几何画板实例操作详解

几何画板实例操作详解
——自由滑动的定长线段
黑龙江省大兴安岭新林区第三中学（165023） 刘横
笔者作为一名几何画板爱好者，在不断探索学习的过程中深深体会到：通过实例操作来学习几何画板是一行之有效的方法。

下面，笔者利用一个教学中经常遇到的实例及其引申为载体和同行们分享一下自己的几何画板操作心得：
常见实例：如图1所示，一根长2a 的木棍(AB)，斜靠在与地面(OM)垂直的墙(ON)上，设木棍的中 点为P ．若木棍A 端沿墙下滑，且B 端沿地面向右滑行．请判断木棍在滑动的过程中，点P 到点O 的距离是否变化？并简述理由．
图1
实例中的定长线段可以利用新建的距离参数控制其长度，制作通过拖动点A 控制线段滑动课件用几何画板很容易实现，不再赘述。

引申：上述实例中的线段AB 能否实现在一对互相垂直的直线上按图2所示的方式连续滑动？
M N N
M
M N
图2
分析：若想通过A 点来实现线段的滑动是很难实现的，因此我们要另辟蹊径。

先前实例中的点P 的轨迹显然是一段圆弧，所以引申中所提出的问题中的AB 中点P 的轨迹是一个半径为a 的圆，因此可以利用圆上的动点来控制线段AB 的滑动。

制作流程：
新建距离参数a 并计算2a 。

绘制直线OM ⊥ON 于点O ，再绘制以O 为圆心、半径为a 的圆，在圆上任取一点P ，作PQ 垂直ON 于点Q ，双击QP 再单击点O ，单击【变换】中的【反射】就可以得到O 点关于QP 的对称点，将对称点标签修改为点A ，作直线AP 交OM 于点
B ，连结线段AB ，隐藏多余的图形，如图3：
2∙a = 1.40
a M
图3
拖动点P 就可以控制线段AB 的滑动了，但怎样使线段AB 能按引申中所述的方式连续滑动呢？不难发现只要让点P 绕点O 顺时针转动即可！单击点P ，单击【编辑】中的【操作类按钮】中的【动画】，会出现一个动画设置对话框，将方向改为顺时针，速度改为慢速，单击确定即可出现一个标签为“动画点”的操作按钮。

隐藏点P ，单击这个按钮就会发现线段AB 会按引申中所要求的方式自由滑动了。

（右键单击这个按钮就可以在属性菜单下修改其标签或动画方式）
再次引申：若将引申中的一对互相垂直的直线改为一般的相交线，动画又该如何实现呢？
思路与先前相仿，首先需要绘制出线段AB 的中点P 运动的轨迹。

任意画一对相交线OM 、ON ，在OM 距上O 点较近处取一点A ，以A 为圆心、2a 为半径的圆与ON 分别交于点B 、B ’，连结AB 、AB ’，分别取AB 、AB ’中点P 、P ’，单击点P 、点A ，点击【构造】中的【轨迹】，这时会出现一部分轨迹，再单击点P ’、点A ，点击【构造】中的【轨迹】，此时全部的轨迹便构造出来了，如图4：
2∙a = 1.00厘米a
N
图4
然而，这样得到的轨迹不是连续的，在轨迹上任取一点并拖动，就可以发现这个点无法遍历全部轨迹！所以我们还需用其它方式将点P 的连续的轨迹的构造出来。

当然，此时我们有一个直观的猜想：轨迹是椭圆！利用解析几何的相关知识不难证明这一点。

我们知道，椭圆可以通过圆的压缩变换得到，因此可以利用如下的方法将这个椭圆构造出来：
1、确定压缩圆的半径及缩放比。

如图5：构造以O 为圆心，a 为半径的圆， OM 、ON 夹角平分线分别交所作圆于C 、D 两点，作CE ⊥CO 交OM 于点E ，作EF ∥OC 交ON 于点F ；作DG ⊥DO 交OM 于点G ，作GH ∥OD 交ON 于点H 。

显然EF=GH=2a ，因此，压缩圆的半径等于CE ，缩放比为
DG CE 。

度量出线段CE 的长，依次单击线段DG 、CE ，点击【度量】中的【比】。

N
M CE = 0.67厘米
DG CE = 0.552∙a = 1.00厘米a
N M
I
N M
图5 图6 图7
2、构造椭圆。

隐藏除相交线及交点以外的图形。

如图6，作以O 为圆心，半径为CE 的圆，作直径IJ ，使得OI 平分已知相交线的一夹角。

在圆O 上任取一点K ，作KL ⊥IJ 于点L ，双击点L ，选中点K ，点击【变换】中的【缩放】，再单击先前度量出的缩放比，就可以得到K 点关于L 的缩放点Q 。

依次选中点Q 、点K ，点击【构造】中的【轨迹】就完成了椭圆构造。

3、构造线段AB 。

隐藏除椭圆及相交线以外的图形。

如图7，在椭圆上任取点P ，作PR ∥OM 交ON 于点R ，双击点R ，单击点O ，点击【变换】中的【旋转】，将旋转角改为180°，此时就会构造出点O 关于点R 的对称点B 。

作射线BP 交OM 于点A ，易知点P 为线段AB 的中点。

隐藏多余图形，拖动点P 就会发现线段AB 可以在已知相交线上自由滑动了。

最后可以按引申中的方法制作控制动画的操作按钮。