2017届高考数学模拟卷二(南师大)(含答案)

南师大2017高考数学模拟卷二
一、填空题
1． 已知集合(]2 1A =-，
，[)1 2B =-，，则A B =U ▲ ． 2. 设复数z 满足(34i)50z ++=（i 是虚数单位），则复数z 的模为 ▲ ．
3. 射击运动员打靶，射5发，环数分别为9，10，8，10，8，则该数据的方差为 ▲ .
4． 右图是一个算法的伪代码，其输出的结果为 ▲ ．
5． 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22(0)x py p =>上纵坐标为1的一点到焦点的距离为3，则焦点到准线的距离为 ▲ ．
6． 从集合{}1 2 3 4 5 6 7 8 9，，，，，，，，
中任取两个不同的数，则其中一个数恰是另一个数的3倍的概率为 ▲ ．
7． 已知实数x ，y 满足⎩
⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，
x ＋y －3≥0，3x －y －3≤0，则当2x －y 取得最小值时，x 2＋y 2的值为 ▲ ．
8. 已知函数[]),0(sin )(π∈=x x x f 和函数x x g tan 3
1
)(=
的图像相交于C B A ,,三点，则ABC ∆的面积为
▲ .
9． 在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线C ：y ＝e x 上一点，直线l ：x ＋2y ＋c ＝0经过点P ，且与曲线C 在P 点处的切线垂直，则实数c 的值为 ▲ ．
（第4题）
10. 如图，在ABC ∆中，→
→
→
→
====EB AE DC AD BC AC AB 2
1,,2,.
若2
1
-=⋅→→AC BD ，则=⋅→→AB CE ▲ ．
11．已知f (x )是定义在区间[－1，1]上的奇函数，当x ＜0时，f (x )＝x (x －1)．则关于m 的不
等式
f (1－m )＋f (1－m 2)＜0的解集为 ▲ ．
12．在平面直角坐标系xOy 中，设点P 为圆C ：22(1)4x y -+=上的任意一点，点Q (2a ，
3a -)
(a ∈R )，则线段PQ 长度的最小值为 ▲ ．
13. 公比为q (q ≠1)的等比数列a 1，a 2，a 3，a 4，若删去其中的某一项后，剩余的三项（不改变原有顺序）
成等差数列，则所有满足条件的q 的取值的代数和为 ▲ ．
14. 设常数1>k ，函数⎪⎩⎪⎨⎧≥--<≤--==1
,)1(,
10,1)(2x kx x kf x x x x f y ，则)(x f 在区间)2,0[上的取
值范围为
▲ ．
二、解答题
15. 已知角α的终边上有一点)2,1(p ， （1）求)4
tan(π
α+的值；（2）求)6
52sin(π
α+
的值.
16. 如图，在四棱柱1111D C B A ABCD -中，已知平面⊥C C AA 11平面,ABCD 且
3===CA BC AB ,
1==CD AD .
（1） 求证：;1AA BD ⊥
（2） 若E 为棱BC 的中点，求证：//AE 平面11D DCC .
17．已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b
+=>>的右准线的方程为92
4x =，左、右两
个焦点分别为12(22,0),(22,0)F F -. （1）求椭圆E 的方程；
（2）过12,F F 两点分别作两条平行直线1F C 和2F B 交椭圆E 于,C B 两点（,C B 均在x 轴上方），且12F C F B +等于椭圆E 的短轴的长，求直线1F C 的方程.
18. 如图扇形AOB 是一个观光区的平面示意图，其中AOB ∠为
23
π
，半径OA 为1km ，为了便于游客观光休闲，拟在观光区内铺设一条从入口A 到出口B 的观光道路，道路由圆弧AC 、线段CD 及线段BD 组成。

其中D 在线段OB 上，且CD ∥AO ，设AOC θ∠=.
（1）用θ表示CD 的长度，并写出θ的取值范围. （2）当θ为何值时，观光道路最长？
O
C
F 1 y
x
F 2
B 1A
E
C D B
A
1D
1B
1C 第16题
19. 已知函数0,13)1(2
3
)(23
>+--+
=a ax x a x x f . (1)试讨论)0()(≥x x f 的单调性；
(2)证明：对于正数a ，存在正数p ，使得当],0[p x ∈时，有1)(1≤≤-x f ； (3)设(1)中的p 的最大值为)(a g ，求)(a g 的最大值.
20. 设数列{a n }是各项均为正数的等比数列，其前n 项和为S n ，且a 1a 5＝64，S 5－S 3＝48． （1）求数列{a n }的通项公式；
（2）设有正整数m ，l （5＜m ＜l ），使得5,5,m l a a a 成等差数列，求m ,l 的值；
（3）设*
,,N ,k m l k m l ∈<< ，对于给定的k ，求三个数 5a k ，a m ，a l 经适当排序后能构成等差数列的充要条件.
理科附加
22. 甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛另一个人当裁判，设每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，假设每局比赛中甲胜乙的概率为2
1
，甲胜丙，乙胜丙的概率都是
3
2
，各局的比赛相互独立，第一局甲当裁判. （1）求第三局甲当裁判的概率；
（2）记前四次中乙当裁判的次数为Y ，求Y 的分布列和数学期望.
23. 已知函数)1ln()1(ln )(x x x x x f --+=，x ∈(0,1). （1）求f (x )的最小值；
（2）若a+b+c =1，a ，b ，c ∈(0,1). 求证：2ln )2(ln ln ln -≥++a c c b b a a .
2017高考数学模拟卷二参考答案
南师大《数学之友》
一、填空题
1． (2 2)-，. 2． 1. 3.
5
4
.
4．
1011
. 5． 4. 6． 112.
7． 5. 8.
3
2π. 9． －4－ln2. 10. 3
4-
.
11．[0，1).
122.
13. 0.
解：若删去a 1或a 4，则等比数列中有连续三项成等差，可以推得公比为1，舍去；若删去的a 2，则得2a 3＝a 1＋a 4，即2q 2＝1＋q 3，因为q ≠1，得q 2－q －1＝0，得121q q +=；若删去的a 3，则得2a 2＝a 1＋a 4，即2q ＝1＋q 3，因为q ≠1，得q 2＋q －1＝0，得341q q +=-，所以12340q q q q +++= ．
14. (2,1]k -.
解：)1,0[∈x 时，x x x f --=21)(， 令)2
,
0[,sin π
θθ∈=x ，
则]1,1()4
cos(2sin cos -∈+=
-=π
θθθy ，
)2,1[∈x 时，)1,0[1∈-x ，k x k x kf x f ----=)1()1()(， 因为 ]1,1()1()1(-∈---x x f ，0>k ，所以]0,2()(k x f -∈， 故)2,0[∈x 时，]1,2()(k x f -∈.
二、解答题
15. 已知角α的终边上有一点)2,1(p ， （1）求)4
tan(π
α+
的值；（2）求)6
52sin(π
α+
的值. 解：根据题意 5
1cos ,52sin ,21tan ===
ααα，
（1）32
1121
14tan tan 14tan
tan 4tan =-+
=-+=
⎪⎭⎫ ⎝
⎛+παπ
απα； （2）6
5sin
2cos 65cos 2sin )652sin(π
απαπα+=+ 2
1
)1cos 2()23(cos sin 22⋅-+-
=ααα 2
115122352512⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⋅
= 10
343+-
=. 16. 如图，在四棱柱1111D C B A ABCD -中，已知平面⊥C C AA 11平面,ABCD 且
3===CA BC AB ,
1==CD AD .
（3） 求证：;1AA BD ⊥
（4） 若E 为棱BC 的中点，求证：//AE 平面11D DCC .
证明：⑴在四边形ABCD 中，因为BA BC =，DA DC =，所以BD AC ⊥，
又平面11AAC C ⊥平面ABCD ，且平面11AAC C I 平面ABCD AC =，
BD ⊂平面ABCD ，所以BD ⊥平面11AA C C ，
又因为1AA ⊂平面11AA C C ，所以1BD AA ⊥．
⑵在三角形ABC 中，因为AB AC =，且E 为BC 中点，所以BC AE ⊥， 又因为在四边形ABCD
中，AB BC CA ==1DA DC ==， 所以60ACB ∠=︒，30ACD ∠=︒，所以BC DC ⊥，所以AE P DC ， 因为DC ⊂平面11D DCC ，AE ⊄平面11D DCC ，所以AE P 平面11D DCC ．
17．已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b
+=>>
的右准线的方程为x =
个焦点分别为12(F F -. （1）求椭圆E 的方程；
1A
E
C
D B
A
1D
1B
1C 第16题
（2）过12,F F 两点分别作两条平行直线1F C 和2F B 交椭圆E 于,C B 两点（,C B 均在x 轴上方），且12F C F B +等于椭圆E 的短轴的长，求直线1F C 的方程
解：（1）由题设，22=c ，4
292=c a ，得92=a ，12
22=-=c a b ， 故椭圆方程为2
219
x y +=. （2）连结BO 并延长交椭圆E 于D ，则易证12F OD F OB ∆≅∆， 所以12OF D OF B ∠=∠，因为12180CF O BF O ∠+∠=o
， 所以ο
18011=∠+∠O DF O CF ，所以1,,C F D 三点共线. 当CD x ⊥轴时，不合题意.
当CD 不与x 轴垂直时，设:(22)CD y k x =+ ，代入椭圆方程并化简得
2222(19)3627290k x k x k +++-=，设1122(,),(,)C x y D x y ，
则221,2
18231k k x -±+=，所以221222
36(1)()(19)k x x k +-=+.
又222
2
2
121222
36(1)
()()(19)k k y y k x x k +-=-=+，
所以222
2
2
12122236(1)()()4(19)k CD x x y y k +=-+-==+ ，得3
3
k =±，
所以直线1F C 的方程为3
(22)3
y x =±+.
18. 如图扇形AOB 是一个观光区的平面示意图，其中AOB ∠为
23
π
，半径OA 为1km ，为了便于游客观光休闲，拟在观光区内铺设一条从入口A 到出口B 的观光道路，道路由圆弧AC 、线段CD 及线段BD 组成。

其中D 在线段OB 上，且CD ∥AO ，设AOC θ∠=，
（3）用θ表示CD 的长度，并写出θ的取值范围。

（4）当θ为何值时，观光道路最长？
O
C F 1 y
x
F 2
B D
解：（1）在△COD 中，1OC =，2,,3
3
DCO CDO COD π
π
θθ∠=∠=∠=
-， 由
正
弦
定
理
知
，
2sin sin sin 33CD OD OC
ππθθ==
⎛⎫- ⎪
⎝⎭
，
则
2sin 3cos sin 3
CD πθθθπ⎛⎫
- ⎪⎝⎭=
=+，
经过点B 作BE ∥CD 交弧BC 于E ，则点C 在A 、E 之间，所以0.3
π
θ<≤
（2）由（1
）得OD θ=
，弧AC 长为1θ⋅，
观光道路长cos 1cos 1S θθθθθθθ=++-=++， 求导得
'1sin cos 1)336
S π
θθθ=--
=-+，
令'0,sin()6
3S π
πθθ=+
=
<≤，所以6
π
θ=， 当0,,'06S πθ⎛⎫
∈> ⎪⎝
⎭；当(,],'063S ππθ∈<，所以当6
π
θ=时，观光道路最长.
19. 已知函数0,13)1(2
3
)(23
>+--+
=a ax x a x x f . (1)试讨论)0()(≥x x f 的单调性；
(2)证明：对于正数a ，存在正数p ，使得当],0[p x ∈时，有1)(1≤≤-x f ； (3)设(1)中的p 的最大值为)(a g ，求)(a g 的最大值. 证明：
(1)由于))(1(33)1(33)(2
a x x a x a x x f -+=--+='，且0>a ， 故)(x f 在],0[a 上单调递减，在),[+∞a 上单调递增. (2)因为1)2)(1(2
1
12321)(,1)0(223-+-=+--
==a a a a a f f . 当1)(-≥a f 时，取a p =.此时，当],0[p x ∈时，有1)(1≤≤-x f 成立. 当1)(-<a f 时，由于01)(,021)0(<+>=+a f f ， 故存在),0(a p ∈使得01)(=+p f .
此时，当],0[p x ∈时，有1)(1≤≤-x f 成立.
综上，对于正数a ，存在正数p ，使得当],0[p x ∈时，有1)(1≤≤-x f . (3)由(2)知)(x f 在),0[+∞上的最小值为)(a f .
当10≤<a 时，1)(-≥a f ，则)(a g 是方程1)(=p f 满足a p >的实根， 即 06)1(322
=--+a p a p 满足a p >的实根，
所以4
9
309)1(3)(2+++-=a a a a g .
又)(a g 在]1,0(上单调递增，故3)1()(max ==g a g . 当1>a 时，1)(-<a f ，由于11)1(2
9
)1(,1)0(-<--==a f f ， 故]1,0[],0[⊂p .此时，1)(≤a g . 综上所述，)(a g 的最大值为3.
20. 设数列{a n }是各项均为正数的等比数列，其前n 项和为S n ，且a 1a 5＝64，S 5－S 3＝48． （1）求数列{a n }的通项公式；
（2）设有正整数m ，l （5＜m ＜l ），使得5,5,m l a a a 成等差数列，求m ,l 的值；
（3）设*
,,N ,k m l k m l ∈<< ，对于给定的k ，求三个数 5a k ，a m ，a l 经适当排序后能构成等差数列的充要条件.
解：（1）因为数列｛a n ｝是各项均为正数的等比数列，所以设数列｛a n ｝的公比为q ，且q ＞0．
又a 1a 5＝a 23＝64，且a 3＞0，所以a 3＝8．
又因为S 5－S 3＝48，所以a 4＋a 5＝8q 2＋8q ＝48，解得q ＝2，所以a n ＝2n ．
（2）因为5,5,m l a a a 成等差数列，所以l m a a a +=510，即l m 222105+=⋅.
所以，66225--+=l m .
故62-m ，62-l 中有且只有一个等于1.
因为正整数m ，l 满足5＜m ＜l ，所以⎪⎩⎪⎨⎧==--421266l m ，得⎩⎨⎧==86l m . （3）设5a k ，a m ，a l 经适当排序后能构成等差数列．
①若2·5a k ＝a m ＋a l ，则10·2k ＝2m ＋2l ，当且仅当10＝2m －k ＋2l －k ，当且仅当5＝2m －k －1＋2l －k －1．
因为正整数k ，m ，l 满足k ＜m ＜l ，当且仅当l －k －1＞m －k －1≥0，且l －k －1≥1， 所以 2l －k －1＞2m －k －1≥1，2l －k －1≥2．当且仅当⎩⎨⎧ 2m －k －1＝1， 2l －k －1＝4， 即⎩⎨⎧ m ＝k ＋1， l ＝k ＋3．
②若2a m ＝5a k ＋a l ，则2·2m ＝5·2k ＋2l ，所以2m
＋1－k －2l －k ＝5（*）． 因为m ＋1－k ≥2，l －k ≥2，
所以2m ＋1－k 与2l －
k 都为偶数，而5是奇数，所以，等式（*）不成立， 从而等式2a m ＝5a k ＋a l 不成立．
③若2a l ＝5a k ＋a m ，则同②可知，该等式也不成立．
综合①②③，得m ＝k ＋1，l ＝k ＋3．
设m ＝k ＋1，l ＝k ＋3，则5a k ，a m ，a l 为5a k ，a k ＋1，a k ＋3，即5a k ，2a k ，8a k ．
调整顺序后易知2a k ，5a k ，8a k 成等差数列．
综上所述，5a k ，a m ，a l 经适当排序后能构成等差数列的充要条件为⎩⎨⎧ m ＝k ＋1， l ＝k ＋3．
理科附加
22. 甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛另一个人当裁判，设每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，假设每局比赛中甲胜乙的概率为
21，甲胜丙，乙胜丙的概率都是3
2，各局的比赛相互独立，第一局甲当裁判. （3）求第三局甲当裁判的概率；
（4）记前四次中乙当裁判的次数为Y ，求Y 的分布列和数学期望.
解答：
（1）第二局中可能乙当裁判，其概率为31，也可能丙当裁判，其概率为3
2，所以第三局甲当裁判的概率为9
421323131=⨯+⨯
. 答：第三局甲当裁判的概率为94. （2）Y 的可能取值为2,1,0.
()9
23221320=⨯⨯==Y P , ()27
17312132213221323231311=⨯⨯+⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯⨯==Y P , ()27
431312132312=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯⨯==Y P . 所以的分布列为：
Y 的数学期望：()27
25274227190=⨯+⨯+⨯=Y E .
23.已知函数)1ln()1(ln )(x x x x x f --+=，x ∈(0,1).
（1）求f (x )的最小值；
（2）若a+b+c =1，a ，b ，c ∈(0,1).
求证：2ln )2(ln ln ln -≥++a c c b b a a .
解：（1）x x x x x f -=---+=1ln
1)1ln(1ln )('， 令2
1,0)('==x x f . 当)21,0(∈x 时，0)('<x f ；当]1,21(∈x 时，0)('>x f . 所以，2ln )21()(min -==f x f .
（2）由a+b+c =1，a ，b ，c ∈(0,1)，得111=-+-a c a b ，)1,0(1,1∈--a c a b . 由（1），当x ∈(0,1)，2ln )1ln()1(ln -≥--+x x x x ， 所以，
2ln 1ln 11ln 1-≥--+--a
c a c a b a b ， 2ln )]1ln(ln )1ln(ln [11-≥--+---a c c c a b b b a ， )1ln()(2ln )1(ln ln a c b a c c b b -++-≥+
)1ln()1(2ln )1(a a a --+-=. (*)
因为a ∈(0,1)，由（1），2ln )1ln()1(ln -≥--+a a a a ，
所以，2ln ln )1ln()1(--≥--a a a a . (**) 由(*) (**)，2ln ln 2ln )1(ln ln ---≥+a a a c c b b ，
所以，2ln )2(ln ln ln -≥++a c c b b a a .。