最新高中数学必修一专题:求函数的定义域与值域的常用方法

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函数的定义域与值域的常用方法

(一)求函数的解析式

1、函数的解析式表示函数与自变量之间的一种对应关系,是函数与自变量建立联系的一座桥梁,其一般形式是y=f(x),不能把它写成f(x,y)=0;

2、求函数解析式一般要写出定义域,但若定义域与由解析式所确定的自变量的范围一致时,可以不标出定义域;一般地,我们可以在求解函数解析式的过程中确保恒等变形;

3、求函数解析式的一般方法有:

(1)直接法:根据题给条件,合理设置变量,寻找或构造变量之间的等量关系,列出等式,解出y。

(2)待定系数法:若明确了函数的类型,可以设出其一般形式,然后代值求出参数的值;

(3)换元法:若给出了复合函数f[g(x)]的表达式,求f(x)的表达式时可以令t=g(x),以换元法解之;

(4)构造方程组法:若给出f(x)和f(-x),或f(x)和f(1/x)的一个方程,则可以x代换-x(或1/x),构造出另一个方程,解此方程组,消去f(-x)(或f(1/x))即可求出f(x)的表达式;

(5)根据实际问题求函数解析式:设定或选取自变量与因变量后,寻找或构造它们之间的等量关系,列出等式,解出y的表达式;要注意,此时函数的定义域除了由解析式限定外,还受其实际意义限定。

(二)求函数定义域

1、函数定义域是函数自变量的取值的集合,一般要求用集合或区间来表示;

2、常见题型是由解析式求定义域,此时要认清自变量,其次要考查自变量所在位置,位置决定了自变量的范围,最后将求定义域问题化归为解不等式组的问题;

3、如前所述,实际问题中的函数定义域除了受解析式限制外,还受实际意义限制,如时间变量一般取非负数,等等;

4、对复合函数y=f[g(x)]的定义域的求解,应先由y=f(u)求出u的范围,即g(x)的范围,再从中解出x的范围I1;再由g(x)求出y=g(x)的定义域I2,I1和I2的交集即为复合函数的定义域;

5、分段函数的定义域是各个区间的并集;

6、含有参数的函数的定义域的求解需要对参数进行分类讨论,若参数在不同的范围内定义域不一样,则在叙述结论时分别说明;

7、求定义域时有时需要对自变量进行分类讨论,但在叙述结论时需要对分类后求得的各个集合求并集,作为该函数的定义域;

(三)求函数的值域

1、函数的值域即为函数值的集合,一般由定义域和对应法则确定,常用集合或区间来表示;

2、在函数f:A→B中,集合B未必就是该函数的值域,若记该函数的值域为C,则C是B的子集;若C=B,那么该函数作为映射我们称为“满射”;

3、分段函数的值域是各个区间上值域的并集;

4、对含参数的函数的值域,求解时须对参数进行分类讨论;叙述结论时要就参数的不同范围分别进行叙述;

5、若对自变量进行分类讨论求值域,应对分类后所求的值域求并集;

6、求函数值域的方法十分丰富,应注意总结;

(四)求函数的最值

1、设函数y=f(x)定义域为A,则当x∈A时总有f(x)≤f(x o)=M,则称当x=x o时f(x)取最大值M;当x∈A时总有f(x)≥f(x1)=N,则称当x=x1时f(x)取最小值N;

2、求函数的最值问题可以化归为求函数的值域问题;

3、闭区间的连续函数必有最值。

【典型例题】

考点一:求函数解析式

1、直接法:由题给条件可以直接寻找或构造变量之间的联系。

例1. 已知函数y=f(x)满足xy<0,4x2-9y2=36,求该函数解析式。

解:由4x2-9y2=36可解得:

3

3

3

x

y

x

>

=±=⎨

<-

⎪⎩

说明:

这是一个分段函数,必须分区间写解析式,不可以写成3

y=±

的形式。

2、待定系数法:由题给条件可以明确函数的类型,从而可以设出该类型的函数的一般式,然后再求出各个参变量的值。

例2. 已知在一定条件下,某段河流的水流量y与该段河流的平均深度x成反比,又测得该段河流某段平均水深为2m时,水流量为340m3/s,试求该段河流水流量与平均深度的函数关系式。

解:设

k

y

x

=

,代入x,y的值可求得反比例系数k=780m3/s,故所求函数关系式为

780

,0

y x

x

=>

3、换元法:题目给出了与所求函数有关的复合函数表达式,可将内函数用一个变量代换。

例3. 已知

2

2

11

()

x x x

f

x x

+++

=

,试求

()

f x。

解:设

1

x

t

x

+

=

,则

1

1

x

t

=

-,代入条件式可得:2

()1

f t t t

=-+

,t≠1。故得:

2

()1,1

f x x x x

=-+≠

说明:要注意转换后变量范围的变化,必须确保等价变形。

4、构造方程组法:对同时给出所求函数及与之有关的复合函数的条件式,可以据此构造出另一个方程,联

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