高等数学：8.4 多元函数的求导法则
多元函数的求导法则-精选
z z u z v y u y v y
x yx y
eusinvx eucovs1
e x y [x six n y ) (co x y s )( ]
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例2. u f(x ,y ,z ) e x 2 y 2 z 2 ,z x 2 sy i,求nu , u x y
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推广: 设下面所涉及的函数都可微 .
1) 中间变量多于两个的情形. 例如, zf(u,v,w ),
u ( t ) ,v ( t ) ,w ( t )
z
d z z du z dv z dw d t u d t v dt w dt
在点 t 可导, 且有链式法则 dzzduzdv dt u dt v dt
z
uv
证: 设 t 取增量△t , 则相应中间变量 t t
有增量△u ,△v ,
zzuzvo() (( u)2( v)2)
u vΒιβλιοθήκη 山东农业大学高等数学
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zzuzv o ( ) (( u)2( v)2)
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第四节多元复合函数的求导法则
一、多元复合函数求导的链式法则 二、多元复合函数的全微分
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一、多元复合函数求导的链式法则
定理. 若函数 u (t),v (t)在 t可 点 ,z导 f(u,v) 在点 (u,v)处偏导连续, 则复合函数 zf((t) ,(t))
e xy[x six ny ) (co x y s )]d(y 所以 zexy[ysixn y()co x sy)(]
高数第四节-多元复合函数的求导法则
u
x
F (x , y)
z
v
y
定理 2 ：设 u = ( x , y ), v = ( x , y ) 在点 ( x , y ) 偏
导数存在，z = f ( u , v ) 在对应的点 ( u , v ) 处具有连续
偏导数，则复合函数 z = f [ ( x , y ) , ( x , y ) ] 在点
zx , zxx , z xy.
解：令 v = x y , 则 z u v , u (x , y) , v x y
u
y
z
v
x
z z u z v u y
x u x v x x
2z xy
{
u x
y
}
' y
1
2u , xy
2z x2
2u x2
例6：设 z y 2 ( x y) , 为可微函数，求证
连续偏导数，求w 和 2w . x xz
解 令 u x y z, v xyz , 则 w f (u,v),
2w xz
f1 z
( yf2
yz f2), z
u
x
f1 f1(u, v), f2 f2(u, v), w
v
y z
f1 z
f1 u f1 v u z v z
f11 xyf12;
第四节：多元复合函数的求导法则
设 y f (u) , u (x) , 则 y f [ ( x) ] ,
d y d y du dx du dx
dy
du
du
y
u dx
x
dy
dx
设 z f ( u, v ) , u (x , y) , v (x , y) ,
多元函数求导的方法
多元函数求导的方法多元函数的求导是指对于包含多个自变量的函数，求对其中一个或多个自变量的导数。
求导的方法可以分为偏导数和全导数两种。
偏导数是保持其他自变量不变，只对一个自变量进行求导；全导数则是对所有自变量同时求导。
一、偏导数偏导数的定义和求法与一元函数的导数类似。
对于多元函数f(x1,x2,...,xn)，我们要对其中一个自变量求导，其余自变量视作常数。
求解偏导数时，可以使用以下两种方法：几何法和代数法。
1.几何法几何法是通过几何意义直观地理解偏导数。
对于二元函数f(x,y)，我们可以将其表示在坐标系中，特别地，我们查看函数f(x,y)在一些点(x0,y0)的切线斜率，该斜率即为偏导数。
对于二元函数f(x,y)，其偏导数可以用以下记号表示：∂f/∂x表示对x求偏导数∂f/∂y表示对y求偏导数2.代数法代数法则是通过对多元函数的方程进行求导来求解偏导数。
对于二元函数f(x,y)来说，偏导数的求解步骤如下：(1)将y视作常数，将f(x,y)表示为关于x的一元函数，即得到f(x)=f(x,y0)。
(2)对f(x)求导得到f'(x)，这是f(x,y)对x的偏导数。
对于多元函数，我们可以对其中每个自变量进行同样的处理，从而求解各个偏导数。
特别地，对于三元函数f(x,y,z)，我们可以采用类似的方法，得到三个偏导数：∂f/∂x∂f/∂y∂f/∂z二、全导数全导数是对多元函数对所有自变量求导。
求全导数的方法有两种：直接法和间接法。
1.直接法直接法即直接按照求一元函数导数的方式对多元函数的每个自变量分别求导。
2.间接法间接法是通过利用复合函数求导的链式法则来求解全导数。
对于一个多元函数f(x1,x2,...,xn)，我们可以视其为由另一个函数g(u1,u2,...,um)和一个由u1,u2,...,um构成的向量函数h(v1,v2,...,vr)复合而成的。
则f(x1,x2,...,xn)=g(h(v1,v2,...,vr))。
高等数学8-4 多元复合函数的求导法则
故
f f f f f du ( )dx ( )dz x y x y t x y t z z
由全微分定义
u f f f x x y x y t x u f f z y t z z
dz z du z dv ． dt u dt v dt
证 设 t 获得增量 t，
则 u ( t t ) ( t ), v ( t t ) ( t );
由于函数 z f ( u, v ) 在点( u, v ) 有连续偏导数
z z z u v 1 u 2 v , u v 当u 0 ，v 0 时， 1 0 ， 2 0
解一 变量间的关系如下图所示 x x
x
u
y
t
x
z u f f y f z x x y x z x
y x x t x u f f f x x y x y t x
合函数 z f [ ( x , y ), ( x , y ), w( x , y )] 在对应点
( x , y )的两个偏导数存在，且
z z u z v z w , x u x v x w x z z u z v z w . y u y v y w y
z z dz dx dy x y
z u z v z u z v dx dy u y v y u x v x z u u z v dx dy dx v dy u x y v x y
z z 求 和 . x y
解
多元复合函数求导的链式法则
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第四节多元复合函数的求导法则
一、多元复合函数求导的链式法则 二、多元复合函数的全微分
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一、多元复合函数求导的链式法则
定理. 若函数
z f (u, v)
处偏导连续, 则复合函数
在点 t 可导, 且有链式法则
dz z d u z dv d t u d t v d t
z x
z
2
x y
f1
z x y
f 13
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二、多元复合函数的全微分
设函数 都可微, 则复合函数 z f ( ( x, y ) , ( x, y ) ) 的全微分为
dz z x dx z y dy
z u z v ( )dy u y v y u u v v ( dx dy ) ( dx dy ) x y x y
z
x y z
2
x
2 2 2
y
2 ye
x y z
2ze
x cos y
2 4 2
2
2 ( y x sin y cos y ) e
4
x y x sin
y
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例3. 设 z u v sin t , u e , v cos t , 求全导数
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练习 1. 设
u x u y u z f1 f1 1 y f1
求偏导数。
微积分：8.4 多元复合函数的求导法则
f1 yzf2;
记 f1 f第 1变元 fu, f2 f第 2变元 fv,
同理记 f11 fuu , f12 fuv ,
f22 fvv ,
f122 fuvv ,
说明 f f (x y z, xyz)
f1 f1( x y z, xyz), f12 f12( x y z, xyz),
由于函数z f (u,v)在点(u,v)可微
z z u z v o( u2 v2 ), u v
z z u z v o( u2 v2 ) u2 v2
t u t v t
u2 v2
t
z u z v o( u2 v2 ) ( u )2 ( v )2
u t v t
u2 v2
dt
8t 2sint 2 4t 2 cos t 2 2t sin2t 2
例 设w u2 uv v2 , u 2t, v sint 2 ,求 dw .
dt
解2
dw dt
wu ut wv vt
u
多元复合函数求导法则
(u,v) 有连续偏导数，故可微，即
z z u z v o( ), ( (u)2 (v)2 )
u v
z z u z v o( ) t u t v t t
当t 0时，
du dv dt dt
o( )
连线相乘分线相加都在点具有偏导数则复合函数对应点具有连续偏导数10zfxyxy其中把复合函数变而对x的偏导数两者的区别区别类似3
第四节 多元复合函数求导法则
一、多元复合函数求导的链式法则 二、多元复合函数的全微分
一、链式法则
一元复合函数
定理
求导法则
如果函数u (t) 及v (t)都在点 t 可导，
求 dz .
dx
u
dz f du f dv f dx u dx v dx x
zv x x
dz 试问 dx 与
f x
是否相同？为什么？
z f (u,v, x), u (x), v ( x)
u
dz f du f dv f
zv x
dx u dx v dx x
函数 z f (u,v)在对应点(u,v)具有连续偏导数，
则复合函数z f [(t), (t)] 在对应点 t 可导，
且其导数可用下列公式计算
dz z du z dv z
dt u dt v dt
u vt
证 设 t 有增量 t，则 u (t t) (t), v (t t) (t); 由于函数z f (u,v) 在点
f21 xyf22;
于是
2w xz
f11
xyf12
yf2
yz(
多元复合函数及其求导法则
（10-1）
1.1 多元复合函数的求导法则
证明 因为 z f (u ，v) 具有连续的偏导数，所以它是可微的，即有
dz z du z dv ． u v
又因为 u (t) 及 v (t) 都可导，因而可微，即有
以此代入 dz 的表达式中得
du du dt ， dv dv dt ，
dt
dt
1.1 多元复合函数的求导法则
例 4 设 u f (x ，y ，z) ex2 y2 z2 ， z x2 sin y ，求 u 和 u ． x y
解 u f f z 2xex2 y2 z2 2zex2 y2 z2 2x sin y 2x(1 2x2 sin2 y)ex2 y2 x4 sin2 y ， x x z x
dz
z u
du dt
dt
z v
dv dt
dt
z u
du dt
z v
dv dt
dt
，
从而
dz z du z dv ． dt u dt v dt
1.1 多元复合函数的求导法则
推广 设 z f (u ，v ，w) ，u (t) ，v (t) ，w (t) ，则 z f [(t) ， (t) ，(t)] 对 t
6x(4x 2 y)(3x2 y )2 4x2y1 4(3x2 y2 )4x2 y ln(3x2 y2 ) ， z z u z v v uv1 2y uv ln u 2 y u y v y
2 y(4x 2 y)(3x2 y )2 4x2y1 2(3x2 y2 )4x2y ln(3x2 y2 ) ．
解 本例中的变量有函数 z ，中间变量u ，v ，自变量 x，y ，根据链式法则式（10-3），有 z z u z v eu sin v y eu cosv 1 x u x v x eu ( y sin v cos v) exy[ y sin(x y) cos(x y)]， z z u z v eu sin v x eu cos v 1 y u y v y eu (x sin v cos v) exy[x sin(x y) cos(x y)]．
高等数学 第八章 第4节 多元函数的求导法则(中央财经大学)
第四节 多元复合函数的求导法则一. 全导数多元函数经复合运算后, 一般仍是多元函数, 但也可能成为一元函数.按前面关于多元函数的讨论方法, 复合函数求导法则的研究可从复合后成为一元函数的情况开始.这就是全导数问题.你能由此猜想到多元函数的复合函数求导法则吗 ？你能由此猜想到多元函数的复合函数求导法则吗 ？由此可推至一般的情况由此可推至一般的情况设以下函数满足定理的条件; )( , )( , ),(t y y t x x y x f z ===;)( , )( , )( , ),,(t z z t y y t x x z y x f u ====. )( , )( , ),,(x z z x y y z y x f u === 请同学自己写请同学自己写开始对答案你做对了吗 ?你做对了吗 ?二. 链导法则一般多元复合函数的求导法则假设所有出现的函数求导运算均成立,z uvwxy将 y 看成常数将 y 看成常数 将 x 看成常数 将 x 看成常数分别将 x , y 看成常数, 按全导数公式求导, 而在具体运算时, 实质上又是求多元函数的偏导数.分别将 x , y 看成常数, 按全导数公式求导, 而在具体运算时, 实质上又是求多元函数的偏导数.u v x yzu v x yzuF x yyz∂∂ 2 21f e x f y yz xy′+′−=∂∂ 自己做 自己做=三. 全微分形式不变性记得吗?一元函数的微分有一个重要性质： 一阶微分形式不变性对函数)(u f y =不论 u 是自变量还是中间变量, 在可微的条件下, 均有d )(d u u f y ′=与y y z x x z z d d d ∂∂+∂∂=比较, 得与y y z x x z z d d d ∂∂+∂∂=比较, 得,0=+dz e dz )(ydx xdy +xy −与y y zx x z z d d d ∂∂+∂∂=比较, 得谢谢大家！。
多元复合函数的求导法则
多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则求导法则的应用全微分形式不变性多元复合函数的求导法则复习 一元复合函数()y f u =，()u x φ=， 求导法则 微分法则d ()d ()()d y f u u f u x x φ'''== d d d d d d y y u x u x=⋅定理 如果函数()u t ϕ=及()v t ψ=都在点t 可导，函数(,)z f u v =在对应点(,)u v 具有连续偏导数，则复 合函数[(),()]z f t t ϕψ=在对应点t 可导，且其导数 可用下列公式计算：d d d d d d z z u z v t u t v t∂∂=+∂∂．证 设t 获得增量t ∆, 则()()u t t t ϕϕ∆=+∆-，()()v t t t ψψ∆=+∆-，12z z z u v u v u vεε∂∂∆=∆+∆+∆+∆∂∂ 由于(,)z f u v =在点(,)u v 具有连续偏导数,12z z u z v u v t u t v t t tεε∆∂∆∂∆∆∆=⋅+⋅++∆∂∆∂∆∆∆当0t ∆→时， 0u ∆→，0v ∆→，10ε→，20ε→， d d u u t t ∆→∆，d d v v t t∆→∆， 故0d d d lim d d d t z z z u z v t t u t v t∆→∆∂∂==⋅+⋅∆∂∂. 以上公式中的导数d d z t称为全导数.定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况.例如, zutv则d d d dd d d dz z u z v z w t u t v t w t∂∂∂=++∂∂∂.w定理 如果(,)u x y ϕ=及(,)v x y ψ=都在点(,)x y 具有对x 和y 的偏导数，且函数(,)z f u v =在对应点 (,)u v 具有连续偏导数，则复合函数[(,),(,)]z f x y x y ϕψ=在对应点(,)x y 的两个偏导 数存在，且可用下列公式计算 z z u z v x u x v x∂∂∂∂∂=+∂∂∂∂∂， z z u z v y u y v y ∂∂∂∂∂=+∂∂∂∂∂.法则如图示：z uv x yz x ∂=∂ z u ∂⋅∂ u x ∂∂ z v ∂+⋅∂ ,v x ∂∂ z y ∂=∂ z u ∂⋅∂ u y ∂∂ z v ∂+⋅∂ .v y ∂∂推广对于自变量为两个以上的多元复合函数，上述法则依然成立.求导法则的应用例 设e sin uz v =，而u xy =，v x y =+，求z x ∂∂和zy∂∂.解 z x ∂∂z u z v u x v x∂∂∂∂=⋅+⋅∂∂∂∂ e sin e cos 1u u v y v =⋅+⋅ e [sin()cos()]xyy x y x y =+++ z y ∂∂z u z vu y v y∂∂∂∂=⋅+⋅∂∂∂∂ e [sin()cos()]xyx x y x y =+++例 设(,)w f x y z xyz =++，f 有二阶连续偏导数，解 令u x y z =++，v xyz =，记求wx ∂∂，2w x z∂∂∂. ()1,u f f u v '=， ()2,v f f u v '=， ()12,uv f f u v ''=… w x ∂∂f u f vu x v x∂∂∂∂=⋅+⋅∂∂∂∂ 12f yzf ''=+.2wx z ∂∂∂()12f yzf z ∂''=+∂ 122f f yf yz z z''∂∂'=++∂∂ ()()122,,f u v f u v yf yzzz''∂∂'=++∂∂，()111222122f xyf yf yz f xyf '''''''''=++++()21112222f y x z f yf xy zf '''''''=++++.u x y z =++，v xyz =(,)w f x y z xyz =++有时复合函数的某些中间变量本身又是复合函数的自变量. 例如， 函数(,,)z f u x y =，(,)u x y ϕ=，令v x =，w y =，则1v x ∂=∂，0w x ∂=∂，0v y ∂=∂，1w y∂=∂，把复合函数[(,),,]z f x y x y ϕ=中的y 看作不变而对x 的偏导数 z f u f x u x x∂∂∂∂=⋅+∂∂∂∂ z f u fy u y y∂∂∂∂=⋅+∂∂∂∂ 把(,,)z f u x y =中的u 及y 看作不变而对x 的偏导数(,,)z f u x y =，(,)u x y ϕ=全微分形式不变性设(,)z f u v =具有连续偏导数， 则有全微分d d d z z z u v u v∂∂=+∂∂.如果(,)u x y ϕ=，(,)v x y ψ=，且都具有连续偏导 数，则复合函数[(,),(,)]z f x y x y ϕψ=的全微分为d d d z z z x y x y∂∂=+∂∂d d z u z v z u z v x y u x v x u y v y ⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂∂⎛⎫=+++ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭ d d d d z u u z v v x y x y u x y v x y ⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂=+++ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭d d z z u v u v∂∂=+∂∂. 全微分形式不变性例 设e sin u z v =，而u xy =，v x y =+，求z x ∂∂和z y ∂∂. 解 ()d d e sin u z v = e sin d e cos d u u v u v v =+ d d d u y x x y =+，d d d v x y =+ ()()e sin d d e cos d d u uv y x x y v x y =+++ ()()e sin cos d e sin cos d u u y v v x x v v y =+++ ()()e sin cos d xy y x y x y x ⎡⎤=+++⎣⎦ ()()e sin cos d xy x x y x y y ⎡⎤++++⎣⎦ d d z z x y x y ∂∂=+∂∂。
高等数学第九章第四节多元复合函数的求导法则课件.ppt
tt
z z u z v o( ) ( (u)2 (v)2 )
t u t v t t
则有u 0, v 0,
z
u du , v dv t dt t dt
uv
o( )
tt
(△t＜0 时,根式前加“–”号)
d z z d u z dv ( 全导数公式 ) d t u d t v d t
t tt
z f (u,v) , u (x, y), v (x, y)
z x
z u z v u x v x
f11
f21
z
uv
z z u z v y u y v y
f12 f2 2
x yx y
又如, z f (x,v), v (x, y)
当它们都具有可微条件时, 有
w x
f2 yz
x y zx y z
y z f2 (x y z, xyz)
2w xz
f12 xy
f22 x y
为简便 起f11见
,y引(x入 z记) f号12
xfy12z
f2f2, u
fy12f
2
2 f u v
,
例5. 设
二阶偏导数连续,求下列表达式在
极坐标系下的形式
解: 已知
,则
一、多元复合函数求导的链式法则
定理. 若函数
z f (u,v)
处偏导连续, 则复合函数
在点 t 可导, 且有链式法则
d z z d u z dv d t u d t v d t
z
uv
证: 设 t 取增量△t , 则相应中间变量 有增量△u ,△v ,
z z u z v o ( )
u v
说明: 若定理中
多元函数的求导法则_高等数学_[共3页]
![多元函数的求导法则_高等数学_[共3页]](https://img.taocdn.com/s3/m/1bcedf0da58da0116d1749bd.png)
多少立方米的材料?解:设该木桶的底面半径为r ,高为h ,则体积V =πr 2h ,依题意,取r 0=2,h 0=4,Δr =Δh =0.01那么,ΔV ʈd z =f r (r ,h )Δr +f h (r ,h )Δh=2πr h Δr +πr 2Δh .得,ΔV r 0=2h 0=4Δr =0.01Δh =0.01ʈ2πˑ2ˑ4ˑ0.01+πˑ22ˑ0.01=0.2π=0.628(立方米).ʑ约需用0.628立方米的材料.例2 计算(0.98)2.03的近似值.解:设z =x y ,取x 0=1,y 0=2,Δx =-0.02,Δy =0.03,由公式f (x +Δx ,y +Δy )ʈf (x ,y )+f x (x ,y )Δx +f y (x ,y )Δy =f (x ,y )+y x y -1Δx +x y l n x ㊃Δy ,得(0.98)2.03ʈ12+2ˑ11ˑ(-0.02)+12㊃l n1㊃0.03=1+2ˑ(-0.02)+0ˑ0.03=0.96.习题7-41.求下列函数的全微分:(1)z =x 2e y +y 2; (2)z =x 2+y 2;(3)z =a r c t a n (x y ); (4)u =y x z .2.求函数z =l n (1-x 2+y 2)在x =1,y =2的全微分.3.一圆柱形的封闭铁桶,内半径为5c m ,内髙为12c m ,壁厚均为0.2c m ,计算制作这个铁桶所需材料的体积大约是多少?4.计算(1.01)2.02的近似值.第五节 多元函数的求导法则一㊁多元复合函数的求导法则在一元函数的微分学中,我们学习过复合函数y =f [φ(x )]的求导法则d y d x =d y d u ㊃d u d x ,现在讨论如何将它推广到多元复合函数中.设z 是变量u ,v 的函数z =f (u ,v ),而u ,v 又是变量x ,y 的函数u =u (x ,y ),v =v 图7-22(x ,y ),则z =f [u (x ,y ),v (x ,y )]是x ,y 的二元复合函数,其中u ,v 称为中间变量.它的复合关系如图7-22所示,这个图称为复合函数结构树形图.定理 设函数u =u (x ,y ),v =v (x ,y )在点(x ,y )处有偏导数,且z =f (u ,v )在对应点(u ,v )处有连续的偏导数,则复合函数z =f [u (x ,y ),v (x ,y )]在点(x ,y )处的偏导数∂z ∂x ,∂z ∂y 都存在,并且148高等数学。
多元函数求导的方法
多元函数求导的方法多元函数求导是微积分中的重要概念之一，它是解决实际问题、优化函数以及研究函数特性的基础。
在本文中，我们将介绍多元函数求导的方法，并通过具体的例子来说明其应用。
一、偏导数多元函数是指依赖于多个自变量的函数。
而偏导数是多元函数求导的基础，它用于衡量函数在某一自变量上的变化率。
偏导数的定义是在其他自变量保持不变的情况下，对某一自变量求导。
例如，考虑函数 f(x, y) = x^2 + y^2。
对于这个函数，我们可以分别对自变量 x 和 y 求偏导数。
当我们对 x 求偏导数时，将 y 视为常数，得到的结果为 2x。
同样地，当我们对 y 求偏导数时，将 x 视为常数，得到的结果为 2y。
二、全导数全导数是多元函数求导的一种推广，它将多元函数的所有自变量都考虑在内。
全导数的定义是对每个自变量求偏导数，并将其组合成一个向量。
例如，考虑函数 g(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2。
对于这个函数，我们可以对每个自变量分别求偏导数，得到的结果为(2x, 2y, 2z)。
这个结果就是函数的全导数。
三、链式法则在多元函数求导中，链式法则是一个非常有用的工具，它用于计算复合函数的导数。
链式法则的思想是将复合函数视为两个函数的组合，然后分别对两个函数求导，并将结果相乘。
例如，考虑函数 h(x, y) = f(g(x, y))，其中 f 和 g 是两个函数。
根据链式法则，h 对 x 的偏导数可以通过先对 g 求偏导数，再对 f 求偏导数得到。
四、应用举例下面通过一个具体的例子来说明多元函数求导的应用。
假设我们有一个矩形，其长为 x，宽为 y。
我们想要最大化这个矩形的面积，但是受到周长不能超过10 的限制。
我们可以将这个问题转化为一个优化问题，即找到使得面积最大的长和宽。
设矩形的面积为 A(x, y) = x * y，周长为 P(x, y) = 2 * (x + y)。
根据题目要求，我们有 P(x, y) = 2 * (x + y) = 10，即 x + y = 5。
多元函数求导法则
例7 ，求 ， 。
练习：
习题七27（1）；28(2) ; 31(1)
二、隐函数微分法
（一）一元隐函数求导公式
方法一：两边对 求导，解出 （不足：无法用一般公式表述）
方法二：由
例8设 ，求 。
（二）二元隐函数求导公式
例9设 ，求 。
例10设 ，求 。
练习：
习题七-- 35(1); 36(3)
教学方法与手段：
教学方法：讲授式为主启发式和讨论式相结合，借助示意图及实例分析，加深对抽象概念理解。
教学手段：传统教学手段（板书）与现代化教学手段（多媒体）相结合，既有演算推导过程，又提高单位时间授课信息量。
教学组长审阅意见：
签名：年月日
教研室主任审阅意见：
签名：年月日
理论与实验课教案续页
基本内容
教学方法手段
和时间分配
复习回顾：一元复合函数求导法则
第三节全微分及其应用
一元函数： ，在 点可导；
二元函数： ，在 点 存在；希望全增量 为
（1）
其中 是不依赖于 （仅与 点有关）的常数，
下面给出全微分的定义、存在的充要条件。
一、全微分概念
定义：若（1）式成立，则称 ，在点 可微分，而 称为在该点的全微分（total differential），记为：
（2）
二、可微与可导间的关系
P222定理1（必要条件）
在 点全微分存在 存在（+连续）
（（1）式成立）P223定理2（充分条件）
AB
几点说明：
1）P222定理1为全微分存在的必要条件定理，即（1）式成立 在 点存在且 ；
2）反之不成立。反例见 分段函数（即 不是 的高阶无穷小）
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求 w 及 2w x xz 解 令uxyz vxyz 则wf(u v)
w x
f u
u x
f v
v x
f1
yzf2
2w xz
z
(
f1
yzf2)
f1 z
yf2
yz
f2 z
f11 xyf12 yf2 yzf21 xy2zf22
f11 y(x z) f12 yf2 xy2zf22
解 u f f z 2xex2 y2 z2 2zex2 y2 z2 2xsin y x x z x 2xx (1 2x2 sin 2 y)ex2 y2 x4 sin 2 y
u y
f y
f z
z y
2yex2 y2 z2
2zex2 y2 z2 x2 cos y
2(y x4 sin y cos y)ex2 y2 x4 sin 2 y
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例 3 设 zuvsin t 而 uet vcos t 求全导数 dz dt
解
dz z du z dv z dt u dt v dt t
v etu (sin t)cos t
etcos tetsin tcos t
et(cos tsin t)cos t
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§8.4 多元函数的求导法则
一 多元复合函数的求导法则 二 一阶全微分形式不变性 三 隐函数的导数
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一 多元复合函数的求导法则
设 zf(u v) 而 u(t) v(t) 如何求 dz ？
dt
设 zf(u v)
而 u(x y) v(x y)
如何求 z 和 z x y
z y
z u
u y
z v
dv dy
(2) z f u f x u x x
z y
f u
u y
f y
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设zf(u x y) 且u(x y) 则
z f u f z f u f x u x x y u y y
例例2 设 uf(x y z) ex2y2z2 而 zx2sin y 求 u 和u x y
当t 0时， u 0，v 0
u du , t dt
v dv , t dt
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dz lim z z du z dv . dt t0 t u dt v dt
上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况.
如 dz z du z dv z dw dt u dt v dt w dt
证 设 t 获得增量 t，
则 u (t t) (t), v (t t) (t);
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由于函数z f (u, v)在点(u, v)有连续偏导数
z
z u
u
z v
v
1u
2v,
当u 0，v 0时， 1 0， 2 0
z t
z u
u t
z v
v t
1
u t
2
v t
解 z z u z v x u x v x eusin vyeucos v 1exy[y sin(xy)cos(xy)]
z z u z v y u y v y
eusin vx eucos v 1exy[x sin(xy)cos(xy)]
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设zf(u v) u(t) v(t) 则 dz z du z dv
有连续偏导数 则
dz z dx z dy x y
( z u z v)dx( z u z v)dy u x v x u y v y
z u
(ux
dx
u y
dy)
z v
(xv
dx
v y
dy)
z du z dv u v
二 全微分形式不变性
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设zf(u v)具有连续偏导数 则有全微分
z y
z u
u y
z v
v y
z w
w y
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设zf(u v) u(t) v(t) 则 dz z du z dv
dt u dt v dt
设zf(u v) u(x y) v(x y) 则
z x
z u
u x
z v
v x
z y
z u
u y
z v
v y
例例11 设 zeusin v uxy vxy 求 z 和 z x y
合函数zf[(x y) (x y)]在点(x y)的两个偏导数存在 且有
z z u z v x u x v x
z y
z u
u y
z v v y
•定理1的推广
设zf(u v w) u(x y) v(x y) w(x y) 则
z z u z v z w x u x v x w x
u
z
v
t
w
以上公式中的导数
dz dt
称为全导数.
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设zf(u v) u(t) v(t) 则 dz z du z dv
dt u dt v dt
❖中间变量为多元函数的情形
定理2 如果函数u(x y) v(x y)都在点(x y)具有对x及
y的偏导数 函数zf(u v)在对应点(u v)具有连续偏导数 ຫໍສະໝຸດ 复dt u dt v dt
设zf(u v) u(x y) v(x y) 则
z x
z u
u x
z v
v x
z y
z u
u y
z v
v y
讨论
(1)设 zf(u v) u(x y) v(y)
则
z x
？
z y
？
(2)设 zf(u x y)
且 u(x y)
则
z x
？
z y
？
提示
(1) z z u x u x
引提入示记 号fz12f1fufu12fuz(uzu,v)fv1fv2 fvz12vzf1ff12u1(ux,vvxyf)y1f222同理有 f2 f11 f22 等
二 全微分形式不变性
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设zf(u v)具有连续偏导数 则有全微分
dz z du z dv u v
如果zf(u v)具有连续偏导数 而u(x y) v(x y)也具
？
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❖中间变量为一元函数的情形
定理 1 如果函数u (t )及v (t)都在点t 可
导，函数z f (u,v)在对应点(u,v)具有连续偏导
数，则复合函数z f [ (t), (t)]在对应点t 可导，
且其导数可用下列公式计算：
dz z du z dv ． dt u dt v dt
dz z du z dv u v
如果zf(u v)具有连续偏导数 而u(x y) v(x y)也具