含端部弹性约束和铰支约束压杆的稳定性问题研究

由此得
Ｔ ＝Ｋα／Ｌ．
（１０）
将方程（７）代入边界条件（８）中的第一个方程有
１ 问题模型及理论分析
收稿日期：２０１７０７０１ 基金项目：国家自然科学基金资助项目（１１６７２３０１）；山东省科技攻关项目（２０１２Ｇ００３００１１）． 作者简介：雷明伟（１９９１ ），男，山东泰安人，硕士研究生． 通信作者：史文谱（ｓｗｐ６３６７９３＠１６３．ｃｏｍ），副教授，博士，主要从事固体力学教学和科研．
ｗ１（ｘ） ＝ｃ１ｃｏｓｋｘ＋ｃ２ｓｉｎｋｘ，
（４）
槡 其中：ｋ＝ ＥＦＩ，ｃｊ（ｊ＝１，２）为待定系数．
按照非齐次常微分方程的求解方法和理论，根
据现有问题的特点，可假设其特解为
ｗ２（ｘ） ＝ａｘ＋ｂ， 其中：ａ，ｂ是 ２个待定系数．
（５）
将方程（５）带入微分方程（３）中可得待定系数
的解为
{ａ＝Ｔ／Ｆ， ｂ＝－ＴＬ／Ｆ．
压杆挠度满足的近似微分方程为 ＥＩｗ″＝Ｍ（ｘ）．
将方程（１）代入（２）中整理有
（２）
ＥＩｗ″＋Ｆｗ ＝Ｔ（ｘ－Ｌ），
（３）
或者
ｗ″＋ＥＦＩｗ ＝ＥＦＩ（ｘ－Ｌ）．
根据常微分方程理论，其解为通解 ｗ１（ｘ）和特 解 ｗ２（ｘ）之和．通解 ｗ１（ｘ）即为方程（３）对应的齐次 常微分方程的解，可表为
含端部弹性约束和铰支约束压杆的稳定性问题研究
雷明伟，骆 凯，史文谱
（烟台大学机电汽车工程学院，山东 烟台 ２６４００５）
摘要：弹性压杆在工程中有广泛应用，压杆的失稳问题是压杆失效的重要原因之一，是压 杆可靠性优化设计中需要重点关注的问题，临界载荷的计算方法和表达式是数学建模和 优化的基础．本文针对含端部弹性约束和铰链支撑约束压杆的临界失稳问题进行探讨，提 出了解析分析方法，得到的结果当弹性约束刚度系数分别为无穷大和零时，将分别简化为 一端固定一端铰支和两端铰支的压杆临界失稳载荷计算结果，本文的分析方法和结论对 含多个弹性约束的压杆失稳问题研究都有一定的参考意义． 关键词：压杆稳定；弹性约束；临界载荷 中图分类号：ＴＢ１２ 文献标志码：Ａ
１５４
烟台大学学报（自然科学与工程版）
第 ３１卷
如图 １所示，一根均质等径压杆，长度为 Ｌ，材
料杨氏模量为 Ｅ，截面惯性矩为 Ｉ．其一端 Ｏ处为弹
性支撑（弹性刚度系数为 Ｋ），另外一端 Ａ处为铰链
支撑，受到图示轴向压力 Ｆ的作用，发生如图 １所
示的弯曲变形．建立图示坐标系 ｘＯｙ，其中 ｘ轴沿着
压杆原始位 置 时 的 轴 心 线 方 向，ｙ轴 垂 直 于 压 杆 轴
心线方向．
按照材料力学分析方法以及有关物理量的符号
规定，压杆任意位置 ｘ处的－Ｆｗ＋Ｔ（ｘ－Ｌ），
（１）
其中：ｗ为压杆失稳弯曲变形挠度，Ｔ是由于压杆受
到压缩作用失稳发生弯曲导致左端弹性约束处产生
的抵抗弯矩 Ｍ０的作用下为保证压杆静力平衡的右 端支撑横向作用力．并假设 Ｆ＞０，Ｔ＞０，即取两者的
绝对值．






图 １ 一端弹性约束一端铰支压杆的失稳变形 Ｆｉｇ．１ Ｕｎｓｔａｂｌｅｄｅｆｏｒｍａｔｉｏｎｏｆｂｕｃｋｌｉｎｇｃｏｌｕｍｎｗｉｔｈｅｌａｓｔｉｃ
ｓｉｄｅａｎｄｐｉｎｓｕｐｐｏｒｔ
压杆稳定问题是机械工程中广泛存在的问题， 许多工程失效事故常常是由于压杆抗失稳能力不够 造成的，比如大型桁架结构的局部坍塌、桥梁断裂事 故、油压千斤顶、螺杆传动的压榨机构、含有连杆的 传动机构等．文献［１］针对 Ｑ５００ｑＥ高强度钢压杆稳 定问题进行探讨，利用有限元软件 Ａｂａｑｕｓ建立实体 和壳单元压杆计算模型，数值分析中考虑了非线性、 初始缺陷、焊接应力、杆件长细比及杆件截面形状等 因素；文献［２］利用有限元软件 ＡＮＳＹＳ分析了初始 挠度及中间弹性支承对压杆临界失稳载荷的影响问 题；文献［３］针 对 常 规 有 限 元 法 不 能 得 到 稳 定 问 题 精确解的情况提出了新的压杆稳定单元，建立了精 确单元形函数，利用迭代算法确定临界载荷和失稳 模态．事实上，确定压杆临界载荷的方法除了上述有 限元等数 值 计 算 方 法 外，还 有 微 分 方 程 求 解 法［４］、 积分方程法［５］、微分变换法［６］、泰勒级数法［７］、重心 插值配点法［８］、刚度判别法［９］以及可为压杆选用型 材的图解算法［１０］等．
第 ３１卷第 ２期 ２０１８年 ４月
烟台大学学报（自然科学与工程版）
ＪｏｕｒｎａｌｏｆＹａｎｔａｉＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅａｎｄＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇＥｄｉｔｉｏｎ）
Ｖｏｌ．３１Ｎｏ．２ Ａｐｒ．２０１８
文章编号：１００４８８２０（２０１８）０２０１５３０５
ｄｏｉ：１０．１３９５１／ｊ．ｃｎｋｉ．３７１２１３／ｎ．２０１８．０２．００９
（６）
这样微分方程（３）的全解为
ｗ（ｘ） ＝ｃ１ｃｏｓｋｘ＋ｃ２ｓｉｎｋｘ＋Ｔｘ／Ｆ－ＴＬ／Ｆ．（７） 从图 １可看出，问题的边界条件可表为
{ ｗ（０） ＝０， ｗ（０） ＝－α，
（８）
ｗ（Ｌ） ＝０，
其中：α是压杆左端面外法线转过的角度大小．
此外根据压杆的静力平衡条件有
Ｋα ＝Ｔ／Ｌ，
（９）
从上述列出文献以及其他未列出的参考文献来
看，等截面压杆稳定性问题解析求解的难点在于压 杆端部约束 的 类 型 和 性 质，目 前 两 端 固 定、两 端 铰 支、一端固定一端铰支、一端固定一端自由的压杆临 界失稳载荷已经给出解析解［４］，但有关含有端部弹 性约束的压杆稳定性问题的解析研究却未见有论文 发表，而实际上端部固定约束只是一种理想的力学 模型，这是一种刚性约束，现实中是不存在的．为此 本文采用近似挠度微分方程，通过设定合理的约束 边界条件，利用求解微分方程的办法得到了确定压 杆临界载荷的超越方程，再利用迭代的办法得到问 题的解．当假设弹性约束刚度系数很大或很小时，问 题将分别简化为人们熟知的一端固定一端铰支的压 杆稳定性问题和两端铰支的压杆稳定性问题，得出 的结论与已知结果是严格一致的，说明本文分析方 法和结论是正确可行的，本文方法和研究思路对于 其他类似约束性质的压杆稳定问题研究都具有理论 参考意义．