材料力学压杆稳定1
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但库伦先生违背了Euler先生的两点猜测： （1）实验中应当使用较细长的杆 （2）不能使用铸铁一类的脆性材料。
库伦先生的铸铁压杆在发生失稳以前就断裂了。 因而，基于该实验之上的结论是错误的。
Euler 公式的适用条件 ： 法国的拉马尔于1846年提出
（1）分析了Euler 公式与实验不相符的原因。 （2）首次提出“长细比”概念。 （3）指出欧拉公式的适用范围。
的物理意义：
反映杆的长度、杆端支承情况及横截面形状、大
小对cr的综合影响。
二、欧拉公式的适用范围 经验公式
在推导欧拉公式时,使用了挠曲线的近似微分方程
E I v M(x)
在推导该方程时,应用了胡克定律。因此，欧拉 公式也只有在满足胡克定律时才能适用：
cr
2E 2
p
或写成
2E p
记
p
2E p
而工程师们早就知道 Pcr∝D4 因此，无法解释与
实际的差别。
对此，Euler先生已在1768年作了修正 。
2、即使作了以上修改，Euler公式仍然与一些压杆的 实验结果不相符。工程界又不理解原因所在。致使 Euler的天才发现未能在工程上及时得到应用。
库伦先生也怀疑Euler理论的正确性。 并报告了他的实验结果：压杆强度与长度无关。
稳定性条件也可以表示成： nst
Pc r Pmax
[nst ]
式中 nst 为压杆实际的工作稳定安全系数。
但实际压杆存在初始曲率，实际压杆的承载
能力一定小于理想压杆的承载能力。
按理想压杆计算出的临界压力Ｐcr，必须打个
折扣（取安全系数）才能作为实际压杆的稳 定标准。 nst 称为稳定安全系数，一般取1.8 ～ 3 。
解：一、求λ：
y
1、xy平面内失稳，z为 （a)
中性轴：=1
P
l=200
x
bh3
i I z 12
A
bh百度文库
h 2.194cm 12
y
P
x
1
l
i1
1 200 2.194
91.2
2、xz平面内失稳，y为中性轴：=0.5
hb3
i I y 12
A
bh
b 0.7217cm 12
b
x z
l1=180
则 欧拉公式的适用范围：
p
满足该条件的杆称为细长杆或大柔度杆
对A3钢，当取E=206GPa，σp=200MPa,则
p
2E p
2 206 109
200 106 100
16Ｍｎ钢：λｐ＝８２
因为λ＞λｐ即为大柔度杆， 16Ｍｎ: λｐ＝82， Ａ3钢:λｐ＝100， 即：16Ｍｎ 比 A3 更容易成为大柔度杆。
cr s
cr s cr s
p
cr a b
cr
2E 2
小柔度杆 中柔度杆 大柔度杆
O
s
a
s
b
p
2E p
l
i
§14-5 压杆的稳定性计算
稳定性条件：
Pmax
Pc r [nst ]
式中 Pmax ------压杆所受最大工作载荷 Pcr ------压杆的临界压力 [nst ] ------压杆的规定稳定安全系数
cr s
经验公式中，抛物线公式的表达式为
cr a1 b12
式中 a1、b1 也是与材料性质有关的系数，可
在有关的设计手册和规范中查到。
三、临界应力总图
1.细长杆( p ),用欧拉公式
cr
2E 2
2.中长杆(s p ),用经验公式
cr a b
3.粗短杆( s ),用强度条件
a(MPa) 304 461 578 9807
332.2 373 28.7
b(MPa) 1.12 2.568 3.744 5.296 1.454 2.15 0.19
下面考虑经验公式的适用范围：
对于塑性材料：
cr a b s
即
as
b
记s
a
s
b
则 s p 经验公式的适用范围
对于 λ＜λs的杆，不存在失稳问题，应考虑强度 问题
d4
64
d2
d4
:
64
d2
d 4
2
:
64
d2
4
d2
d 2
2
4
2
4
44
4
1:1:5
Pcr a : Pcr b : Pcr c cr a A1 : cr b A2 : cr c A3
实际上：
§14-4 压杆的临界应力及 临界应力总图
一、压杆的临界应力
2EI Pcr (l )2
cr
Pc r A
2EI (l )2 A
2 E (i 2 A) (l )2 A
2E l 2
i
i
I A
惯性半径（回转半径）
令 l
i
则
cr
2E 2
计算压杆的临界应力的欧拉公式
l
i
压杆的长细比或压杆的柔度
2
l1
i2
0.5 180 0.7217
124 .7
由于λ1＜λ2，故先在xz平面内，以y为中性轴弯曲
二、求临界应力、校核稳定性：
λp=100＜λ2
用欧拉公式
cr
2E 2
130 .7MPa
实际工作应力： P 120000 63.16MPa
bh 0.025 0.076
n
pcr P
cr
0.88 m
例：非细长杆如果误用了欧拉公式计算临 界力，其结果比实际＿大＿，＿危＿险＿＿；横截面上 的正应力有可能＿＿超＿过＿比＿例＿极＿限＿＿。
例：机车连杆，已知：P=120kN,L=200cm, L1=180cm,b=2.5cm,h=7.6cm。材料为A3钢 E=206GPa,若规定nst=2，试校核稳定性。
130.7 63.16
2.07 nst
满足稳定条件。
例：三根材料、长度均相同、两端均为球 铰支座的细长杆结构，各自的截面形状如图， 求三根杆的临界应力之比以及临界力之比。
cr a
: crb : cr c
2E
2 1
2E : 22
2E
:
2 3
i12 :i2 2 :i32
I1 : I2 : I3 A1 A2 A3
注意：
若截面有局部削弱时，还应按净面积检
查该截面的强度。
例：图示圆截面压杆d=40mm，σs=235MPa。 求可以用经验公式σcr=304-1.12λ (MPa)计算临 界应力时的最小杆长。
解： s
a s
b
304 235 61.6 1.12
由
l
i
s
得：
0.04
l
s
i
61.6
4 0.7
压杆的工程应用
当压杆的长细比λ＜λp时，欧拉公式已不适 用。 在工程上，一般采用经验公式。 在我国 的设计手册和规范中给出的是直线公式和抛物 线公式。
直线公式 cr a b
式中 a、b是与材料性质有关的系数。
表 11-2 直线公式的系数 a 和 b
材料 A3 钢 优质碳钢 硅钢 铬钼钢 铸铁 强铝 松木
库伦先生的铸铁压杆在发生失稳以前就断裂了。 因而，基于该实验之上的结论是错误的。
Euler 公式的适用条件 ： 法国的拉马尔于1846年提出
（1）分析了Euler 公式与实验不相符的原因。 （2）首次提出“长细比”概念。 （3）指出欧拉公式的适用范围。
的物理意义：
反映杆的长度、杆端支承情况及横截面形状、大
小对cr的综合影响。
二、欧拉公式的适用范围 经验公式
在推导欧拉公式时,使用了挠曲线的近似微分方程
E I v M(x)
在推导该方程时,应用了胡克定律。因此，欧拉 公式也只有在满足胡克定律时才能适用：
cr
2E 2
p
或写成
2E p
记
p
2E p
而工程师们早就知道 Pcr∝D4 因此，无法解释与
实际的差别。
对此，Euler先生已在1768年作了修正 。
2、即使作了以上修改，Euler公式仍然与一些压杆的 实验结果不相符。工程界又不理解原因所在。致使 Euler的天才发现未能在工程上及时得到应用。
库伦先生也怀疑Euler理论的正确性。 并报告了他的实验结果：压杆强度与长度无关。
稳定性条件也可以表示成： nst
Pc r Pmax
[nst ]
式中 nst 为压杆实际的工作稳定安全系数。
但实际压杆存在初始曲率，实际压杆的承载
能力一定小于理想压杆的承载能力。
按理想压杆计算出的临界压力Ｐcr，必须打个
折扣（取安全系数）才能作为实际压杆的稳 定标准。 nst 称为稳定安全系数，一般取1.8 ～ 3 。
解：一、求λ：
y
1、xy平面内失稳，z为 （a)
中性轴：=1
P
l=200
x
bh3
i I z 12
A
bh百度文库
h 2.194cm 12
y
P
x
1
l
i1
1 200 2.194
91.2
2、xz平面内失稳，y为中性轴：=0.5
hb3
i I y 12
A
bh
b 0.7217cm 12
b
x z
l1=180
则 欧拉公式的适用范围：
p
满足该条件的杆称为细长杆或大柔度杆
对A3钢，当取E=206GPa，σp=200MPa,则
p
2E p
2 206 109
200 106 100
16Ｍｎ钢：λｐ＝８２
因为λ＞λｐ即为大柔度杆， 16Ｍｎ: λｐ＝82， Ａ3钢:λｐ＝100， 即：16Ｍｎ 比 A3 更容易成为大柔度杆。
cr s
cr s cr s
p
cr a b
cr
2E 2
小柔度杆 中柔度杆 大柔度杆
O
s
a
s
b
p
2E p
l
i
§14-5 压杆的稳定性计算
稳定性条件：
Pmax
Pc r [nst ]
式中 Pmax ------压杆所受最大工作载荷 Pcr ------压杆的临界压力 [nst ] ------压杆的规定稳定安全系数
cr s
经验公式中，抛物线公式的表达式为
cr a1 b12
式中 a1、b1 也是与材料性质有关的系数，可
在有关的设计手册和规范中查到。
三、临界应力总图
1.细长杆( p ),用欧拉公式
cr
2E 2
2.中长杆(s p ),用经验公式
cr a b
3.粗短杆( s ),用强度条件
a(MPa) 304 461 578 9807
332.2 373 28.7
b(MPa) 1.12 2.568 3.744 5.296 1.454 2.15 0.19
下面考虑经验公式的适用范围：
对于塑性材料：
cr a b s
即
as
b
记s
a
s
b
则 s p 经验公式的适用范围
对于 λ＜λs的杆，不存在失稳问题，应考虑强度 问题
d4
64
d2
d4
:
64
d2
d 4
2
:
64
d2
4
d2
d 2
2
4
2
4
44
4
1:1:5
Pcr a : Pcr b : Pcr c cr a A1 : cr b A2 : cr c A3
实际上：
§14-4 压杆的临界应力及 临界应力总图
一、压杆的临界应力
2EI Pcr (l )2
cr
Pc r A
2EI (l )2 A
2 E (i 2 A) (l )2 A
2E l 2
i
i
I A
惯性半径（回转半径）
令 l
i
则
cr
2E 2
计算压杆的临界应力的欧拉公式
l
i
压杆的长细比或压杆的柔度
2
l1
i2
0.5 180 0.7217
124 .7
由于λ1＜λ2，故先在xz平面内，以y为中性轴弯曲
二、求临界应力、校核稳定性：
λp=100＜λ2
用欧拉公式
cr
2E 2
130 .7MPa
实际工作应力： P 120000 63.16MPa
bh 0.025 0.076
n
pcr P
cr
0.88 m
例：非细长杆如果误用了欧拉公式计算临 界力，其结果比实际＿大＿，＿危＿险＿＿；横截面上 的正应力有可能＿＿超＿过＿比＿例＿极＿限＿＿。
例：机车连杆，已知：P=120kN,L=200cm, L1=180cm,b=2.5cm,h=7.6cm。材料为A3钢 E=206GPa,若规定nst=2，试校核稳定性。
130.7 63.16
2.07 nst
满足稳定条件。
例：三根材料、长度均相同、两端均为球 铰支座的细长杆结构，各自的截面形状如图， 求三根杆的临界应力之比以及临界力之比。
cr a
: crb : cr c
2E
2 1
2E : 22
2E
:
2 3
i12 :i2 2 :i32
I1 : I2 : I3 A1 A2 A3
注意：
若截面有局部削弱时，还应按净面积检
查该截面的强度。
例：图示圆截面压杆d=40mm，σs=235MPa。 求可以用经验公式σcr=304-1.12λ (MPa)计算临 界应力时的最小杆长。
解： s
a s
b
304 235 61.6 1.12
由
l
i
s
得：
0.04
l
s
i
61.6
4 0.7
压杆的工程应用
当压杆的长细比λ＜λp时，欧拉公式已不适 用。 在工程上，一般采用经验公式。 在我国 的设计手册和规范中给出的是直线公式和抛物 线公式。
直线公式 cr a b
式中 a、b是与材料性质有关的系数。
表 11-2 直线公式的系数 a 和 b
材料 A3 钢 优质碳钢 硅钢 铬钼钢 铸铁 强铝 松木