九年级二次函数压轴题专题训练含答案和方法指导)

九年级二次函数压轴题专题训练(含答案) 方法:面积法 ,化斜为直,韦达定理,几何变换等.

1,如图1，在平面直角坐标系中，抛物线C

1：2

2a

bx

ax

y-

+

=关于y轴对称且有

最小值1

-。

（1）求抛物线C

1

的解析式；

（2）在图1中抛物线C

1顶点为A，将抛物线C

1

绕点B旋转180°后得到抛物

线C

2，直线y=kx﹣2k+4总经过一定点M，若过定点M的直线与抛物线C

2

只有一

个公共点，求直线l的解析式．

（3）如图2，先将抛物线 C

1

向上平移使其顶点在原点O，再将其顶点沿直线y=x

平移得到抛物线C

3，设抛物线C

3

与直线y=x交于C、D两点，求线段CD的长；

（1）∴y=x2﹣1．‥‥‥‥‥‥‥2分

（2）依题意可求出抛物线C2的解析式为：y=﹣（x﹣2）2+1，

∵直线y=kx﹣2k+4总经过一定点M，

∴定点M为（2，4），‥‥‥‥‥‥‥4分

①经过定点M（2，4），与y轴平行的直线l：x=2与抛物线C3总有一个公共点（2，1）．

②经过定点M（2，4）的直线l为一次函数y=kx﹣2k+4时，与y=﹣（x﹣2）2+1联立方程组，消去y得x2﹣4x+3+kx﹣2k+4=0，

即x2﹣（4﹣k）x+7﹣2k=0，△=k2﹣12=0，得k

1=2，k

2

=﹣2，

∴y=2x+4﹣4或y=﹣2x+4+4，

综上所述，过定点M，共有三条直线l：x=2 或y=2x+4﹣4或y=﹣2x+4+4

，它们分别与抛物线C

2

只有一个公共点．

（3）设抛物线C 3的顶点为（m ，m ），依题意抛物线C 3的解析式为：y=（x ﹣m ）

2

+m ，

与直线y=x 联立，

解方程组得：，，

∴C （m ，m ），D （m+1，m+1） 过点C 作CM ∥x 轴，过点D 作DM ∥y 轴， ∴CM=1，DM=1， ∴CD=

．

2,如图，抛物线y ＝ax 2－4ax ＋b 交x 轴正半轴于A 、B 两点，交y 轴正半轴于C ，且OB ＝OC ＝3

(1) 求抛物线的解析式

(2) 如图1，D 位抛物线的顶点，P 为对称轴左侧抛物线上一点，连OP 交直线BC

于G ，连GD ．是否存在点P ，使2=GO GD

？若存在，求点

P 的坐标；若不存在，请

说明理由

(3) 如图2，将抛物线向上平移m 个单位，交BC 于点M 、N ．若∠MON ＝45°，求

m 的值

（1）2

43y x x =-+

3（本题12分）如图1，抛物线y ＝ax 2＋(1－3a )x －3（a ＞0）与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，直线y ＝－x ＋5与抛物线交于D 、E ，与直线BC 交于P (1) 求点P 的坐标

(2) 求PD ·PE 的值

(3) 如图2，直线y ＝t （t ＞－3）交抛物线于F 、G ，且△FCG 的外心在FG 上，

求证：

t a -1为常数

．解：(1) 令y ＝0，则ax 2＋(1－3a )x －3＝0，解得x 1＝a 1

-

，x 2＝3

∴B (3，0)

令x ＝0，则y ＝－3

∴直线BC 的解析式为y ＝x －3

联立⎩⎨⎧+-=-=5

3x y x y ，解得⎩⎨⎧==14y x

∴P (4，1)

(2) 设D (x 1，y 1)、E (x 2，y 2) 则PD ＝

2

(4－x 1)，PE ＝

2

(4－x 2)

联立

⎪⎩⎪⎨⎧+-=--+=5

3

)31(2x y x a ax y ，整理得ax 2＋(2－3a )x －8＝0

∴x 1＋x 2＝a

a 2

3-，x 1x 2＝

a 8

-

∴PD ·PE ＝2(4－x 1)(4－x 2)＝2[16－4(x 1＋x 2)＋x 1x 2]＝8]881216[2=-+

-a a

(3) ∵△FCG 的外心在FG 上 ∴∠FCG ＝90°

设FG 与y 轴交于点H ，则CH 2＝FH ·GH ∴(t ＋3)2＝－x F ·x G

联立⎪⎩⎪⎨⎧--+==3)31(2x a ax y t y ，整理得

ax 2＋(1－3a )x －3－t ＝0

∴x F ·x G ＝

a

t

--3

∴(t ＋3)2＝a t

+3

∴31

=-t a

4.（梅苑中学九月月考）如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数

m x y +=

45

的

图象与x 轴交于A (－1，0)，与y 轴交于点C ．以直线x ＝2为对称轴的抛物线

C 1：y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）经过A 、C 两点，并与x 轴正半轴交于点B

(1) 求m 的值及抛物线C 1：y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）（a ≠0）的函数表达式 (2) 设点

D (0，1225

)，若

F 是抛物线C 1：y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）对称轴上使得△

ADF 的周长取得最小值的点，过F 任意作一条与y 轴不平行的直线交抛物线C 1于M 1(x 1，y 1)，M 2(x 2，y 2)两点，试探究

F

M F M 211

1+

是否为定值？请说明理由

(3) 将抛物线C 1作适当平移，得到抛物线

C 2：y 2＝－4

1

(x －h )2，h ＞1．若当1＜

x ≤m 时，y 2≥－x 恒成立，求m 的最大值

如图1，已知抛物线C 1：y=x 2﹣2x+c 和直线l ：y=﹣2x+8，直线y=kx （k ＞0）与抛物线C 1交于两不同点A 、B ，与直线l 交于点P ．且当k=2时，直线y=kx （k ＞0）与抛物线C 1只有一个交点． （1）求c 的值； （2）求证：

，并说明k 满足的条件；

（3）将抛物线C 1沿第一象限夹角平分线的方向平移

t （t ＞0）个单位，再沿