九年级数学画角平分线
人教版初中数学《角的平分线的性质》_完美课件
交OA于点M，交OB于点N
尺规法画角平分线
A M
C
O
NB
分别以点M，N为圆心，大于½MN的长度为半径画
弧，两弧在∠AOB的内部交于点C
尺规法画角平分线
A M
C
O
NB
画射线OC，即为∠AOB的角平分线
思考和交流
• 在你刚才画好的角平分线OC 上任意取一点P，过点P画出 OA和OB的垂线段，分别记 垂足为D，E。PD和PE的长 度有什么关系？
• 在OC上再取几个点试一下， 并和你的伙伴交流结论，你 们发现角平分线有什么性质？
思考和交流
• 经过测量，PD=PE总成立。 • 经过讨论，我们猜想： • 角分线上的点到角两边的距
离相等。
你能用全等三角 形证明吗？
怎样证明几何命题？
• 证明几何命题，先明确已知和求证。
– 已知：一个点在一个角的平分线上。 – 求证：这个点到这个角两边的距离相等。
角分线上的点到角两边的距离相等
A D
∵OC平分∠AOB，
O
P C PD⊥OA，PE⊥OB
∴PD=PE
EB
动脑想一想
• 如图，要在S区建一个 集贸中心，使它到铁路、 公路的距离相等，并且 离公路与铁路的交叉处 500m，这个集贸中心应 建在哪里？
动脑想一想
• 角分线上的点到角两边的距离相等。 • 到角的两边的距离相等的点是否也在角的
DC=BC（已知） ∴ △ADC≌△ABC (SSS) ∴∠DAC=∠BAC（对应角相等） 即 AE平分∠BAD
动脑想一想
• 通过刚才的启发，你能想到怎样画出下面 的角的平分线吗？
A
仅用尺规作图，
已知∠AOB，
求作∠AOB的
初中数学 如何画出一个角的平分线
初中数学如何画出一个角的平分线
要画出一个角的平分线，我们可以采用以下步骤：
步骤1：准备工作
在纸上用直尺绘制一个角。
我们可以使用直尺的一条边作为角的一条边，然后用另一条边延长出来作为另一条边。
确保角的两边相交于一个顶点。
步骤2：确定角的平分线的起点
在角的顶点处，使用直尺绘制一条线段，作为平分线的起点。
这个起点可以是任意长度，只需确保它足够长以后续步骤的绘制。
步骤3：以顶点为中心，绘制一个圆弧
以角的顶点为中心，使用指定的半径，在角的两个边上各绘制一个圆弧。
这两个圆弧应该相交于一个点，这个点将成为平分线与角的顶点相交处。
步骤4：以圆弧相交点为半径，作两个圆弧
以圆弧相交点为圆心，以相同的半径作两个圆弧。
这两个圆弧应该分别与角的两个边相交，分别在两个边的延长线上。
步骤5：连接起点和两个相交点
使用直尺连接平分线的起点与两个圆弧相交点，分别得到与角的两个边相交的点。
这两个点将成为平分线与角的两个边相交处。
步骤6：连接起点和角的顶点
使用直尺连接平分线的起点与角的顶点，得到平分线的终点。
至此，我们成功地画出了角的平分线。
需要注意的是，如果角的两边相交于一个直角或钝角的顶点，那么平分线的绘制将稍有不同。
在这种情况下，我们需要将角的两边延长，使其相交于一个锐角的顶点，然后按照上述步骤进行绘制。
总结起来，画出一个角的平分线的步骤包括准备工作、确定平分线的起点、绘制圆弧、连接起点和圆弧相交点、连接起点和角的顶点。
通过这些步骤，我们可以准确地画出角的平分线。
专题08 三角形中的重要模型-平分平行(平分射影)构等腰、角平分线第二定理模型
三角形中的重要模型-平分平行（平分射影）构等腰、角平分线第二定理模型角平分线在中考数学中都占据着重要的地位，角平分线常作为压轴题中的常考知识点，需要掌握其各大模型及相应的辅助线作法，且辅助线是大部分学生学习几何内容中的弱点，，本专题就角平分线的非全等类模型作相应的总结，需学生反复掌握。
平分平行（射影）构等腰模型、角平行线第二定理模型（内角平分线定理和外角平分线定理模型） 模型1、平分平行（射影）构等腰1）角平分线加平行线必出等腰三角形．模型分析：由平行线得到内错角相等，由角平分线得到相等的角，等量代换进行解题．平行线、角平分线及等腰，任意由其中两个条件都可以得出第三个。
（简称：“知二求一”，在以后还会遇到很多类似总结）。
平行四边形中的翻折问题就常出现该类模型。
图1 图2图3 条件：如图1，OO ’平分∠MON ，过OO ’的一点P 作PQ//ON. 结论：△OPQ 是等腰三角形。
条件：如图2，△ABC 中，BD 是 ∠ ABC 的角平分线，DE ∥ BC 。
结论：△BDE 是等腰三角形。
条件：如图3，在中，平分，平分，过点O 作的平行线与，分别相交于点M ，N ．结论：△BOM 、△CON 都是等腰三角形。
2）角平分线加射影模型必出等腰三角形．→图4条件：如图4，BE 平分∠CBA ，∠ACB ＝∠CDA ＝90°. 结论：三角形CEF 是等腰三角形。
ABC !BO ABC ÐCO ACB ÐBC AB AC FCDE××○○×线交于点．若，则的度数为（ ）A ．B ．C ．D ．例2．（2023.湖南长沙八年级期中）如图，点O 为△ABC 的∠ABC 和∠ACB 的平分线的交点，OD // AB 交BC 于点D ， OE // AC 交BC 于点E ．若AB =5 cm ，BC =10 cm ，AC =9 cm ，则△ODE 的周长为( )A ．10 cmB ．9 cmC ．8 cmD ．5 cm例3．（2023·广东·八年级期末）如图，▱ABCD 中，AB ＝3cm ，BC ＝5cm ，BE 平分∠ABC 交AD 于E 点，CF 平分∠BCD 交AD 于F 点，则EF 的长为 cm ．例4.（2023.成都市青羊区八年级期中）如图，在中，，于点D ，的平分线BE 交AD 于F ，交AC 于E ，若，，则_____________．例5．（2023.山东八年级期末）如图①，△ABC 中，AB =AC ，∠B 、∠C 的平分线交于O 点，过O 点作EF ∥BC 交AB 、AC 于E 、F .(1)图①中有几个等腰三角形?猜想:EF 与BE 、CF 之间有怎样的关系.(2)如图②,若AB ≠AC ，其他条件不变，图中还有等腰三角形吗?如果有，分别指出它们.在第(1)问中EF 与BE 、CF 间的关系还存在吗?(3)如图③，若△ABC 中∠B 的平分线BO 与三角形外角平分线CO 交于O ，过O 点作OE ∥BC 交AB 于E ，交AC 于F .这时图中还有等腰三角形吗?EF 与BE 、CF 关系又如何?说明你的理由.AF 1l B 130BCA Ð=°1Ð20°25°30°50°ABC △90BAC Ð=°AD BC ^ABC Ð3AE =2DF =AD =ABF EDC模型2、角平行线第二定理（内角平分线定理和外角平分线定理）模型图1 图2图3例5.（2022秋·北京·八年级北京八十中校考期中）在中，D 是边上的点（不与点B 、C 重合），连接．(1)如图1，当点D 是边的中点时，_____；(2)如图2，当平分时，若，，求的值（用含m 、n 的式子表示）；(3)如图3，平分，延长到E ．使得，连接，若，求的值．ABC !BC AD BC :ABD ACD S S =△△AD BAC ÐAB m =AC n =:ABD ACD S S △△AD BAC ÐAD AD DE =BE 3,5,10BDE AC AB S ===△ABC S !课后专项训练1．（2023春·山东淄博·九年级校考期中）如图，中，，点I 为各内角平分线的交点，ABC !90ABC Ð=°ABC !11．（2023秋·安徽滁州·八年级统考期末）12.（2023.广东九年级期中）如图所示，在△ABC 中，BC =6，E 、F 分别是AB 、AC 的中点，动点P 在射线EF 上，BP 交CE 于D ，∠CBP 的平分线交CE 于Q ，当CQ =CE 时，EP +BP =________.13．（2023春·山东淄博·七年级统考期末）如图，在中，，是斜边上的高，的平分线交于点，交于点．(1)求证：是等腰三角形．(2)若，．求的长度．14．（2023秋·江苏·八年级专题练习）如图，在中，，是边上的高，是的角平分线，与交于点，求证：是等腰三角形．15．（2023广东江门八年级月考）（1）如图1，已知，在中，，平分，平分，过点作，分别交、于、两点，则图中共有________个等腰三角形：与、之间的数量关系是________，的周长是________．（2）如图2，若将（1）中“中，”改为“若为不等边三角形，，”其余条件不变，则图中共有________个等腰三角形；与、之间的数量关系是什么？证明你的结论，并求出的周长．13ABC !90ACB Ð=°CE AB ABC ÐBD CE M AC D CDM V 10AB =8AC =ME ABC !90ACB Ð=°CD AB AE BAC ÐAE CD F CEF △ABC !10AB AC ==BD ABC ÐCD ACB ÐD EF BC AB AC E F EF BE CF AEF △ABC !10AB AC ==ABC !8AB =10AC =EF BE CF AEF △（3）已知：如图3，在外，，且平分，平分的外角，过点作，分别交、于、两点，则与、之间又有何数量关系呢？写出结论并证明．16.（2022秋·福建厦门·八年级厦门市湖里中学校考期中）如图，为的角平分线．（1）如图1，若于点，交于点，，．则________； （2）如图2，若，，的面积是10，求的面积；（3）如图3，若，，，请直接写出的长（用含，的式子表示）D ABC !AB AC >BD ABC ÐCD ABC !ACG ÐD DE BC AB AC EF EF BE CF AD ABC D CE AD ^F AB E 7AB =5AC =BE =7AB =5AC =ACD D ABC D 2C B Ð=ÐAB m =AC n =BD m n。
【数学课件】角平分线的性质(1)
A
E D
B
C
练一练
2. 在△ABC中，AC⊥BC，AD为∠BAC的 平分线，DE⊥AB，AB＝7㎝，AC＝3㎝，求 BE的长。
A
E
C
B
D
在∠AOB的平分线 OC上任取一点P，然后， 作点P到∠AOB两边的 垂线段PD、PE，画一 画，量一量，从中你有 什么新发现？你能说明 其中的道理吗？
几何语言：
∵OC是∠AOB的平分线，
A
D C
PD⊥OA，PE⊥OB
∴PD=PE
B
P
·
E
O
一起来证明这个性质：
已知： ∠AOC= ∠BOC,点P 在OC上， PD ⊥OA,PE ⊥OB, 求证: PD=PE
证明：
C
A D
证明一个几何命题的步骤： 1. 2. 3.
（课本21页）
P
·
E
O
B
1. 在Rt△ABC中， ∠C 为直角，BD平分 ∠ABC，DE⊥AB于E，则：
好好学习，天天向上。
角平分线上的点到角两边 的距离相等。
从这节课中你 有哪些收获？
课堂小测
• 堂堂清
作 业
• 1.课本22页第2题。（作业本） • 2.练习册 • 3.预习教材21页。自学例题并思考点P在角 A的平分线上吗？ • 能力提升题：
课本23页第5题。（作业本）
1、做老师的只要有一次向学生撒谎撒漏了底，就可能使他的全部教育成果从此为之毁灭。——卢梭 2、教育人就是要形成人的性格。——欧文 3、自我教育需要有非常重要而强有力的促进因素——自尊心、自我尊重感、上进心。——苏霍姆林斯基 4、追求理想是一个人进行自我教育的最初的动力，而没有自我教育就不能想象会有完美的精神生活。我认为，教会学生自己教育自己，这是一种 最高级的技巧和艺术。——苏霍姆林斯基 5、没有时间教育儿子——就意味着没有时间做人。——（前苏联）苏霍姆林斯基 6、教育不是注满一桶水，而且点燃一把火。——叶芝 7、教育技巧的全部奥秘也就在于如何爱护儿童。——苏霍姆林斯基 8、教育的根是苦的，但其果实是甜的。——亚里士多德 9、教育的目的，是替年轻人的终生自修作准备。——R.M.H. 10、教育的目的在于能让青年人毕生进行自我教育。——哈钦斯 11、教育的实质正是在于克服自己身上的动物本能和发展人所特有的全部本性。——（前苏联）苏霍姆林斯基 12、教育的唯一工作与全部工作可以总结在这一概念之中——道德。——赫尔巴特 13、教育儿童通过周围世界的美，人的关系的美而看到的精神的高尚、善良和诚实，并在此基础上在自己身上确立美的品质。——苏霍姆林斯基 14、教育不在于使人知其所未知，而在于按其所未行而行。——园斯金 15、教育工作中的百分之一的废品，就会使国家遭受严重的损失。——马卡连柯 16、教育技巧的全部诀窍就在于抓住儿童的这种上进心，这种道德上的自勉。要是儿童自己不求上进，不知自勉，任何教育者就都不能在他的身 上培养出好的品质。可是只有在集体和教师首先看到儿童优点的那些地方，儿童才会产生上进心。——苏霍姆林斯基 17、教育能开拓人的智力。——贺拉斯 18、作为一个父亲，最大的乐趣就在于：在其有生之年，能够根据自己走过的路来启发教育子女。——蒙田 19、教育上的水是什么就是情，就是爱。教育没有了情爱，就成了无水的池，任你四方形也罢、圆形也罢，总逃不出一个空虚。班主任广博的爱 心就是流淌在班级之池中的水，时刻滋润着学生的心田。——夏丐尊 20、教育不能创造什么，但它能启发儿童创造力以从事于创造工作。——陶行知
角平分线的画法的依据
角平分线的画法的依据角平分线是一个重要的几何概念，它指的是将一个角分成两个相等的角的直线。
在数学中，角平分线被广泛应用于各种几何问题的解决中，因此了解和掌握角平分线的画法是非常重要的。
本文将介绍角平分线的画法的依据，并详细解释如何准确地画出角平分线。
首先，我们需要了解角平分线的定义。
角平分线是从某个角的顶点开始，将该角分成两个相等角的直线。
在画角平分线之前，需要先画出待分角。
给定一个角ABC，其中A为顶点，角度为θ。
为了构造角ABC的角平分线，我们需要遵循以下步骤：1. 使用直尺绘制一条从角的顶点A开始的射线AC。
这条射线将成为角的一条边，并且应该足够长以确保角平分线与角的另一条边相交。
2. 使用直尺绘制一条从角的另一条边AB上的任意一点B开始的射线BD。
这条射线应该与射线AC相交，并且尽可能接近垂直于射线AC。
3. 通过使用指南针工具，设置一个合适的半径，将B作为圆心在射线AC上绘制一个弧段，与射线BD两次相交。
这两个相交点分别标记为E和F。
4. 使用直尺绘制一条连接顶点A和弧段上的任意一个交点E的直线AE。
同样，使用直尺绘制一条连接顶点A和弧段上的另一个交点F 的直线AF。
5. 直线AE和直线AF分别是角ABC的两条平分线，因为它们将角ABC分成两个相等角。
根据以上步骤，我们可以成功地绘制出角ABC的角平分线。
这个方法的依据主要是基于几何学中的一些公设和定理。
首先，我们应用了平行公设和定理。
在步骤1中，我们绘制了从顶点A开始的射线AC，这条射线与角的一条边AB平行。
在步骤2中，我们绘制了从角的另一条边AB上的点B开始的射线BD，该射线应该足够接近垂直于射线AC。
通过这样的构造，我们可以得到一条平行于射线AC的射线BD，并且这两条射线相交于角ABC的顶点A。
其次，我们应用了圆的性质。
在步骤3中，我们使用圆心B和半径BE（或BF）在射线AC上绘制了一个弧段。
根据圆的性质，弧段上的任意两个点与圆心B的距离相等。
初中数学《角的平分线的性质(第1课时)》教学设计
教学设计（一）创设情景，提出问题如图是小明制作的风筝，AB=AD，BC=DC．不用度量，就知道AC是∠DAB的角平分线，你知道其中的道理吗？师生活动：学生根据三角形全等的知识口述其中的道理，从而引入新课．（二）合作探究，形成知识问题1：在练习本上画一个角，怎样得到这个角的平分线？师生活动：学生可能用量角器，也可能用折纸的方法动手操作，然后回答问题．追问1：你能评价这些方法吗？在生产生活中，这些方法是否可行呢？师生活动：学生分析并回答──利用量角器比较方便，但是有误差；利用折叠的方法比较简捷，但是只限于可以折叠的材质，若在木板、钢板等材料上操作，此方法就不可行了．追问2：下图是一个平分角的仪器，其中AB =AD，BC =DC，将点A 放在角的顶点，AB 和AD 沿着角的两边放下，沿AC 画一条射线AE，射线AE 就是∠DAB 的平分线．你能说明它的道理吗？师生活动：教师启发学生将实际问题抽象为数学模型，并运用全等三角形的知识解释平分角的仪器的工作原理．小组交流完成教学过程教学环节教学活动评估要点追问3：从利用平分角的仪器画角的平分线中，你受到哪些启发？如何利用直尺和圆规作一个角的平分线？师生活动：师生分别在黑板和练习本上利用直尺和圆规作∠AOB的平分线．教师与学生共同归纳，得出利用尺规作角的平分线的具本方法．如果学生没有思路，教师可作如下提示：1．在用平分角的仪器画角的平分线时，把仪器放在角的两边，仪器的顶点与角的顶点重合，且仪器的两边相等（AB=CD），怎样在作图中体现这个过程呢？2．在平分角的仪器中，BC=DC，怎样在作图中体现这个过程呢？追问4：你能说明为什么射线OC是∠AOB的平分线吗？师生活动：学生用三角形全等进行证明，明确作图的理论依据．【设计意图】让学生运用全等三角形的知识解释平分角的仪器的工作原理，体会数学的应用价值，同时从中获得启发，用尺规作角的平分线，增强作图技能．最后让学生在简单推理的过程中体会作法的合理性．问题2 利用尺规我们可以作一个角的平分线，那么角的平分线有什么性质呢？首先思考下面的问题：1．操作测量：任意作一个角∠AOB，作出∠AOB的平分线OC，在OC上任取一点P，取点P的三个不同的位置，分别过点P作PD⊥OA，PE ⊥OB，点D、E 为垂足，测量PD、PE的长．将三次数据填入下表：此处的思考内容，重在发展学生的发散思维，肯定学生的闪光点2．观察测量结果，猜想线段PD与PE的大小关系，写出结论：____________ 3．通过以上测量，你发现了角的平分线的什么性质？师生活动：学生动手操作，独立思考，然后汇报自己的发现．学生互相补充，教师指导，一起猜想出角的平分线的性质．追问1：通过动手实验、观察比较，我们猜想“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，你能通过严格的逻辑推理证明这个结论吗？1．明确命题中的已知和求证．已知：一个点在一个角的平分线上．结论：这个点到这个角两边的距离相等．（如果一个点在一个角的平分线上，那么这个点到这个角两边的距离相等）2．根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证．已知：如图，∠AOC=∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D、E．求证：PD=PE．3．经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程．证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB (已知)∴∠PDO= ∠PEO=90°(垂直的定义)∴在△PDO和△PEO中∴△PDO ≌△PEO（AAS）∴PD=PE（全等三角形的对应边相等）符号语言：∵∠AOC=∠BOC，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D、E，∴PD=PE．师生活动：教师首先引导学生分析命题的条件和结论．如果学生感到困难，可以让学生将命题改写成“如果……那么……”的形式，然后引导学生逐字分析结论，进而发现并找出结论中的隐含条件（垂直）．最后让学生画出图形，用符号语言写出已知和求证，并独立完成证明过程．学生动手操作，独立思考，然后汇报自己的发现．学生互相补充，教师指导，追问2：由角的平分线的性质的证明过程，你能概括出证明几何命题的一般步骤吗？师生活动：师生共同概括证明几何命题的一般步聚：1．明确命题中的已知和求证．2．根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证．3．经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程．追问3：角的平分线的性质的作用是什么？师生活动：学生回答，角的平分线的性质的作用主要是用于判断和证明两条线段相等，与以前的方法相比，运用此性质不需要先证两个三角形全等．【设计意图】让学生通过实践发现、分析概括、推理证明角的平分线的性质，体会研究几何问题的基本思路．以角的平分线的性质的证明为例，让学生概括证明几何命题的一般步聚，发展他们的归纳概括能力．而反思性质，可以让学生进一步体会到证明两条线段相等时利用角的平分线的性质比先证两个三角形全等更简捷．（三）巩固提高1．下列结论一定成立的是（）A．如图1，OC 平分∠AOB，点P 在OC 上，D，E 分别为OA，OB 上的点，则PD =PE．B．如图2，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D、E，则PD＝PE ．C．如图3，OC 平分∠AOB，点P 在OC 上，PD⊥OA，垂足为D．若PD =3，则点P 到OB 的距离为3．图1 图2 图32．如图4，△ABC中，∠B =∠C，AD 是∠BAC 的平分线，DE⊥AB，DF ⊥AC，垂足分别为E，F．求证：EB =FC．图4师生活动：学生先独立思考，然后小组交流，派代表回答，教师适时点拨，并板演证明过程．【设计意图】通过有梯度的训练，提高学生运用角的平分线的性质解决问题的能力．板书设计性质一：角的平分线上的点到角的内部到角的两边的距离相等∵∠POA=∠POB（OP平分∠AOB）PA⊥OA、PB⊥OB∴PA=PB课后作业如图， OP 为∠AOB 内一条射线， C，D 分别为 OA ，OB 上两点，且∠PCO+∠PDO＝180°， PC＝PD．求证： OP 平分∠A0B．课后反思本课时重在理解掌握性质定理一，并将其灵活应用到具体的几何问题中去，一定要让学生明白应用的前提是“角平分线”，1是角平分线，2是涉及到垂直（或90度），两者缺一不可。
角平分线的画法及原理
角平分线的画法及原理宝子，今天咱们来唠唠角平分线这个超有趣的东西呀。
先来说说角平分线的画法吧。
咱有一种特别简单又好玩的方法哦。
拿个圆规来，把圆规的针尖放在角的顶点上，然后随便画个弧，这个弧呢就和角的两条边都相交啦。
这就像是给角的两边都戴了个小帽子一样，是不是很可爱呢？接着呢，不要动圆规的半径哦，分别以刚才和角两边相交的那两个点为圆心，再画两个小弧，这两个小弧呀就会在角的内部相交啦。
最后呢，用直尺把角的顶点和这个相交点连起来，哇塞，这条线就是角平分线啦。
就好像是找到了角这个小世界里最公平的那条分割线一样呢。
那为啥这么画就能得到角平分线呢？这就涉及到一些超酷的原理啦。
咱先看那第一步画的弧，它和角的两边相交得到的那两个点到角的顶点的距离是相等的呀，因为是用同一个半径画的弧嘛。
然后呢，后面又分别以这两个点为圆心画弧，这两个小弧相交的那个点到这两个点的距离也是相等的。
这就像是在角的内部找到了一个到角两边距离都相等的神秘点呢。
从数学的角度来说，角平分线的定义就是把一个角平均分成两个相等的角的线。
我们这么画出来的线，它具有一个超厉害的性质，就是角平分线上的点到角两边的距离相等。
想象一下哦，如果我们在角平分线上随便取一个点，然后向角的两边作垂线，这两条垂线的长度是一样的呢。
这就好像是这个点在角的两边之间找到了一种完美的平衡。
咱再换个角度想，就像分蛋糕一样，如果要把一个角这个“蛋糕”分成相等的两部分，我们通过这样画弧、找交点、连线的方式，就精准地找到了那条分界线。
而且呀，这个方法是经过很多很多聪明的数学家验证过的，超级靠谱呢。
其实角平分线在生活中也有很多应用呢。
比如说在建筑设计里，如果要设计一个对称的建筑，可能就会用到角平分线的知识来确定一些对称轴之类的。
还有在一些艺术创作里，要是想把一个图案按照某个角平均分开，也能用到这个方法哦。
宝子，你看这角平分线是不是既好玩又超级有用呢？它就像是数学这个大宝藏里的一颗亮晶晶的小宝石，虽然看起来小小的，但是蕴含着很多很多的智慧呢。
初中数学角平分线问题的六种方法
初中数学角平分线问题的六种方法
角平分线是指将一个角分成两个相等的角的线。
在初中数学中，有六种常见的方法可以求解角平分线问题。
方法一：作弧上的等分线法
以角的顶点为圆心，画一个圆，并将圆分成需要的等分数。
然后将等分点和角的两个端点相连，这些线段就是所求的角平分线。
方法二：作垂线法
以角的一边为直径作一个圆，然后将另一边的端点与圆上的点连成线段。
连接角的两个顶点与圆心，这两条线段就是所求的角平分线。
方法三：作过顶点的角平分线法
以角的顶点为圆心，任意作一个大于角的两边的弧，将弧上的两个点与角的两个端点连成线段。
连接圆心与弧的两个端点，这两条线段就是所求的角平分线。
方法四：作等距离线段法
以角的一边为直径作一个圆，在圆上选择等距离原点的多个点，然后将这些点与角的两个端点连成线段。
与角度相等的线段即为所求的角平分线。
方法五：作锐角三等分线法
将角分成三个相等的锐角，然后以这三个锐角的顶点为圆心，分别作三个圆。
连接圆心与圆上的点，这些线段即为所求的角平分线。
方法六：利用角度性质法
利用角的度数关系来求解角平分线。
如果角的两边垂直，则角平分线就是两边的垂线；如果角的两边相等，则角平分线就是两边的中垂线；如果角的两边呈比例关系，则角平分线是两边之比的垂线。
以上六种方法是初中数学中常见的角平分线求解方法。
每种方法都有其独特的应用场景，根据题目给出的条件，选择合适的方法来求解即可。
同时，理解角平分线的定义和性质，掌握角的几何构造技巧，也能在解决问题中起到很好的帮助作用。
画角平分线PPT教学课件
方法： 搜集一些关于鸟的歌曲，并学唱。如歌曲《飞吧，鸽子》。
4、鸟与科学
方法： 阅读《古鸟化石》、《飞机与鸟》、《鹰眼的启示》等文章，也可再搜集些类似 的资料，谈谈鸟给人类科学研究带来的启发。
5、鸟文化博览会
方法： 用一节课的时间来展示学生的探究成果。如：诗歌朗诵、歌曲、 绘画、文学短评 集、话题讨论“人与鸟”等。
爱护大自然
的每一个生命， 也是给我们多留 一份生存的空间。
活动过程
1、鸟与美学——欣赏鸟的体形美、色彩 美、鸣声美、飞翔的姿态美以及鸟所具 有的人性美
方法：①亲自饲养鸟儿，进行零距离观察；
②欣赏图片、录像。（推荐新纪录片《鸟 的迁徙》）
③谈谈自己最欣赏鸟的什么美，为什么。
2、鸟与文学
方法： 1、搜集写鸟的精彩片段或古诗句进行积累并诵读。 2、欣赏配乐散文《鸟的故事》、《珍珠鸟》，写文学短评。 3、阅读《鸽子》和《空山鸟语》，完成书上的习题。
顶角∠BAC=∠α， ∠BAC的平 分线为m。
m
• 已知△ABC中，∠A=900，
• 求作⊙P，使圆心P在AC上，且 与AB、BC的两边都相切。
C
A
B
• 说说本节你的收获、体会、疑 惑
鸟
自
然
专 题
精
探 究
灵
方
案
活动目的
1、对鸟的种类、形态特征、生活 习性、生存状态能有一些了解。 2、能从观鸟的过程中获得美感。 3、能继续训练想象能力。 4、能正确认识鸟与人的关系。
尺规作图画角平分线
九年级数学组
复习
• 看图填空。 • （1）在
上截取
•
=
=
；
（2）以
九年级数学角平分线
到一个角的两边的距 离相等的点，在这个 角的平分线上。
常见误区及纠正方法
01
误区一
认为角平分线就是角的对称轴。实际上，角平分线所在的直线是这个角
的对称轴，但角平分线本身不是对称轴。
02 03
误区二
认为角平分线将角所在的平面分成面积相等的两部分。实际上，这个结 论只在一些特殊情况下成立，例如当角是直角或角所在的三角形是等腰 三角形测量建筑物的角 度，利用角平分线的性质可以简化测量过 程并提高精度。
在地理定位中，可以利用角平分线判断两 个地点之间的相对方向，从而确定目标位 置。
军事领域中阵地布局
物理学中光线传播路径分析
在军事领域中，角平分线可用于阵地布局 和火力分配，提高作战效率。
在物理学中，光线传播遵循直线传播和反 射定律，利用角平分线可以分析光线在不 同介质中的传播路径。
PART 05
角平分线在实际问题中应 用
REPORTING
WENKU DESIGN
角度测量问题解决方法
利用角平分线性质定理
角平分线将相邻两边按比例分割，根据已知角度和边长，可求解 未知角度。
构造全等三角形
通过角平分线构造两个全等三角形，利用全等三角形的性质求解角 度。
应用三角函数
在直角三角形中，利用角平分线与对边所形成的角，结合三角函数 求解角度。
答案及详细解析提供
练习题2答案及解析
解：过点D作DE⊥AB于点E。由于AD平分∠BAC，∠C=90°，所以CD=DE。在Rt△BDE和Rt△ACD中，由 于∠BDE=∠ADC=90°，∠B=∠CAD，所以Rt△BDE∽Rt△ACD。因此，BD:AD=DE:CD。设CD=7x，则 BD=9x。由于BC=32，所以7x+9x=32，解得x=2。因此，CD=14，DE=CD=14。所以点D到AB的距离 为14。
【数学(人教版)】角的平分线的性质(第二课时)
回顾 利用尺规作角的平分线: 已知：∠AOB（如图）． 求作：∠AOB的平分线．
A
O
B
回顾 角的平分线的性质
角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
符号语言：
A
∵∠AOP = ∠BOP （OP平分∠AOB）， PD⊥OA于D，
D C
P
PE⊥OB于E，
O
EB
∴PD = PE．
课后作业
1.（教材51页 习题12.3第1题）用三角尺可按下面方 法画角平分线，在已知的∠AOB的两边上，分别取 OM = ON，再分别过点M、N作OA，OB的垂线， 交点为P，画射线OP，则OP平分∠AOB，为什么？
2 ．如图所示，在△ABC中：
（1）下列操作中，作∠ABC的平分线的正确顺序
是
（3）若AB = 18，BC = 12，S△ABC = 120，过点D作 DE⊥AB于点E，求DE的长．
例 如图，△ABC中，AD 是它的角平分线，且BD = CD， DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F． 求证：EB = FC．
A
E
F
B
D
C
证明： ∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE = DF（角的平分线的性质）．
B H
CP
作法：作∠ABC的平分线， 交AC于点P．则点P为所求． 证明：作PH⊥AB于H． A ∵∠C = 90°，∴PC⊥AC． ∴PC = PH．
．（将序号按正确顺序写在横线上）
①分别以点M，N为圆心，大于 MN的长为半径作弧，
在∠ABC内，两弧交于点P；
②以点B为圆心，适当长为半径
作弧，交AB于点M，交BC于N点；
③画射线BP，交AC于点D．
角平分线的八种画法
角平分线的八种画法角平分线是数学中非常重要的一个概念，在几何、代数、微积分等各个分支学科中，角平分线具有重要的作用。
今天就让我们重新认识角平分线，探讨一下它的绘制方法。
角平分线的定义是：对它的定义，从图形上可以看出，是将角分成两个相等的部分。
在几何学中，一个角可以用角度来表示，用符号ABC来表示角ABC，其中A为角的起点，B、C为角的顶点，BC为角的终点。
角平分线就是将这个角ABC分成两个相等的角，即∠ABD =CDB，其中D为角平分线的点。
对于角平分线的画法，一共有八种方法，它们分别是：1.知边、角和角平分线，求其余边：这类问题属于角平分线的最常见的应用方式。
根据所给的信息，通过三角函数的运用可以确定其余两边的值，从而画出该角平分线所在的三角形。
2.知两边和它们间夹角，求角平分线：这类问题也属于角平分线常见的应用情况之一。
根据所给的两边及夹角，通过正弦定理可以求出其相交的夹角，从而再经过三角函数的运算即可找到角平分线的点。
3.知一边、角和相邻边，求角平分线：这类角平分线问题也属于常见的计算情形。
根据所给的信息，通过角平分线的定义，很轻松地可以求得该点在三角形ABC中的位置。
4.知三角形的两边和非邻角，求角平分线：这类问题也属于角平分线的特殊情形。
由于一个正数的平方根只有一个，因此，可以根据此性质，计算出的平方根值是唯一的，可以求得角平分线点的位置。
5. 从角ABC的端点构造角平分线：这是构造角平分线最简单的方法，也是最直观的方法之一。
从角ABC的两个端点出发，向内部夹角的中心点D画一条线段，即为角平分线点D。
6.角平分线的两顶点连线，构成的新的角平分线：这是一种比较新颖的画法，可以将角平分线构筑成一个褶缝状，角ABC的两个顶点如果连线，就可以构成一条新的角平分线，此新角平分线达到同样的效果。
7.两边的中点把它们连线，构成的新的角平分线：这是一种比较新颖的画法，它可以使两边的中点ABC、BD和D连线，形成一条新的角平分线。
北师大版初中九年级上册数学课件 《角平分线》证明PPT课件
1
2
B
E' D C
得解；（2）有线
E
''
段的和差关系时， 常用截长补短法作
1
2
3
辅助线化和差关系 为相等关系。
角的平分线
线段的垂直平分线
A
D
C
P
M P
O
E
B
A
B
N
定理1：在角的平分线上的点到这个角 定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两
的两边的距离相等。
个端点的距离相等。
定理2：到一个角的两边的距离相等的 逆定理：和一条线段两个端点距离相等的
点，在这个角的平分线上。
点，在这条线段的垂直平分线上。
线段的垂直平分线可以看作是和线段两上端 角的平分线是到角的两边距离相等的所点距离相等的所有点的集合 有点的集合
点的集合是一条射线
点的集合是一条直线
作业（必做题）：课本：习题，配套练习
问题探讨： 1、如图，如图所示∆ABC中， AD⊥BC于D，∠B=2∠C。求 证：AB+BD=CD。 若在ΔABC中，AD⊥BC于D， AB+BD=DC试问：∠B与∠C是 什2、么在关V型系公？路（∠AOB）内部，
认知结构中去.
问题引入
如图，浑南新区一个工厂，在公路西侧，到公 路的距离与到河岸的距离相等，并且与河上公 路桥较近桥头的距离为300米。你能尝试确定工 厂的位置吗？并说明理由。
北
比例尺1：20000
例1、如图，某开发区有一个工厂在公路西侧， 到公路的距离与到河岸的距离相等，并且与河 上公路桥较近桥头的距离为300米。你能尝试确 定工厂的位置吗？并说明理由。
DA
分析:要证明PD=PE,
九年级数学画角平分线
初中数学画角平分线教案
初中数学画角平分线教案教学目标：1. 知识与技能：了解角的平分线的概念，学会用尺规作图的方法画出一个角的平分线。
2. 过程与方法：通过实际操作，培养学生的观察能力、操作能力和解决问题的能力。
3. 情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的合作意识和创新精神。
教学重点：1. 角的平分线的概念。
2. 尺规作图的方法画角的平分线。
教学难点：1. 理解角的平分线的性质。
2. 熟练运用尺规作图的方法画角的平分线。
教学准备：1. 尺子、圆规、直尺、橡皮擦等作图工具。
2. 教学PPT或黑板。
教学过程：一、导入新课1. 引导学生回顾之前学过的知识，如角的概念、角的分类等。
2. 提问：同学们，你们知道如何画一个角的平分线吗？二、探究新知1. 讲解角的平分线的概念：角的平分线是将一个角平分成两个相等角的直线。
2. 演示如何用尺规作图的方法画角的平分线：a. 以角的顶点O为圆心，任意长为半径画一个圆弧，交角的两边AB和AC于点M和N。
b. 以点M和N为圆心，大于MN长为半径画两个圆弧，分别交角的两边于点P和Q。
c. 连接点P和Q，线段PQ即为所求的角的平分线。
3. 让学生分组合作，尝试自己画出几个角的平分线，并观察平分线与角的两边的关系。
三、巩固新知1. 提问：同学们，你们能总结出角的平分线的性质吗？2. 引导学生归纳角的平分线的性质：a. 角的平分线将角平分成两个相等角。
b. 角的平分线与角的两边垂直。
c. 角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
3. 举例说明角的平分线的性质在实际问题中的应用。
四、课堂练习1. 让学生独立完成练习题，巩固画角的平分线的方法。
2. 引导学生相互讨论，解决练习题中的问题。
五、总结1. 回顾本节课所学的内容，让学生再次确认角的平分线的概念和画法。
2. 强调角的平分线在实际问题中的应用价值。
教学反思：本节课通过引导学生回顾旧知识，引入新概念，让学生通过实际操作，掌握画角的平分线的方法。
数学：第一章-4.角平分线-第1课时-角平分线的性质与判定--课件(北师大版九年级上)
线段垂直平分线与角平分线的区别与联系： (1)都有“平分、距离相等”的特点． (2)线段的垂直平分线是一条直线；角平分线是一条射线． (3)三角形三边的垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距 离相等，三角形角平分线的交点到三边的距离相等．
角平分线性质定理的逆定理(难点) 3 ．如图 4 ，CD ⊥OA ，CE ⊥OB ，若 CD ＝CE ，则 C 在 ∠__A__O_B__的__角__平__分__线_．
图4 4．如图 5，已知 AB＝CD，△PAB 的面积与△PCD 的面积 相等．求证：OP 平分∠AOD.
图5 答案：略
用尺规作角的平分线 5．如图 6，在直线 MN 上求作一点 P，使点 P 到∠AOB 的 两边的距离相等(写出作法)．
图2
角平分线的性质定理(重点) 1．如图 3，P 是∠AOB 平分线上的一点，PC⊥OA，PD⊥ OB，垂足分别为 C、D，图中的两组相等的线段是P__C_＝__P_D__，__O_C_＝__O__D．
图3 2．两条小河相交成一个三角建一个小房子，并使房子到两条 小河的距离相等，但它不知该如何选址，你能帮帮它吗？ 答案：略
4.角平分线
第 1 课时 角平分线的性质与判定
1．角平分线的性质定理 探究： 如图 1，条件：①OP 平分∠AOB；②HM⊥OA，HN⊥OB. 结论：__H_M___＝__H__N__. 归纳：角平分线上的点到这个角的两边的距离__相__等__．
图1
2．角平分线性质定理的逆定理 在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角
的_平__分__线__形_上．
3．用尺规作角的平分线 已知：∠AOB(如图 2)．求作：射线 OC，使∠AOC＝∠BOC. 作法： ①在 OA 和 OB 上，分别截取 OD、OE，使 OD＝OE； ②分别以点 D、E 为圆心，大于___12_D_E___的长为半径作弧， 在∠AOB 内，两弧交于点 C； ③作射线____O_C___，则 OC 就是所求的射线.
(完整版)中考数学尺规作图专题复习(含答案)
中考尺规作图专题复习（含答案）尺规作图定义：用无刻度的直尺和圆规画图，中考中常见画的图是线段的垂线，垂直平分线，角平分线、画等长的线段，画等角。
1.直线垂线的画法：【分析】：以点C 为圆心，任意长为半径画弧交直线与A ，B 两点，再分别以点A ，B为圆心，大于的长为半径画圆弧，分别交直线l 两侧于点M ，N ，连接MN ，则MN 即12AB为所求的垂线2.线段垂直平分线的画法【分析】：作法如下：分别以点A ，B 为圆心，大于的长为半径画圆弧，分别交12AB 直线AB 两侧于点C ，D ，连接CD ，则CD 即为所求的线段AB 的垂直平分线.3.角平分线的画法l l【分析】1.选角顶点O 为圆心，任意长为半径画圆，分别交角两边A ，B 点，再分别以A ，B 为圆心，大于的长为半径画圆弧，交H 点，连接OH ，并延长，则射线OH 即为12AB 所求的角平分线.4.等长的线段的画法直接用圆规量取即可。
5.等角的画法【分析】以O 为圆心，任意长为半径画圆，交原角的两边为A,B 两点，连接AB ；画一条射线l ，以上面的那个半径为半径，l 的顶点K 为圆心画圆，交l 与L ，以L 为圆心，AB 为半径画圆，交以K 为圆心，KL 为半径的圆与M 点，连接KM ，则角LKM 即为所求.备注：1.尺规作图时，直尺主要用作画直线，射线，圆规主要用作截取相等线段和画弧；2.求作一个三角形，其实质是依据三角形全等的基本事实或判定定理来进行的；3.当作图要满足多个要求时，应逐个满足，取公共部分.例题讲解AB=BC=AC=a.例题1.已知线段a，求作△ABC，使解：作法如下:①作线段BC=a；（先作射线BD，BD截取BC=a）.②分别以B、C为圆心，以a半径画弧，两弧交于点A；③连接AB、AC.则△ABC要求作三角形.，∠A=∠α.例2.已知线段a和∠α，求作△ABC，使AB=AC=a解：作法如下：①作∠MAN=∠α；②以点A为圆心，a为半径画弧，分别交射线AM，AN于点B，C.③连接B，C.△ABC即为所求作三角形.例3.(深圳中考)如图，已知△ABC，AB<BC，用尺规作图的方法在BC上取一点P，使得PA＋PC＝BC，则下列选项中，正确的是(D)【解析】由题意知，做出AB的垂直平分线和BC的交点即可。
中考数学常见几何模型角平分线的基本模型(二)非全等类
专题08 角平分线的重要模型（二）非全等类角平分线在中考数学中都占据着重要的地位，角平分线常作为压轴题中的常考知识点，需要掌握其各大模型及相应的辅助线作法，且辅助线是大部分学生学习几何内容中的弱点，，本专题就角平分线的非全等类模型作相应的总结，需学生反复掌握。
模型1.双角平分线模型（导角模型） 【模型解读】双角平分线模型（导角模型）指的是当三角形的内角（外角）的平分线相交时，可以导出平分线的夹角的度数。
【模型图示】条件：BD ，CD 是角平分线.结论：1902BDC A∠=︒+∠1902BDC A ∠=︒-∠12BDC A ∠=∠ 1．（2022·广东·九年级专题练习）BP 是∠ABC 的平分线，CP 是∠ACB 的邻补角的平分线，∠ABP =20°，∠ACP =50°，则∠P =（ ）4231AFCB4321DAA．30°B．40°C．50°D．60°【答案】A【分析】据角平分线的定义以及一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，可求出∠P 的度数．【详解】∠BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，∠∠ABP=∠CBP=20°，∠ACP=∠MCP=50°，∠∠PCM是△BCP的外角，∠∠P=∠PCM−∠CBP=50°−20°=30°，故选：A．【点睛】本题考查三角形外角性质以及角平分线的定义，解题时注意：一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．2．（2022·山东·济南中考模拟）如图1，在△ABC中，∠BAC的平分线AD与∠BCA的平分线CE交于点O．∠ABC；(1)求证：∠AOC＝90°＋12(2)当∠ABC＝90°时，且AO＝3OD（如图2），判断线段AE，CD，AC之间的数量关系，并加以证明．∠MK=ML，角与第三个内角的数量关系”进行了探究．（1）如图1，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点P，∠A＝64°，则∠BPC＝；（2）如图2，△ABC的内角∠ACB的平分线与△ABC的外角∠ABD的平分线交于点E．其中∠A＝α，求∠BEC．（用α表示∠BEC）；（3）如图3，∠CBM、∠BCN为△ABC的外角，∠CBM、∠BCN的平分线交于点Q，请你写出∠BQC 与∠A的数量关系，并说明理由．（4）如图4，△ABC外角∠CBM、∠BCN的平分线交于点Q，∠A＝64°，∠CBQ，∠BCQ的平分线交于点P，则∠BPC＝°，延长BC至点E，∠ECQ的平分线与BP的延长线相交于点R，则∠R＝°．【分析】（1）根据三角形的内角和角平分线的定义；（2）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，用∠A与∠1表示出∠2，再利用∠E与∠1表示出∠2，于是得到结论；（3）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和以及角平分线的定义表示出∠EBC与∠ECB，然后再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解；（4）结合（1）（2）（3）的解析即可求得．【解答】解：（1）∵PB、PC分别平分∠ABC和∠ACB，∴∠PBC=12∠ABC，∠PCB=12∠ACB（角平分线的性质），∴∠BPC+∠PBC+∠PCB＝180°（三角形内角和定理），∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝180°﹣（12∠ABC+12∠ACB）＝180°−12（∠ABC+∠ACB）＝180°−12（180°﹣∠A）＝180°﹣90°+12∠A＝90°+12∠A＝90°+12×64°＝122°．故答案为：122°；（2）∵BE是∠ABD的平分线，CE是∠ACB的平分线，∴∠ECB=12∠ACB，∠ECD=12∠ABD．∵∠ABD是△ABC的外角，∠EBD是△BCE的外角，∴∠ABD＝∠A+∠ACB，∠EBD＝∠ECB+∠BEC，∴∠EBD=12∠ABD=12（∠A+∠ACB）＝∠BEC+∠ECB，即12∠A+∠ECB＝∠ECB+∠BEC，∴∠BEC=12∠A=12α；（3）结论∠BQC＝90°−12∠A．∵∠CBM与∠BCN是△ABC的外角，∴∠CBM＝∠A+∠ACB，∠BCN＝∠A+∠ABC，∵BQ，CQ分别是∠ABC与∠ACB外角的平分线，∴∠QBC=12（∠A+∠ACB），∠QCB=12（∠A+∠ABC）．∵∠QBC+∠QCB+∠BQC＝180°，∴∠BQC＝180°﹣∠QBC﹣∠EQB＝180°−12（∠A+∠ACB）−12（∠A+∠ABC），＝180°−12∠A−12（∠A+∠ABC+∠ACB）＝180°−12∠A﹣90°＝90°−12∠A；（4）由（3）可知，∠BQC＝90°−12∠A＝90°−12×64°=58°，由（1）可知∠BPC＝90°+12∠BQC＝90°+12×58°=119°；由（2）可知，∠R=12∠BQC＝29°故答案为119，29．【点评】本题考查了三角形的外角性质与内角和定理，熟记三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．4．（2022·辽宁沈阳·九年级期中）阅读下面的材料，并解决问题(1)已知在∠ABC中，∠A=60°，图1-3的∠ABC的内角平分线或外角平分线交于点O，请直接写出下列角度的度数，如图1，∠O＝；如图2，∠O＝；如图3，∠O＝；∠A(2)如图4，点O是∠ABC的两条内角平分线的交点，求证：∠O＝90°+12(3)如图5，在∠ABC中，∠ABC的三等分线分别与∠ACB的平分线交于点O1O2，若∠1＝115°，∠2＝135°，求∠A的度数．模型2.角平分线加平行线等腰现（角平分线+平行线）【模型解读】1）过角平分线上一点作角的一边的平行线，构造等腰三角形；2）有角平分线时，过角一边上的点作角平分线的平行线，交角的另一边的直线于一点，也可构造等腰三角形。
初中数学 什么是角平分线的性质
初中数学什么是角平分线的性质
角平分线是指将一个角分成两个相等的角的线段。
在初中数学中，角平分线有一些重要的性质，下面将详细介绍。
1. 角平分线将角分成两个相等的角：角平分线的最基本性质是将一个角分成两个相等的角。
这意味着，如果你画出一个角的角平分线，那么它将把角分成两个大小相等的部分。
2. 角平分线与角的两边相交：角平分线与角的两边相交。
也就是说，如果你画出一个角的角平分线，那么它将与角的两边相交于两个点，将角分成两个部分。
3. 角平分线与角的对边垂直：角平分线与角的对边垂直相交。
也就是说，如果你画出一个角的角平分线，那么它将与角的对边垂直相交于一个点。
4. 角平分线上的点到角的两边距离相等：角平分线上的任意一点到角的两边的距离相等。
也就是说，如果你选择角平分线上的任意一点，那么它到角的两边的距离将相等。
5. 角平分线可以应用于解决与角相关的问题：角平分线的性质可以应用于解决与角相关的问题。
例如，通过利用角平分线的性质，我们可以找到缺失的角度，证明两个角度相等，判断两个角度是否相似，以及解决与角度相关的几何问题等等。
总结起来，角平分线是指将一个角分成两个相等的角的线段。
角平分线将角分成两个相等的角，与角的两边相交，与角的对边垂直相交，角平分线上的点到角的两边距离相等。
角平分线的性质可以应用于解决与角相关的问题。
九年级数学角平分线知识点
九年级数学角平分线知识点角平分线，作为数学中的一个重要概念，是九年级数学教学内容中的一部分。
它在几何学中扮演着重要的角色，不仅是解决几何问题的关键，也是应用于实际生活中的数学原理之一。
本文将详细介绍角平分线的定义、性质和应用。
1. 定义角平分线是指一个线段将一个角分成两个相等的角。
具体来说，对于一个给定角ABC，在其中选择一个点D，并且连接AD，使其刚好平分角ABC，那么线段AD就是角ABC的平分线。
同样的，角的平分线也可以延长，即延长线段AD，则其也仍然保持平分角ABC。
2. 性质（1）角平分线上的任意一点都在该角的内部。
（2）一个角的内角平分线可以与该角的外角平分线相交。
（3）如果一个点在一个角的内角平分线上，那么该点到角两边的距离相等。
（4）如果一个角的两边被一条角平分线分为两个相等的线段，那么该角是一个直角。
（5）如果一个角的两边被一条角平分线分为两个不相等的线段，那么该角不是一个直角。
3. 应用角平分线的性质和定义在解决几何问题时发挥着重要的作用。
它被广泛应用于测量和校准领域。
例如，在地理测量中，我们可以利用角平分线的概念来确保准确测量两个点之间的距离。
在建筑设计中，使用角平分线可以保证建筑物的结构和比例的准确性。
此外，角平分线的性质还可以应用于证明问题。
证明某个角是直角或者某条线段是角平分线，都可以利用角平分线的性质进行推导。
通过使用角平分线的定义和性质，我们可以解决许多几何问题，并推广到更复杂的应用中。
总结起来，九年级数学中的角平分线知识点是十分重要的。
了解角平分线的定义、性质和应用，可以帮助我们更好地应用数学知识解决实际问题。
而且，角平分线的概念也为我们理解和学习更高级的几何概念打下了基础。
因此，在学习数学过程中，我们应该仔细研究角平分线的知识点，并在实践中加以运用。
通过不断练习和掌握，我们可以更好地应用角平分线解决实际问题，并提高数学解决问题的能力。
总的来说，角平分线是一个十分有用的数学概念，在解决几何问题和实际应用中起到了关键的作用。
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[填空题]城市普通中小学设卫生室，按学生人数（）比１的比例配备专职卫生技术人员。 [单选]民航VHF发射机在相对于1KHz，300Hz到3400Hz的频响变化为（）。A.≤±7dBB.≤±5dBC.≤±3dB [单选,A2型题,A1/A2型题]透明大体标本的制作，用以下哪种物质保存标本可以继续透明，增加标本的透明度（）。A.冬青油B.石蜡C.树胶D.二甲苯E.乙醇 [多选]下列关于业绩的非财务计量的表述中，正确的有()。A、非财务计量不可以直接计量创造财富活动的业绩B、非财务计量可以计量公司的长期业绩C、非财务计量的综合性、可计量性和可比性等都不如财务计量D、非财务计量属于业绩评价的辅助工具 [单选,A1型题]过敏性休克，治疗应首选的药物是（）。A.地塞米松B.肾上腺素C.甲氰咪胍D.低分子右旋糖酐E.间羟胺 [填空题]平衡氨含量随压力的（）、温度的（）、和惰性气体含量降低而增加。 [单选]大多数花卉生长期间最适宜的水分为田间持水量的（），一般前期少，中期多，后期又少。A、20%~30%B、30%~50%C、50%~80%D、40%~70% [单选]好发于肥胖多汗者或糖尿病病人的腹股沟、会阴、腋窝、乳房下等皱褶部位，皮损为局部潮红、浸渍、糜烂，界限清楚，边缘附着鳞屑，外周常有散在炎性丘疹、丘疱疹及脓疱的是（）A.口腔念珠菌病B.念珠菌性间擦疹C.慢性皮肤黏膜念珠菌病D.生殖器念珠菌病E.念珠菌性肉芽肿 [单选,B1型题]治疗血管瘤常用（）。A.氩离子激光B.准分子激光C.半导体激光D.CO2激光E.Nd：YAG激光 [问答题]北京某工程据统计混凝土实物工作量约为23000m3，混凝土为（商混）不考虑现场搅拌，混凝土养护用水定额取700L/m3；拟定结构及前期阶段施工工期为300d；每天按照1.5个工作班计算。其中：K1=1.1，Q1=23000m3，N1=7501/m3，T1=120d，t=1.5班，K2=1.5。生活区高峰人数为500人， [单选]产地加工中，刮去大黄外皮时忌用A.竹器B.木器C.瓷器D.铜器E.铁器 [单选]关于卵巢赘生性囊肿的描述哪个不对()A．表面光滑者多为良性B．囊性者多为良性C．可为双侧D．实性、活动受限者多为恶性E．恶性者表面多规则 [多选]护理科研最基本的准则是（）。A.实事求是B.尊重科学C.团结协作D.目的明确E.科研动机端正 [单选,A1型题]关于黄芩主要有效成分叙述错误的是（）A.黄芩素B.汉黄芩素C.汉黄芩苷D.京尼平苷E.黄芩苷 [单选]电动机的多地控制，其线路上控制按钮的连接原则是（）。A.启动按钮要并联B.停止按钮要并联C.启动按钮要串联D.都可以 [单选]哪种类型的网络攻击的特点是项要求用TCP连接到服务器泛红大量的数据包（）。A.侦听B.拒绝服务C.暴力破解D.木马E.地址欺骗 [填空题]广告的心理功能有：传播、诱导、教育、（）和促销。 [单选,A2型题,A1/A2型题]以下不是癌痛药物治疗的基本原则的是（）A.按阶梯给药B.按时给药C.按需给药D.无创给药E.个体化给药 [单选]排烟罩的罩口要比灶台宽（）米A、0.5B、0.25C、0.4D、0.8 [单选,A1型题]拔毒化腐生肌药多含砷、汞、铅等元素，多具剧烈毒性或强大刺激性，下列哪项使用方法是错误的（）A.严格控制剂量和用法B.既可外用，也可内服C.根据患者的体质及病情确定用法D.部分中药不宜用于头面及黏膜上E.外用不可过量或持续服用 [单选]区分左心室舒张充盈类型的主要参数不包括（）。A.DTB.IRTC.E/AD.S/DE.DV/DP [单选,共用题干题]患者女，17岁，8岁时因老师发问首次突然昏倒，17岁时因频繁晕厥、抽搐4年入院。查体：无明显阳性体征。ECG示窦性心律，Q-T间期460ms，T波电交替。对明确诊断无意义的检查是（）A.家族成员有早发猝死史B.运动试验C.动态ECGD.Valsalva试验E.颅脑CT [单选,A1型题]摄影效应检查主要是应用X线的哪个特性（）A.穿透作用B.荧光效应C.感光效应D.离子效应E.损伤作用 [单选]第一个提出智力结构理论的是（）。A.斯皮尔曼B.瑟斯顿C.吉尔福特D.卡特尔 [单选,A1型题]小儿每日需热量与营养素较成人相对高，主要是由于小儿（）A.基础代谢所需较高B.生长发育所需较高C.活动最大所需较高D.食物特殊动力作用所需较高E.消化吸收功能差，丢失较多 [单选,A1型题]下列各项中，与休克定义不相符的是（）。A.多种强烈的致病因素作用于机体引起的急性循环功能衰竭B.以生命器官缺血缺氧为主要特征C.以导致微循环灌注不足和细胞功能代谢障碍为主要表现D.非进行性发展E.组织氧及营养物质利用障碍 [单选]《公路安全保护条例》自2011年7月1日起施行。1987年10月13日国务院发布的（）同时废止。A、《中华人民共和国公路管理条例》B、《超限运输车辆行驶公路管理办法》C、《中华人民共和国公路法》 [单选,A1型题]食积兼表证宜选（）A.神曲B.麦芽C.鸡内金D.莱菔子E.山楂 [单选]皮肤淀粉样变的特点是()A．苔藓状淀粉样变多见于中年妇女B．斑片状淀粉样变多见于中年男性C．苔藓状淀粉样变多发生于双侧胫前D．两型之间互相独立 [单选,A1型题]球部尿道损伤7天后出现严重尿外渗，局部处理方法应是（）A.局部穿刺抽吸外渗的尿和血液B.局部热敷促进尿外渗吸收C.延长留置导尿时间，防止尿外渗感染在局部形成瘢痕导致尿道狭窄D.尿外渗部位多处切开引流，并行耻骨上膀胱造瘘术E.广谱抗生素预防感染即可 [判断题]经常项目下的个人外汇业务按照可兑现原则管理，资本项目下的个人外汇业务按照可兑换进程管理。A.正确B.错误 [单选]决定膀胱癌预后的是（）A.肿瘤大小B.肿瘤部位C.肿瘤的单发多发D.治疗方法E.癌细胞分化程度和浸润深度以及机体的免疫能力 [单选]“物流中心”的英文词汇是（）A、logisticsCenterB、logisticsenterpriseC、logisticsmanagementD、logisticsinformation [单选,A1型题]拟诊隐球菌性脑膜炎，为快速明确诊断，主要依靠下列哪项检查结果（）A.脑脊液蛋白升高，糖和氯化物同时降低B.脑脊液中白细胞增高，分类以中性为主C.血清免疫学阳性D.脑脊液墨汁染色涂片阳性E.脑脊液真菌培养阳性 [单选]鄱阳湖生态经济区建设分为几个阶段？（）A、两个阶段B、三个阶段C、四个阶段 [单选]外阴癌最主要的扩散途径是（）A.蔓延扩散B.淋巴转移C.血行转移D.淋巴转移及血行转移E.局部蔓延及血行转移 [单选,A1型题]《医疗机构从业人员行为规范》的执行和实施情况，应列入（）A.医疗机构校验管理和医务人员年度考核B.定期考核和医德考评C.医疗机构等级评审D.医务人员职称晋升、评先评优的重要依据E.以上都对 [多选]尽管发生率很低，但关节穿刺时需要告知患者的情况有（）。A.关节穿刺可能发生感染B.关节内注射激素会出现面部潮红反应C.关节局部皮肤萎缩或色素脱失D.关节穿刺会致肢体瘫痪E.关节内激素可能会加重你的全身性疾病，如糖尿病 [单选]物流拉动控制的特点是（）。A.分散控制B.集中控制C.单独控制D.有效控制 [填空题]媒介组合可有多种方式，最主要的方式有三种：（）组合、（）组合、自用媒介与租用媒介组合。