线性方程组及其应用

线性方程组及其应用

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余韶堃顾子兵魏鹏

摘要：本文主要将高等代数中所学线性方程组的部分重要理论应用于初等数学 中，来解决初等数学中的一些问题，例如判断平面上两条直线的位置关系和空间上三个平面的位置关系等，同时说明高等数学与初等数学之间的密切联系.

关键词：线性方程组；齐次线性方程组；系数行列式；初等数学；应用

一.内容提要 1.线性方程组的内容 ①.线性相关性 ②.向量组的基本性质 ③.矩阵的秩 ④.线性方程组的解

2.线性方程组在数学中的应用

①.判断平面上两条直线之间的位置关系 ②.判断空间上三个平面之间的位置关系

③.运用线性方程组的相关理论来证明几个初等数学中的结论

④.运用线性方程组的相关理论来判断三点共线、四点共面、四点共圆和五点共

球

二.线性方程组的内容 1.线性相关性

①.线性组合：向量α称为向量组n βββ,,,21 的一个线性组合。如果有数域P 中的数n k k k ,,,21 ，使n n k k k βββα+++= 2211。

②．线性表出：当向量α是向量组n βββ,,,21 的一个线性组合时，我们也可以说α可已经向量组n βββ,,,21 线性表出。

③.等价：如果向量组t ααα,,,21 中每一个向量),,2,1(t i i =α都可以经向量组

n βββ,,,21 线性表出，那么向量组t ααα,,,21 就称为可以经向量组n βββ,,,21 线性表出。如果两个向量组互相可以线性表出，它们就称为

等价。

④.线性相关：如果向量组)2(,,,21≥s s ααα 中有一个向量可以由其余的向量线性表出，那么向量组s ααα,,,21 就称为线性相关的。如果有数域P 中不全为零的数S k k k ,,,21 ，使02211=+++S S k k k βββ ，向量组)1(,,,21≥s s ααα 称为线性相关。

⑤.相性无关：向量)1(,,,21≥s s ααα 不线性相关，既没有不全为零的数

S k k k ,,,21 使02211=+++S S k k k βββ ，就称为线性无关；或者说，一向量组

s ααα,,,21 称为线性无关，如果由02211=+++S S k k k βββ 可以推出

021====s k k k 。 2.向量组的基本性质

①.设r ααα,,,21 与s βββ,,,21 是两个向量组，如果向量组r ααα,,,21 可以经

s βββ,,,21 线性变出，s r 那么向量组r ααα,,,21 必线性相关。

②.如果向量组r ααα,,,21 可以经向量组s βββ,,,21 线性表出，且r ααα,,,21 线性无关，那么s r ≤。

③.任意1+n 个n 维向量必线性相关。

④.两个线性无关的等价向量组必含有相同个数的向量。

⑤.如果s ααα,,,21 的秩为r ，则s ααα,,,21 中任意r 个线性无关的向量都构成它的一个极大线性无关组。

⑥.如果向量组（I ）可以由向量组（II ）线性表出那么（I ）的秩不超过（II ）的秩。

⑦.若in ir ir i i ir i i i B A ααααααααα,,,,,()(),,()(12121 +===，若)(A 线性无关，则)(B 线性无关；若)(A 线性相关，则)(B 线性相关。

⑧.若n ααα,,,21 中是一组n 维向量，则n ααα,,,21 线性无关的充分必要条件是任一n 维向量都可被它们线性表出。 3.矩阵的秩

①.n n ⨯矩阵nn

n n n

n

a a a a a a a a a A

21

2111111211

=

的行列式为零的充分必要条件是)(A 的秩小于n 。

②.齐次线性方程组⎪⎪

⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++000221122222211212111n nn n n n

n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a 有非零解的充分必要条件是它

的系数矩阵nn

n n n

n a a a a a a a a a A

21

21111

11211=

的行列式等于零。 ③.一矩阵的秩是r 的充分必要条件为矩阵中有一个r 级子式不为零，同时所有

1+r 级子式全为零。

④.阶梯型矩阵中的秩就等于其中非零行的数目。 4.线性方程组的解

①.基础解系：齐次线性方程中的一组解t ηηη,,,21 称为它的一个基础解系，如果该齐次线性方程组的任一个解都能表成t ηηη,,,21 的线性组合，t ηηη,,,21 线性无关。

②.在齐次线性方程组有非零解的情况下，它有基础解系，并且基础解系所含解的个数等于r n -这里r 表示系数矩阵的秩如果r n =那么方程只有零解。 ③.齐次方程组有非零解的判定方法：

i.设A 是n m ⨯矩阵，齐次方程组0=Ax 有非零解的充要条件是n A r )(,亦即A 的列向量线性相关。

ii.如果A 是n 阶矩阵，0=Ax 有非零解的充要条件是0=A 。 iii ．0=Ax 有非零解的充分条件是n m （即方程个数未知数个数）。

④.非齐次线性方程组有解的判定 设A 是n m ⨯矩阵，方程组b Ax =则： i.有唯一解： n A r A r ==⇔)()( ii.有无穷多解：n A r A r )()(=⇔ iii.无解：： )(1)(A r A r =+⇔

⇔b 不能由的列向量线性表出

⑤.设A 是n m ⨯矩阵，线性方程组b Ax =有解的充分条件是系数矩阵A 的秩等于增广矩阵A 的秩即)()(A r A r =。 ⑥.线性方程组解的性质

i.如果21,ξξ是b Ax =的两个解，则21ξξ-是0=Ax 的解。

ii.如果21,ηη是0=Ax 的两个解，则其线性组合2211ηηk k +仍是0=Ax 的解。 iii.如果ξ是b Ax =的解，η是0=Ax 的解，则ηξ+仍是b Ax =的解。 ⑦.非齐次线性方程组解的结构：如n 元线性方程组b Ax =有解，设t ηηη,,,21 是相应齐次方程组0=Ax 的基础解系，0ξ是b Ax =的某个已知解，则

02211ξηηη++++t t k k k 是b Ax =的通解（或全部解）其中t k k k ,,,21 为任意常数。

三.线性方程组在数学中的应用

运用线性方程组的相关理论来推导出判断平面上两条直线的位置关系和空间上三个平面的位置关系的方法

1.判断平面上两条直线之间的位置关系 设平面上两条直线

0:1111=++C y B x A l ，

0:2222=++C y B x A l ，

记