苏教版数学高二- 选修2-2导学案 1.5.2《定积分》

1.5.2 定积分 导学案
学习目标：
1.、借助于几何直观定积分的基本思想，理解定积分的概念；
2、理解掌握定积分的几何意义.
学习难点重点：
定积分的概念、定积分法求简单的定积分、定积分的几何意义
学习过程：
一、创设情景
复习：
1． 回忆前面曲边图形面积，变速运动的路程，变力做功等问题的解决方法，解决步骤：
2．对这四个步骤再以分析、理解、归纳，找出共同点。

情境导入：
1.曲边梯形面积问题;
2.变力作功问题;
3.变速运动的距离问题.
我们把这些问题从具体的问题中抽象出来，作为一个数学概念提出来就是今天要讲的定积分。

由此我们可以给定积分的定义。

二、数学建构
1．定积分的概念
一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上有定义，将区间[,]a b 等分为n 个小区间，每个小区间的长度为x ∆（b a x n
-∆=），在每个小区间上取一点，依次为123,,,n x x x x 。

作和12()()()()n i n S f x x f x x f x x f x x =⋅∆+⋅∆++⋅∆++⋅∆，如果x ∆无限趋近于0（亦
即n 趋向于)+∞时，n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分，记为()b
a S f x dx =⎰ 其中， 为被积函数， 称为积分函
数， 称为积分下限， 称为积分上限。

说明：（1）定积分()b
a f x dx ⎰是一个常数，即n S 无限趋近的常数S （n →+∞时）称为
()b
a f x dx ⎰，不是n S
（2）用定义求定积分的一般方法是：
①分割：n 等分区间[],a b ；
②近似代替：取点[]1,i i i x x ξ-∈； ③求和：1()n
i i b a f n ξ=-∑； ④取极限：()1()lim n b
i a n i b a f x dx f n
ξ→∞=-=∑⎰ （3）曲边图形面积： ；变速运动路程 ； 变力做功
【举例说明】
1、由曲线y=x2+1与直线x=1,x=3及x 轴所围成的曲边梯形的面积,用定积分表示为____________.
2、2
2sin 3tdt -⎰中，积分上限是___,，积分下限是___，积分区间是______。

3、定积分
21sin(1)x dx +⎰=__________. 4、定积分
31
4dx ⎰=__________.
说明：定积分数值只与被积函数及积分区间 有关, 与积分变量记号无关。

()()()b
b b
a a a f x dx f t dt f u du ==⎰⎰⎰ 思考: 函数在区间上的定积分能否为负的?
定积分1
2(1)____________.x dx --+=⎰ 定积分2
1(1)____________.x dx +=⎰ 2．定积分的几何意义
如果在区间[,]a b 上函数连续且恒有()0f x ≥，那么定积分
()b a f x dx ⎰表示由直线,x a x b ==（a b ≠）
，0y =和曲线()y f x =所围成的曲边梯形的面积。

说明：一般情况下，定积分()b
a f x dx ⎰的几何意义是介于
x 轴、函数()f x 的图形以及直线,x a x b ==之间各部分面积的代数和，在x 轴上方的面积取正号，在x 轴下方的面积去负号．
分析：一般的，设被积函数()y f x =，若()y f x =在[,]a b 上可取负值。

考察和式()()()12()i n f x x f x x f x x f x x ∆+∆++∆++∆ 不妨设1(),(),
,()0i i n f x f x f x +<
于是和式即为()()()121(){[()][]}i i n f x x f x x f x x f x x f x x -∆+∆+
+∆--∆++-∆ ()b
a f x dx ∴=⎰阴影A 的面积—阴影B 的面积（即x
轴上方面积减x 轴下方的面积） 三、数学应用
例1． 计算定积分
21(1)x dx +⎰
1 2 y
x
o
例2．根据定积分的几何意义，你能用定积分表示下图中阴影部分的面积吗？
四、回顾总结
１．定积分的实质：特殊和式的逼近值．
２．定积分的思想和方法：分割（化整为零：取近似）、求和（积零为整）、取逼近（得精确值）。

3。

定积分的几何意义及简单应用。

五、练习与作业
教材P52 1（1）（3）,4。

同步检测
C O x y a
b A B
D )(2
x f y =)(1x f y =。