卵形曲线要素及其上任意点坐标的严密算法
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线 角 为 、 弦 Ｙ Ｈ１ － ＨＹ ２ 的 长 度 Ｓ 以 及 弦
求得 卵形 曲线要 素（ 切线 角 、 切线 增量 ｑ 、 圆 曲线 内
移值 、 切 线长 Ｔ等 ） 。
１ ． １ 卵形 曲线要素 推证 完整缓 和 曲线计 算公 式为 ：
标为 （ Ｘ ， Ｙ ） ，交 点 ２ 高 斯 坐 标 为 （ ｘ ： ，
Ｙ ： ） 。 设Ｉ Ｐ２ 处 圆曲线 ＨＹ ２ － Ｙ Ｈ２圆心 位置 为 Ａ， 过
Ａ 点作垂 线 Ａ — Ｖ 垂 直线 段 ２ 一 ＨＺ 于 、 ／ ｒ ， 作 垂线 Ａ ． Ｖ。 垂 直线 段 Ｉ Ｐ１ 一 Ｉ Ｐ２于 Ｖ。 ； 连 接 Ａ与 Ｉ Ｐ２ 点， 由
２ ０ ／ ３ ５ ６ ７ — ６ ຫໍສະໝຸດ ． ． ．。 ． — —
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ＣＮ ２ ２ ＿ １ ３ Ｚ ３ ／ Ｎ
卵形 曲线要 素及其上任意点坐标 的严密算法
任 克 林
（ 四川 省冶 金地质 勘查 局测 绘工程 大 队 ， 成都 ６ １ ０ ２ １ ２ ）
摘 要 ： 针对公 路 中线（ 平 曲线） 卵形 曲线测设 与计算 ， 将 卵形 曲线补全 为 完整 缓和 曲线， 并 利用 其 几何 性质
图 １中以 Ｒ ＞ Ｒ： 右 转路线为例 ， 设 卵 形 线 Ｙ ＨＩ － ＨＹ２ 缓 和 曲线 切 线 角 （ 以 下 简称 切 线 角 ）为 ２处后 缓 和曲线切 线角 为 ， 弦Ｙ Ｈ１ － ＨＹ２与
，
Ｙ Ｈ２ 一 ＨＺ为 Ｉ Ｐ２处后缓 和 曲线 ， 长度 为 Ｌ ， 卵 形线 （ Ｉ Ｐ２处前缓 和 曲线 ） ｙ Ｈ１ ＿ ＨＹ ２曲线 长 度 为 Ｌ ＾ ， 起
０ 引 言
公路平 曲线 设计 中， 常用到 卵形 曲线 。 其要 素 （ 缓 和曲线切线角 、 切线增量 口 、 圆曲线 内移值 ７ １ ＂ ２ 、 切线长 丁 等）以及卵形线上任意点高斯平面直角坐标 （ 以下简称
高斯坐标）的计算是公路 中线 （ 平曲线） 设计 与测设 的 难点 ， 有 关文献 给 出的计算 方法有 利用复化辛普 森公
点（ １ ）处 曲率半 径 为 Ｒ。 ， 终点（ ＨＹ ２ ）处 曲 率半 径为 Ｒ 。 。 交点 Ｉ Ｐ２ 处路 线转 角为 ａ 。 交点 Ｉ Ｐ１ 高斯 坐
线 段 １ － Ｉ Ｐ２ 夹 角为 ， 弦Ｙ Ｈ１ － ＨＹ ２长度 为 Ｓ 。 将
卵形线 Ｙ Ｈ１ － ＨＹ ２补 全 为完 整缓 和 曲线 ，因 Ｒ ＞ Ｒ 。 ， 卵形 线 增 补部 分 位 于 １一侧 ， 设增 补 长 度 为 Ｌ 。 ， 卵形 线 补全 为完 整缓 和 曲线后 总 长 为 Ｌ ， 起 点 为０ ， 缓 和 曲线 常数 为 Ｃ 。 在０ 点 以补全 卵形线 起 点
式计算ｍ、 利用双交点法计算Ｃ ｚ ］ 等。 其 中复化辛普森公 式算法为拟合算法 ， 且公式复杂不利 于编程计算 ； 双交
点法是将卵形线分为长度相等 的两段分别 看作等长完
整缓和曲线来进行解算 ， 也为一种 近似算法 。 故上述方 法存在着 编程 困难 、 误差 较大或 未能求解 卵形 曲线要 素的不足 。 本 文推证 出一 种补全 卵形线后利 用几何性 质将其平 面独立坐标转 换为高斯 坐标 的计 算方法 ， 可
有效解决上述两类方法的不足 。
１ 推 证 思 路
如图 １ 所示 ， 已知 弧 Ｚ Ｈ— Ｈｙ１为 Ｉ Ｐ１ 处前 缓和 曲线 ， 弧 ＨＹ１ 一 ｙ Ｈ１ 为 Ｉ Ｐ１ 处 圆 曲线 ， 半 径为 Ｒ ； 弧
图 １ 卵形 曲线
ＨＹ２ 一 Ｙ Ｈ２为 Ｉ Ｐ２ 处 圆 曲 线 ，半 径 为 尺 ，弧
处 的切 线与垂 线 分别 作 为 Ｘ轴 、 轴 建立 独 立 坐 标
系， 设 Ｙ Ｈ１在 独 立 坐 标 系 中坐 标 为 （ ｚ ， Ｙ ） ， ＨＹ ２ 在 独立 坐标系 中坐标 为（ ｚ 。 ， Ｙ ： ） 。
收 稿 日期 ： ２ ０ １ ３ 一Ｏ ７ —１ ６
作者简介 ： 任 克林 （ １ ９ ９ Ｏ 一） ， 男（ 汉） ， 成都 ， 助 理 工程 师
主 要 研究 工 程 测 量 。
设 独立坐标 系 中完 整 缓 和 曲线 ｏ － Ｙ Ｈ １部 分 切 线 角为 － ， ０ － Ｈｙ ２部分 切线角 为 ， 据（ ｚ 。 ， ） 、
６ ８
长 春 工 程 学 院学 报 （ 自然科 学 版 ）
（ ｚ ， ｙ ２ ） 与 ｚ 、 ｍ 即可 求得 卵形线 Ｙ Ｈ１ 一 ＨＹ２ 切
几 何关 系 （ 线段 Ａ ＿ Ｖ ２ 垂 直线段 １ 一 Ｉ Ｐ２ ， 线段 Ａ ＿ １ 垂 直线段 Ｉ Ｐ２ 一 ＨＺ） 可 知 ｍ＋ａ ２ ＝ａ 。 过 点 ＨＹ２ 作辅 助线 ＨＹ ２ 一 Ｅ平 行于 线段 Ｊ Ｐ１ 一 Ｉ Ｐ２ ； 过 点 ＨＹ２ 作 垂
线 ＨＹ ２ 一 Ｖ ３ 垂直 于 线段 １ － Ｉ Ｐ２ ， 垂 足为 。
９ ８ ４ Ｉ Ｓ ＳＮ １ ０ ０９ ８
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长春工程学院学报 （ 自然 科 学 版 ）２ ０ １ ３年 第 １ ４卷 第 ３ 期
Ｊ ． Ｃｈ ａ ｎ ｇ ｃ ｈ ｕ ｎ Ｉ ｎ ｓ ｔ ． Ｔｅ ｃ ｈ ． （ Ｎａ ｔ ． Ｓ ｃ ｉ ． Ｅ ｄ ｉ ． ） ， ２ ０ １ ３ ， Ｖｏ １ ． １ ４ ， Ｎｏ ． ３
推证 了卵形 曲线要 素及其 上任 意 点高斯平 面 直角坐标 的计 算公 式。 关键 词 ： 卵形 曲线 ； 缓和 曲线 ； 高斯平 面直 角坐 标
中图分类 号 ： ＴＢ ２ ２ 文献 标志 码 ： Ａ 文章 编号 ： １ ０ ０ ９ — ８ ９ ８ ４ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ３ — ０ ０ ６ ７ — ０ ３
求得 卵形 曲线要 素（ 切线 角 、 切线 增量 ｑ 、 圆 曲线 内
移值 、 切 线长 Ｔ等 ） 。
１ ． １ 卵形 曲线要素 推证 完整缓 和 曲线计 算公 式为 ：
标为 （ Ｘ ， Ｙ ） ，交 点 ２ 高 斯 坐 标 为 （ ｘ ： ，
Ｙ ： ） 。 设Ｉ Ｐ２ 处 圆曲线 ＨＹ ２ － Ｙ Ｈ２圆心 位置 为 Ａ， 过
Ａ 点作垂 线 Ａ — Ｖ 垂 直线 段 ２ 一 ＨＺ 于 、 ／ ｒ ， 作 垂线 Ａ ． Ｖ。 垂 直线 段 Ｉ Ｐ１ 一 Ｉ Ｐ２于 Ｖ。 ； 连 接 Ａ与 Ｉ Ｐ２ 点， 由
２ ０ ／ ３ ５ ６ ７ — ６ ຫໍສະໝຸດ ． ． ．。 ． — —
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ＣＮ ２ ２ ＿ １ ３ Ｚ ３ ／ Ｎ
卵形 曲线要 素及其上任意点坐标 的严密算法
任 克 林
（ 四川 省冶 金地质 勘查 局测 绘工程 大 队 ， 成都 ６ １ ０ ２ １ ２ ）
摘 要 ： 针对公 路 中线（ 平 曲线） 卵形 曲线测设 与计算 ， 将 卵形 曲线补全 为 完整 缓和 曲线， 并 利用 其 几何 性质
图 １中以 Ｒ ＞ Ｒ： 右 转路线为例 ， 设 卵 形 线 Ｙ ＨＩ － ＨＹ２ 缓 和 曲线 切 线 角 （ 以 下 简称 切 线 角 ）为 ２处后 缓 和曲线切 线角 为 ， 弦Ｙ Ｈ１ － ＨＹ２与
，
Ｙ Ｈ２ 一 ＨＺ为 Ｉ Ｐ２处后缓 和 曲线 ， 长度 为 Ｌ ， 卵 形线 （ Ｉ Ｐ２处前缓 和 曲线 ） ｙ Ｈ１ ＿ ＨＹ ２曲线 长 度 为 Ｌ ＾ ， 起
０ 引 言
公路平 曲线 设计 中， 常用到 卵形 曲线 。 其要 素 （ 缓 和曲线切线角 、 切线增量 口 、 圆曲线 内移值 ７ １ ＂ ２ 、 切线长 丁 等）以及卵形线上任意点高斯平面直角坐标 （ 以下简称
高斯坐标）的计算是公路 中线 （ 平曲线） 设计 与测设 的 难点 ， 有 关文献 给 出的计算 方法有 利用复化辛普 森公
点（ １ ）处 曲率半 径 为 Ｒ。 ， 终点（ ＨＹ ２ ）处 曲 率半 径为 Ｒ 。 。 交点 Ｉ Ｐ２ 处路 线转 角为 ａ 。 交点 Ｉ Ｐ１ 高斯 坐
线 段 １ － Ｉ Ｐ２ 夹 角为 ， 弦Ｙ Ｈ１ － ＨＹ ２长度 为 Ｓ 。 将
卵形线 Ｙ Ｈ１ － ＨＹ ２补 全 为完 整缓 和 曲线 ，因 Ｒ ＞ Ｒ 。 ， 卵形 线 增 补部 分 位 于 １一侧 ， 设增 补 长 度 为 Ｌ 。 ， 卵形 线 补全 为完 整缓 和 曲线后 总 长 为 Ｌ ， 起 点 为０ ， 缓 和 曲线 常数 为 Ｃ 。 在０ 点 以补全 卵形线 起 点
式计算ｍ、 利用双交点法计算Ｃ ｚ ］ 等。 其 中复化辛普森公 式算法为拟合算法 ， 且公式复杂不利 于编程计算 ； 双交
点法是将卵形线分为长度相等 的两段分别 看作等长完
整缓和曲线来进行解算 ， 也为一种 近似算法 。 故上述方 法存在着 编程 困难 、 误差 较大或 未能求解 卵形 曲线要 素的不足 。 本 文推证 出一 种补全 卵形线后利 用几何性 质将其平 面独立坐标转 换为高斯 坐标 的计 算方法 ， 可
有效解决上述两类方法的不足 。
１ 推 证 思 路
如图 １ 所示 ， 已知 弧 Ｚ Ｈ— Ｈｙ１为 Ｉ Ｐ１ 处前 缓和 曲线 ， 弧 ＨＹ１ 一 ｙ Ｈ１ 为 Ｉ Ｐ１ 处 圆 曲线 ， 半 径为 Ｒ ； 弧
图 １ 卵形 曲线
ＨＹ２ 一 Ｙ Ｈ２为 Ｉ Ｐ２ 处 圆 曲 线 ，半 径 为 尺 ，弧
处 的切 线与垂 线 分别 作 为 Ｘ轴 、 轴 建立 独 立 坐 标
系， 设 Ｙ Ｈ１在 独 立 坐 标 系 中坐 标 为 （ ｚ ， Ｙ ） ， ＨＹ ２ 在 独立 坐标系 中坐标 为（ ｚ 。 ， Ｙ ： ） 。
收 稿 日期 ： ２ ０ １ ３ 一Ｏ ７ —１ ６
作者简介 ： 任 克林 （ １ ９ ９ Ｏ 一） ， 男（ 汉） ， 成都 ， 助 理 工程 师
主 要 研究 工 程 测 量 。
设 独立坐标 系 中完 整 缓 和 曲线 ｏ － Ｙ Ｈ １部 分 切 线 角为 － ， ０ － Ｈｙ ２部分 切线角 为 ， 据（ ｚ 。 ， ） 、
６ ８
长 春 工 程 学 院学 报 （ 自然科 学 版 ）
（ ｚ ， ｙ ２ ） 与 ｚ 、 ｍ 即可 求得 卵形线 Ｙ Ｈ１ 一 ＨＹ２ 切
几 何关 系 （ 线段 Ａ ＿ Ｖ ２ 垂 直线段 １ 一 Ｉ Ｐ２ ， 线段 Ａ ＿ １ 垂 直线段 Ｉ Ｐ２ 一 ＨＺ） 可 知 ｍ＋ａ ２ ＝ａ 。 过 点 ＨＹ２ 作辅 助线 ＨＹ ２ 一 Ｅ平 行于 线段 Ｊ Ｐ１ 一 Ｉ Ｐ２ ； 过 点 ＨＹ２ 作 垂
线 ＨＹ ２ 一 Ｖ ３ 垂直 于 线段 １ － Ｉ Ｐ２ ， 垂 足为 。
９ ８ ４ Ｉ Ｓ ＳＮ １ ０ ０９ ８
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长春工程学院学报 （ 自然 科 学 版 ）２ ０ １ ３年 第 １ ４卷 第 ３ 期
Ｊ ． Ｃｈ ａ ｎ ｇ ｃ ｈ ｕ ｎ Ｉ ｎ ｓ ｔ ． Ｔｅ ｃ ｈ ． （ Ｎａ ｔ ． Ｓ ｃ ｉ ． Ｅ ｄ ｉ ． ） ， ２ ０ １ ３ ， Ｖｏ １ ． １ ４ ， Ｎｏ ． ３
推证 了卵形 曲线要 素及其 上任 意 点高斯平 面 直角坐标 的计 算公 式。 关键 词 ： 卵形 曲线 ； 缓和 曲线 ； 高斯平 面直 角坐 标
中图分类 号 ： ＴＢ ２ ２ 文献 标志 码 ： Ａ 文章 编号 ： １ ０ ０ ９ — ８ ９ ８ ４ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ３ — ０ ０ ６ ７ — ０ ３