(高等数学英文课件)4.2 Intergal Rules; Integration by substitution
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(高等数学英文课件）4.2 Intergal Rules; Integration by substitution
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4.2
Integral Rules, Integration by Substitution
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4.2.1 Rules of Algebra for Antiderivatives 4.2.2 Substitution: Running the Chain Rule
Solution.
Ix2dx3xdx5dx
x2dx3xdx5dx
x3 3x2 5xC 32
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Example 1. Find the antiderivatives.
2)
x 12
dx x
Solution.
x2 2x 1
I
dx x
x 32 d x2x d xx 12 d x
3 u 2 3 C 3 z2 1 23 C
2
2
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Example 9. Find the antiderivatives.
2z
dz
3 z2 1
Solution. You may try to use substitution to the one you dislike anywhere.
4) tan2 xdx Solution. Isec2x1dx
sec2xdxdx
tanx x C or
Isin2xcos2xdx1 c o s2xc o s2xd x
sec2xdxdx
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Example 1. Find the antiderivatives.
5)
sin 2 x cos x
d
x
Solution. I 2sincoxscxosxdx
2sin xdx
2cosxC
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Example 1. Find the antiderivatives.
6)
cos2 x 1 sin x
dx
Solution. I 11ssiinn2xx dx
fxd x= gxhxd x=GHxdHx 拆+凑
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Example 1. Find the antiderivatives.
7)
2sin2
1 xcos2
dx x
Solution.
I 2
1 sin2 2x dx
2csc22xdx
csc22x2xdx
csc2 2xd2x
Generalization.
[f(x)g(x)h(x)]dx
f(x )d x g (x ) h (x )d x f(x )d x g (x )d x h (x )d x
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Example 1. Find the antiderivatives.
1) x23x5dx
1sinxdx
dxsinxdx
xcosxC
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Example 1. Find the antiderivatives.
7)
2sin2
1 xcos2
dx x
Solution. I s2insi2nx2xccooss22xxdx
2co1s2xdx2si1 n2xdx
1tanxcotxC
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Example. See P328. 26) 28) 30) 32)
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Exercises
P328 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23. P329 25, 27, 29, 31.
2
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4.2.2
Substitution (换元法)
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Suppose that Fuf u
fgxgxdxfgxdgx
u gx
f udu
FuC
FgxC
Yet, what shall we do with the integral f xdx？
3
来自百度文库
3
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Example 9. Find the antiderivatives.
Solution.
I 3
1 2zdz z2 1
1 z2+1dz 3 z2 1
2z
dz
3 z2 1
1 d z2+1 Substitution u z2+1 3 z2 1
u1 3du
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Example 7. Find the antiderivatives. x2 sinx3dx
Solution.
I
sinx3
13x3
dx
1 sinx3 x3 dx 3
1 sin x3dx3
3
Substitution u x 3
1 3
sin
udu
1 cosu C 1cos x3 C
Let u=2x
csc2 udu cotuC
cot2xC
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Example 3. Find the antiderivatives. sin2 xdx
Solution.
I 1c2os2xdx
1 2
dxcos2xdx
1 2
dx
14cos2xd2x
1 2
x
1 sin 2x C 2
Backwards
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4.2.1
Rules of Algebra for Antiderivatives (不定积分运算法则)
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1) k f (x)dx k f (x)dx (k0) 2) f (x)dx f (x)dx 3) [f(x)g(x)]dxf(x)dxg(x)dx
3 z2 1 u z21u3
dz21du3
2zdz3u2du
2z dz 3u2du
3 z2 1
u
3 udu
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Example. See P328.
12)
1 ds 5s 4
5s 4 u,
1 u
d
u2 4 5
2du.
14)
20)
16)
22)
18)
24)
2
5
x2
4
3
x2
2
x C
53
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Example 1. Find the antiderivatives.
3) 2x ex1dx
Solution.
I2xex1dx
2exdx2xdx
1 2ex 1 2x C
ln 2e
ln 2
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Example 1. Find the antiderivatives.
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4.2
Integral Rules, Integration by Substitution
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4.2.1 Rules of Algebra for Antiderivatives 4.2.2 Substitution: Running the Chain Rule
Solution.
Ix2dx3xdx5dx
x2dx3xdx5dx
x3 3x2 5xC 32
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Example 1. Find the antiderivatives.
2)
x 12
dx x
Solution.
x2 2x 1
I
dx x
x 32 d x2x d xx 12 d x
3 u 2 3 C 3 z2 1 23 C
2
2
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Example 9. Find the antiderivatives.
2z
dz
3 z2 1
Solution. You may try to use substitution to the one you dislike anywhere.
4) tan2 xdx Solution. Isec2x1dx
sec2xdxdx
tanx x C or
Isin2xcos2xdx1 c o s2xc o s2xd x
sec2xdxdx
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Example 1. Find the antiderivatives.
5)
sin 2 x cos x
d
x
Solution. I 2sincoxscxosxdx
2sin xdx
2cosxC
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Example 1. Find the antiderivatives.
6)
cos2 x 1 sin x
dx
Solution. I 11ssiinn2xx dx
fxd x= gxhxd x=GHxdHx 拆+凑
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Example 1. Find the antiderivatives.
7)
2sin2
1 xcos2
dx x
Solution.
I 2
1 sin2 2x dx
2csc22xdx
csc22x2xdx
csc2 2xd2x
Generalization.
[f(x)g(x)h(x)]dx
f(x )d x g (x ) h (x )d x f(x )d x g (x )d x h (x )d x
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Example 1. Find the antiderivatives.
1) x23x5dx
1sinxdx
dxsinxdx
xcosxC
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Example 1. Find the antiderivatives.
7)
2sin2
1 xcos2
dx x
Solution. I s2insi2nx2xccooss22xxdx
2co1s2xdx2si1 n2xdx
1tanxcotxC
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Example. See P328. 26) 28) 30) 32)
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Exercises
P328 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23. P329 25, 27, 29, 31.
2
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4.2.2
Substitution (换元法)
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Suppose that Fuf u
fgxgxdxfgxdgx
u gx
f udu
FuC
FgxC
Yet, what shall we do with the integral f xdx？
3
来自百度文库
3
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Example 9. Find the antiderivatives.
Solution.
I 3
1 2zdz z2 1
1 z2+1dz 3 z2 1
2z
dz
3 z2 1
1 d z2+1 Substitution u z2+1 3 z2 1
u1 3du
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Example 7. Find the antiderivatives. x2 sinx3dx
Solution.
I
sinx3
13x3
dx
1 sinx3 x3 dx 3
1 sin x3dx3
3
Substitution u x 3
1 3
sin
udu
1 cosu C 1cos x3 C
Let u=2x
csc2 udu cotuC
cot2xC
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Example 3. Find the antiderivatives. sin2 xdx
Solution.
I 1c2os2xdx
1 2
dxcos2xdx
1 2
dx
14cos2xd2x
1 2
x
1 sin 2x C 2
Backwards
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4.2.1
Rules of Algebra for Antiderivatives (不定积分运算法则)
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1) k f (x)dx k f (x)dx (k0) 2) f (x)dx f (x)dx 3) [f(x)g(x)]dxf(x)dxg(x)dx
3 z2 1 u z21u3
dz21du3
2zdz3u2du
2z dz 3u2du
3 z2 1
u
3 udu
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Example. See P328.
12)
1 ds 5s 4
5s 4 u,
1 u
d
u2 4 5
2du.
14)
20)
16)
22)
18)
24)
2
5
x2
4
3
x2
2
x C
53
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Example 1. Find the antiderivatives.
3) 2x ex1dx
Solution.
I2xex1dx
2exdx2xdx
1 2ex 1 2x C
ln 2e
ln 2
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Example 1. Find the antiderivatives.