2015丰台区高三二模数学(理)试题及答案

丰台区2015年高三年级第二学期统一练习（二） 2015.5

数学（理科）

第一部分 （选择题 共40分）

选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．已知{1}A x x =>，2{20}B x x x =-<，则A

B =

(A){0x x <或1}x ≥

(B) {12}x x <<

(C){0x x <或1}x > (D) {0}x x >

2．“a =0”是“复数i z a b =+(a ，b ∈R)为纯虚数”的

(A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件 (C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件 3．直线4y x =+与曲线2

1y x x =-+所围成的封闭图形的面积为

(A)

22

3

(B)

283

(C)

323

(D)

343

4．

函数1,0,

()2cos 1,20

x f x x x -≥=--π≤<⎪⎩的所有零点的和等于

(A) 1-2π (B) 312π

- (C) 1-π

(D) 12

π

-

5．某三棱锥的正视图和俯视图如图所示，则其左视图面积为

(A) 6

(B)

2

9 (C) 3

(D) 23 6．平面向量a 与b 的夹角是3

π

，且1a =，2b =，如果AB a b =+，3AC a b =-，D 是BC

的中点，那么AD =

(A)

(B) (C) 3 (D) 6

7．某生产厂家根据市场调查分析，决定调整产品生产方案，准备每周（按5天计算）生产A ，B ，C 三种

15 则每周最高产值是(A) 30

(B) 40 (C) 47.5

(D) 52.5

8．抛物线2

4y x =的焦点为F ，经过F 的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A ，与准线l 交于点B

，

俯视图正视图

且AK l ⊥于K ，如果||||AF BF =，那么AKF △的面积是 (A) 4

(B)

(C) (D) 8

第二部分 （非选择题 共110分）

一、填空题共6小题，每小题5分，共30分．

9．已知正实数x ，y 满足3xy =，则2x y +的最小值是 ． 10．直线l 的斜率是1-，且过曲线22cos ,

32sin x y θθ

=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）的对称中心，则直线l 的方程是 ．

11

．已知函数21

()sin 22

f x x x =

+，则()f x 的最小正周期是 ；如果()f x 的导函数是()f x '，则

()6

f π

'= ． 12．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是 ．

13．如图所示，△ABC 内接于⊙O ，PA 是⊙O 的切线，PB PA ⊥，24BE PE PD ===，

则PA =_____，AC = ．

14. 已知非空集合A ，B 满足以下四个条件：

①{1,2,3,4,5,6,7}A B =；②A B =∅；③A 中的元素个数不是A 中的元素；④B 中的元素个数不是B 中的元素．

（ⅰ）如果集合A 中只有1个元素，那么A =______； （ⅱ）有序集合对（A ，B ）的个数是______．

二、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15.（本小题共13分）

在△ABC 中，30A ︒

=，52=BC ，点D 在AB 边上，且BCD ∠为锐角，2CD =，△BCD 的

面积为4．

（Ⅰ）求cos BCD ∠的值； （Ⅱ）求边AC 的长．

16.（本小题共13分）

长时间用手机上网严重影响着学生的健康，某校为了解A ，B 两班学生手机上网的时长，分别从这两个班中随机抽取6名同学进行调查，将他们平均每周手机上网时长作为样本数据，绘制成茎叶图如图所示（图中的茎表示十位数字，叶表示个位数字）．如果学生平均每周手机上网的时长超过21小时，则称为“过度用网”．

（Ⅰ）请根据样本数据，分别估计A ，B 两班的学生平均每周上网时长的平均值；

（Ⅱ）从A 班的样本数据中有放回地抽取2个数据，求恰有1个数据为“过度用网”的概率；

（Ⅲ）从A 班、B 班的样本中各随机抽取2名学生的数据，记“过度用网”的学生人数为ξ，写出ξ的分布列和数学期望ξE ．

17.（本小题共14分）

如图所示，在四棱柱1111D C B A ABCD -中，⊥1AA 底面ABCD ，BD AC ⊥于O ,且

124AA OC OA ===，点M 是棱1CC 上一点．

（Ⅰ）如果过1A ，1B ，O 的平面与底面ABCD 交于直线l ，求证：//l AB ；

（Ⅱ）当M 是棱1CC 中点时，求证：1

AO DM ⊥； （Ⅲ）设二面角1A BD M --的平面角为θ

，当

cos θ=时，求CM 的长．

18.（本小题共13分）

O

M

D 1

C 1

B 1

A 1

D

C

B

A

A 班

B 班 0 1 2 3

9 1 0 7

3 4

1 1 6

2 5

7