y
x
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2.复球面的定义 球面上的点，除去北极 N 外，与复平面内的 点之间存在着一一对应的关系 . 我们可以用球
面上的点来表示复数.
规定：复数中有一个唯一的“无穷大”与复平 面上的无穷远点相对应 , 记作∞. 因而球面上
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关于 的四则运算规定如下:
(1) 加法 : , ( ) (2) 减法 : , ( ) (3) 乘法 : , ( 0)
(4) 除法 :
0,
的北极 N 就是复数无穷大∞的几何表示. 球面上的每一个点都有唯一的复数与之对应,
这样的球面称为复球面.
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3.扩充复平面的定义 包括无穷远点在内的复平面称为扩充复平面. 不包括无穷远点在内的复平面称为有限复平面, 或简称复平面. 对于复数∞来说，实部、虚部、辐角等概念均 无意义，它的模规定为正无穷大. 复球面的优越处: 能将扩充复平面的无穷远点明显地表示出来.
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2.用复平面上的向量表示复数 向量 OP 与复数 z x iy 一一对应，故用它表示复数.
y
P
z
o
z x iy
x
y
注意： 复数 z，点 z，向量 z 可视为同一个概念。 z 与 z 在复平面上关于实轴对称. y
O
z x yi
r
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y arctan x
arctan
y x
y arctan x
y arctan x
例2 证明复平面上的三角不等式
(1) z1 z2 z1 z2 ; (2) z1 z2 z1 z2 .
证 两复数的加减运算满足向量的平行四边形法则，
且 z1 z2 表示点 z1 和 z2 之间的距离 , 故成立不等式.
第二节 复数的几何表示
一、复数的几何表示 二、模和辐角
第一章
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一、复数的几何表示
1.用复平面上的点表示复数
复数z x iy与有序实数对( x, y )一一对应.
故用直角坐标平面上的点可以用来表示复数.
(虚轴) (2,2) z =2+2i
(实轴)
把该直角坐标面称为复平面, x轴叫实轴, y轴叫虚轴.
参数 t ( , ),
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故,由 z1 到 z2 的直线段的参数方程为
z z1 t ( z2 z1 )
1 若取 t , 2 z1 z2 . 得线段 z1 z2 的中点坐标为 z 2
0 t 1
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y
z x yi
三、复数的三角表示和指数表示
O
r
x r cos , 利用直角坐标与极坐标的关系 y r sin ,
x
则z也可以表示成
复数的三角表示式 再利用欧拉公式 ei cos i sin , 则z也可以表示成 复数的指数表示式
x
z x yi
x
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二、复数的模和幅角 复数z 的模：向量 OP 的长度，记作
z r x2 y2 .
y
P
容易看出，
r
o
x z, y z,
z x y,
z z z z2 ,
2
x
z x iy y x
z x iy
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例4 解
| z | 12 4 4, 2 arg z arctan( )π 12 1 arctan π 3
y
2
12
x
π 5π π . 6 6 5π 5π z i sin ). 复数 的三角表示式为 z 4 ( cos 6 6
(2) z 1, arg z , Arg z arg z 2k 2k 2 2
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2i 2(1 i ) 3 i . 解 z 1 i i