投篮问题建模

投篮问题建模

This manuscript was revised by JIEK MA on December 15th, 2012.

数学建模竞赛论文

摘要

在激烈的篮球比赛运动中，投篮得分是整个比赛中的主要得分方式，因此篮球运动员的投篮命中率的高地一定程度上直接影响了一场比赛的胜负。本文就是通过对已知数据的计算与整合，并通过建立三种投篮方式的数学模型来分析三种投篮方式的特点和各自提高命中率的关键因素，从而为投篮训练和篮球竞赛策略提供科学的建议。我们对不同的投篮方式根据其在比赛中的实际效果采用了不同的数学模型使得计算结构更加科学可靠。

首先，在第一模型即罚篮的数学模型中，我们通过建立运动学方程的方法找到影响罚篮的两个关键因素即出投角度，和出球速度。在这里我们通过对出球角度的研究确定了不同高度时投篮所需的最小速度都小于8m/s,这样合理的假设了运动员的出球速度是在8~9m/sz之间。并通过罚篮中篮球命中蓝框中心所允许的偏差计算出出投角度所允许的最大偏差明显大于出球速度的最大偏差，也就是说改变出头角度是篮球命中的可能性更大一些，故训练中我们应该着重注意出球的角度。

其次，在第二个二分球投球的模型中，由于出投位置的不确定，增加了距离参数L 和出投高度h，因此，我们用入篮篮球的运行区域的面积大小来刻画命中率。我们从改变距离和高度对入球角度区间改变量大小上来分析得到，改变出头距离时入球的角度区间明显大于改变出投高度时入球的角度区间。因此可以看出在投二分球时应该尽量使得出球位置靠近篮框。

接着，在第三模型中，由于出投位置较远，并且球在空中运行时间较长，运行速度偏快，导致空气阻力的影响很大，因此不能够忽略空气阻力，我们在前面模型的基础上加入水平空气阻力，并且由于采用跳投的方式出球高度也适当懂得增加。最后建立起模型通过给定数据来研究出球高度，和出球角度对命中率的影响问题。

最后，运用我们所建立的模型分析得出2012年出台的篮球新规则的三条改变不仅增加了篮球的观赏性同时也很好的体现了球员个人的表现力

关键字：出投角度、高度、速度、命中率、允许的最大偏差

一．问题的重述：

规则改变前的篮球场地示意图

规则改变后的篮球场地示意图

高。

二．问题分析

（1）在研究罚篮时，由于罚篮采用定点投篮方式故出球高度基本有球员身高决定，要研究投篮命中是出球角度和出手速度哪个起主要作用只需，分别给定一个出手速度v和出手角度根据不同的出球高度计算出篮球的角度和速度的最大偏差，取偏差较大的即是增加命中率的主要因素。

（2）研究二分球投篮问题时，可根据入球区域的最大面积来描述命中率，通过解积分曲线的方法求出入球区域A，根据入球偏差求出所需的角度的范围。

（3）研究三分球投篮时，由于球速大，考虑加入空气阻力的影响建立模型。

三．模型假设

（1）模型I，II中忽略空气阻力。

（2）模型中不考虑打板入球的情况。

（3）模型II中不考虑防守队员防守影响命中率的情况。

（4）投求的运动曲线和篮框中心在同一平面内。

（5）出手后不考虑球的自身旋转。

四．符号说明

L：篮球出手点到篮框的水平距离，其中在模型I中L=4.6m. 模型III中

L=6.75m。

H: 篮框的高度，H=3.05m.

D: 篮框的直径，D=45cm.

d: 篮球的直径，d=24.6cm.

h: 运动员的出手高。一般在~2.7m之间

v：运动员的出球速度，一般在8~9m/s

g: 重力加速度，g=9.8m/s^2

α：篮球的出手角度

β：篮球的入射角度

五．模型的建立与求解

对三种投篮方式进行,建模，

1.考虑罚篮这种头球方式，运用物理中抛射运动的知识。

建立模型：

水平方向上：

2 ()()

2

A D d p A

s D

υ

π

υ

()-

==

()

竖直方向上：

2

1

(sin)

2

y v t gt

α

=-

消去t，得到.

（1）

在罚篮中如果只考虑球心正中蓝框中心这种情况：则公式中y=H-h，x=L.带入整理得：

（2）

这个公式表示了投篮命中所需要的条件。不难看出投篮命中率主要由h,v,这三点决定。

对于罚篮，采用定点投篮方式，故对于每个篮球运动员h是确定的，所以命中率主要取决于出手速度v，和出手角度.，公式（2）中不难看出给定h，每一个v对应两个，并且若要（2）式有意义，则必须满足

（3）

解得：

这样可此得出给定一个出手高度h，必然对应一个最小速度v。并且它是h的减函数。带入参数可算出实际罚篮时所需的最小速度。

另外球入篮框的入射角度也可由公式（1）求出：

（4）

与（1）式联立得：

（5）

以上讨论的均是球心正中蓝心得情况，在实际投篮中由于篮球直径小于篮框直径，故存在一定偏差使得即使球心没有命中蓝心球也能命中，以蓝心为原点，设可允许的偏差最多为，则可以计算出：

（6）

此时出手高度没变，但是由于入球位置由L变为L+，x成为变量带入（1）式得。

若v是一个确定值，那么可以用x对求导。

将d x和dα用，来替换，整理得：

（7）

同理若α确定，上式对v求导并做合理替换可以得到：

（8）

这样我们可以通过计算角度和速度他们的最大偏差与相对偏差来确定出手角度与出手速度哪一个偏差更大，也就是说通过训练更容易提高命中率。

2.第二种投篮方式，在投篮距离L为1.25m和6.75m之间的投篮（1.25m内为合理冲撞区，我们认定为在这里投篮命中率为100%）。

即得二分的投篮方式。此时投篮方法多样，可采用跳投，定点投篮，抛投等。但出手后篮球运动轨迹仍符合力学规律，我们仍可用罚篮中所用的轨迹方程即，公式（1），但此时，出手距离L，与出手高度h,均为变量。因此投篮命中率我们该用篮球在运动中可允许最大偏差的两条弧线与篮框所围面积的大小来表示。不放射为A（q）。两条最大偏差弧线分别为O ，O则不难验证，O过点（L-，H-h），O过点（L+，H-h）。则由公式（1）我们可分别写出O，O的弧线方程：

（9）