《微积分一》导数的基本公式与运算法则

(cos x) sin x
22
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1 (c)0 3 (ax)axln a (ex)ex
2. (xu ) ' uxu1 (u为任意实数)
4 (loga
x)
1 xln a
(ln x) 1 x
5 三角函数的导数
(cot x) csc2 x
(tan x) sec2 x
1 (c)0 3 (ax)axln a (ex)ex
2. (xu ) ' uxu1 (u为任意实数)
4 (loga
x)
1 xln a
(ln x) 1 x
5 三角函数的导数
和差化积公式：
(sin x)cos x 这是因为
(sin x) lim sin(xh)sin x
h0
h
lim 1 2cos(x h)sin h
1 x2
(arctan
x)
1 1 x2
(arccotx)
1 1 x
2
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课前复习
1. 导数的几何意义？切线方程？
k切＝f ( x0 )
y y0 f (x0 )(x x0 )
2. 可导与连续的关系？ 可导
连续
反之不成立！
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h0 h
22
sin sin 2sin cos
2
2
sin sin 2 cos sin
2
2
cos cos 2 cos cos
2
2
cos cos 2sin sin
2
2
hlhliimm00ccooss((xxh2h2))ssiinhnhh2h2ccoossxx
( x ) (arctan x) (e x )
1 2x
1 1 x2
ex
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例4. 已知y x2 ln x，求y '.
解： y ( x2 ln x) ( x2 ) ln x x2(ln x)
2x ln x x2 1 x
2x ln x x
1 (c)0
2 幂函数的导数
(xu ) ' uxu1 (u为任意实数)
这是因为
(xu ) lim (x x)u xu
x0
x
xu[(1 x)u 1]
lim
x
x0
x
u x xu lim x
x0 x
uxu1
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1 (c)0
2. (xu ) ' uxu1 (u为任意实数)
引例2 已知y (3 x 1)2，求y.
y [(3x 1)2 ]
(9 x2 6 x 1) 18x 6
y sin10x
y (3 x 1)100
?
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四、复合函数的导数
设u(x)在点x处可导 yf(u)在对应点u处可导 则复合函 数yf[(x)]在点x处也可导，且其导数为
(2e)x ln 2e sec2 x csc2 x
注. 四则运算的求导法则除了直接应用公式外，有时
需要将表达式适当变形后再应用公式.
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引例1 已知y sin 2x，求y.
y (sin 2x) (2sin x cos x)
2(sin x cos x sin x cos x) 2(cos 2 x sin2 x) 2cos 2x
因此
yx yu ux (sin u) (10x)
cosu 10 10cos10x
y (3x 1)100 由y u100与u 3x 1复合而成.
因此
yx yu ux (u100 )(3x 1)
100u99 3 300(3x 1)99
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例5. 已知y xex sin x，求y '.
解：
y ( xe x sin x) ( x)e x sin x x(e x )sin x xe x (sin x) e x sin x xex sin x xex cos x
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例6. 已知y ln x，求y '. x
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例8. 已知y x3 2 x 5，求y '. x
解：
y
(x2
1
2x 2
5 x 1 )
2x
3
x2
5x2
例9. 已知y 2x ex sin2 x cos2 x，求y '. sin x cos x
解： y ((2e)x tan x cot x)
[u(x)v(x)]u(x)v(x)
[u(x)v(x)]u(x)v(x)u(x)v(x)
特别地 公式的推广
[u(x)] v(x)
u(x)v(x)u(x)v(x) v2(x)
(v(x)0)
[cu(x)]cu(x)
(u1u2 un) u1u2 un (u1u2 un)u1u2 unu1u2 un u1u2 un
6 反三角函数的导数
(arcsinx) 1 1 x2
这是因为 函数 yarcsinx与xsin y互为反函数 所以由反 函数的求导公式得
(arcsin
x)
1 (sin
y)
1 cos
y
1 1sin2 y
1 1 x2
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基本导数公式
1 (c)0
2. (xu ) ' uxu1 (u为任意实数)
例12 求函数yarcsin(3x2)的导数
解 y 1 (3x2) 6x
1(3x2)2
19x4
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例13. 求函数y ( x )n的导数. 2x 1
解 yn( x )n1( x ) 2x1 2x1
n(
x )n1 2x 1
2x 1 2x (2x 1)2
(sec x) sec x tan x
这是因为
(csc x) csc x cot x
(tan x) ( sin x ) cos x
(sin
x)
cos x sin cos2 x
x(cos
x)
sin2 x cos2 x cos2 x
1 cos2
x
sec2
x
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2. (xu ) ' uxu1 (u为任意实数)
4 对数函数的导数
(log a
x)
1 xln a
(ln x) 1 x
对数函数y loga x的直接函数为x a y 根据反函数的求导公式有
(loga
x)
1 (a y )
1 a y ln a
1 x ln a
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解： y x(ln x) ( x)ln x
x
1 x
ln x
1 ln x
x2
x2
x2
例7. 已知y 1 sin x，求y '. 1 sin x
解：
y
1 1
sin sin
x x
cos
x(1
sin x) (1 sin (1 sin x)2
x )(
cos
x)
2 cos x (1 sin x)2
3 指数函数的导数 (ax)axln a (ex)ex
这是因为
(axx) lim hh00
a xxhh a xx h
axx lim hh00
ahh 1 h
ax
lim
h0
Leabharlann Baidu
h ln a h
ax
ln a
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1 (c)0 3 (ax)axln a (ex)ex
推广
d d
y x
f (u)(x)
或写成y x yu ux
设yf(u) u(v) v(x) 则复合函数y{[ (x)]}对x的导
数是
d d
y x
f (u)(v)v(x)
或y x y u uvv x
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四、复合函数的导数
y sin10x 由y sin u与u 10x复合而成.
1 (c)0
2. (xu ) ' uxu1 (u为任意实数)
3 (ax)axln a (ex)ex
4
(log a
x)
1 xln
a
(ln x) 1 x
5 (sinx)cosx (cosx)sinx (tanx)sec2x (cotx)csc2x
(sec x)sec xtan x (csc x)csc xcot x
nxn1 (2x1)n1
例14. 求函数y x a2 x2的导数. 2
解 y 1[x a2x2 x( a2x2)] 2
1[ a2 x2 x 1 (a2 x2)]
2
2 a2x2
1[ a2 x2 x (2x)] a2 2x2
2
2 a2x2
2 a2 x2
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yy00
x y
lim
xx00
1 y
1 lim y
1 f (x)
x xx00x
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三、基本初等函数的导数
1 常数的导数 (c)0
这是因为 y lim y lim cc 0 x0 x x0 x
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§3.3 导数的基本公式与运算法则
一、函数的和、差、积、商的求导法则
二、反函数的导数
三、基本初等函数的导数
四、复合函数的导数
五、隐函数的导数
六、对数求导法
七、由参数方程所确定的函数的导数
八、综合举例
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一、函数的和、差、积、商的求导法则
如果u(x)、v(x)都是x的可导函数 则它们的和、差、积、 商(分母不为零时)也是x的可导函数 并且
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二、反函数的导数
设函数yf(x)在点x处有不等于0的导数f (x) 并且其反函 数xf 1(y)在相应点处连续 则[f 1(y)]存在 并且
[ f 1(y)]
1 f (x)
或
f
(x) [
f
1 1( y)]
简要证明 这是因为
[
f
11(
y)]
lim
练 习 求下列函数的导数.
(1) y arctan 1 x
1 1 x2
(2) y eax2 bxc (2ax b)eax2 bxc
(3) y ln(x
x2 a2 )
1 x2 a2
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五、隐函数的导数
y x2 y arcsin( x2 ) y ln x sin x
形如y f ( x)
显函数
x2 y 2 4 e x e y xy 0
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例1.计算下列函数的导数.
1） ( e 2 ) 0____
3） ( x 2 ) _2_x_
5）(sin 3
)
__0__
2
7） (
1 x2
)
__x_3_
2） x __1__
1 4） ( x ) _2__x_
6） ( 1 ) __x1_2_ x
8）(3x ) 3_x_ln_3_
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例2.已知f (x) ln x sin x，求f '(x).
解：
f
( x)
(ln x
sin x)
(ln x) (sinx)
1 x
cos x
例3. 已知f (x) x arctan x ex，求f '(x).
解： f ( x) ( x arctan x e x )
3 (ax)axln a (ex)ex
5 (sinx)cosx (tanx)sec2x (secx)secxtanx
4 (loga
x)
1 xln a
(ln x) 1 x
(cosx)sinx
(cotx)csc2x
(cscx)cscxcotx
6 (arcsinx) 1 (arccosx) 1
1 x2
d d
y x
f (u)(x)
或写成y x yu ux
简要证明
d d
y x
lim
x0
y x
lim
x0
y u
u x
lim
x0
y u
lim
x0
u x
lim
u0
y u
lim x0
u x
f
(u)(x)
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四、复合函数的导数
设u(x)在点x处可导 yf(u)在对应点u处可导 则复合函 数yf[(x)]在点x处也可导，且其导数为
d d
若xy yf f[(u)(x)](xu) 或(x写 ) 则成y
x
yu
ux
例10 求函数yax的导数 解 y(ax)axln a(x) axln a
例11 求函数ylnsin x的导数 解 设yln u usin x 则
yy (l(nlnu)uu)u(s(isninx)xx)x u1u1cocsoxs x csoicsnsoinxxs xxtacnoxtx