最新文科立体几何大题复习

文科立体几何大题复习

一．解答题（共12小题）

1．如图1，在正方形ABCD中，点，E，F分别是AB，BC的中点，BD与EF交于点H，点G，R分别

在线段DH，HB上，且．将△AED，△CFD，△BEF分别沿DE，DF，EF折起，使点A，B，C重合于点P，如图2所示．

（1）求证：GR⊥平面PEF；

（2）若正方形ABCD的边长为4，求三棱锥P﹣DEF的内切球的半径．

2．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=2，PD=，O为AC与BD的交点，E为棱PB上一点．

（Ⅰ）证明：平面EAC⊥平面PBD；

（Ⅱ）若PD∥平面EAC，求三棱锥P﹣EAD的体积．

3．如图，在四棱锥中P﹣ABCD，AB=BC=CD=DA，∠BAD=60°，AQ=QD，△PAD是正三角形．

（1）求证：AD⊥PB；

（2）已知点M是线段PC上，MC=λPM，且PA∥平面MQB，求实数λ的值．

4．如图，四棱锥S﹣ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱SD上的点．

（Ⅰ）求证：AC⊥SD；

（Ⅱ）若SD⊥平面PAC，则侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC．若存在，求SE：EC的值；若不存在，试说明理由．

5．如图所示，△ABC所在的平面与菱形BCDE所在的平面垂直，且AB⊥BC，AB=BC=2，∠BCD=60°，点M为BE的中点，点N在线段AC上．

（Ⅰ）若=λ，且DN⊥AC，求λ的值；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求三棱锥B﹣DMN的体积．

6．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC，且侧面BB1C1C是菱形，∠B1BC=60°．

（Ⅰ）求证：AB1⊥BC；

（Ⅱ）若AB⊥AC，AB1=BB1，且该三棱柱的体积为2，求AB的长．

7．如图1，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，E是CD的中点，将△ADE沿AE折起，得到如图2所示

的四棱锥D1﹣ABCE，其中平面D1AE⊥平面ABCE．

（1）证明：BE⊥平面D1AE；

（2）设F为CD1的中点，在线段AB上是否存在一点M，使得MF∥平面D1AE，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

8．如图，已知多面体ABCDEF中，△ABD、△ADE均为正三角形，平面ADE⊥平面ABCD，AB∥CD∥EF，AD：EF：CD=2：3：4．

（Ⅰ）求证：BD⊥平面BFC；

（Ⅱ）若AD=2，求该多面体的体积．

9．如图，在四棱锥中P﹣ABCD，底面ABCD为边长为的正方形，PA⊥BD．

（Ⅰ）求证：PB=PD；

（Ⅱ）若E，F分别为PC，AB的中点，EF⊥平面PCD，求三棱锥的D﹣ACE体积．

10．如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE⊥平面ABCD．

（Ⅰ）证明：平面AEC⊥平面BED；

（Ⅱ）若∠ABC=120°，AE⊥EC，三棱锥E﹣ACD的体积为，求该三棱锥的侧面积．

11．如图，四边形ABCD是正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，AF=ED=1．（Ⅰ）求二面角E﹣AC﹣D的正切值；

（Ⅱ）设点M是线段BD上一个动点，试确定点M的位置，使得AM∥平面BEF，并证明你的结论．

12．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥平面BCP，CD∥AB，AB=BC=CP=BP=2，CD=1．

（1）求点B到平面DCP的距离；

（2）点M为线段AB上一点（含端点），设直线MP与平面DCP所成角为α，求sinα的取值范围．

文科立体几何大题复习

参考答案与试题解析

一．解答题（共12小题）

1．如图1，在正方形ABCD中，点，E，F分别是AB，BC的中点，BD与EF交于点H，点G，R分别

在线段DH，HB上，且．将△AED，△CFD，△BEF分别沿DE，DF，EF折起，使点A，B，C重合于点P，如图2所示．

（1）求证：GR⊥平面PEF；

（2）若正方形ABCD的边长为4，求三棱锥P﹣DEF的内切球的半径．

【解答】证明：（Ⅰ）在正方形ABCD中，∠A、∠B、∠C均为直角，

∴在三棱锥P﹣DEF中，PE，PF，PD三条线段两两垂直，

∴PD⊥平面PEF，

∵=，即，∴在△PDH中，RG∥PD，

∴GR⊥平面PEF．

解：（Ⅱ）正方形ABCD边长为4，

由题意PE=PF=2，PD=4，EF=2，DF=2，

∴S

=2，S△PFD=S△DPE=4，

△PEF

=6，

设三棱锥P﹣DEF的内切球半径为r，

则三棱锥的体积：

=，

解得r=，

∴三棱锥P﹣DEF的内切球的半径为．

2．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=2，PD=，O为AC与BD的交点，E为棱PB上一点．

（Ⅰ）证明：平面EAC⊥平面PBD；

（Ⅱ）若PD∥平面EAC，求三棱锥P﹣EAD的体积．

【解答】（Ⅰ）证明：∵PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，

∴AC⊥PD．∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，

又∵PD∩BD=D，AC⊥平面PBD．

而AC⊂平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBD．

（Ⅱ）解：∵PD∥平面EAC，平面EAC∩平面PBD=OE，

∴PD∥OE，

∵O是BD中点，∴E是PB中点．

取AD中点H，连结BH，∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=60°，

∴BH⊥AD，又BH⊥PD，AD∩PD=D，∴BH⊥平面PAD，．

∴

==．