平面直角坐标系中的伸缩变换

平面直角坐标系中的伸缩变换

【例1】 在同一平面直角坐标系中，求一个伸缩变换，使得圆

x 2＋y 2＝1变换为椭圆x 29＋y 24＝1.

【解】 设伸缩变换为⎩⎪⎨⎪⎧

x ′＝λx (λ>0)，y ′＝μy (μ>0)， 由题知λ2x 29＋μ2y 24＝1，

即⎝ ⎛⎭⎪⎫λ32x 2＋⎝ ⎛⎭

⎪⎫μ22y 2＝1. 与x 2＋y 2＝1比较系数，

得⎩⎪⎨⎪⎧ ⎝ ⎛⎭⎪⎫λ32＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫μ22＝1，故⎩⎪⎨⎪⎧

λ＝3，μ＝2， 所以伸缩变换为⎩⎪⎨⎪⎧

x ′＝3x ，y ′＝2y ，即先使圆x 2＋y 2＝1上的点的纵坐标不变，将圆上的点的横坐标伸长到原来的3倍，得到椭圆x 29＋y 2＝1，

再将该椭圆的点的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的2倍，得到椭圆x 29＋y 24＝1.

若函数y ＝f (x )的图象在伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧

x ′＝2x ，y ′＝3y 的作用下得到曲线的方程为y ′＝3sin ⎝ ⎛⎭

⎪⎫x ′＋π6，求函数y ＝f (x )的最小正周期． 解：由题意，把变换公式代入曲线y ′＝3sin ⎝ ⎛⎭

⎪⎫x ′＋π6得3y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，整理得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，故f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭

⎪⎫2x ＋π6.所以y ＝f (x )的最小正周期为2π2＝π.