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1. 平面上一点向二次曲线作切线得两切点，连结两切点的线段我们称切点弦•设过抛物线2
x 2py外一点P(X o,y°)的任一直线与抛物线的两个交点为C、D，与抛物线切点弦AB
的交点为Q。

(1 )求证：抛物线切点弦的方程为x0x p(y+ y0)；
(2)求证：
1 1
2 PC |PD | |PQ |
2. 已知定点F( 1, 0),动点P在y轴上运动，过点P作PM交x轴于点M,并延长MP到点N 且PM PF 0,| PM | | PN |.
(1)动点N的轨迹方程；
(2)线I与动点N的轨迹交于A, B两点，若OA OB 4,且4,6 | AB | 4 30，求直线I的斜率k的取值范围.
3.如图，椭圆G :1的左右顶点分别为A、B, P为双曲线C2 :1右支
上(x轴上方)一点，连AP交C1于C,连PB并延长交C1于。

，且厶ACD与厶PCD的面积相等，求直线PD的斜率及直线CD的倾斜角.
4.已知点M ( 2,0), N(2,0)，动点P满足条件| PM | | PN | 2-2.记动点P的轨迹为W.
(I)求W的方程;
uuu uun
(n)若 AB 是W 上的不同两点，O 是坐标原点，求 OA OB 的最小值.
2 2
5.已知曲线 C 的方程为：kx 2+(4-k)y 2=k+1,(k € R)
(I)若曲线C 是椭圆，求k 的取值范围；
(n)若曲线c 是双曲线，且有一条渐近线的倾斜角是 60°,求此双曲线的方程； (川)满足(n)的双曲线上是否存在两点 P , Q 关于直线I : y=x-1对称，若存在，求出过 P,
Q 的直线方程；若不存在，说明理由。

6.如图(21)图，M (-2, 0)和N (2, 0)是平面上的两点， 动点P 满足：PM PN 6.
(1)求点P 的轨迹方程；
2 ⑵若PM -PN l = --------------------- ,求点P 的坐标.
1 cos MPN
的两条渐进线|仆12分别交于点M,N ，与椭圆交于点 A,B . ⑴若 MON ―,双曲线的焦距为
3
UUUU UULU
(II )若OM MN 0 ( O 为坐标原点)
2 x
7.已知F 为椭圆—
a 2
b 2 1
(a b
0)的右焦点，直线I 过点F 且与双曲线
b 2
4。

求椭圆方程。

ULU 1 UULT
,FA -AN ，求椭圆的离心率
3
I
2 1. (1)略
(2)为简化运算，设抛物线方程为
2
(x X o) 2p(y y o)，点Q, C, D的坐标分别为
(X3, 丫3),(花，％),(X2, y2)，点P(0,0),直线
y
2
(X X o) 2p(kx y o)
2 2
kx ,
一方面。

要证112
PC|PD||PQ|
化斜为直后
只须证：
丄
2 X1X2X3
由于11X1x22(x o
9
pk) X1X2为X2X
2pk
另一方面，由于P(0,0)所以切点弦方程为：x0 (x x0) p( y 2y0)
所以X3
2
x
o
2Pk 1 X o pk X3 x：2
pk
X o Pk
1 1 2
从而
X1X2 X3
即112
PC|PD||PQ|
2分
___ ______________________ _____ l2
PF (1, y),由PM PF 0得x J
2 4 0，因此，动点的轨迹方程为y2 4x(x 0). (4)
8.设曲线C1: X7 y2 1 ( a为正常数)与C2: y2 2(x m)在x轴上方只有一个公共点P。

a
(I)求实数m的取值范围(用a表示)；
1
(n) 0为原点，若C i与x轴的负半轴交于点A，当0 a㊁时，试求OAP的面积的最大值(用a表示)。

2.("设动点N 的坐标为(x,y),则M( x,0), P(0,y)(x 0),PM ( x, y),
(2)设I 与抛物线交于点 A (x i ,y i ) ,B(x 2,y 2),当I 与x 轴垂直时， 则由 OA OB 4,得力 2、2、y
2..2,|AB|4.2 46,不合题意,
故与I 与 x 轴不垂直，可设直线I 的方程为y=kx+b(k ^ 0),则由OA OB 4,得y y 2 4…
6分
由点 A , B 在抛物线 y 2 4x(x 0)上，有y 2 4x t ,y ； 4x 2,故％ y 2 8.
又 y 2=4x, y=kx+b 得 ky 2— 4y+4b=0, 所以 4b 8,b
2k.
16(1 2k 2),|AB |2
k
2
因为4.6 | AB| 4.30,所以96匚身(驾 32) 480.解得直线I 的斜率的 取值范围是
3. 由题意得 C 为 AP 中点，设 C(x °,y °),A( 2,0) , P(2^ 2,2y 。

),
2 2
把C 点代入椭圆方程、P 点代入双曲线方程可得 3X 0 4y 。

12
2 2 '
3(2x o 2)
4y 。

12
沧
1
3
3,故 C(1,—),P(4,3),又 B(2,0)
y
2
2
4. 解法
(I)由|PM| — |PN|= 2.2知动点P 的轨迹是以 M,N 为焦点的双曲线的右支，实
半轴长a
：2
又半焦距 c=2，故虚半轴长b
■. c 2 a 2
2
所以W 2 2
的方程为—£
2 2
1,x 、2
(n)设
A ,
B 的坐标分别为
(捲，yj, (X 2, y 2)
UJU
UUU ******** 2 2
当AB 丄x 轴时，为 X 2,从而y
y 2,从而OA OB
y^
为
y , 2.
当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y kx m ,与W 的方程联立，消去y 得
10分
［
討
12分
解之得:
故直线PD 的斜率为
4 2 2，直线PD 的方程为
2
3
尹2),
联立
3 ,
y
(x 2 2 2
x y
4 3 2) 解得D(1, 1
3、，故直线CD 的倾斜角为90° 2)
(1 k 2)x 2 2kmx m 2
2 0.
故x X 2 2km X 1X 2 m 2
2
1 k 2, k
2 1 7
所以 urn OA uuu OB X 1X 2 y 』2 X 1X
2 (kx 1 m)(kx 2 (1 2 2 k )(m 2) 2k 2 2 m m 2 2k 2 2
k 2 1 1 k 2 k 2 1 又因为X-|X 2 0,所以 k 2
1 0,从而 uuu OA uuu OB
2. 综上，当AB 丄X 轴
时, 2.
uuu
OB 取得最小值 2 & 2 2
m) (1 k )x 1x 2 km(x ) x 2) m
uur OA 解法二： (I)同解法 2 2 / X i y , (X i y)(x
y i ) 2(i
1,2).
则st 2,且s 0,t i 0(i
1,2)所以
uuu uuu
1
OA OB x.,x 2 yM
(s tJG t 2)
的坐标分别为，则(捲，yj , (x 2,y 2),则
(n)
设 A ,
B 1
才 g t 2)
令 s K y i ,t i X i y ,,
1 产
2
s i s 2t 1t 2 2, 当且仅当 X i SS 2 址2,即 % X 2,时”
y 2 ”成立. uuu 所以OA uuu O
B 的最小值是2.
5. (1) 2 X
k
当 k=0或 k=-1 或 k=4 时，
2 丄 1，为椭圆的充要条件是 k 1 4 k
C 表示直线；当k z 0且k z -1且k z 4时方程
为 k k 1 k 1
°,〒厂
即是 0<k<2或 2<k<4 (2)为双曲线的充要条件是 0,即k
1或-1 k 0 或 k 4,
当k 1或k 4时,双曲线焦点在
x 轴上 2
,a
1
,b 2 上
丄,得k 6,
2
综上得双曲线方程为冷
6
x m
2 2 消去
y 得：4x 4mx 2y 2 7
方程(2)的厶＞0,.・.存在满足条件的P 、Q ,直线PQ 的方程为
6. (1)由椭圆的定义，点 P 的轨迹是以M 、N 为焦点, 因此半焦距c=2,长半轴a=3，从而短半轴 b= a c 一5，
x 2 所以椭圆的方程为一
9
⑵由PM gPN 1 cosMPN ,得
PM gPN cosMPN PM gPN | 2.
MN | 4,由余弦定理有
2 2 2
MN PM | PN 2 PM gPN cosMPN.
②
将①代入②，得
2 2
42 PM |PN 2( PM gPN 2).
2
故点P 在以M 、N 为焦点，实轴长为 2「3的双曲线 — y 2 1上.
3
2 2
由⑴知，点P 的坐标又满足—L 1,所以
9 5
当-1 k 0时,双曲线焦点在y 轴上,b 2
,得k 6,不符. 4
（出） 若存在，设直线 PQ 的方程为:
y=-x+m
X o
设P,Q 的上点是M (x °,y 。

),贝V y o m
2
,M 在直线L 上, 3m ~2~
3m ~2
2
2
y 6x 2
2
2m 2
7 0
1 2
长轴长2a=6的椭圆. 2
J 1. 5
因为cosMPN 1,P 不为椭圆长轴顶点，故
P 、M 、 N 构成三角形.在厶PMN 中,
5x 2 由方程组 o 2 x 9y 2 45,
3y 2
3. x
解得
3；
3
遁
2 .
即P 点坐标为 (
V ，
(2
或（
3「3 、
，- ).
2 2
7•解：（I ） MON -，
M ,N 是直线l 与双曲线两条渐近线的交点,
3 tan
—
6 r .：l
3 3
即 a 、、
3b
双曲线的焦距为4,
b 2 4
解得，a 2 3, b 2 1
2
x
椭圆方程为
-
3
y 2 1
（II ）解：设椭圆的焦距为
2c , 则点F 的坐标为 (GO
)
OM ON 0，
直线11的斜率为
直线l 的斜率为b ，
直线丨
的方程为 ：（x
c)
a / 、 y 「(x a) 由 b
y 解得
a 2
c ab
即点
设 A(x,y),由 FA I AN
3
a 2
a 2
J
x c (
即
3 c
1 ab y (一
3 c
X
） y)
c, y 1 3(c ab x,一 c
y) 点A 在椭圆上,
(3c 2 a 2 2
16a c
2)2
3c 2
4c
ab y 4c
“J
a 2 a
b —*
10分。

12分
Snax
a ： a a ；
a 2
1
②当 m -------- 时，x P
a 2 , y P
2
当 a 、a a 2
〔a 1 a 2
，即 0 a
2
I 1 _
1 a 2，此时S -a.1 a 2。

因此，有
2
1
时，S max
fa" a 2 ；当 a.a a 2
3 2
1
1
2
3
2
即 a 时，S max a a a 。

(3c 1 2 3 a 2)2 a 4 16a 2c 2 (3e 2 1)2 1 16e 2
4 2 2 9e 10e 2 0 e 椭圆的离心率是e 8. (I)
由 y 2 1 2 x 2(x m) 2
2a x (2 m
1)a 2
，
设 f (x) x 2
2a 2 x (2 m 1)a 2
,
则冋题(I)转化为方程①在区间
( a, a)上有唯一解：
①若 0 m 2 a 2 1 ，此时X p 2 a ，当且仅当 a a 2 a ，即 0 a 1适合；
②若f(a)f ( a) 0 , 贝U a m a ;
③若f( a) 0 m a ,此时x p a 2a 2 ,当且仅当 a 2
a 2a a ,
即0 a 1时适合;
若 f(a) 0 m a ，此时x p a 2a 2，但 a 2a 2
a ，从而m
a 。

综上所述，当 0 a 1 时，m a 2
1 或 a m a ；当a 1时，a m a 。

2
2 1 1 (n)
OAP 的面积是S -ay p 。

因为0 a ―,所以有两种情形: 2 2
①当 a m a 时，0 a 2 a. a 2 2m 1 a ,由唯一性得X p
a a 2 2m 1。

显
然，当m a 时，X p 取得最小值a
2 a?，从而y p #1手取得最大值
2
a ，所以有。