八年级春季班-18-特殊三角形的存在性-马秋燕

本节以一次函数为背景，结合三角形的相关知识，解决特殊的三角形的存在性问题．要用到分类讨论的思想，对想象力、分析能力和运算能力都有要求，根据题目中的条件利用等腰三角形或直角三角形的性质进行合理的转化建立方程求解．

全等三角形的存在性问题考察了全等三角形的性质，利用边的关系结合两点间的距离公式构造等量关系，主要的题型是求点的坐标．

特殊三角形的存在性

内容分析

知识结构

模块一：存在全等三角形

知识精讲

【例1】 如图，直线AB 与x 轴、y 轴分别交于点A ，点B ，已知A (2，0)，B (0，4)，线段

CD 的两端点在坐标轴上滑动（点C 在y 轴上，点D 在x 轴上），且CD =AB ． （1）求直线AB 的解析式；

（2）当点C 在y 轴负半轴上，且△COD 和△AOB 全等时，求点D 的坐标． 【难度】★★ 【答案】 【解析】

【例2】 如图，在平面直角坐标系中，直线8y x =-+与x 轴、y 轴分别交于点A ，点B ，点

P (x ，y )是直线AB 上一动点（点P 不与点A 重合），点C 的坐标为(6，0)，O 是坐标原点，设△PCO 的面积为S ． （1）求S 与x 之间的函数关系式；

（2）当点P 运动到什么位置时，△PCO 的面积为15；

（3）过点P 作AB 的垂线与x 轴、y 轴分别交于点E ，点F ， 是否存在这样的点P ，使△EOF ≌△BOA ?若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】

例题解析

A

B

O

y

x

A

B C

O

P

x

y

等腰三角形的分类讨论是压轴题中一个热门考点，本类题目均和图形运动有关，需要

学生有较强的逻辑思维能力，能够根据运动的性质，把最终的图形画出，利用分类讨论的思想，结合题目中的已知条件建立等量关系．

【例3】 直线y kx b =+与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，点A 坐标为（3-，0），30OAB ∠=o

将x 轴所在的直线沿直线AB 翻折交y 轴于点C ，点F 是直线AB 上一动点． （1）求直线AB 的解析式； （2）若CF AB ⊥，求OF 的长；

（3）若AOF ∆是等腰三角形，直接写出点F 的坐标． 【难度】★★ 【答案】 【解析】

模块二：存在等腰三角形

知识精讲

例题解析

A

B O

【例4】 如图，平面直角坐标系中，函数y=2x+12的图像分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，

过点A 的直线交y 轴的正半轴于点M ，且点M 为线段OB 的中点． （1）求直线AM 的解析式．

（2）P 为直线AM 上的一个动点，是否存在这样的点P ，使得以P 、B 、M 为顶点的三角形为等腰三角形，若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 【难度】★★ 【答案】 【解析】

【例5】 如图，函数3

13

y x =-

+的图像与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，以线段AB 为边 在第一象限内作等边△ABC ． （1）求点C 的坐标；

（2）将△ABC 沿着直线AB 翻折，点C 落在点D 处，求直线AD 的解析式； （3）在x 轴上是否存在E ，使△ADE 为等腰三角形?若存在，请直接写出点E 的坐标；若不存在，请说明理由． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】

A B

M

O x

y A

B C

O

x

y

B

A

C

O

D

y x

【例6】 如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，直线l ：1

2

y x m =-+与x 轴、y 轴

的正半轴分别相交于点A 、B ，过点C (－4，－4)作平行于y 轴的直线交AB 于点D ，CD =10． （1）求直线l 的解析式；

（2）求证：△ABC 是等腰直角三角形；

（3）将直线l 沿y 轴负方向平移，当平移恰当的距离时，直线与x ，y 轴分别相交于点A ′、B ′，在直线CD 上存在点P ，使得△A ′B ′P 是等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】

【例7】 如图所示，在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，点A 的坐标为（-4，0），点B

的坐标为（0，b ）（b ＞0）．P 是直线AB 上的一个动点，作PC ⊥x 轴，垂足为C ．记点P 关于y 轴的对称点为P '（P '不在y 轴上），连接P P '、P 'A 、P 'C ．设点P 的横坐标为a ．

（1）当3b =时，求直线AB 的解析式；

（2）在（1）的条件下，若点P '的坐标是（-1，m -），求m 的值；

（3）若点P 在第一象限，是否存在a ，使△P 'AC 为等腰直角三角形?若存在，请求出所有满足要求的a 的值；若不存在，请说明理由． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】

A

B

C

D O

P

P ’

x

y

【例8】 如图，矩形ABCD 中，P 是边AD 上的一动点，联结BP 、CP ，过点B 作射线交线

段CP 的延长线于点E ，交直线AD 于点M ，且使得∠PBE ＝∠CBP ．如果AB ＝2， BC ＝5，AP ＝x ，PM ＝y ． （1）当AP ＝3时，求PM 的值；

（2）当点M 在线段AD 上时，求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域； （3）如果△EBC 是以EB 为腰的等腰三角形，求AP 的长． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】

【例9】 如图，已知梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠C ＝90°，AE ⊥CD ，点F 是射线BC 上一

点，FG ⊥AD ，垂足为点G ，FG 交线段AE 于点H ，AB ＝12，CD ＝17，AD ＝13． （1）求梯形ABCD 的面积；

（2）当点F 在线段BC 上时，设CF ＝x ，AH ＝y ，求y 关于x 的函数关系式及自变量x 的取值范围；

（3）若△BHF 是以BH 为腰的等腰三角形，请直接写出AH 的长．

【难度】★★★ 【答案】 【解析】

A

B

C

D

E

P

M

A B

C

D

E

F

G H